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专题03 函数的奇偶性、周期性、对称性
目录
题型一： 函数奇偶性的判断...........................................................................................................3
题型二： 函数奇偶性求值...............................................................................................................5
题型三： 函数奇偶性求解析式.......................................................................................................7
题型四： 函数奇偶性求参数.........................................................................................................10
题型五： 函数奇偶性与不等式....................................................................................................12
题型六： 函数的周期性.................................................................................................................15
题型七： 函数的对称性.................................................................................................................18
题型八： 函数性质综合.................................................................................................................21
知识点一、函数的奇偶性
偶函数
奇函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如
果∀x∈D，都有－x∈D，且f ( －
x ) ＝
f ( x )
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如
果∀x∈D，都有－x∈D，且f ( －
x ) ＝
－
f ( x )
图象特
征
关于y 轴
对称
关于原点对称
知识点二、函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个
x∈D 都有x＋T∈D，且f ( x ＋
T ) ＝
f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个
函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
数就叫做f(x)的最小正周期．
知识点总结
1
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【常用结论与知识拓展】
1．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．
2．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0 处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那
么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
4．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对
称．
(2)若对于R 上的任意x 都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x
＝a 对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)
中心对称．
2
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题型一：函数奇偶性的判断
【要点讲解】(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既
不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于
± f ( x ) .
(2)图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点
( y 轴
) 对称
.
(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差为奇函数;奇
(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇
( 偶
) 函数
;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)
【例1】判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
（1）
，
，
；
（2）
，
；
（3）
；
（4）
．
【解答】解：（1）
，
，
，定义域关于原点不对称，故函数为非
奇非偶函数；
（2）
，
，
，
，故函数为偶函数；
（3）
，
，故函数为奇函数；
（4）
，满足
，故函数为奇函数．
【变式训练1】判断下列函数的奇偶性，并证明．
例题精讲
3
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（1）
；
（2）
；
（3）
，
，
；
（4）
；
（5）
；
（6）
，
．
【解答】解：（1）函数的定义域为
，关于坐标原点对称，且：
，函数
是奇函数．
（2）函数的定义域为
，关于坐标原点对称，且：
，而
，函数
是非奇非偶函数．
（3）函数的定义域不关于坐标原点对称，故函数
是非奇非偶函数．
（4）函数的定义域为
，关于坐标原点对称，且：
，函数
是奇函数．
（5）函数的定义域为
，
且
，关于坐标原点对称，且：
，
，
函数
是奇函数．
（6）函数的定义域关于坐标原点对称，且：
，
，
4
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函数
是偶函数．
题型二：函数奇偶性求值
【要点讲解】将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解
【例2】已知
是奇函数，当
时，
，则
的值为
．
【解答】解：因为
是奇函数，当
时，
，
所以
，
则
．
故答案为：
．
【变式训练1】已知
是奇函数，当
时，
，则
的值是
A．8
B．
C．4
