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专题03 均值不等式及不等式综合
目录
题型一：公式直接用.............................................................................................................................................................1
题型二：公式成立条件.........................................................................................................................................................3
题型三：对勾型凑配.............................................................................................................................................................6
题型四：“1”的代换：基础代换型...................................................................................................................................7
题型五：“1”的代换：有和有积无常数型.......................................................................................................................9
题型六：“1”的代换：有和有积有常数型.....................................................................................................................10
题型七：分母构造型：分母和定无条件型.......................................................................................................................12
题型八：分母构造型：分离型型.......................................................................................................................................14
题型九：分母构造型：一个分母构造型...........................................................................................................................16
题型十：分母构造型：两个分母构造型...........................................................................................................................17
题型十一：分离常数构造型...............................................................................................................................................19
题型十二：换元构造型.......................................................................................................................................................21
题型十三：分母拆解凑配型...............................................................................................................................................23
题型十四：万能“K”型....................................................................................................................................................26
题型十五：均值不等式应用比大小...................................................................................................................................27
题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型...................................................................................................................30
题型十七：因式分解型.......................................................................................................................................................32
题型十八：三元型不等式...................................................................................................................................................34
题型一：公式直接用
1．（22-23 高三·北京·阶段练习）若
，且
，则在下列四个选项中，最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】（1）先判断
，可得
，所以
，排除A、D，再用作差法比较B、C 的大小，
可得答案.
（2）也可以令
，
取特殊值进行验证排除.
【详解】方法一：∵
且
，∴
，可排除A；又
，排除D；
基本不等式：≤；
(1) 基本不等式成立的条件：a >0
，
b >0
；
(2) (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝
b .
(3) 基本不等式的变形：
①a＋b≥2，常用于求和的最小值；
②ab≤2，常用于求积的最大值；
1
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∵
，
即
，排除B.
故选：C.
方法二：因为
且
，可取
，
.
则：
，
，因为
.
故选：C.
2．（22-23 高三·全国·课后作业）若
，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可.
【详解】因为
，显然有
，故A 正确；
而
，所以
，故B 正确；
又
，所以
，故C 正确；
不妨令
则
，故D 错误.
故选：D.
3．（22-23 高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）设
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．18
B．9
C．6
D．3
【答案】C
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】∵
∴
，（当且仅当
，取“=”）
故选：C.
4．（23-24 高一下·河南·开学考试）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确．
【详解】因为
，所以
，则
，则A 选项错误；
因为
，所以
，又
0，则
，即
，所以
，即
，则B
选项正确；
当
时，
，则C 选项错误；
因为
，由B 选项可知
，所以
，则D 选项错误.
故选：B
5．（2024·重庆·模拟预测）设
且
，则
的最大值为
【答案】
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解.
2
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【详解】因为
且
，则
，
解得：
，当且仅当
，
时等号成立，所以
的最大值为
，
则
，
即
的最大值为
故答案为：
题型二：公式成立条件
1．（23-24 高三·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
举反例可判断A 错误；由基本不等式可得B 正确；由基本不等式和正弦函数的值域可判断C 错误；由基本
不等式和完全平方可判断D 错误.
【详解】
A：当
时，
，故A 错误；
B：
，当且仅当
，即
时取等号，故B 正确；
C：当
时，
，
，当且仅当
，即
时取等号，因为
，故C 错误；
D：
，当且仅当
，
时取等号，又
，故D
错误；
故选：B.
2．（23-24 高三·安徽六安·开学考试）设
，
，则“
”是“
”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解.
【详解】∵
，
，∴
，当且仅当
时等号成立，
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3
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若
时，
，则
，
即“
”是“
”的必要不充分条件，
而
无法推出
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：
.
3．（23-24 高三·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若
，且
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．对任意
，
均成立.
【答案】A
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项，
，当且仅当
时等号成立，A 选项正确.
B 选项，当
时，
，所以B 选项错误.
