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淘宝：学思创想
专题33 最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
....................................................................................................................................................1
模型1.胡不归模型（最值模型）...................................................................................................................1
..................................................................................................................................................13
模型1.胡不归模型（最值模型）
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，
虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小
伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
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V1
V2
V1
驿道
砂石地
A
B
C
一动点P 在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN 上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B 为定点，
点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使
的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。
V2
V1
M
N
C
B
A
CH=kAC
sinα=
CH
AC =k
H
D
α
A
B
C
N
M
M
N
C
B
A
α
D
H
1）
，记
，即求BC+kAC 的最小值.
2）构造射线AD 使得sin∠DAN=k，
，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH 最小值.
3）过B 点作BH⊥AD 交MN 于点C，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型
问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1 的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
例1.（24-25 九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在
中，
，
，P 为
边上的一个
动点（不与A、C 重合），连接
，则
的最小值是（ ）
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A．
B．
C．
D．8
【答案】B
【分析】以
为斜边在
下方作等腰直角
，过B 作
于E，通过解直角三角形可得
的
长，再根据
，可得
，据此即可解答．
【详解】解：如图，以
为斜边在
下方作等腰直角
，过B 作
于E，连接
，
，
，
，
，
，
的最小值为
．故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，点到直线的距离，作出辅助线是解决本题的关键．
例2．（23-24 九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形
中，
，E，P 分别是边
和对角
线
上的动点，连接
，记
，若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质．过点P 作
于点H，交
于点G，求
得
，根据垂线段最短，知当点E 与点G 重合时，
有最小值，据此求解即可．
【详解】解：过点P 作
于点H，交
于点G，
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∵四边形
是矩形，∴
，∴四边形
是矩形，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，
，
∴
，∴
，
当点E 与点G 重合时，
有最小值，最小值为
的长，
∵
，∴
的最小值为3，故选：A．
例3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形
中，对角线
相交于点
，
，
，
是对角线
上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点P 作
，连接
，由菱形
的性质可得
，则由勾股定理可得
，解直角三角形得到
，则
，进而得到当
三点共线，且
时，
最小，最小值为
的长，据此利用等面积法求出
的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P 作
，连接
，
∵在菱形
中，对角线
相交于点
，
，
，
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∴
，∴
，∴
，
∴在
中，
，∴
，
∴当
三点共线，且
时，
最小，最小值为
的长，
∴此时有
，∴
，∴
，
∴
的最小值为
，故答案为：
．
例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形
边长为4，点E 是
边上一点，且
．
P 是对角线
上一动点，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】连接AC，作