D．
【解答】解：因为
是奇函数，当
时，
，
所以
（8）
，
则
（8）
．
故选：
．
【变式训练2】已知函数
为奇函数，且当
时，
，则
A．1
B．
C．2
D．
【解答】解：已知函数
为奇函数，且当
时，
，
则
（1）
．
故选：
．
【变式训练3】已知函数
为奇函数，当
时，
，且
，
5
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则
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：根据题意，函数
为奇函数，且
，则
（3）
，
又由当
时，
，则
（3）
，
即
，解可得
，
故选：
．
【例3】已知
，且
，
（5）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
关于
对称，
，
即
（5）
，得
（5）
，
故选：
．
【变式训练1】已知函数
，若
，则
（2）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，则令
，
又
，
则
（2），
则
（2）
，
若
，
6
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则
，
故选：
．
【变式训练2】已知函数
且
，则
的值为
．
【解答】解：因为
，所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：
．
题型三：函数奇偶性求解析式
【要点讲解】将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出
【例4】下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
是奇函数，最小正周期为
，在
上先增后减，故
错；
是偶函数，最小正周期为
，在
单调递减，故
错；
是偶函数，最小正周期为
，在
上单调递增，故
错；
是奇函数，最小正周期为
，在
上单调递增，故
正确．
故选：
．
【变式训练1】下列既是奇函数且在
上单调递增的函数为
A．
B．
C．
D．
7
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【解答】解：对于
，
为奇函数，在区间
上递减，在区间
上单调
递增，不符合题意；
对于
，
为奇函数，且在区间
上递增，在区间
上单调递减，
不符合题意；
对于
，
为奇函数，在
上单调递增，符合题意；
对于
，
为偶函数，不符合题意．
故选：
．
【变式训练2】已知定义在
，
上的奇函数
，当
时，
，
则
的值为
A．
B．8
C．
D．24
【解答】解：
在
，
上是奇函数，
，解得
，
又
时，
，
（4）
．
故选：
．
【例5】已知
为奇函数，当
时，
；则当
，
的解析式为
．
【解答】解：任取
，
，则
，
因为
是奇函数，所以
，
解得
．
8
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故答案为：
．
【变式训练1】已知函数
在
上为奇函数，且当
时，
，则当
时，
的解析式是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：任取
则
，
时，
，
，①
又函数
在
上为奇函数
②
由①②得
时，
故选：
．
【变式训练2】已知
为奇函数，
为偶函数，且满足
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，
，①，则
，
又由
为奇函数，
为偶函数，则有
，②，
①
②可得：
，
故选：
．
【例6】已知函数
同时满足以下两个条件：①对任意实数
，都有
；
9
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②对任意实数
，
，当
时，都有
．则函数
的解析式可能
为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对任意实数
，都有
，故函数为奇函数；
对任意实数
，
，当
时，都有
，即
，
即
，
，故函数单调递减．
对选项
单调递增，不满足；
对选项
单调递减，且函数为奇函数，满足；
对选项
单调递增，不满足；
对选项
不是奇函数，不满足．
故选：
．
【变式训练1】已知函数
同时满足性质：①
；②对于
，
，
，则函数
可能是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由函数奇偶性的定义，若函数
满足
，则函数
为奇函
数，
10
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由函数单调性的定义，若函数
满足
，
，
，则函数
在区间
上单调递增，
选项中四个函数定义域均为
，
，都有
，
对于
，
，故
为奇函数，满足性质①，
在
上单调递增，满足性质②；
对于
，由指数函数的性质，
为非奇非偶函数，在
上单调递减，性质①，②
均不满足；
对于
，
，故
为奇函数，满足性质①，
令
，
，解得
，
，
的单调递增区间为
，
，故
在
不单调，不满足性质
②；
对于
，由幂函数的性质，
为偶函数，在区间
，
单调递增，不满足性质①，
满足性质②．
故选：
．
题型四：函数奇偶性求参数
【要点讲解】利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0 得到关于参数的恒等式,由系数的对等
性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值
【例7】若函数
为
上的奇函数，则实数
的值为
A．
B．
C．1
D．2
【解答】解：根据题意，若函数
为
上的奇函数，
11
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则
恒成立，即
恒成立，
必有
，即
，
故选：
．
【变式训练1】已知函数
，若
是偶函数，则
A．
B．
C．2
D．4
【解答】解：函数
，
则有
．
因为
是偶函数，所以
，解得
．
故选：
．
【变式训练2】若
是奇函数，则
，
．
【解答】解：
，
若
，则函数
的定义域为
，不关于原点对称，不具有奇偶性，
，
由函数解析式有意义可得，
且
，
且
，
函数
为奇函数，
定义域必须关于原点对称，
，解得
，
，定义域为
且
，
由
得，
，
，
12
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故答案为：
；
．
【变式训练3】若函数
为奇函数，则
（a）
（结果用数字
表示）．
【解答】解：设
，则
，
是奇函数；
，
，
．
故答案为：2．
题型五：函数奇偶性与不等式
【要点讲解】(1)根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,
当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-
x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.
(2)根据单调性,将“f”去掉,结合定义域得到关于所求变量的不等式或不等式组.