C 选项，当
时，
，所以C 选项错误.
D 选项，当
时，
，
不成立，所以D 选项错误.
故选：A
4．（多选）（23-24 高三·四川眉山·期中）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
且
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可判断ABC 选项，利用特殊值法可判断D 选项.
【详解】对于A 选项， 若
，则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，A 对；
对于B 选项，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，B 对；
对于C 选项，若
且
，则
，
4
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当且仅当
时，即当
时，等号成立，C 对；
对于D 选项，若
，取
，则
，D 错.
故选：ABC.
5．（多选）（23-24 高三·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最大值是
B．函数
的最小值是2
C．函数
的最小值是6
D．若
，则
的最小值是8
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项，对于函数
，
，
当且仅当
时等号成立，所以A 选项正确.
B 选项，
，
当
无实数解，所以等号不成立，所以B 选项错误.
C 选项，对于函数
，
，
，
当且仅当
时等号成立，所以C 选项正确.
D 选项，由基本不等式得
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，所以D 选项正确.
故选：ACD
6．（多选）（23-24 高三·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当
时，
B．若
，则函数
的最小值等于
C．若
，则
的取值范围是
D．
的最大值是
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式知识即可判断，需注意“一正二定三相等”.
5
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【详解】当
时，重要不等式
成立，故A 正确；
选项中对于均值不等式的运用出错，不满足“一正二定三相等”中的“积为定值”条件，故B 错误；
由于
，当且仅当
时等号成立.
因此
，
即
的取值范围是
，故
正确；
由于
，
根据均值不等式得
，
当且仅当
，即
时等号成立，
即
有最大值为
，故D 正确.
故选：ACD.
题型三：对勾型凑配
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数
，则当
时，
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意当
时，
，等号成立当且仅当
.
故选：B.
2．（23-24 高三 ·陕西西安·阶段练习）函数
的最小值为（ ）
A．2
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.
1.对勾型结构：
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如
，
2.对勾添加常数型
对于形如
则把
转化为分母的线性关系
可消去
不必记忆
直
6
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【详解】由
可得
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故选:D
3．（21-22 高二上·陕西咸阳·期中）已知函数
的定义域为
，则
的最大值
为（ ）
A．5
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】令
之后用基本不等式求函数的最值.
【详解】
令
当且仅当
即
时取得.
故选：C
4．（23-24 高三·吉林·阶段练习）已知
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.
【详解】由
，则
，
当且仅当
时等号成立，故最小值为
.
故选：C
5．（23-24 高三·广东佛山·模拟）函数
，
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】C
【分析】利用配凑法结合基本不等式求解即可.
【详解】因为
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以函数
，
的最小值为.
故选：C.
题型四：“1”的代换：基础代换型
7
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1．（2022 高三上·全国·专题练习）若
，
，
且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【详解】将
展开利用基本不等式求得最小值可得答案.
【分析】因为
且
，所以
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为2.
故选：A.
2．（23-24 高三·贵州黔南·阶段练习）已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为9.
故选：C
3．（23-24 高三·河南南阳·阶段练习）若
，
，则的
最小值是（ ）
A．2
B．4
C．3
D．8
【答案】B
【分析】利用常数代换的思想和基本不等式即可求得.
【详解】因
，
，故由
，
当且仅当
时，等号成立.由
解得：
即当且仅当
时，
取最小值为4.
故选：B.
4．（22-23 高一下·湖南邵阳·阶段练习）设
，
，若
，则
的最小值为（ ）
“1”的代换
利用常数
代换法
多称之为“1”的代换
8
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A．
B．4
C．9
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】
，
当且仅当
时等号成立.
故选：D
5．（22-23 高三·内蒙古呼和浩特·期中）已知x，y 为正实数，且
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】结合基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，
，
，
当且仅当
时等号成立.