，证明当
取最小值时，A，P，G 三点共线，且
，此时
最小值为AG，再利用勾股定理，
所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
【详解】解：连接AC，作
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∵
是正方形且边长为4，∴
，
，
，
∵
，∴
，∴
，
∴当
取最小值时，A，P，G 三点共线，且
，此时最小值为AG，
∵
，
，∴
，∵
，∴
，
设
，则
，∴
，解得：
，
设
，则
，∵
，∴
，解得：
∴
，故选：D
【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，
所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键
是证明当
取最小值时，A，P，G 三点共线，且
，此时最小值为AG．
例5．（23-24 九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，
是
的直径，
切
于点
交
的延长线
于点
．设点
是弦
上任意一点（不含端点），若
，
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作
平分
，交
于
，连接
、
、
，过点
作
于
，根据切线的
性质和三角形内角和定理可得
，求得
，根据角平分线的性质可得
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，根据含
角的直角三角形的性质可得
，求得
，根据等边三角形
的判定和性质可得
，根据菱形的判定和性质可得
平分
，根据角平分线的性
质和全等三角形的判定和性质可得
，根据等边对等角和三角形内角和定理求得
，根据特殊角的锐角三角函数可求得
，推得
，根
据垂线段最短可得，当
、
、
三点共线时，
的值最小，即
时，
的值最小，
根据特殊角的锐角三角函数可求得
，即可求解．
【详解】解：作
的角平分线
，交
于
，连接
、
、
，过点
作
于
，
如图：
∵
，∴
，又∵
，∴
，∴
，
∵
平分
，则
，
∵
，
，∴
，即
，
又∵
，
，∴
，∴
，即圆的半径为
，
∵
，
，∴
、
是等边三角形，
∴
，∴四边形
是菱形，∴
平分
，∴
，
又∵
，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，即
，∴
．若使
的值最小，即
的值最小，
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当
、
、
三点共线时，
，此时
的值最小，即
时，
的值最
小，
此时，
，
，故选：
D．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含
角的直角三角形的性质，
等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三
角函数，垂线段最短，解题的关键是明确当
、
、
三点共线时，
的值最小，即
的值最小．
例7．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线
与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点D 是
线段AB 上一动点，点H 是直线
上的一动点，动点
，连接
．
当
取最小值时，
的最小值是 ．
【答案】
【分析】作出点
，作
于点D，交x 轴于点F，此时
的最小值为
的长，利用解
直角三角形求得
，利用待定系数法求得直线
的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作
轴于点G，此时
的最小值是
的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线
与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，∴
，
，
作点B 关于x 轴的对称点
，把点
向右平移3 个单位得到
，
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作
于点D，交x 轴于点F，过点
作
交x 轴于点E，则四边形
是平行四边形，
此时，
，∴
有最小值，作
轴于点P，
则
，
，∵
，∴
，∴
，
∴
，即
，∴
，则
，设直线
的解析式为
，
则
，解得
，∴直线
的解析式为
，
联立，
，解得
，即
；过点D 作
轴于点G，
直线
与x 轴的交点为
，则
，∴
，
∴
，∴
，
即
的最小值是
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
例8．（2024·山东济南·一模）实践与探究
【问题情境】（1）①如图1，
，
，
，
分别为边
上的点，
，且
，则
______；②如图2，将①中的
绕点
顺时针旋转
，则
所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】（2）如图3，矩形
，
，
，
为边
上的动点，
为边
上的动点，
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，连接
，作
于
点，连接
．当
的长度最小时，求
的长．
【拓展应用】（3）如图4，
，
，
，
，
为
中点，连接
，
分别为线段
上的动点，且
，请直接写出
的最小值．
【答案】（1）①
；②
；（2）2；（3）
【分析】（1）①由
得出
，再由相似三角形的性质即可得解；②延长
交
于
，令
交
于
，由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）延长
，相交于点
，连接
．由矩形的性质可得
，
，证明
，由相似三角形的性质得出点
为
中点，由直角三角形的性质得出
，当
，三点共线时
取得最小值，证明出
为等边三角形，即可得解；
（3）分别过点
和
作垂线，两线相交于点
，连接
、
、
，则
，证明
，得出
，再证明出
四点共圆，得出
，
，解直角三角形得出
，即可得出
，最后由
勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：（1）①
，
，
，故答案为：
；
②如图，延长
交
于
，令
交
于
，
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由①可得
，由旋转的性质可得：
，
，
，
，
所在直线较小夹角的度数为
，故答案为：
；
（2）延长
，相交于点
，连接
．
四边形
是矩形，
，
，∴
，
，∴
，∴
，∴点
为
中点，
，
∵
于点
，∴在
中，
，
∵在
中，
，且
为定值，∴当
，三点共线时
取得最小值，
∵
，∴
，此时
为等边三角形，
．
（3）如图，分别过点
和
作垂线，两线相交于点
，连接
、
、
，则
，
，
，
，
，
为
中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
四点共圆，
，
， 在
中，
，
，
，
在
中，
，
的最小值为
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定
与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加
适当的辅助线是解此题的关键．
例9．（24-25 九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数
的图象交x 轴于A、B
两点，交y 轴于点C，连接
．(1)直接写出点B、C 的坐标，B________；C________．
(2)点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，连接
、
．若
的面积
，求点P 的坐标．
(3)设E 为线段
上任意一点（不含端点），连接
，一动点M 从点A 出发，沿线段
以每秒1 个单位
速度运动到E 点，再沿线段
以每秒2 个单位的速度运动到C 后停止，求点M 运动时间的最小值．
【答案】(1)
，
(2)
或
或
(3)点M 的运动时间的最小值为7 秒
【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与
平行直线，找到与
抛物线的交点P；（3）如图，在x 轴上取一点G，连接
，使得
，作
于N．作
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于
交
于
．由点M 的运动时间
，
，推出点M 的运动时间
，根据垂线段最短可知，当A，E，N 关系，点N 与
重合，点E 与
重合时，点M 的运动
时间最少．由此即可解决问题；
【详解】（1）解：当
时，
，
当
时，
，解得：
，
，故答案为：
，
；
（2）解：设x 轴上点D，使得
的面积
，
，解得：
，
，
，则可求直线
解析式为：
，故点D 坐标为
或
，
当D 坐标为
时，过点D 平行于
的直线l 与抛物线交点为满足条件的P，
则可求得直线l 的解析式为：
，
求直线l 与抛物线交点得：
，解得：
，
，
则P 点坐标为
或
，同理当点D 坐标为
时，直线l 的解析式为
，
求直线l 与抛物线交点得：
，解得：
（舍弃），
，
则点P 坐标为
，综上满足条件P 点坐标为：
或
或
；
（3）解：如图，在x 轴上取一点G，连接CG，使得
，作
于N．作
于
交
BC 于
．
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，
，
，
，
直线
的解析式为
，
点M 的运动时间
，
，
点M 的运动时间
，
根据垂线段最短可知，当A，E，N 关系，点N 与
重合，点E 与
重合时，点M 的运动时间最少．
由题意
，
，
，
点M 的运动时间的最小值为7 秒，此时
．
【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质是解答本
题的关键．
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1．（2024·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是
，点C 的坐标是
，
点
是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持
是等边三角形（点P 不在第二象限），
连接
，求得
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】C
【分析】如图1 所示，以OA 为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D 作DE⊥OA 于E，先求出点D 的
坐标，然后证明△BAO≌△PAD 得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P 在经过点D 且与AD 垂直的直线上运动，
当点P 运动到y 轴时，如图2 所示，证明此时点P 的坐标为（0，-2）从而求出直线PD 的解析式；如图3
所示，作点A 关于直线PD 的对称点G，连接PG，过点P 作PF⊥y 轴于F，设直线PD 与x 轴的交点为
H，先求出点H 的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到
，则当G、P、F 三点共线
时，
有最小值，即
有最小值，再根据轴对称的性质求出点G 在x 轴上，则OG 即为所求．
【详解】解：如图1 所示，以OA 为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D 作DE⊥OA 于E，
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∵点A 的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴
，∴点D 的坐标为
；
∵△ABP 是等边三角形，△AOD 是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P 在经过点D 且与AD 垂直的直线上运动，
当点P 运动到y 轴时，如图2 所示，此时点P 与点C 重合，