【例8】已知函数
是定义在实数集
上的奇函数，当
时，
，则使不
等式
成立的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，当
时，
，
在区间
上为增函数且
，且
（2）
，
又由
为
上的奇函数，则
在区间
上为增函数，且
，
（2）
，解可得
，
13
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即原不等式的解集为
；
故选：
．
【变式训练1】已知
为常数）为奇函数，则满足
（1）的实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
为奇函数，
由奇函数性质可知
，
所以
，此时
单调递增，
由
（1）得
．
故选：
．
【变式训练2】设
是定义域为
的偶函数，且在
，
上单调递减，则满足
的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
是定义域为
的偶函数，
所以
，
又
在
，
上单调递减，
所以在
上单调递增，
若
，则
，解得
．
故选：
．
14
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【变式训练3】函数
是定义在
上的奇函数，且在
上单调递增，
（1）
，
则不等式
的解集为
A．
，
B．
C．
，
，
D．
【解答】解：因为函数
是定义在
上的奇函数，且在
上单调递增，
（1）
，
则不等式
可转化为
或
，
即
．
故选：
．
【变式训练4】已知定义在
上的函数
在
，
上单调递减，且
为偶函数，
则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
函数
为偶函数，
，即
，
函数
的图象关于直线
对称，
又
函数
定义域为
，在区间
，
上单调递减，
函数
在区间
上单调递增，
由
得，
，解得
．
15
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故选：
．
【变式训练5】定义在
上的偶函数
满足：对任意的
，
，
，有
，则
A．
（3）
（4）
B．
（3）
（4）
C．
（3）
（4）
D．
（4）
（3）
【解答】解：因为对任意的
，
，
，有
，
所以
在
，
上单调递减，又
为偶函数，
所以
在
上单调递增，则
（2）
（3）
（4），
又
（2），所以
（3）
（4）．
故选：
．
【变式训练6】已知函数
是定义在
上的奇函数，当
，
，则不等式
的解集是
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【解答】解：由题意可知
在
上单调递增，
（1）
，且
，
又函数
是定义在
上的奇函数，
，则有
在
，
上单调递增，
则
是在
上的增函数，
，
16
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则不等式
等价于
或
解得
或
．
故选：
．
题型六：函数的周期性
【要点讲解】(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周
期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具
有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.
【例9】已知
是定义在
上的偶函数，并满足
，当
，
，
则
A．5.5
B．
C．
D．2.5
【解答】解：
，
函数
的一个周期为4
是定义在
上的偶函数
当
，
故选：
．
【变式训练1】
是以2 为周期的函数，若
，
时，
，则
（3）
2
．
【解答】解：因为
是以2 为周期的函数，若
，
时，
，
17
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所以
（3）
（1）
．
故答案为：2．
【变式训练2】已知函数
满足
，且
，当
时，
，则
A．
B．0
C．1
D．2
【解答】解：
，
，
又
，
，即
，
，
，
（1）
．
故选：
．
【变式训练3】已知函数
的周期为1，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，函数
的周期为1，则
的周期为4，
依次分析选项：
对于
，
的周期为4，则有
，
正确；
对于
，
表示周期为1，而
的周期为4，
错误；
18
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对于
，由
，可得
，将
代替
，可得
，可得
的周期为8，而
的周期为4，
错误；
对于
，不能确定
的图象是否关于点
对称，即
不一定成立，
错误；
故选：
．
【变式训练4】已知函数
为定义在
上的奇函数，且
，当
时，
，则
A．2021
B．1
C．
D．0
【解答】解：因为
，
所以
，
所以
，所以函数的周期为4，
所以
（1），
因为函数
为定义在
上的奇函数，且当
时，
，
所以
（1）
，
所以
，
故选：
．
【变式训练5】设
是定义在
上周期为4 的奇函数，若在区间
，
，
上，
，则
．
【解答】解：因为
是奇函数，
19
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所以
（1），即
，
解得
，
又因为
的周期为4，
所以
（2），即
，
解得
，
所以
，
所以
，
故答案为：
【变式训练6】函数
是定义在
上的偶函数，且
，若
，
，
，则
A．4
B．2
C．1
D．0
【解答】解：因为
，且
是定义在
上的偶函数，
所以
，
令
，则
，
所以
，即
，
所以函数
的周期为2，
所以
（1）
．
故选：
．
【变式训练7】已知函数
的图象关于原点对称，且满足
，且当
20
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时，
，若
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为函数
的图象关于原点对称，
所以
为奇函数，所以
，
因为
，
所以
，
所以
是周期为4 的周期函数，
故
（1），又
（1），
所以由
，可得
，
而
，解得
．
故选：
．
题型七：函数的对称性
【要点讲解】(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出
函数的对称轴或对称中心.