故选：B
题型五：“1”的代换：有和有积无常数型
1．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．6
D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】
，
，由
得
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：A
2．（23-24 高二上·陕西西安·期中）已知
且
，则
的最小值为（ ）
有和有积无常数
形如
，可以通过同除ab，化为
构造“1”的代换求解
9
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A．
B．10
C．9
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由
可得，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取得等号，
所以
的最小值为9，
故选:C.
3．（2022·四川乐山·一模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得，
，再根据基本不等式乘“ ”法即可得最小值.
【详解】由题可知
，乘“ ”得
，当且仅
当
时，取等号，则
的最小值为
.
故选：A
4．（21-22 高三·山西太原·阶段练习）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，
，
∴
，当且仅当
且
时等号成
立，
∴
的最小值为
，
故选：D．
5．（23-24 高一下·广西·开学考试）已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题干等式变形得出
，可得出
，将代数式
与
相乘，展开
后利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】因为
且
，
，所以
，
则
，
当且仅当
时，即当
，
时，等号成立.
10
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因此，
的最小值是
.
故选：C.
题型六：“1”的代换：有和有积有常数型
1．（23-24 高三·广西·模拟）已知
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得关于
的一元二次不等式，解不等式即可.
【详解】
，则有
，
可得
，即
4，当且仅当
时，等号成立.
所以
的最大值为4.
故选：B
2．（23-24 高三·甘肃·模拟）若正数a，b 满足
，则ab 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式
将等式转化为关于
的不等式即可求解.
【详解】
，
，即
.
，又因为a，b 为正数，所以
.
，即
，当且仅当
等号成立，
故
的取值范围是
.
故选：C.
3．（23-24 高三·江苏·模拟）已知正实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】C
【分析】注意到不等式
，所以可将条件等式转换为关于
的一元二次不等式，从而即可得
解.
【详解】注意到
，等号成立当且
仅当
，
有和有积有常数
形如
求
型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的
“和”的系数系数，如下：
11
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从而
，
因为
，
是正实数，
所以解得
或
（舍去），
即
的最小值是4，等号成立当且仅当
.
故选：C.
4．（23-24 高三·安徽阜阳·模拟）已知正实数
满足
，记
的最小值为
；若
且
满足
，记
的最小值为
.则
的值为（ ）
A．30
B．32
C．34
D．36
【答案】C
【分析】由条件
，利用基本不等式可求得
，可得
的值，又由“1”的代换可求得
的最小值，可得
的值，进而得解.
【详解】根据题意，∵
，当且仅当
时等号成立，
令
，有
，
解得
，即
，
；
，
，当且仅当
，即
，
时等号成立，
；
故选：C.
5．（23-24 高三·福建莆田·模拟）已知
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】由
，得
，又
，
，即
，
，
则
，即
，解得
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，所以
，故选：C.
题型七：分母构造型：分母和定无条件型
无条件分母和定型
型
，
满
足
（
定
值
）
，
则
可
以
构
造
12
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1．（2020 高三·全国·专题练习）
的最小值为（ ）
A．2
B．16
C．8
D．12
【答案】B
【分析】先构造
，再利用均值不等式求最值即可.
【详解】解：∵
，
∴
，
当且仅当
，即
，
时“=”成立，
故
的最小值为16.
故选：B.
【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了构造均值不等式求最值，属基础题.
2．（21-22 高三·福建莆田·期末）当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．6
D．
【答案】B
【分析】利用
， 借助基本不等式计算即可.
【详解】因为
，所以
,
,
因为
，
所以
，
，
当且仅当
时，即
时，
取得最小值.
故选：B.
3．（2024·山西临汾·三模）若
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．
【详解】因为
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，取得最小值
，
故选：D．
4．（22-23 高三·江苏南通·模拟）函数
（
）的最小值是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值
条件.
【详解】由
，可得
，
，
仅当
，即
时等号成立，故
的最小值为
.
