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专题04 基本不等式及其应用
【题型归纳目录】
题型一：基本不等式及其应用
题型二：直接法求最值
题型三：常规凑配法求最值
题型四：换元与消元法
题型五：“1”的代换求最值
题型六：利用基本不等式解决实际问题
题型七：与基本不等式有关的恒（能）成立问题
【高考考情分析】
考点要求
考题统计
复习目标
（1）了解基本不等式
的推导过程．
（2）会用基本不等式
解决简单的最值问题．
（3）理解基本不等式
在实际问题中的应用．
2022 年II 卷第12 题，5 分
2021 年乙卷第8 题，5 分
2020 年天津卷第14 题，5 分
1、掌握基本不等式的内容．
2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小
值问题．
3、会用基本不等式解决实际问题．
1
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【知识点思维导图】
2
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【知识点梳理】
知识点1、基本不等式
如果
，那么
，当且仅当
时，等号成立．其中，
叫作
的算术平均
数，
叫作
的几何平均数．即正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若
，则
，当且仅当
时取等号；
基本不等式2：若
，则
（或
），当且仅当
时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求
最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
题型一：基本不等式及其应用
【例1】（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
3
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可得
，即
，故C 错误，
故选：B．
【变式1-1】（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））已知
，
，且
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
范围可直接由基本不等式得到，
可先将
平方再利用基本不等式关系．由
，
，且
，
，当且仅当
时取等号
而
，当且仅当
时取等号
．
故选：C．
【变式1-2】（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））设
，若
，
，
，则下列关系式中正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，函数
在
上单调递增，因为
，所以
，所以
，故选C．
【变式1-3】（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足
，则
（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为
（
R），由
可变形为，
，
解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B
正确；
由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取等号，所
以C 正确；
因为
变形可得
，设
，所以
，因此
，所以当
时满足等式，但是
不成立，所以D 错误．
故选：BC．
【变式1-4】（多选题）（2020 年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
5
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对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确；
故选：ABD
题型二：直接法求最值
【例2】（2021 年天津高考数学试题）若
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】
，
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
．
故答案为：
．
【变式2-1】（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其最小值为，A 不符合
题意；
6
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对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅当
，即
时取
等号，所以其最小值为
，C 符合题意；
对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不
符合题意．
故选：C．
【变式2-2】（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若实数
满足
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【解析】
，（当且仅当
时取
等号），所以
的最小值为
，故选C．
【变式2-3】（2019 年天津市高考数学试卷（文科）） 设
，
，
，则
的最
小值为 ．
【答案】
．
【解析】由
，得
，得
，
等号当且仅当
，即
时成立．
故所求的最小值为
．
7
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【变式2-4】（2019 年天津市高考数学试卷（理科））设
，则
的最小
值为 ．
【答案】
【解析】
，
当且仅当
，即
时成立，
故所求的最小值为
．
【变式2-5】（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由
可知
，
且：
，因为对于任意
，
恒成立，
结合均值不等式的结论可得：
．
当且仅当
，即
时等号成立．
综上可得
的最小值为
．
【变式2-6】（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））若
，
，
8
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则
的最小值为 ．
【答案】4
【解析】
，（前一个等号成立条件是
，后
一个等号成立的条件是
，两个等号可以同时取得，则当且仅当
时取等
号）．
【考点】均值不等式
题型三：常规凑配法求最值
【例3】（2020 年天津市高考数学试卷）已知
，且
，则
的最小值为
．
【答案】4
【解析】
，
，
，当且仅当
=4 时取等号，
结合
，解得
，或
时，等号成立．
故答案为：
【变式3-1】（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知