∵△ABP 是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此时点P 的坐标为（0，-2），
设直线PD 的解析式为
，∴
，∴
，∴直线PD 的解析式为
；
如图3 所示，作点A 关于直线PD 的对称点G，连接PG，过点P 作PF⊥y 轴于F，连接CG，设直线PD 与
x 轴的交点为H，∴点H 的坐标为
，∴
，∴∠OCH=30°，∴
，
由轴对称的性质可知AP=GP，∴
，
∴当G、P、F 三点共线时，
有最小值，即
有最小值，
∵A、G 两点关于直线PD 对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D 为AG 的中点，
∵点A 的坐标为（0，2），点D 的坐标为
，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG 是等边三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G 在x 轴上，
∴由勾股定理得
，∴当点P 运动到H 点时，
有最小值，即
有最小
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值，最小值即为OG 的长，∴
的最小值为
，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴
对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P 的运动轨迹是解题的关键．
2．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线
与x 轴交于
两点，与y 轴交于
点
．若P 为y 轴上一个动点，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在
于把求
最小值转化为求
的最小值；连接
，过点P 作
于点G，连接
，过点A 作
于点H；由B、C 的坐标得
，则有
，从而
；于
是求
最小值转化为求
的最小值；利用勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：连接
，过点P 作
于点G，连接
，过点A 作
于点H，如图，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
∴
，
的最小值为
的长，
∵
，
，在
中，
，
，
的最小值为
．故选：C．
3.（2024·山东校考一模）如图，AB
AC
，
0
15
A
，
，C（1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A
出发，运动路径为A
D
C
，在AD 上的速度为4 个单位/秒，在CD 上的速度为1 个单位/秒，则整个运动
时间最少时，D 的坐标为 ．
【答案】
15
0, 15
【分析】如图，作DH⊥AB 于H，CM⊥AB 于M，交AO 于D′．运动时间
4
1
4
AD
CD
AD
t
CD
，由
AHD
AOB
∽
△
△
，推出
1
4
DH
AD
，可得1
4 AD
CD
CD
DH
，推出当C
D
H
，，
共线且和CM 重合时，
运动时间最短．
淘宝：学思创想
【详解】如图，作DH
AB
于H，CM
AB
于M ，交AO 于D．
∵运动时间
4
1
4
AD
CD
AD
t
CD
，∵AB
AC
，AO
BC
，∴
1
BO
OC
，
∵
(0, 15)
A
，C（1，0），AB
AC
，AO
BC
，∴
2
2
15 1
4
AB
AC
OA
OB
，
∵
DAH
BAO
，
90
DHA
AOB
，∴
AHD
AOB
∽
△
△
，
∴AD
DH
AB
OB
，∴
1
4
DH
AD
，∴1
4 AD
CD
CD
DH
，
∴当C，D，H 共线且和CM 重合时，运动时间最短，
2
1
2
1
BC AO
AB CM
，∴
15
2
CM
，∴
2
2
2
2
15
7
4
2
2
AM
AC
CM
，
∵
4
AD
MD
，设MD
m
，则
4
AD
m
，则有：
2
2
49
16
4
m
m
∴
7 15
30
m
或
7 15
30
（舍去），∴
14 15
15
AD
∴
15
0, 15
D
4．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，
是等边三角形
的外接圆，其半径为4．过点B 作
于点E，点P 为线段
上一动点（点P 不与B，E 重合），则
的最小值为 ．
【答案】6
【分析】过点P 作
，连接
并延长交
于点F，连接
，根据等边三角形的性质和圆内接三
淘宝：学思创想
角形的性质得到
，
，然后利用含
角直角三角形的性质得到
，进而
求出
，然后利用
代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P 作
，连接
并延长交
于点F，连接
∵
是等边三角形，
∴
∵
是等边三角形
的外接圆，其半径为4∴
，
，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
，
∴
∴
∴
的最小值为
的长度∵
是等边三角形，
，
∴
∴
的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含
角直角三角形的性质等知识，解题
的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在
中，
，
，
，按下
列步骤作图：①在
和
上分别截取
、
，使
．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点M．③作射线
交
于点F．若点P 是线段
上的一
个动点，连接
，则
的最小值是 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】过点P 作
于点Q，过点C 作
于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求
出
，然后利用含
的直角三角的性质得出
，则
，当
C、P、Q 三点共线，且与
垂直时，
最小，
最小值为
，利用含
的直角三角的
性质和勾股定理求出
，