故选：B
5．（23-24 高三·四川成都·期中）若
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意确定
，且
，将
变形为
，
展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】因为
，故
，则
，
故
，
当且仅当
，即
时等号成立，即
的最小值为
，故选：D
题型八：分母构造型：分离型型
1．（21-22 高三·辽宁沈阳·模拟）若不等式
在区间
上有解，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
对勾分离常数型（换元型）
型，可以通过换元
分离降幂，转化为对勾型
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【答案】C
【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可.
【详解】令
，所以
，
设
，
，
函数
在
时，函数单调递减，在
时，函数单调递增，
因为
，
，所以函数
在
时，最大值为
，
要想不等式
在区间
上有解，只需
，
故选：C
2．（23-24 高三·海南海口·阶段练习）若函数
在
是增函数，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】变形换元得到
，
，考虑
，
和
三种情况，结合对勾函数
性质得到不等式，求出实数
的取值范围.
【详解】
，
令
，故
，
，
当
，即
时，
在
上单调递增，满足要求，
当
，即
时，
在
上单调递增，满足要求，
当
，即
时，由对勾函数性质得到
在
上单调递增，
故
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
.
故选：A
3．（2020 高三·河北石家庄·阶段练习）已知
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．2
D．7
【答案】A
【分析】化简
为
，利用均值不等式求解即可.
【详解】
，
，
，
15
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当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
故选：A
4．（20-21 高三·辽宁大连·模拟）“
”是“关于
的不等式
（
）有解”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用基本不等式求得当
时，
的最小值为，结合充分条件、必要条件的判定方法，
即可求解.
【详解】由题意知
，可得
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以当
时，
的最小值为，
当
时，可得关于
的不等式
有解成立，即充分性成立，
反之：关于
的不等式
有解时，
不一定成立，即必要性不成立，
所以“
”是“关于
的不等式
有解”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（20-21 高三·浙江绍兴·期中）若
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
【答案】A
【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】因
，则
，
于是得
，当且仅当
，即
时取
“=”，
所以当
时，
有最大值
.故选：A
题型九：分母构造型：一个分母构造型
16
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1．（23-24 高三·浙江温州·模拟）已知非负实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意可得
且
，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为非负实数
满足
，
显然
，则
，所以
，
则
，当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：B
2．（23-24 高一下·福建南平·期中）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.
【详解】因为
，可得
，
且
，
，可知
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为1.
故选：B.
3．（23-24 高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
单分母
形如
，求
型，则可以凑配
，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配。
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【答案】B
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】实数
，
，由
，得
，
因此
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：B
4．（23-24 高三·浙江·模拟）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】D
【分析】根据题意，以
与
为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案.
【详解】由
得
，其中
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，则
，
时，等号成立，
故
的最小值为9.
故选：D
5．（23-24 高三·广东肇庆·模拟）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】C
【分析】通过配凑，借助基本不等式计算即可.
【详解】因为
，
，所以
，
，
当且仅当
，即
，
时，
有最小值
.
故选：C.
题型十：分母构造型：两个分母构造型
18
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1．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得
，根据“1”的代换化简得出
.进而根据
基本不等式，即可求得答案.
【详解】因为
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
．故选：C．
2．（23-24 高三·浙江·期中）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．9
D．
【答案】C
【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可．
【详解】因为
，所以
，
则
当且仅当
，即
时，等号成立．
故选：C．
3．（23-24 高三·江苏徐州·阶段练习）已知正实数
满足
，不等式
恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当
时，
，即可求得实数m 的取值范围
是
.
【详解】易知
，所以可得
；当且仅当
，即
时，等号成立；
双分母
形如
，求
型，则可以凑配
，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配。
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依题意需满足
，所以
.故选：D
4．（23-24 高三上·江苏南京·阶段练习）已知非负实数
，
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，利用基本不等式“1”的代换求其最小值，注意取值条件.
【详解】非负实数
，
满足
，则
，
则
，当且仅当
，即
时等号
成立，
所以当
时，
的最小值为
.故选：D
5．（23-24 高三·湖北·阶段练习）若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用乘“1”法即可求解.