则当
a 的值为 时
取得最大值．
【答案】4
【解析】由题意得，当
取得最大值时，
和
都是正数，所以
，再利用基
本不等式可得
，当且仅当
时，
等号成立，即当
时，
取得最大值．
9
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【变式3-2】若
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
【答案】A
【解析】因
，则
，
于是得
，当且仅当
，即
时取
“=”，
所以当
时，
有最大值
．
故选：A
【变式3-3】函数
的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．-1
【答案】D
【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；
，
当且仅当
，即
等号成立．
故选：D．
题型四：换元与消元法
【例4】（2020 年江苏省高考数学试卷）已知
，则
的最小值是 ．
【答案】
10
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【解析】∵
∴
且
∴
，当且仅当
，即
时取等号．
∴
的最小值为
．
故答案为：
．
【变式4-1】（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知实数
、
、满足
，
，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以
，
所以
，
由
，解得
，
故实数
的最大值为
．
【变式4-2】（福建省2025 届高三2 月测评（金科百校联考）数学试题）已知
，
则
的最小值为 ．
【答案】9
【解析】设
，
则
．
11
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（当且仅当
，即
时，即
取“＝”）
故答案为：9
题型五：“1”的代换求最值
【例5】（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））若直线
过点
，则
的最小值为 ．
【答案】8
【解析】因为直线
过点
，所以
，
因为
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为8
故答案为：8
【变式5-1】（江苏省宿迁市2024-2025 学年高三第一次调研考试数学试题）若
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．18
C．24
D．27
【答案】A
【解析】由
，得
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为9．
故选：A
12
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【变式5-2】已知
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，则
，
所以
．
因为
，
所以
，
当且仅当
时取等号．
故选：D
【变式5-3】若
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，所以
，
所以
，即
，
所以
，即
，由
，可知
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立．
故选：A
【变式5-4】（广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校2024-2025
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学年高三十二月联考数学试卷）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．6
D．8
【答案】D
【解析】由
可得：
；
当且仅当
，即当
时，等号成立．
即
的最小值为8．
故选：D．
题型六：利用基本不等式解决实际问题
【例6】（2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷））小王从甲地到乙地再返回甲地，
其往返的时速分别为a 和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （ ）
A．a<v<
B．v=
C．
<v<
D．v=
【答案】A
【解析】设甲乙两地相距，则平均速度
，
又∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，故选A．
【变式6-1】（安徽省六安市2024-2025 学年高三上学期教学质量检测数学试题）已知
、
两地的距离是
．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在
．假设油价是元
，以
的
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速度行驶时，汽车的耗油率为
，司机每小时的工资是
元，那么最经济的车速是
（ ）
．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，行车的总费用为
，其中
，
由基本不等式可得
（元），
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
因此，经济的车速是
．
故选：C．
【变式6-2】（2017 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版））某公司一年购买某种货物
吨，每次购买
吨，运费为
万元/次，一年的总存储费用为
万元．要使一年的总运费与总存储费用
之和最小，则
的值是 ．
【答案】
【解析】总费用为
，当且仅当
，即
时等号成立．故
答案为30．
【变式6-3】（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））要制作一个容器为4
，高
为
的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器
的最低总造价是_______（单位：元）
【答案】160
【解析】设底面长方形的长宽分别为
和
，则
，
所以总造价
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当且仅当
的时区到最小值
则该容器的最低总造价是160．
故答案为：160．
题型七：与基本不等式有关的恒（能）成立问题
【例7】（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（陕西卷））已知不等式
对任
意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】由
，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立
