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专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：累加法.................................................................................................2
题型二：累乘法.................................................................................................4
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练......................................................6
一、必备秘籍
一、累加法（叠加法）
若数列{an}满足an+1−an=f (n)(n∈N
¿)，则称数列{an}为“变差数列”，求变差数列{an}的通项时，利
用恒等式an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+¿⋅¿+(an−an−1)=a1+f (1)+f (2)+f (3)+¿⋅¿+f (n−1)(n≥2)求
通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述
个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：
=
二、累乘法（叠乘法）
若数列{an}满足
an+1
an
=f (n) (n∈N ¿)，则称数列{an}为“变比数列”，求变比数列{an}的通项时，利用
1
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an=a1⋅a2
a1
⋅a3
a2
⋅a4
a3
⋅¿⋅¿ an
an−1
=a1⋅f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅¿⋅¿ f (n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述
个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
二、典型题型
题型一：累加法
例题1．（2023 秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列{
}中，
，且
.其中
，
(1)求数列{
}的通项公式；
【答案】(1)
，
；
【详解】（1）（法一）由題意知，
，则
，
累加得：
且
，又
，故
，
2
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而
符合上式，故
.
（法二）由题意知，
则
，
所以
则
.
例题2．（2023·浙江·模拟预测）已知数列
满足
(1)若
，求数列
的通项
；
【答案】(1)
【详解】（1）当
,
①,
②,
①
②可得
,左右同时乘以
可以得出:
,即得
当
时,
应用累加法可得:
,
当
时,
,
,且
,
例题3．（2023 秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列
满足
，且
．
(1)求
的通项公式；
3
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【答案】(1)
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
所以
．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
（
），且
，求数列
的通项公式．
【答案】
（
）．
【详解】由题意得
（
），
即
，
，
，
，
所以
个式子累加得
，
因为
，
所以
（
），
因为
，所以
（
），
又当
时，
，所以
（
）．
题型二：累乘法
例题1．（2023 秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知数列
中，
，设
为
4
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前
项和，
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由数列
中，
，且
当
时，
，解得
，
当
时，可得
，
所以
，即
，
则当
时，可得
，所以
，
当
或
时，
，
适合上式，
所以数列
的通项公式为
.
例题2．（2023 秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
（
）
【详解】（1）因为
，（
），
所以
，（
），
所以
，
，
，…，
，
（
且
），
所以
（
且
），
整理得：
（
且
），即
，（
且
），
又因为
，所以
，（
且
），
当
时，
适合上式，
所以
，（
）.
例题3．（2023 秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列
满足
，
．
(1)求
的通项公式；
5
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【答案】(1)
【详解】（1）∵
，
，则
，
∴
，两式相除得：
，
当
时，
，
∴
，即
，
当
时，
，
∴
，即
，
综上所述，
的通项公式为：
；
例题4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
（
）
【详解】（1）因为
，（
），
所以
，（
），
所以
，
，
，…，
，
（
且
），
所以
（
且
），
整理得：
（
且
），即
，（
且
），
又因为
，所以
，（
且
），
当
时，
适合上式，
所以
，（
）.
例题5．（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
6
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【详解】（1）由
可得
，
当
时，
，
，
将以上各式相乘可得：
，当
时，
成立；
所以
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练
一、单选题
1．（2023 秋·重庆·高三统考阶段练习）数列
、
满足：
，
，
，则数列
的最大项是（ ）
A．第7 项
B．第9 项
C．第11 项
D．第12 项
【答案】B
【详解】
时，
，
，
，
，将上式累加，得
，解得
（对于
同样成立），故
，
令
，即
，
解得
，
，故
，即第九项最大.
故选：B.
2．（2023 秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）等比数列
满足
，
，数列
满足
，
时，
，则数列
的通项公式为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意得，
，解得
，故
，
时，
，
故
．
故选：A
3．（2023 秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列
满足
，则
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵
，∴
，
∴
，
故选：C.
4．（2023 春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列
的项满足
，而
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，
所以
，
，
，……，
，
，（
），
所以
，
8
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所以
，
因为
，所以
，
因为
满足上式，所以
，
故选：B
5．（2023 秋·湖北·高三校联考阶段练习）定义：在数列
中，
，其中d 为常数，
则称数列
为“等比差”数列.已知“等比差”数列
中，
，
，则
（ ）
A．1763
B．1935
C．2125
D．2303
【答案】B
【详解】因为数列
是“等比差”数列，
所以
，
因为
，
，
所以
，
所以有
，
累和，得
，
因此有
，
累积，得
，
所以
，
故选：B
6．（2023 春·广东佛山·高二统考期中）数列
中，
，
（
为正整数），则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【详解】因为
，
所以
，
所以
，
故选：A
二、填空题
7．（2023 春·安徽滁州·高二统考期末）已知数列
满足
，
，若
表示不超
过x 的最大整数，则
．
【答案】1
【详解】由
得
时，
，
当
时，
也符合，所以
，故
，
，
故答案为：1
8．（2023 春·吉林白城·高二校考期末）已知数列
满足
，且
，若
，则数列
的前n 项和
．
【答案】
【详解】由
，得
，
，…，
（
），
以上各式相乘，得
（
），
又
，所以
（
），
当
时，
，满足上式，所以
，
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，
所以
．
故答案为：
.
9．（2023 秋·江西宜春·高三校考开学考试）若
，则通项公式
.
【答案】
【详解】由
，得
，
所以
，
，
，……，
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
满足上式，所以
，
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）记数列
的前n 项和为
，已知
，
，则
【答案】
【详解】由已知可得，
.
当
时，
，
所以
；
当
时，
有
，
，
两式相减得，
，
11
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所以
.
所以有
，
，
，
，
，
两边同时相乘可得，
，
整理可得，
.
当
时，
，满足该式，
，满足该式，
故
.
故答案为：
.
三、解答题
11．（2023 秋·高二课时练习）已知数列
满足
，且
，求
的最小值．
【答案】
【详解】由题意，
，
则
，
当
时，上式成立，
由于
，所以
，
当且仅当
时，取得最小值，
但
，由对勾函数的性质可知，
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所以
的最小值为
，
则
的最小值为
.
12．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知数列
满足
且
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题设
，即
，而
，
所以
，且
，
所以
，显然
也满足上式，故
.
13．（2023·全国·高二专题练习）若数列{an}满足：
，
，求数列
的通项公式.
【答案】
【详解】由
，得
，
，
又当
时满足此式，
所以
14．（2023 春·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考开学考试）已知数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
可得
，
所以
，
，
，…，
，
13
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以上各式左右两边分别相乘可得
，
即
，所以
，
公式对
也适合，所以
.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
的前
项和为
，
，
，
．
(1)写出数列
的前4 项；
(2)求出数列
的通项公式．
【答案】(1)
，
，
，
(2)
．
【详解】（1）因为
①，所以
②，
②－①得
，所以
，所以
，
所以
，
，
，
．
（2）当
，由
，得
，
，
，…，
，
所以
，即
，
又
，所以
．
当
时，
满足上式，故
．
14
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