文档文本内容
难点专题05 函数的基本性质及导数综合
（40 题难题）（10 单选10 多选10 填空10 大题）
1. 周期性（差为常数有周期）
①若
，则
的周期为：
②若
，则
的周期为：
③若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
④若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
2. 对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若
，则
的对称轴为
②若
，则
的对称轴为
点对称
①若
，则
的对称中心为
②若
，则
的对称中心为
3. 周期性对称性综合问题
①若
，
，其中
，则
的周期为：
②若
，
，其中
，则
的周期为：
③若
，
，其中
，则
的周期为：
4. 奇偶性对称性综合问题
①已知
为偶函数，
为奇函数，则
的周期为：
②已知
为奇函数，
为偶函数，则
的周期为：
5. 导函数与原函数的关系
单调递增，
单调递减
6. 极值
（1）极值的定义
在
处先↗后↘，
在
处取得极大值
在
处先↘后↗，
在
处取得极小值
（2）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：
是
为极值点的必要非充分条件
7. 恒成立问题常见类型
假设
为自变量，其范围设为
，
为函数；
为参数，
为其表达式，
（1）
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
（2）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
②
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
8. 能成立（有解）问题常见类型
假设
为自变量，其范围设为
，
为函数；
为参数，
为其表达式，
（1）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
（2）若
的值域为
①
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
②
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
9. 端点效应的类型
1.如果函数
在区间
上,
恒成立,则
或
.
2.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
),则
或
.
3.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
,
则
或
.
10. 洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
11. 常见的指对放缩
，
，
，
12. 常见的三角函数放缩
13. 其他放缩
，
，
，
，
，
，
14. 常见函数的泰勒展开式
（1）
，其中
；
（2）
，其中
；
（3）
，其中
；
（4）
，其中
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
15. 常见函数的泰勒展开式的结论
结论1
．结论2
．结论3
（
）．
结论4
．
结论5
；
；
．
结论6
；结论7
结论8
．结论9
．
16. 拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得
．
拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线
上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行
于曲线两端的连线．
一、单选题
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线
与
有公共的切线，则
的最大值为
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·海南三亚·一模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．不存在
，使得
的图象与
轴相切
B．存在
，使得
有极小值
C．若
，则函数
有且仅有
零点
D．若
，则
4．（2025·广东惠州·模拟预测）已知
，若
有三个零点，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为
的函数
，
满足
，
，
，若
，则下列说法错误的是（ ）
A．
的图象关于y 轴对称
B．
为
的一个周期
C．
D．
6．（2025·江苏·模拟预测）已知
和
都是定义在
上的奇函数，设
，则
（ ）
A．
不可能是增函数
B．
不可能是偶函数
C．
D．
7．（2025·广东·模拟预测）已知函数
，若关于
的不等式
在区
间
上恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·重庆·模拟预测）已知
，若函数
存在两个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·河北沧州·模拟预测）若方程
在
上有解，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·湖北·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2025·辽宁鞍山·一模）已知
，
，
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
仅存在一个零点
C．
在
处取得极大值
D．
图象对称中心为
12．（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数
，则（ ）
A．当
在
上单调递增时，
B．当
时，
为曲线
的切线
C．点
是曲线
的对称中心
D．当
时，
的极大值点
13．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
有极值，且导函数
的
极值点
是
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
14．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．若
，则
B．
可以有2 个极值点
C．若
，则
是增函数
D．若
有两个零点
，则
15．（2025·全国·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域为
，若
与
均为偶函
数，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．4 是
的一个周期
C．
D．
的图象关于点
对称
16．（2025·广东广州·模拟预测）若
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·全国·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．若
是
的极小值点，则
在
上单调递减
B．若
存在极值点
，且
（其中
），则
C．若
，过点
作函数
的切线最多有2 条
D．若
在
上的最大值为
，则
的最小值为2
18．（2025·陕西西安·一模）已知函数
，其中
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
是
的极小值点
C．若关于
的方程
有3 个不同的实数根，则
D．若对任意
都有
，则
19．（2025·江苏·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．曲线
关于直线
对称
B．
的极大值为
C．存在
，
D．
有最小值，无最大值
20．（2025·山东·模拟预测）设
是定义域为R 的奇函数，且
的图象关于直线
对
称，若
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
在
上单调递减
C．
D．
在区间
上有3543 个零点
三、填空题
21．（2025·天津南开·模拟预测）设
，已知函数
，
，若方程
有两个实数解，则实数
的取值范围为 ．
22．（2025·四川泸州·一模）已知函数
的定义域为
，当
时，
，且对任意的
都满足
．若函数
与
的图象恰有两个交点，则实数
的取值范
围是 ．
23．（25-26 高三上·湖北黄冈·期中）对于任意
，不等式
恒成立，则正数
的取值范
围是 .
24．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
，若
，
，
，则
，
，三个数中最大的是 ，最小的是 .
25．（2025·浙江温州·一模）已知函数
，记
在点
（其中
）处的切线
与y 轴交点的纵坐标为
，若
对任意的
恒成立，则实数
的最小值为 .
26．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）若对任意的
，不等式
恒成立，则
的取值范围为 .
27．（2025·江苏·模拟预测）已知函数
，若存在实数
，使得关于x 的方程
恰有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．
28．（2025·福建厦门·三模）已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切，则
．
29．（2025·辽宁·模拟预测）已知关于
的方程
有三个实数解，则实数
的取值
范围是 ．
30．（2025·河北·模拟预测）若
，且关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范
围为 ．
四、解答题
31．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)证明：
在
上单调递增.
(3)若
，证明：
.
32．（2025·广东·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
的零点；
(2)若
，讨论
的单调性；
(3)若
，为自然对数的底数，证明：
.
33．（2025·四川·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
，证明：当
时，
；
(3)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围．
34．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若
在
上恰有2 个零点，求m 的取值范围；
(3)若
，
是
的极值点，求证：
．
35．（2025·安徽·二模）已知函数
，
，其中函数
的导
函数为
.
(1)当
时，求函数
在
上的单调性；
(2)证明：当
时，
在
上存在极大值点
，且
；
(3)证明：
，使得
恒成立.
36．（2025·江苏·模拟预测）已知函数
．
(1)若直线
是曲线
的切线，求a 的值；
(2)令
．
①若
，
是
的两个极值点，当
时，求
的值；
②设曲线
在
处的切线为l，若直线l 上的点都不在
图象的下方，求
的取值范围．
37．（25-26 高三上·江西·月考）已知函数
.
(1)证明：曲线
在点
处的切线恒过定点，并求出该定点坐标；
(2)若存在
使得
，记
的导函数为
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
38．（2025·广东江门·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性．
(2)已知
，函数
，且
仅有两个零点．
①求
的取值范围；
②证明：
的两个零点之积小于1．
39．（25-26 高三上·河北·期中）已知函数
.
(1)讨论函数
的极值点个数；
(2)当
时，证明：
；
(3)函数
有两个零点
，求证：
.
40．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数
，
.
(1)当
时，
（i）求曲线
在点
处的切线方程；
（ii）当
时，证明：
.
(2)设
，
，若存在
，使得
.证明：
.