不等式，解之即可．由已知可得若题中不等式恒成立，则只要
的最小值大于等于9 即可，
，
，
当且仅当
即
时等号成立，
，
或
舍去，即
所以正实数a 的最小值为4．
故选：B．
【变式7-1】若
，且
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】不等式
恒成立，即
，
，
等号成立的条件是
，即
，与条件
联立，解得
，
所以
的最小值是8，即
，解得
．
故选：A
【变式7-2】已知
，且
，若
恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知
，则
，
因为
，
当且仅当
时等号成立，由
，
解得
．
故
的最小值为4．
因为
恒成立，
所以
，即
，
解得
，即
．
故选：D
【变式7-3】（山西省2024-2025 学年高三10 月质量检测数学试卷）若不等式
对任意的
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恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．5
D．
【答案】B
【解析】当
时，
不可能对任意的
恒成立，不满足要求，
当
时，
开口向下，不满足题意，
所以
，
令
，得
，
当
时，不等式
对任意的
恒成立，
所以
，即
，且
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4．
故选：B．
【方法技巧与总结】
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
（当且仅当“
”时取“ ”）．
特例：
（
同号）．
（3）其他变形：
①
（沟通两和
与两平方和
的不等关系式）
②
（沟通两积
与两平方和
的不等关系式）
③
（沟通两积
与两和
的不等关系式）
④重要不等式串：
即
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调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知
．
（1）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即“和为定值，
积有最大值”．
（2）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即积为定值，
和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：
，当且仅当
时等号成立；
模型二：
，当且仅当
时等号成立；
模型三：
，当且仅当
时等号成立；
模型四：
，当且仅当
时
等号成立．
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【强化测试】
1．（2025·广东·一模）已知x , y >0，设命题p: x + y ⩽2，命题q: xy ⩽1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】取x =2, y = 1
2,满足xy ≤1,但x + y =2+ 1
2 = 5
2 ≥2，必要性不成立，
由基本不等式得x + y ≥2√xy,由题可知x + y ≤2,则2√xy ≤2,解得xy ≤1,充分性成立，
则p是q的充分不必要条件，
故选：A
2．已知x>0，y >0，且x + y −xy +3=0，则下列说法正确的是（ ）
A．3< xy ≤12
B．x + y ≥3
C．x
2+ y
2≥18
D．0< 1
x + 1
y ≤1
3
【答案】C
【解析】对于A：由xy −3= x + y ≥2√xy，得xy −3≥2√xy，当且仅当x = y时，等号成立，
(√xy)
2−2√xy −3≥0，解得√xy ≥3，即xy ≥9，故A 不正确；
对于B：由x + y +3= xy ≤(
x + y
2 )
2
，得x + y +3≤(
x + y
2 )
2
，当且仅当x = y时，等号成立，
即(x + y)
2−4 (x + y)−12≥0，解得x + y ≥6，或x + y ≤−2（舍去），故B 错误；
对于C：x
2+ y
2=(x + y)
2−2 xy =(x + y)
2−2(x + y +3)=(x + y)
2−2(x + y)−6，
令t = x + y ≥6，x
2+ y
2=t
2−2t −6=(t −1)
2−7≥(6−1)
2−7 =18，即x
2+ y
2≥18，故C 正确；
对于D，1
x + 1
y = x + y
xy = xy −3
xy
=1−3
xy ，令t = xy ≥9，1
x + 1
y =1−3
t ≥1−3
9 = 2
3，即1
x + 1
y ≥2
3，故D 不
正确，
故选：C．
3．若关于x 的不等式4 x
a +
1
x−2 ≥4对任意x>2恒成立，则正实数a 的可能值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
20
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【解析】∵4 x
a +
1
x−2 ≥4，则4 (x−2)
a
+
1
x−2 ≥4−8
a，
原题意等价于4 (x−2)
a
+
1
x−2 ≥4−8
a对任意x>2恒成立，
由a>0，x>2，则4 (x−2)
a
>0,
1
x−2 >0，
可得4 (x−2)
a
+
1
x−2 ≥2√
4 (x−2)
a
⋅
1
x−2 = 4
√a
，
当且仅当4 (x−2)
a
=
1
x−2，即x =2+ √a
2 时取得等号，
∴¿，解得0<a≤4．
故正实数a的取值集合为{a|0<a≤4}.
故选：A．
4．设正实数x，y 满足2 x + y =1，则（ ）
A．xy的最大值是1
4
B．2
x + 1
y 的最小值是9
C．4 x
2+ y
2的最大值为1
2
D．√2 x +√y的最小值为2
【答案】B
【解析】对于A，∵2 x + y =1≥2√2 xy ,∴xy ≤1
8，
当且仅当¿，即x = 1
4 , y = 1
2时等号成立，故A 错误；
对于B，2
x + 1
y =(
2
x + 1
y)(2 x + y)=5+ 2 y
x + 2 x
y ≥5+2√4 =9，
当且仅当¿即x = y = 1
3时等号成立，故B 正确；
对于C，由A 可得xy ≤1
8，又2 x + y =1，
所以4 x
2+ y
2=(2 x + y)
2−4 xy =1−4 xy ≥1−4× 1
8 = 1
2，
当且仅当2 x = y，即x = 1
4 , y = 1
2时等号成立，故C 错误；
对于D，(√2 x +√y)
2=2 x + y +2√2 xy ≤1+2√2× 1
8 =2，
21
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所以√2 x +√y的最大值为√2，当且仅当2 x = y = 1
2，即x = 1
4 , y = 1
2时等号成立，故D 不正确.
故选：B.