【详解】
可变形为
，
所以
，
当且仅当
即
，
时取等号，故选：C
题型十一：分离常数构造型
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化
为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
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1．（23-24 高三·广东佛山·阶段练习）已知正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为
，所以
，
则
．
因为
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，故
的最小值是
．
故选：A.
2．（23-24 高三上·广东东莞·期中）已知a，b 为正实数，且
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】正实数
满足
，则
，当且仅当
，即
时取等号，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：D
3．（23-24 高三·全国·期末）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．5
【答案】C
【分析】根据题意整理可得
，再利用基本不等式求解即可得.
【详解】由于
，
，且
，
则
，当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
.故选：C.
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4．（23-24 高三·湖北武汉·模拟）已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】将已知化为
，
，再利用
基本不等式即可求解.
【详解】
，
，
，
，当且仅当
，且
，即
时等号成立，
的最小值为
.故选：A
5．（22-23 高一下·云南·阶段练习）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】整理得出
，由已知变形可得
，展开
后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】因为
，
，则
，因为
，则
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为.故选：B.
题型十二：换元构造型
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1．（23-24 高三上·四川巴中·开学考试）已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】B
【分析】令
，结合
可得
，由此即得
，
展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意
得，
，
令
，则
，
由
得
，
故
，
当且仅当
，结合
，即
时取等号，
也即
，即
时，等号成立，
故
的最小值为9，
故选：B
2．（23-24 高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y 满足
，且
，则
的最小值
为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】先得出
，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果.
【详解】设
，
则
且
，解得
.
所以
，
因为
，所以
，
当
时取等号，即
且
，
若已知
（定值），
型，则可通过线性换元，令
，反解出
代入条件等式
中，换元为简单的条件不等式
23
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解得
.
故选：B.
3．（21-22 高三·河南洛阳·阶段练习）已知正数
，
满足
，则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算
【详解】
，
令
，
，则
，
，
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，故
有最小值
．
故选：B
4．（22-23 高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数
，
满足
，则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.
【详解】
，
令
，
，则
，
，
，
当且仅当
且
，即
，
时，等号成立，
所以
，故
有最小值
.
故选：D.
5．（2022·安徽合肥·模拟预测）已知正数x，y 满足
，则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.
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【详解】令
，
，则
，
即
，
∴
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故选：A.
题型十三：分母拆解凑配型
1．（22-23 高三上·河北保定·阶段练习）不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可得
，则有
，所以
，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】
方程
有两个不等的实数根，
，
，即
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：C
凑配拆解型
形如
，求
型，则可以凑配
，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配
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2．（22-23 高三·河北承德·期末）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．12
D．10
【答案】B
【分析】利用
得出
，结合基本不等式求解.
【详解】因为
，所以
，而
，
，当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：B
3．（19-20 高三上·陕西榆林·阶段练习）已知
的值域为
，当正数
满足
时，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据值域计算
，变换
，利用均值不等式得
到答案.
【详解】
，当
时，函数有最小值
，故
；
即
，
，
当
，即
，
时等号成立.
故选：
.
【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．（2024·四川成都·模拟预测）若
是正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】观察等式分母可知
，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.
【详解】因为
，
当且仅当
时取等号，
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所以
的最小值为
.
故选：A
5．（23-24 高三下·河北·开学考试）已知
，
均为正实数，且满足
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先将
化为
，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.
【详解】因为
，
均为正实数，且
，得
，
所以
，
又
，
当且仅当
即
时取等号，所以
.
故选：B.
题型十四：万能“K”型
1．（22-23 高三上·江苏南京·模拟）已知正实数
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.
【详解】因为
，所以
,
所以
，
即
所以
，解得
，
当且仅当
一般情况下的“万能K 法”
设K 法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0 确定最值。
求谁设谁，构造方程用均值
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，解得
或
时等号成立，
所以当
时
有最大值为9.
