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第5 讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共9 小题）
1．设双曲线的方程为
，若双曲线的渐近线被圆
所截得的两条弦长之和为12，已知
的顶点
，
分别为双曲线的左、右焦点，顶
点
在双曲线上，则
的值等于
A．
B．
C．
D．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为
，
双曲线的渐近线被圆
，即
所截得的两条弦长之和为
12，
设圆心到直线的距离为
，则
，
，
即
，
即
，
，
，
由正弦定理可得
，
，
，
，
，
故选：
．
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2．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，点
是双曲线
右支
上一点，若
，
，则双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在等腰三角形
中，
，
，
可得
，
由双曲线的定义可得
，
即有
．
故选：
．
3．已知
，
为双曲线
的左右焦点，点
为双曲线
右支上一点，
交左支于点
，△
是等腰直角三角形，
，则双曲线
的离心率为
A．4
B．
C．2
D．
【解答】解：设
，
，
△
是等腰直角三角形，
，
，
，
由
，
，①
由
，
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，②
由①②可得
，
，
由余弦定理可得
，
，
，
故选：
．
4 ．已知
，
分别是双曲线
的左右焦点，
的右支上的一动点，则
的取值范围是
A．
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：
，
分别是双曲线
的左右焦点，
，
，得
，双曲线的焦距为
，
，
，
点
在双曲线上运动，
，
，
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，
，
，
当
，
时，
，
当
，
时，
，
，
的取值范围是
，
．
故选：
．
5．已知双曲线
的一条渐近线方程
，且点
为双曲线右支上一
点，且
，
为双曲线左右焦点，△
的面积为
，且
，则双曲线的
实轴的长为
A．1
B．2
C．4
D．
【解答】解：双曲线
的渐近线方程为
，
由一条渐近线方程为
，可得
，
由双曲线定义有
，
两边平方得
①
由余弦定理，有
，
即为
②
由①②可得
，
△
的面积为
，可得
，
解得
，
，
故选：
．
6．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，点
是双曲线
右支上一点，若
，
，则
的长为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：双曲线
的
，
在等腰三角形
中，
，
，
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可得
，
由双曲线的定义可得
，
解得
，
则
，
故选：
．
7．已知点
和
是椭圆
上一动点，则
的最大值
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
为椭圆左焦点，设右焦点为
，则由椭圆定义
，
于是
．
当
不在直线
与椭圆交点上时，
、
、
三点构成三角形，于是
，
而当
在直线
与椭圆交点上时，在第三象限交点时有
，在第一象
限交点时有
．
显然当
在直线
与椭圆第一象限交点时
有最大值，其最大值为
．
故选：
．
8．已知
为经过抛物线
焦点
的弦，
为抛物线的准线与
轴的交点，若弦
的斜率为
，则
的正切值为
A．
B．
C．1
D．不存在
【解答】解：
抛物线方程为
，
焦点
坐标为
，
，准线方程为
点坐标为
，
直线
经过点
，
，
的斜率为
，
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设点
的坐标为
，
，
，
代入抛物线方程可得，
，
可以解得，
或
（舍去），
，
同理，可以解得，
，
．
故选：
．
9．设抛物线
的焦点为
，过点
的直线与抛物线相交于
，
两点，与抛
物线的准线相交于点
，
，则
与
的面积之比
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
抛物线方程为
，
焦点
的坐标为
，
，准线方程为
，
如图，设
，
，
，
，
过
，
分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为
，
，
则
，
，
把
代入抛物线
，得，
，
直线
过点
与
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方程为
，代入抛物线方程，解得，
，
，
在
中，
，
，
故选：
．
二．填空题（共8 小题）
10．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，
为坐标原点，点
为双曲线右支上一点，若
，
，则双曲线
的离心率的取值
范围为
，
．
【解答】解：法一：
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
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，
，
．
法二：
，
，令
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
，
．
11．设
，
分别是椭圆
的左右焦点，
为椭圆上任意一点，点
的坐标为
，则
的最大值为
15
，最小值为 ．
【解答】解：将
的坐标代入椭圆方程可得
，即
在椭圆外，
连结
、
，椭圆
的
，
，
，
，
，
由椭圆的定义可得，
，
，
由
，
，
，
的最大值和最小值分别为15 和
故答案为：15，
．
12．设
、
分别是椭圆
的左，右焦点，
为椭圆上任一点，点
的坐标为
，则
的最小值为
．
【解答】解：
．
，
．
，当且仅当三
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点
，
，
共线时取等号．
故答案为：
．
13．已知点
为双曲线的
右焦点，点
为双曲线左支上一点，线
段
与圆
相切于点
，且
，则双曲线的离心率为
．
【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为
，连接
，
设圆的圆心为
，圆的方程为
的圆心为
，
，半径
，
则有
，
若
，则
，
，
；
线段
与圆
相切于点
，则
以及
，
则有
，
即
，
即
，
由双曲线的性质有
，
则双曲线的离心率
；
故答案为：
．
14．
抛物线
的过焦点
的弦，
为坐标原点，则以
为直径的圆与
轴有
1
个公共点；抛物线准线与
轴交于点
，若
，
．
【解答】解：抛物线
的焦点
，准线方程为
，
设
，由抛物线的定义可得
，
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设
的中点为
，可得
到准线的距离为
，
即有
到
轴的距离为
，
则以
为直径的圆与
轴相切，可得与
轴有1 个交点；
由
，可得直线
的斜率为
，
即有直线
的方程为
，代入抛物线的方程，可得
，解得
，
即有
，
，
，
，
，
可得直线
的斜率为
，
直线
的斜率为
，
则
，
，
由
，
，
解得
，
则
．
故答案为：1，
．
15．设抛物线
的焦点为
，过点
的直线与抛物线相交于
，
两点，与
抛物线的准线相交于
，
，则
与
的面积之比
．
【解答】解：
抛物线方程为
，
焦点
的坐标为
，
，准线方程为
如
图，设
，
，
，
，过
，
分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为
，
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，则，
，
把
代入抛物线
，得，
，
直线
过点
与
，
方程为
，代入抛物线方程，解得，
，
在
中，
，
，
故答案为
16．已知点
和抛物线
，过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
，
两
点．若
，则
2
．
【解答】解：
抛物线
的焦点
，
过
，
两点的直线方程为
，
联立
可得，
，
设
，
，
，
，
则
，
，
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，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理可得，
，
，
即
，
．
故答案为：2
17．已知点
和抛物线
，过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
、
两
点，若
以为直径的圆过
，则
2
【解答】解：
抛物线
的焦点
，
过
，
两点的直线方程为
，
联立
，可得
，
设
，
，
，
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
以
为直径的圆过
，
，
，
整理可得，
，
，
即
，解得
．
故答案为：2
三．解答题（共1 小题）
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18．设椭圆
的右焦点为
，右顶点为
，已知
，
其中
为原点，为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点
的直线与椭圆交于
不在
轴上），垂直于的直线与交于点
，与
轴交于点
，若
，且
，求直线的斜率的取值范围．
【解答】解：（1）设
，由
得，
，
可得
，
又
，
可得
，
，
椭圆方程为：
；
设直线的方程为
，
，
，
，
由方程组
得，
，
解得
，或
，
由题意可知
，
进而得
，
由（1）知，
，设
，
则
，
，
由题意得，
，
解得
，
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直线
的方程为
，
与直线的方程联立，可得点
的横坐标
，
在
中，由
，
得
，
得
，
，
解得
，或
，
故直线的斜率的取值范围为：
．