，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P 作
于点Q，过点C 作
于点H，
由题意知：
平分
，∵
，
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴当C、P、Q 三点共线，且与
垂直时，
最小，
最小值为
，
∵
，
，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
即
最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含
的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用
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等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
6．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱
中
，
，
，
为边
上一点，则
的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH 丄AD 交AD 的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=
DP，因此
PD+2PB=2(
DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B 三点共线时HP+PB 有最小值，即
PD 十2PB 有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点
作
，交
的延长线于
，
四边形
是平行四边形，
，∴
∵PH 丄AD∴
∴
，
，
∴
当点
，点
，点
三点共线时，HP+PB 有最小值，即
有最小值，
此时
，
，
，∴
，
则
最小值为
，故答案为：
．
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【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角
三角形是解题的关键．
7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知
中，
，则
的最大值为
．
【答案】
【分析】过点C 作
，垂足为D，取
，即可说明
是等腰直角三角形，求出
，进一步求出
，继而将
转化为
，推出点D 在以
为直
径的圆上，从而可知当
为等腰直角三角形时，
最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C 作
，垂足为D，取
，
∴
是等腰直角三角形，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，
∵
，而
一定，
∴当
的面积最大时，
最大，∵
，∴点D 在以
为直径的圆上，
∴当D 平分
时，点D 到
的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时
，则
为等腰直角三角形，∴
，故答案为：
．
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．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30 度的直角三角形的性质，圆周角定理，
解题的关键是添加辅助线，将最值转化为
的长．
8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在Rt
ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F 分别是边
AB、BC 上的动点，连接CD，过点A 作AE⊥CD 交BC 于点E，垂足为G，连接GF，则GF+
FB 的最小
值为 ．
【答案】
【分析】“胡不归模型”，以BF 为斜边构造含30°角的直角三角形，结合∠B＝30°，即把Rt△ABC 补成等
边△ABP，过F 作BP 的垂线FH，根据垂线段最短得，当G、F、H 成一直线时，GF+
FB 最短，又根据
直角所对的弦是直径，可得点G 在以AC 为直径的圆上，取AC 的中点O，连接OG，过点O 作OQ⊥BP 于
点Q，据此解题．
【详解】解：如图，延长AC 到点P，使CP=AC，连接BP，
过点F 作FH⊥BP 于点H，取AC 的中点O，连接OG，过点O 作OQ⊥BP 于点Q，
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∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=8，∴AC=CP=4，AP=8，BP=AB=8，∴△ABP 是等边三角形，
∴∠FBH=30°，
在Rt△FHB 中，FH=
FB， ∴当G、F、H 在同一直线上时，GF+
FB=GF+FH 取得最小值，
∵AE⊥CD，∴∠AGC=90°，∵O 为AC 的中点，∴OA=OC=OG=
AC，
∴A、C、G 三点共圆，圆心为O，即点G 在⊙O 上运动，∴当点G 运动到OQ 上时，GF+FH 取得最小值，
∵在Rt△OPQ 中，∠P=60°，OP=6，sinP=
，
∴
，∴GF+FH 的最小值为
，即GF+
FB 的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查含30°直角三角形性质，特殊角的三角函数值，垂直平分线性质，点到直线距离，圆周
角定理，最短路径，解题关键是找到点G 运动到什么位置时，GH 最小，联想到找出点G 运动路径再计算．
9．（2023 上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形
中，
，
，点E，F 分别在边
上，且
，沿直线
翻折，点A 的对应点
恰好落在对角线
上，点B 的对应点为
，
点M 为线段
上一动点，则
的最小值为 ．
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【答案】
/
【分析】作
于H，作