故选:D.
2.（2022·全国·高一课时练习）已知
为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，化简得到
，结合基本不等式，即可
求解.
【详解】由题意，可得
，
则有
，解得
，
当且仅当
，
取到最小值.
故选：B.
3.（2022 秋·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）已知正数
满足
，则
的最大
值是 .
【答案】
【分析】令
，则
，
，利用基本不等式，并结合一
元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案.
【详解】令
，因为
，
，所以
.
则
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立.
所以
，即
，解得
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
4.（21-22 高三上·湖北襄阳·期中）若正数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】由题意可得
，化简利用基本不等式可
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得
，从而可求出
的最小值.
【详解】解：
，
，
，
当且仅当
时等号成立，
，解得
，
的最小值为
故选：C
题型十五：均值不等式应用比大小
1．（23-24 高三下·全国·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，由导数分析函数
在
上单调递减，所以得到
，得到
，作差比较
的大小，利用基本不等式比较大小即可.
【详解】设
，则
在
上单调递减，
所以
，所以
，
，
，
，
所以
，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数
，由导数分析函数
在
上
单调递减，所以得到
，利用基本不等式比较大小即可.
2．（2023·河南洛阳·一模）下列结论正确的是（ ）
几个重要不等式
（1）
_
（
）；
（2）
（
）；
（3）
2（
）；
（4）
_
_ 或
（
）；
（5）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用作差法、对数运算公式及基本不等式可比较
与
，再运用构造函数
研究其单调性可比较
与
.
【详解】∵
，
，
∴
，所以
.
∵
∴比较
与
的大小，即比较
与
的大小.
令
，则
.
令
，则
.
所以
在
上单调递减，
所以当
时，
，所以
，所以
在
上单调递减.
又因为
，
所以
，即
.所以
，即
.
综上所述，
.
故选：B.
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
3．（22-23 高三·江苏常州·模拟）若
且
，设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将
与
常数进行比较，然后通过
与比较大小，再通过基本不等式进行放缩，最后
通过
放缩
【详解】
，可得：
，
，
可得：
且
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由基本不等式，可得：
又
，可得：
，且
，
可得：
，即
故选：A
4．（2022·全国·模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b 的大小，
从而得到a，b，c 的大小关系．
【详解】分别对
，
，
两边取对数，得
，
，
．
．
由基本不等式，得:
，
所以
，
即
，所以
．
又
，所以
.
故选：D．
5．（23-24 高三·浙江温州·模拟）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断出
，
，然后根据作差法结合基本不等式比较
.
【详解】由题意，
，
，
，
由换底公式，
，
，
由于
，根据基本不等式，
，
故
，即
，于是
.故选：A
题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型
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1．（22-23 高三·福建厦门·阶段练习）已知不等式
对满足
的所有正实数
a，b 都成立，则正数x 的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【分析】先利用基本不等式证得
（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得
，结合题意得到
，利用二次不等式的解法解之即可得到正数
的最小值.
【详解】因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
因为
为正实数，所以由
得
，即
，
所以
，
当且仅当
，且
，即
时，等号成立，
所以
，即
，
因为
对满足
的所有正实数a，b 都成立，
所以
，即
，整理得
，
解得
或
，由
为正数得
，
所以正数
的最小值为.
故选：B.
2．（23-24 高三·甘肃兰州·期末）对任意实数
，不等式
恒成立，则实数
的最大值（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】
恒成立：
①若
在
上恒成立，则
；
②若
在
上恒成立，则
；
③若
在
上有解，则
；
④若
在
上有解，则
；
函数最值，符合均值不等式条件的，可以构造均值不等式放缩求最值
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首先不等式变形为
恒成立，再利用两次基本不等式求
的最小值，即可求解
的取值.