5．（2025·山东·模拟预测）设正实数a,b满足a+2b=1，则(a+1)
2+b
2
ab
的最小值为（ ）
A．37
2
B．17
C．8+ 4√5
D．16
【答案】C
【解析】由题意知
(a+1)
2+b
2
ab
= (a+a+2b)
2+b
2
ab
= 4 a
2+8ab+5b
2
ab
= 4 a
b + 5b
a +8≥2√
4 a
b ⋅5b
a +8=8+ 4√5，
当且仅当4 a
b = 5b
a ，即a= √5
2 b= 4√5−5
11
时，等号成立．
因此，(a+1)
2+b
2
ab
的最小值为8+ 4√5．
故答案为：C
6．（2025·四川德阳·二模）若x>1，则函数y =2 x +
8
x−1的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【解析】若x>1，则x−1>0，
所以函数y =2(x−1)+
8
x−1 +2≥2√2(x−1)
8
x−1 +2=10，
当且仅当2(x−1)=
8
x−1即x =3时等号成立.
故选：C.
7．（24-25 高三上·江苏扬州·期末）已知x，y均为正实数，且(x +2)( y +3)=16，则x + y的最小值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由(x +2)( y +3)=16可得y = 16
x +2 −3，
故x + y = x + 16
x +2 −3= x +2+ 16
x +2 −5，
22
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由于x>0,故x +2+ 16
x +2 ≥2√
(x +2)(
16
x +2)=8，当且仅当x +2= 16
x +2，即x =2时取等号，
故x + y = x +2+ 16
x +2 −5≥3，故x + y的最小值为3，
故选：C
8．（24-25 高三上·河南周口·期末）已知a>0，b>−1，且ln (b+1)=−ln (a+1)，则a+2(b+1)的最小值
为（ ）
A．1
B．2
C．2√2−1
D．2√2+1
【答案】C
【解析】由ln (b+1)=−ln (a+1)，可得ln[(a+1)(b+1)]=0，故(a+1)(b+1)=1，
故a+2(b+1)=a+
2
a+1 =a+1+
2
a+1 −1≥2√
(a+1)⋅
2
a+1 −1=2√2−1，
当且仅当a=√2−1，b= √2
2 −1时取等号，故a+2(b+1)的最小值为2√2−1.
故选:C.
9．（24-25 高三上·山东泰安·期末）若x , y >0, xy = 4 x + y +5，则4 x + y的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．20
D．25
【答案】C
【解析】4 xy = 4 (4 x + y +5)≤(
4 x + y
2 )
2
，当且仅当4 x = y时取等号，
即(4 x + y)
2−16(4 x + y)−80≥0，
即(4 x + y −20)(4 x + y + 4)≥0，因为x , y >0，
所以4 x + y ≥20，
所以4 x + y的最小值为20，
故选：C
10．（多选题）（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列结论正确的有
（ ）
A．a
2+b
2≥1
2
B．2
a−b> 1
2
C．log2a+ log2b≥−2
D．√a+√b≤√2
23
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【答案】ABD
【解析】对于A，∵a
2+b
2≥2ab，∴2(a
2+b
2)≥(a+b)
2=1，
∴a
2+b
2≥1
2，当且仅当a=b= 1
2时取等号，故A 正确；
对于B，因为a>0，b>0，且a+b=1，所以b=1−a，
则¿，所以0<a<1，
所以−1<2a−1<1，所以2
a−b=2
2a−1>2
−1= 1
2，故B 正确．
对于C，因为a>0，b>0，且a+b=1，
所以log2a+ log2b= log2(ab)≤log2(
a+b
2 )
2
= log2(
1
2)
2
=−2，当且仅当a=b= 1
2时取等号，故C 错误；
对于D，∵(√a+√b)
2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+a+b=2，
∴√a+√b≤√2，当且仅当a=b= 1
2时取等号，故D 正确．
故选：ABD
11．（多选题）（2024·陕西西安·模拟预测）已知a>0,b>0,a+b=1，则下列不等式正确的是（ ）
A．ab≤1
4
B．a
2+b
2≥1
2
C．1
a +
1
b+1 >2
D．√a+√b≤1
【答案】ABC
【解析】因为a>0,b>0，由基本不等式可得a+b≥2√ab，当且仅当a=b时等号成立，
又a+b=1，
所以ab≤1
4 ，当且仅当a=b= 1
2时等号成立，A 正确；
所以a
2+b
2=(a+b)
2−2ab≥1−2× 1
4 = 1
2，当且仅当a=b= 1
2时等号成立，B 正确；
(√a+√b)
2=a+b+2√ab≤1+2× 1
2 =2，当且仅当a=b= 1
2时等号成立，
所以√a+√b≤√2，D 错误；
因为a+b=1，a>0,b>0，所以0<a<1，0<b<1，
故0<
a
b+1 <1，b+1
a
>1，
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所以1
a +
1
b+1 = 1
2(
1
a +
1
b+1)(a+b+1)= 1
2(1+ b+1
a
+
a
b+1 +1)> 1
2 (2+2√1)=2，C 正确..