于L，首先利用勾股定理得
的长，再根据
，求
出
的长，再利用
，得
，则当E、M、L 三点共线时，
最小，最
小值为
的长，进而解决问题．
【详解】解：如图，作
于H，作
于L，
在矩形
中，
，
，
，
，
，
∵沿直线
翻折，点A 的对应点
恰好落在对角线
上，∴
，
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴当E、M、L 三点共线时，
最小，最小值为
的长，
∴
，∴
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段
最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键．
10．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
分别交x 轴、
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y 轴于A、B 两点，若C 为x 轴上的一动点，则2BC+AC 的最小值为__________．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B 坐标，由勾股定理可求AB 的长，作点B 关于OA 的对称点
，可证
是等
边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝
AC，则
，即当点
，点C，点H 三
点共线时，
有最小值，即2BC＋AC 有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数
分别交x 轴、y 轴于A、B 两点，
∴点A（3，0），点
，∴AO＝3，
，∴
，
作点B 关于OA 的对称点
，连接
，
，过点C 作CH⊥AB 于H，如图所示：
∴
，∴
，
∴
，∴
是等边三角形，
∵
，∴
，∵CH⊥AB，∴
，
∴
，
∴当点
，点C，点H 三点共线时，
有最小值，即2BC＋AC 有最小值，
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此时，
，
是等边三角形，∴
，
，
∴
，∴2BC＋AC 的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确
定点C 的位置是解题的关键．
11．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形
中，
，E 是
上一个动点，连接
，
过点C 作
的垂线l，过点D 作
交l 于点F，过点D 作
于点G，
，点H
是
中点，连接
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】证明
，得出
，再证
，求出
，所以
，即
，可得
．作
的垂直平分线
，交
的延
长线于点T，连接
，过点E 作
于点Q，求出
，所以
．求
的最小值，即为求
的最小值，过点H 作
于点J，
即为所求最小值．设
，根据勾股定理可得出
，所以
，由
，可求得
的长度．
【详解】解：在矩形
中，
，∴
，
∵
于点C，∴
，∴
．
淘宝：学思创想
∴
．同理可证
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
于点G，∴
，
∵
，∴
，
∴
，即
，
∵
，∴
，∴
，∴
．
如图，作
的垂直平分线
，交
的延长线于点T，连接
，过点E 作
于点Q，
∴
，∴
，即
．
∴
．∴
，∴求
的最小值，即为求
的最小值，
过点H 作
于点J，HJ 即为所求最小值．设
，则
，
在
中，由勾股定理可知，
，解得
，∴
．
如图，连接
，
，∵点H 是
的中点，∴
，
∵
，∴
，
即
，解得
．故答案为：
．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相
关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键．
12．（2023 春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形
的边长为5，对角线
的长为
，
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为
上一动点，则
的最小值等于______．
【答案】4
【分析】由四边形
是菱形，根据已知线段长度，将
转化，再根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接
交
于点M，过点M 作
于点H，过点A 作
于点G，交
于点P，
四边形
是菱形，边长为5，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
当A，P，G 三点共线且
时，
取最小值，最小值为
，
淘宝：学思创想
菱形
的面积
，
，
的最小值是4．故答案为：4．
【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱
形的面积公式，将
转化为
是解题的关键．
13．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在
中，
，
，
，点
是斜边
上的动点，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知
，最
后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：过点
做
，过点
作
于
，过点
作
于点
，
∴
，∴
，
∵两点之间线段最短，∴当
共线时，
的值最小，即
的最小值为
，
∵
，
，
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
，∴
，
∴
，
，∵
，∴
，
∴
，
，
∴
，∴
，故答案为
．
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【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定与性质
是解题的关键．
