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专题04 基本不等式及其应用
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：用配凑法求基本不等式的最值
题型二：用常数代换法求基本不等式的最值
题型三：用消元法求基本不等式的最值
题型四：基本不等式的常见变形应用
题型五：利用基本不等式求参数范围
题型六：基本不等式与其他知识交汇的最值问题
题型七：基本不等式的实际应用
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.
【考点预测】
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝
b 时取等号.
(3)其中叫做正数a，b 的算术平均数，叫做正数a，b 的几何平均数.
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2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2 ab
(a，b∈R)，当且仅当a＝b 时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b 时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2 .
(2)已知x，y 都是正数，如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值S 2 .
【常用结论】
1.＋≥2(a，b 同号)，当且仅当a＝b 时取等号.
2.ab≤≤.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要
保证它们等号成立的条件一致.
【方法技巧】
1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t 为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，
再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出
“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本
不等式，构造目标式的不等式求解.
5.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常
数代换法求最值.
6.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得
到参数的值或范围.
7.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
8.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
9.在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
二、【题型归类】
【题型一】用配凑法求基本不等式的最值
【典例1】设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为( )
A.
B．4
C.
D．9
2
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【典例2】若x<，则f(x)＝3x＋1＋有( )
A．最大值0
B．最小值9
C．最大值－3
D．最小值－3
【典例3】函数y＝
(x +5)(x +2)
x +1
(x>－1)的最小值为________．
【题型二】用常数代换法求基本不等式的最值
【典例1】已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足ama＝a(m，n∈N＋)，则＋的最小值
为( )
A.1 B. C.2 D.
【典例2】已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1
B．2
C.
D.
【典例3】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy 的最小值；
(2)x＋y 的最小值．
【题型三】用消元法求基本不等式的最值
【典例1】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y 的最小值为_____．
【典例2】若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________．
【典例3】已知正实数a，b 满足a2－b＋4≤0，则u＝( )
A.有最大值
B.有最小值
C.有最小值3 D.有最大值3
【题型四】基本不等式的常见变形应用
【典例1】《几何原本》卷2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处
理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也
称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF⊥AB，设
AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
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A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
【典例2】已知0<a<1，b>1，则下列不等式中成立的是( )
A．a＋b<
B.<
C.<2
D．a＋b<
【典例3】若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
【题型五】利用基本不等式求参数范围
【典例1】已知a>0，b>0，若不等式－－≤0 恒成立，则m 的最大值为( )
A．4
B．16
C．9
D．3
【典例2】已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e 是自然对数的底数．若关于x 的不等式mf(x)≤e－x＋
m－1 在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为________．
【典例3】已知不等式(x＋y)≥9 对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【题型六】基本不等式与其他知识交汇的最值问题
【典例1】在△ABC 中，点P 满足BP＝2PC，过点P 的直线与AB，AC 所在直线分别交于点
M，N，若AM＝mAB，AN＝nAC(m>0，n>0)，则m＋2n 的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.
【典例2】如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn 的最
大值为( )
A．16
B．18
C．25
D.
【典例3】在△ABC 中，A＝，△ABC 的面积为2，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
【题型七】基本不等式的实际应用
【典例1】某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一
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水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60 m，AB＝40 m，
且△EFG 中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10 m，EF＝20 m，为保证安全同时考虑美观，
健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB，DF 于M，N，从
而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN＝x(m)．
(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；
(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．
【典例2】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，
污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水
中该杂质的质量分数与a，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m2，问a，b 各为多少m 时，
经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔面积忽略不计)?
【典例3】如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用
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钢筋网围成．
(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的
钢筋总长度最小？
三、【培优训练】
【训练一】(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A.a＋b＋c≤
B.(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2
D.a2＋b2＋c2≥1
【训练二】已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求＋＋的最小值；
(2)若a，b∈R，ab>0，求的最小值.
【训练三】若x>0，y>0 且x＋y＝xy，则＋的最小值为________．
【训练四】设a>b>0，则a2＋＋的最小值是________．
【训练五】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值．
【训练六】如图所示，已知树顶A 离地面米，树上另一点B 离地面米，某人在离地面米的C
处看此树，则该人离此树________米时，看A，B 的视角最大．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是( )
A.x＝y
B.x＝2y
C.x＝2 且y＝1
D.x＝y 或y＝1
2. 函数f(x)＝的最小值为( )
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A.3 B.4 C.6 D.8
3. 若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b 的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
4. 已知正数a，b 满足a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A. B.3 C.5 D.9
5. 已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l 上，则2a＋2－b的最小值是
( )
A.4 B.2 C.2 D.
6. 若2x＋2y＝1，则x＋y 的取值范围是( )
A．[0，2]
B．[－2，0]
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
7. 设a>0，若关于x 的不等式x＋≥5 在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( )
A．16
B．9
C．4
D．2
8. 已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y 的最小值为( )
A．3
B．5
C．7
D．9
【多选题】
9. 若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2
B．＋>
C．＋≥2
D．a2＋b2≥2ab
10. 给出下面四个推断，其中正确的为( )
A．若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2
B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2
C．若a∈R，a≠0，则＋a≥4
D．若x，y∈R，xy<0，则＋≤－2
11. 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
12. 设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b＋≥2
B.>
C.≥a＋b
D．(a＋b)≥4
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【填空题】
13. 设正项等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则4a3＋的最小值为________.
14. 设P(x，y)是函数y＝(x>0)图象上的点，则x＋y 的最小值为________．
15. 函数y＝(x>－1)的最小值为________．
16. 若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab 的最大值为________，＋的最小值为________．
【解答题】
17. (1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．
18. 已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy 的最小值；
(2)x＋y 的最小值．
19. 设a，b 为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab 的值．
20. (1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3 上移动，求2x＋4y的最小值．
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21. (1)解不等式≤x－1；
(2)求函数y＝＋的最小值．
22. 某厂家拟定在2020 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万
件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销
量只能是1 万件．已知2020 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产1 万件该产品需要再
投入16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5 倍(产品成本包括固定
投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
(2)该厂家2020 年的促销费用投入多少万元时，厂家获取利润最大，最大利润是多少？
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