(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;
②若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x=a+b
2
;
③若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);
④若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心:(a+b
2
,c
2).
21
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【例10】已知函数
，则
的图象
A．关于直线
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于原点对称
【解答】解：
，
则
，
所以
，
则函数
的图象关于点
对称，
故选：
．
【变式训练1】函数
的图象关于直线
对称，那么
A．
B．
C．函数
是偶函数
D．函数
是偶函数
【解答】解：由
的图象关于
对称可知，
，
，
把函数
的图象向左平移1 个单位可得
的图象，关于
对称，即为偶函
数，
把函数
的图象向右平移1 个单位可得
的图象，关于
对称，
故选：
．
【变式训练2】已知函数
的图象关于直线
对称，关于
对称，则下列说法正确
的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意得
，
，
22
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故
，
，
正确，
错误，
正确；
所以
，
正确．
故选：
．
【变式训练3】函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，给出下列四个结论：
①
图象的对称中心是
；
②
图象的对称中心是
；
③类比可得函数
的图象关于直线
成轴对称图形的充要条件是
为
偶函数：
④类比可得函数
的图象关于直线
成轴对称图形的充要条件是
为
偶函数．
其中所有正确结论的序号是
①③
．
【解答】解：函数
是奇函数，对称中心为
，将
图象向右平移2 个单
位，再向上平移1 个单位可得
的图象，
所以
图象的对称中心是
，故①正确，②错误，
若函数
的图象关于直线
成轴对称图形，图象向左平移
个单位长度可得
关于
即
轴对称，
所以
为偶函数，故③正确，④错误，
所以所有正确结论的序号是①③，
故答案为：①③．
23
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【变式训练4】设函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，当
，
时，
，若
（1）
，则
．
【解答】解：
是奇函数，
是偶函数，
，
则
，则
，
即
是周期为4 的周期函数，
则
时，
（1）
（1），则
（1）
，
（1）
，
，
即
（2）
，
则
，得
，
，
，
故答案为：
．
题型八：函数性质综合
【要点讲解】(1)根据奇偶性推得周期性;
(2)利用周期性转化自变量所在的区间;
(3)利用单调性解决相关问题.
【例11】已知函数
满足
，且
是偶函数，当
时，
，则
24
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A．
B．3
C．
D．
【解答】解：根据题意，由
是偶函数，得
，
令
，则
．
由
，令
，则
，
则有
，即
，所以函数
周期为4．
因为
，则有
，
所以
．
故选：
．
【变式训练1】已知
为
上的奇函数，
为
上的偶函数，且当
，
时，
，若
，
，
，则
，
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
为奇函数，得
，即
，
又由
为偶函数，得
，即
，
于是
，即
，因此
的周期
为8，
又当
，
时，
，则
在
，
上单调递增，
由
，得
的图象关于点
成中心对称，则函数
在
，
上单
调递增，
因此函数
在
，
上单调递增，由
，得
的图象关于直线
25
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对称，
（3）
（1），
，
，
，显然
，即有
，即
，
所以
，
，
的大小关系为
．
故选：
．
【变式训练2】已知函数
，则不等式
的解集
为
A．
，
，
B．
，
，
C．
D．
，
，
【解答】解：依题意，
，
，
故
，
故函数
的图象关于
中心对称，
当
时，
，
，
单调递减，
故
在
上单调递减，且
，
函数
的图象关于
中心对称，
在
上单调递减，
所以
，
而
，
故
或
或
，
解得
或
，
故所求不等式的解集为
，
，
．
26
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故选：
．
【变式训练3】已知函数
，
的定义域均为
，且
，
，若
为偶函数，且
（2）
，则
A．5