14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在
中，
，
，
，点D 是
边上
的动点，连接
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】本题考查利用轴对称求最小值问题，涉及解直角三角形、勾股定理等知识．作点
关于
的对
称点
，连接
，作
，垂足为
，利用勾股定理求得
，利用三角函数求得
，将
转化为
，当
共线时，
有最小值，最小值为
的长，
据此求解即可．
【详解】解：作点
关于
的对称点
，连接
，作
，垂足为
，
∵
，
，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∵
，∴
，∵点
与点
关于
对称，∴
，∴
，
当
共线时，
有最小值，最小值为
的长．
在
中，
，∴
，
∴
，即
的最小值为
．故答案为：
．
15．（2024·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，等腰直角三角形
的顶点A
在格点上，
，以
为直径的半圆与边
的交点D 在网格线上．
（1）
的值等于 ；（2）若P 为边
上的动点，当．
取得最小值时，请用无
刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）
．
【答案】 作图见解析，连接
与网格线交于点
，取
与网格线交点
，连接
与网格
线交于点
，连接
，与半圆相交于点
，连接
并延长，与
相交于点
，点
即为所求．
【分析】（1）连接
，根据直径所对圆周角为
，得到
，根据等腰三角形三线合一的性质，
得到
，即可求解，
（2）由
，当
时，
取得最小值，即
取得最小值，
找到
中点
，
中点G，
，
，根据特殊角直角三角形的性质，通过
的圆心角得
到，
的圆周角，即可求解，
本题考查了，直径所对圆周角为
，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，圆周角定理，特殊角
直角三角形，解题的关键是：将问题转化为
．
【详解】解：（1）连接
，∵
为直径，∴
，
淘宝：学思创想
∵等腰直角三角形
，∴
，∴
，∴
；
（2）在
左侧，作
，
，
则
，当点
、
、
三点共线的时候，
取得最小值，即
取得最小值，此时
，
，
则
是等边三角形，过点
作
，交
于点
，交
于点
，则
为
中点，
为
中
点，
∴过
中点
，作
的平行线，与圆交于点
，
与
的交点，即可确定点
，用无刻度直尺作图
如下，连接
与网格线交于点
，取
与网格线交点
，连接
与网格线交于点
，连接
，与半
圆相交于点
，连接
并延长，与
相交于点
，点
即为所求．
16．（23-24 八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，直线
分别交
轴，
轴于点
，点
，点
在
轴正半轴上，且
，点
在直线
上，点
是
轴上的一个动点，设点P 横坐标为t．
(1)求直线
的函数解析式；(2)连接
，
，若
面积等于
面积的
，求t 的值；
淘宝：学思创想
(3)求
的最小值．
【答案】(1)
(2)10 或
(3)
【分析】（1）根据题意求得
，
，推得
，求得
，待定系数法求直线
的函数解析式即可；（2）根据题意求得
，
，根据
面积等于
面积的
，列
式即可求得
或
；（3）过点
作
点
，根据等边对等角可得
，
推得
，根据等角对等边可得
，根据勾股定理可得
，推得
，当点
、
、
三点共线时，
为
的最小值，根据等角
对等边可得
，推得
，根据勾股定理可得
，即可得到
的最
小值为
．
【详解】（1）解：∵直线
分别交
轴，
轴于点
，点
，
将
代入
，解得
，将
代入
，解得
，
∴
，
，∴
，
，∵
，∴
，
设直线
的解析式为
．将
，
代入
得
，解得
，∴直线
的解析式为
；
（2）解：如图：
淘宝：学思创想
∵设点
横坐标为，
，∴
，∵点
在直线
：
上，
将
代入
解得
，∴
，
∵
面积等于
面积的
，∴
，
∴
解得：
或
．
（3）如图，过点
作
点
，
在
中，∵
，∴
，
∴
，∴
，
在
，根据勾股定理得，
，∴
；
当点
、
、
三点共线时，
为
的最小值，
在
中，∵
，∴
，
∵
，根据勾股定理，得
∴
的最小值为
．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，
根据勾股定理求得最小值是解题的关键．
17．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
．
淘宝：学思创想
(1)求抛物线的解析式；(2)当
时，求
的函数值的取值范围；(3)将拋物线的顶点向下平
移
个单位长度得到点
，点
为抛物线的对称轴上一动点，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
的最小值为：
【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；（2）求解
的对称轴为直线
，而
，再利用二次函数的性质可得答案；（3）求解
，
，可得
，
求解直线
为
，及
，证明
在直线
上，如图，过
作
于
，连接
，
过
作
于
，可得
，
，证明
，可得
，
可得
，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
与
轴交于点
，∴
，解得：
，
∴抛物线的解析式为：
；
（2）解：∵
的对称轴为直线
，而
，∴函数最小值为：
，
当
时，
，当
时，
，∴函数值的范围为：
；
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（3）解：∵
，当
时，
，∴
，
当
时，解得：
，
，∴
，∴
，
设直线
为
，∴
，∴
，∴直线
为
，
∵拋物线的顶点向下平移
个单位长度得到点
，而顶点为
，∴
，∴
在直线
上，
如图，过
作
于
，连接
，过
作
于
，
∵
，
，∴
，
，
∵对称轴与
轴平行，∴
，∴
，∴
，
由抛物线的对称性可得：
，
，
∴
，当
三点共线时取等号，
∴
，∴
，∴
，
即
的最小值为：
．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解