故选：ABC.
12．（多选题）（24-25 高三下·浙江·开学考试）若正实数a,b满足a+b= 4，则下列不等式正确的是
（ ）
A．1
a + 1
b ≤1
B．√a+√b≤2√2
C．a
2+ 4 b
2≥64
5
D．log4a+log4b≤1
【答案】BCD
【解析】因为a,b为正实数，由基本不等式可得a+b≥2√ab，当且仅当a=b时等号成立，
又a+b= 4，
所以2√ab≤4，即ab≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，
所以1
a + 1
b = a+b
ab = 4
ab ≥1，当且仅当a=b=2时等号成立，A 错误；
(√a+√b)
2=a+b+2√ab≤8，即√a+√b≤2√2，当且仅当a=b=2时等号成立，B 正确；
log4a+log4b= log4ab≤log4 4 =1，当且仅当a=b=2时等号成立，D正确；
因为a+b= 4，a>0，b>0，故a= 4−b，0<b<4，
所以a
2+ 4 b
2=(4−b)
2+ 4 b
2=5b
2−8b+16=5(b−4
5)
2
+ 64
5 ，
所以a
2+ 4 b
2≥64
5 ，当且仅当b= 4
5 时取等号，C正确；
故选：BCD.
13．函数f ( x)= x +3
√x−1的最小值为 ．
【答案】4
【解析】易知函数f ( x)= x +3
√x−1的定义域为(1,+∞)，
f ( x)= ( x−1)+ 4
√x−1
=√x−1+
4
√x−1 ≥2√√x−1⋅
4
√x−1 = 4，
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当且仅当√x−1=
4
√x−1，即x =5时取等号，
故当x =5时，f ( x)取得最小值，且最小值为4．
故答案为：4
14．若x>0，y >0，且xy = x + y +3，则x + 4 y的最小值是 .
【答案】13
【解析】由xy = x + y +3，则xy −x−y +1=(x−1)( y −1)= 4，
则x + 4 y =(x−1)+ 4 ( y −1)+5≥2√(x−1)⋅4 ( y −1)+5=2√16+5=13，
当且仅当x−1= 4 y −4，即x =5、y =2时等号成立.
故答案为：13.
15．（2025·山东青岛·一模）已知公比不为±1的等比数列{an}中，存在s,t ∈N
∗，满足asat =a5
2，则4
s + 1
t
的最小值为 ．
【答案】19
21
【解析】设{an}的公比为q ,(q≠±1)，因为asat =a5
2，则a1q
s−1a1q
t −1=(a1q
4)
2，故s+t =10，s,t ∈N
∗.
则4
s + 1
t = 1
10(
4
s + 1
t)(s+t )= 1
10(5+ 4 t
s + s
t)≥1
10(5+2√
4t
s × s
t)= 9
10，
当且仅当4t
s = s
t ，即s=2t时等号成立，此时s= 20
3 ,t = 10
3 ，但s,t ∈N
∗.
结合对勾函数的性质，当s=7 ,t =3时，4
s + 1
t = 4
7 + 1
3 = 19
21；
当s=6,t = 4时，4
s + 1
t = 4
6 + 1
4 = 11
12，
因为19
21 < 11
12，故4
s + 1
t 的最小值为19
21，此时s=7 ,t =3.
故答案为：19
21
16．设x、y 为实数，若4 x
2+ y
2+ xy =1，则2 x + y的最大值是 ．
【答案】2√10
5
/2
5 √10
【解析】方法一：令2 x + y =t，则y =t −2 x，代入4 x
2+ y
2+ xy =1，整理得6 x
2−3tx +t
2−1=0，其
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Δ=9t
2−24(t
2−1)=−15t
2+24≥0，
解得−2√10
5
≤t ≤2√10
5
，当t = 2√10
5
时，¿.
故2 x + y的最大值是2√10
5
．
方法二：由1= 4 x
2+ y
2+ xy =(2 x + y)
2−3 xy =(2 x + y)
2−3
2
(2 x)⋅y
≥(2 x + y)
2−3
2(
2 x + y
2 )
2
，即(2 x + y)
2≤8
5，
当¿时，2 x + y = 2√10
5
.
故2 x + y的最大值是2√10
5
．
故答案为：2√10
5
27