B．4
C．3
D．0
【解答】解：
，
以
为对称中心，且
（1）
，
，即
，
为偶函数，以
轴为对称轴，
，即
，
由
知，
，
，
，
从而
，即
，
的周期为4，
的周期为4，
故
（2）
（1）
．
故选：
．
【变式训练4】已知函数
，若
的最小值为
0，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：若
的最小值为0，
则等价为当
时，
恒成立，
27
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且存在
，使得
，同除以
，得
，
整理得
，
，
，当且仅当
时，取等号．
当
时，即
时，
，不合题意，
当
时，即
时，由判别式△
，得
，得
符
合题意．
综上
．
故选：
．
【变式训练5】已知函数
，
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
，若函数
有唯
一零点，则实数
的值为
A．
或
B．
或
C．
D．
【解答】解：因为
①，
又函数
，
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，
则
即
②，
①
②可得，
，
由于
关于直线
对称，
28
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则
关于直线
对称，
因为
为偶函数，则
关于
轴对称，
所以
关于
对称，
关于
对称，
由于函数
有唯一零点，
则必有
，且
，
即
，
解得
或
．
故选：
．
一．选择题（共6 小题）
1 ．定义在
上的偶函数
满足：对任意的
，
，
，有
，则
A．
（3）
（4）
B．
（3）
（4）
C．
（3）
（4）
D．
（4）
（3）
【解答】解：因为对任意的
，
，
，有
，
课后练习
29
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所以
在
，
上单调递减，又
为偶函数，
所以
在
上单调递增，则
（2）
（3）
（4），
又
（2），所以
（3）
（4）．
故选：
．
2．下列函数为偶函数且在
上单调递减的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于
：定义域为
，
，
，
，则
是
偶函数．
当
时，
，在
上单调递减，故
正确；
对于
，则
不是偶函数，故
错误；
对于
的对称轴为
，即
在
上单调递增，故
错误；
对于
的定义域为
，
，不关于原点对称，即
不是偶函数，故
错误．
故选：
．
3．已知函数
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递减，若
，
，
，则
，
，
大小关系为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由于函数
是定义在
上的偶函数，且在
，
为单调递减函数，
由于
，
，
，
又
，
故
．
30
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故选：
．
4．已知函数
是定义在
上的奇函数，且
的图象关于
对称．若
（1）
，则
（2）
（3）
A．3
B．2
C．0
D．50
【解答】解：因为函数
是定义在
上的奇函数，所以
，且
，
又
的图象关于
对称，则
，即
①，
则
（2）
，
（3）
（1）
．
在①中，
，则
，所以函数
的周期为4，
即
（4）
．则有
（1）
（2）
（3）
（4）
，
所以
（2）
（3）
（1）
（2）
（1）
（1）
（2）
（1）
（1）
（2）
（1）
（2）
故选：
．
5．若定义在
上的奇函数
在区间
上单调递增，且
（3）
，则满足
的
的取值范围为
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【解答】解：因为定义在
上的奇函数
在
上单调递增，且
（3）
，
所以
在
上也是单调递增，且
，
，
31
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所以当
，
，
时，
，当
，
，
时，
，
所以由
，可得
或
解得
或
，即
，
，
，
故选：
．
6 ．已知
是定义在
上的偶函数，且对任意的
，都有
恒成立，则关于
的不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
，
，
【解答】解：因为
是定义在
上的偶函数，
所以
的图象关于
对称，
因为对任意的
，都有
恒成立，
所以
在
，
上单调递减，
根据函数对称性可知，
在
上单调递增，
则关于
的不等式
可转化为
，
解得
．
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
7．下列函数中，既是偶函数，又满足对任意的
，
，当
时，都有
的是
32
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：依题意，函数