线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
18．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC 中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA 所在的直线
为x 轴、y 轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=
(x＞0)的图象经过线段OB 的中点D，
并与矩形的两边交于点E 和点F，直线l：y=kx+b 经过点E 和点F．
（1）写出中点D 的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF 的面积；
（3）如图②，将线段OB 绕点O 顺时针旋转一定角度，使得点B 的对应点H 恰好落在x 轴的正半轴上，连
淘宝：学思创想
接BH，作OM⊥BH，点N 为线段OM 上的一个动点，求HN+
ON 的最小值．
【答案】（1）D(
，2)，y=
；（2）
；（3）4．
【分析】（1）首先确定点B 坐标，再根据中点坐标公式求出点D 的坐标即可解决问题．
（2）求出点E，F 的坐标，再根据S△OEF=S 矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB 计算即可．
（3）如图②中，作NJ⊥BD 于J．HK⊥BD 于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝
，推出NJ＝
ON•sin∠NOD＝
ON，推出NH＋
ON＝NH＋NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H 共线，且与HK
重合时，HN＋
ON 的值最小，最小值＝HK 的长，由此即可解决问题．
【详解】（1）在矩形ABCO 中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．
∵OD=DB，∴D(
，2)．∵y=
经过D(
，2)，∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=
．
（2）如图①中，连接OE，OF．由题意E(
，4)，F(3，1)，
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∴S△OEF=S 矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣
×4×
﹣
×3×1﹣
×3×(3﹣
)=
．
（3）如图②中，作NJ⊥BD 于J．HK⊥BD 于K．由题意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5
3=2
﹣
，
∴BH=
=2
，∴sin∠CBH=
=
．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．
∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．
∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，
∴sin∠JOD=
，∴NJ=ON•sin∠NOD=
ON，∴NH+
ON=NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H 共线，且与HK 重合时，HN+
ON 的值最小，最小值=HK 的长．
∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+
ON 是最小值为4．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的
面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在
，
，
，求点
到
的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在
，
，
．若点
在边
上，点
在线段
上，
连结
，过点
作
于
，则
的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形
中，
．点
在边
上，点
在边
上，点
在
线段
上，连结
．若
，则
的最小值为______．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】（1）过点
作
于
，过点
作
于
，根据等腰三角形的性质可得
淘宝：学思创想
，再由勾股定理可得
的长，再由
，即可求解；
（2）连接
，过点
作
于
，过点
作
于
．根据题意可得
的最小值等于
的长，再由当
时，
的长最小，可得
的最小值等于
的长，再根据等腰三角形的
性质可得
，再由勾股定理可得
的长，再由
，即可求解；
（3）过点F 作
于点H，连接
，过点E 作
于点G，根据直角三角形的性质可得在
，从而得到
，继而得到
的最小值等于
，
再由当
时，
的长最小，即
的长最小，可得
的最小值等于
，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点
作
于
，过点
作
于
．
∵
，∴
．在
中，
．
∵
，∴
．∴点
到
的距离为
．
（2）如图，连接
，过点
作
于
，过点
作
于
．
∵
，∴
的最小值等于
的长，
∵当
时，
的长最小，此时点Q 与点H 重合，
∴
的最小值等于
的长，∵
，∴
．
在
中，
．
∵
，∴
．
即
的最小值为
；故答案为：
淘宝：学思创想
（3）如图，过点F 作
于点H，连接
，过点E 作
于点G，
在
中，
，∴
，
∴
，∴
的最小值等于
，
∵当
时，
的长最小，即
的长最小，此时点H 与点G 重合，
∴
的最小值等于
，
∵四边形
是矩形，∴
，
∴
，∴
，即
的最小值等于
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰
三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
