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专题03 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）.................................2
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型......4
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型.....................................7
三、专项训练.........................................................................................................10
一、必备秘籍
一、含参问题讨论单调性
第一步：求
的定义域
第二步：求
（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于
进行求导得到
，对
初步处理（如通分），提出
的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为
的有效部分（如：
，则记
为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定
的正负.
第四步：确定导函数有效部分
的类型：
1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分
的图象辅助解题：
①令
，确定其零点
，并在
轴上标出
②观察
的单调性，
③根据①②画出草图
1
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2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
借助导函数有效部分
的图象辅助解题：
①对
因式分解，令
，确定其零点
，
并在
轴上标出这两个零点
②观察
的开口方向，
③根据①②画出草图
3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对
，求
②分类讨论
③对于
，利用求根公式求
的两根
，
④判断两根
，
是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出
草图
二、含参问题讨论单调性的原则
1、最高项系数含参，从0 开始讨论
2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论
3、考虑根是否在定义域内
二、典型题型
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
，讨论
的单调性.
【答案】答案见解析.
【详解】由函数
，可得
，
设
，可得
，
①当
时，
恒成立，所以
在
单调递增；
②当
时，令
，解得
，此时
单调递增，
令
，解得
，此时
单调递减，
综上，当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，讨论
的单调性.
【答案】答案见解析；
2
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【详解】由题可知
的定义域为
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，令
得
，
∴当
时，
，当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增；
综上，当
时，函数
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
3．（2023 上·四川成都·高三成都外国语学校校考开学考试）已知函数
，
(1)当
时，求
的最值；
(2)求
的单调区间．
【答案】(1)
，无最大值．
(2)答案见解析
【详解】（1）当
时
定义域为
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值即最小值，即
，无最大值．
（2）
定义域为
，且
，
当
时
恒成立，所以
在
上单调递减，
当
时，令
解得
，令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上可得：当
时
在
上单调递堿；
当
时
在
上单调递减，在
上单调递增．
4．（2022 上·湖南邵阳·高二统考期末）设函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线方程为
，求
；
(2)求函数
的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
3
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【详解】（1）由于切点在切线上，所以
，函数通过点
又
，根据导数几何意义，
；
（2）由可知
当
时，
则
；
当
时，
则
；
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
当
时，
单调递增区间为
，单调递减区间为
.
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
，
，讨论
的单调区间.
【答案】答案见解析
【详解】
的定义域为
，
，
若
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
若
，则
恒成立，
在
上单调递增.
综上，当
时，
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，讨论
的单调性．
【答案】答案见解析
【详解】由题设
且
，
当
时
在
上递减；
当
时，令
，
4
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当
时
在区间
上递减；
当
时
在
上递增．
所以当
时，
的减区间为
，无增区间；
当
时，
的增区间为
，减区间为
.
3．（2023·全国·高三专题练习）讨论
的单调性．
【答案】答案见解析
【详解】函数的定义域为：
，
．
（1）当
时，
，若
，则
；若
，则
；
∴
在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）当
时，
，若
或
，则
；若
，则
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增；
（3）当
时，
，若
或
，则
；若
，则
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减；
（4）当
时，
，∴
在
上单调递增；
（5）当
时，
，若
或
，则
；若
，则
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述：
（1）当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
（3）当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
（4）当
时，
在
上单调递增；
5
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（5）当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
4．（2023·全国·模拟预测）已知
.
(1)讨论函数
的单调性.
【答案】(1)答案见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意知，函数
的定义域为
，且
①当
时，因为
，所以
，所以
.
所以当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
②当
时，由
，解得
；由
0，解得
或
.所以
在
上
单调递减，在
，
上单调递增.
③当
时，
（当且仅当
时，取等号）恒成立，所以
在
上单调递增.
④当
时，由
，解得
；由
，解得
或
.
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增.
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）解：因为
，
所以
，
设
，则
，
设
，可得
，
可得
在
上单调递增，且
，
6
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所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
若
，则
，所以
，
在
上单调递增；
若
，则当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（2023 上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)见解析；
【详解】（1）因为函数
，所以定义域为：
.
，
当
时，
，则
在区间
上单调递增；
当
时，
，即
，
，
所以方程有两个实数根
，
.
①当
时，
，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
②当
时，
，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减；
综上所述：当
时，
在区间
上单调递增；
7
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当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
2．（2023 下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知函数
，其中
.
(1)令
，讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）
,定义域为
,
,
方程
的判别式
，
当
时，
，
恒成立，
所以
，
在
单调递增；
当
时，
，方程
有两个不等实根
，
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴当
或
时，
；当
时，
，
∴
在
单调递增；
在
单调递减.