在
上单调递增，
对于
，由二次函数的性质可知，
为偶函数，且在
上单调递增，符合题意；
对于
，由反比例函数的性质可知，
为奇函数，且在
上单调递减，不合题
意；
对于
，由绝对值函数的性质可知，
为偶函数，且在
上单调递增，符合题
意；
对于
，函数
的定义域为
，
为非奇非偶函数，不合题意．
故选：
．
8．若函数
，
分别为
上的奇函数、偶函数，且满足
，则有
A．
B．
C．
（2）
（3）
D．
（2）
（3）
【解答】解：根据题意，函数
，
分别为
上的奇函数、偶函数，且满足
，①
则
，变形可得
，②，
联立①②可得：
，
，故
正确，
错误；
则
（2）
，
，
（3）
，
则有
（2）
（3），故
错误，
正确；
故选：
．
33
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三．填空题（共4 小题）
9．已知
是定义在
上的奇函数，且
在
，
上单调递减，
为偶函数，
若
在
，
上恰好有4 个不同的实数根
，
，
，
，则
24
．
【解答】解：由
为偶函数，则
，故
，
又
是定义在
上的奇函数，则
，
所以
，故
，即有
，
综上，
的周期为8，且关于
对称的奇函数，
由
在
，
上单调递减，结合上述分析知：在
，
上递增，
，
上递减，
，
上递增，
所以
在
，
的大致草图如下：
要使
在
，
上恰好有4 个不同的实数根，即
与
有4 个交点，
所以，必有两对交点分别关于
，
对称，则
．
故答案为：24．
10．设函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，当
，
时，
．若
（3）
，则
．
34
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【解答】解：由
为奇函数，
则
，①
由
为偶函数，
则
，②
由①可得：
（2）
，
由②可得：
（3）
（1），
又
（3）
，
则
，
即
，
由①，令
，则
（1）
，
即
，
即
，
又由①②可得：
，
即函数
为周期为4 的周期函数，
即
，
故答案为：
．
11．已知
是定义在
上的偶函数，
的图象是一条连续不断的曲线，若
，
，
，且
，
，则不等式
的
解集为
．
35
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【解答】解：令
，则
，
，
，且
，
根据题意，
，
所以
在
，
上单调递增，
又
是偶函数，所以
为
上奇函数，
所以
在
上单调递增，
由
，
得
，
即
，
所以
，
得
．
故答案为：
．
12．写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式：
（答案不唯一） ．
①定义域为
；②值域为
；③
是奇函数．
【解答】解：由题意满足条件的函数为
，
理由如下：因为
恒成立，所以函数的定义域为
，
则
，由
，
则
，所以
，则
，
所以函数
的值域为
，
36
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又
，
所以函数为奇函数，
故答案为：
（答案不唯一）．
四．解答题（共3 小题）
13．已知函数
是奇函数．
（1）求
的值，并求
的定义域；
（2）已知实数满足
，求的取值范围．
【解答】解：（1）
是奇函数．
，
，
解得
，
，其定义域为
；
（2）由
得，
在
上是减函数，
，
即
，
或
，
即
，
，
．
14．已知函数
．
37
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（1）求函数
的定义域；
（2）若
（a）
，求实数
的值；
（3）若
，求证：
为偶函数，并求
的解集．
【解答】解：（1）要使得
有意义，只需
，得
，故得
，
所以函数
的定义域为
；
（2）因为
（a）
，得
，即
，解得
；
（3）因为
，
由
，得
或
，则
的定义域为
，
，
，
又
，所以
为偶函数；
由
，得
，则
，所以
或
，
所以
的解集为
或
．
15．设
．
（1）判断函数
的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数
在其定义域上的单调性，并说明理由；
（3）若
，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数
为奇函数，证明如下：
由
，可得
，
所以函数
的定义域为
，关于原点对称，
38
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，所以函数
为奇函数．
（2）函数
在其定义域上单调递增，理由如下：
，
因为函数
在
上单调递增，
为增函数，
所以由复合函数的单调性可知
在定义域
上单调递增．
（3）
，则
，
所以
，
解得
，
即的取值范围是
．
39
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40