【详解】不等式
恒成立，可转化为
恒成立，其中
，
令
，
，
，
第二次使用基本不等式，等号成立的条件是
且
，
得
且
，此时第一次使用基本不等式
，说明两次基本不
等式能同时取得，
所以
的最小值为，
即
，则
，
所以实数
的最大值为
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求
的最值时，需变形为
，再通过两次基本不等式求最值.
3．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）不等式
对所有的正实数
,
恒成立，则的
最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】由题意可得
，令
，则有
，
，结
合基本不等式求得
，于是有
，从而得答案.
【详解】解：因为
,
为正数，所以
，所以
，则有
，令
，则
，所以
，当且仅当
时，等号成立，所以
，
，又
，所以
，即
，所以
的最
33
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小值为1，所以
，即的最大值为1.故选：D.
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得
解.
4．（22-23 高三上·河南郑州·模拟）已知正数a，b 满足
，若
恒成立，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先参变分离得
，再利用
，与
相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.
【详解】依题意，
．又
，而
，
当且仅当
，即
，
时，前后两个不等号中的等号同时成立，所以
的取值范围为
故选：
题型十七：因式分解型
1.（2023·全国·高三专题练习）已知正数
，
满足
，则
的最小值是 ．
【答案】10
【解析】将已知等式化为
，所求式子化为
，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故答案为：10
2.（22-23 高三上·江西吉安·模拟）已知实数
，
满足
，
，且
，则
的最大
值为（ ）
A．10
B．8
C．4
D．2
【答案】B
【分析】由
，变形为
，设
，利用基本不等式得到
，
进而化为
求解.
【详解】解：由
，变形为
，设
，
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：
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∵
，当且仅当
时，取等号，即
，
∴
，∴
，即
，
，∴
，∴
，
此时，
，即
，
时，
的最大值为8.故选：B.
3.（2023 高三·全国·专题练习）已知
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得
，结合条件可得
，进而即得.
【详解】因为
，由
，可得
，又
，
可得
，化为
，
解得
，则
的取值范围是
.故选：A.
4.（2023·全国·模拟预测）已知实数
、
、满足
，则
的最小值为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】设
，由已知推出
，将多变量问题转化为单变量问题，结合基
本不等式即可求得答案.
【详解】设
，则
，
，
则
，则
，
即有
，
故
，
当且仅当
，即
或
时取等号，
验证，
时，
，则
，符合题意，；
时，
，则
，
，符合题意，
故选：C
5.（22-23 高三上·吉林·开学考试）已知
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【答案】D
【分析】对原式因式分解得
，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】由
，得
，
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即
，所以
，当且仅当
，
即
时，等号成立，所以
的最小值是4.
故选：D.
题型十八：三元型不等式
1.（20-21 高三上·北京·强基计划）已知x，y，z 是非负实数，且
，则
的
最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】
利用基本不等式可求最大值.
【详解】
，
，
，
所以
，
，
因此所求代数式的最大值为1．
故选：A.
2．（21-22 高三·浙江温州·模拟）已知
且
，
，
，则
的
最小值为
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】A
【详解】∵
，∴
，
∵
，
即
,即
，
∴
，
即
解得
或
(舍)，
当且仅当
时取等号．
故选A.
点睛：由
≥b≥c，
+b+c=12 可得
≥4，利用（
-b）（
-c）≥0 得出
，故而45≥bc+
（12-
）=
，从而解出
的范围．
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构
的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
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3．（2023·安徽滁州·二模）若a，b，c 均为正数，且满足
，则
的最小值
是（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】
，
因为a，b，c 均为正数，
所以有
，
当且仅当
时取等号，即
时取等号，
故选：C
4．（22-23 高三·江苏常州·阶段练习）实数a，b，c 满足
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】
，
，
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
的最小值为1，故选：B
【点睛】关键点睛：利用因式分法，得到
是解题的关键.
5．（22-23 高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知实数
、
、满足
，则
的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可得
，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得
的最大值.
【详解】因为
，所以，
，
因为
，可得
，故当
时，
取最大值.
故选：A.
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