3．（2023 上·安徽淮南·高三校考阶段练习）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)
.
8
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(2)详解见解析.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
则
，所以切线的斜率为
，又
，
所以该切线方程为：
，即
；
（2）函数
的定义域为
，
，
令
，则
.
当
或
即
时，
恒成立，
所以函数
在
上单调递增；
当
即
时，
令
或
，
令
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调
递减.
3．（2023 上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）
令
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，一元二次方程
的判别式为
，
当
时，方程有一个正根
，
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，方程有两个正根，分别为
，
当
，或
时，
，
当
时，
，
所以
在
，
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递减；
三、专项训练
1．（2024 上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数
，
其中a 是正数．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）因为
，
所以
．
①当
时，
，
在
上严格递增；
②当
时，由
得
或
，由
得
，
所以
在
单调递增，在
上单调递减，在
单调递增；
③当
时，由
得
或
，由
得
，
所以
在
单调递增，在
上单调递减，在
单调递增；
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2．（2023 上·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知
，
，其中是自然对数的底数.
(1)若
在
处取得极值，求
的值；
(2)讨论
的单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意可知
.
由已知得
，解得
，
此时
.
易知在区间
上，
；在区间
上，
即函数
在
处取得极小值，因此
.
（2）由
可知
，
所以可得
.
①若
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
②若
，即
，则
在
上单调递减；.
综上所述，当
时，
的减区间是
，
当
时，
的减区间是
，增区间是
3．（2023 上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数
，其中
是自然对数的底数.
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性，并写出相应的单调区间.
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【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当
时，
，
函数
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）
①当
时，
，函数
在
上单调递增；
②当
时，由
得
，
时，
单调递减；
时，
单调递增.
综上，当
时，函数
的单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
4．（2023 上·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知函数
，其中
．
(1)若
是函数
的极值点，求a 的值；
(2)若
，讨论函数
的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）
，
因为
是函数
的极值点，所以
，解得
，
当
时，
，
若
，则
，若
，则
或
.
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，即
是函数
的极值点.
故
．
（2）
，
，
当
时，令
，解得
或
，
12
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当
，即
时，
当
时，
，当
或
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
当
时，
当
时，
，当
或
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
当
，即
时，
，所以
在
上单调递减.
综上，
当
时，
在
上递减，在
上递增，在
上递减；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
5．（2023 上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当
时，此时
，定义域为
，
所以
易知
，
，
所以切线方程为：
，
整理得
.
（2）由题意得
，
①当
时，
，则
在
上单调递增；
13
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②当
时，当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减；
综上，①当
时，
在
上单调递增；
②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
6．（2023 上·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数
，其中
.
(1)讨论函数
的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）函数
定义域为
，求导得
令
，得
.
①当
时，
，
当
或
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时，
，所以
在
上单调递增；
③当
时，
，
当
或
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
7．（2023 上·河南·高三西平县高级中学校联考阶段练习）设函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
14
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【答案】(1)答案见详解
【详解】（1）依题意可得
的定义域为
，
由
，
则
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
若
，
，此时
单调递减；
若
，
，此时
单调递增；
综上，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
8．（2023 上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数
，
为
的导函数．
(1)当
时，讨论函数
的单调性
【答案】(1)见解析
【详解】（1）当
时，
，
，
，
当
时，
在区间
上恒大于0，此时函数的单调递增区间是
；
当
时，设
，其中
，
当
，函数单调递增，
当
，
，函数单调递减，
当
时，
，
当
时，
，此时
恒成立，函数的单调递增区间是
，
当
时，
，
15
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当
且
，
所以
在区间
上恒大于0，即函数的单调递增区间是
，
综上可知，
时，函数的单调递增区间是
，
当
时，函数的单调递减区间是
，函数的单调递减区间是
；
9．（2023 上·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知函数
(1)求函数
的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）因为
，所以
①当
时，
恒成立，
在
单调递增，
②
时，
，
由韦达定理可得
，
， 所以
有一正一负两个实数根，
解得
或
（舍去）
所以
在
单调递增，
在
上单调递减，
综上所述：当
时，
在
单调递增，
时
在
单调递增，在
单调递减．
10．（2023 下·河北石家庄·高三校联考期中）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）
，
令
，则
．
当
，即
时
，即
恒成立，则
在
上单调递增；
当
时，
、
在
上均单调递增，所以
在
上单调递增；
16
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当
时，由
得
，
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
综上，当
时，
的单调递增区间是
，无递减区间；
当
时，
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
．
17
