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专题04 点到平面的距离(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：等体积法求点到平面的距离.......................2
题型二：利用向量法求点到平面的距离.....................4
三、专项训练..............................................6
一、必备秘籍
1、等体积法求点到平面的距离
（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从
而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法
（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有
时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平
行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理
面面平行也可以变换顶点
2、利用向量法求点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平
面
的垂线，交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
的长度.
1
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二、典型题型
题型一：等体积法求点到平面的距离
1．（23-24 高三下·陕西西安·期中）如图，在圆台
中，
为轴截面，
，
，
为下底面圆周上一点，
为下底面圆
内一点，
垂
直下底面圆
于点
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
为等边三角形，求点
到平面
的距离．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱台
中，底面四边形
为
菱形，
，
平面
．
(1)证明：
；
(2)若四棱台
的体积为
，求点
到平面
的距离．
2
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3．（2024·四川·模拟预测）如图，四棱锥
中，底面ABCD 为菱形，
，
侧面
是边长为4 的正三角形，
.
(1)证明：平面
平面ABCD；
(2)求点A 到平面SBC 的距离.
4．（2024 高三·上海·专题练习）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
分别为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
3
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题型二：利用向量法求点到平面的距离
1．（23-24 高三上·山东日照·期中）如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，
为
底面直径，
为底面圆O 的内接正三角形，点E 在母线
上，且
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若点M 为线段
上的动点，当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面
的距离.
2．（23-24 高二上·山东济宁·期中）如图所示，正方体
的棱长为3，动点
在底面正方形
内，且
与两个定点
，
的距离之比为
．
(1)求动点
的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)求动点
到平面
的距离的取值范围．
4
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3．（2023·山东潍坊·三模）如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直
径，
为底面圆
的内接正三角形，且边长为
，点
在母线
上，且
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
(3)若点
为线段
上的动点．当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面
的距离．
4．（23-24 高三下·江苏连云港·阶段练习）如图，直四棱柱
的底面为平行
四边形，
分别为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若底面
为矩形，
，异面直线
与
所成角的余弦值为
，求
5
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D 到平面
的距离.
三、专项训练
1．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
平面
，
、
分别为
、
的中点，且
，
，
．
(1)证明：
平面
．
(2)求
到平面
的距离．
2．（23-24 高二下·上海金山·期中）如图，在三棱柱
中，底面
是以
为
斜边的等腰直角三角形，侧面
为菱形，点
在底面上的投影为
的中点
，且
.
(1)求证：
；
(2)求点
到侧面
的距离.
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3．（2024 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧面
为正三角形，
，
，平面
平面
，E 为棱
上一点（不与
P，B 重合），平面
交棱
于点F.
(1)求证：
；
(2)若二面角
的余弦值为
，求点B 到平面
的距离．
4．（23-24 高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱
所有棱长均为
，
，侧面
与底面
垂直，
、
分别是线段
、
的中点．
(1)求证：
；
(2)若点
为棱
上靠近
的三等分点，求点
到平面
的距离．
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5．（2024·陕西铜川·二模）如图，在四棱锥
中.侧面
⊥底面
，
为等边三角形，四边形
为正方形，且
.
(1)若
为
的中点，证明：
；
(2)求点
到平面
的距离.
6．（2024·陕西·二模）在四棱锥
中，
，平面
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
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7．（2024·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱
中，底面
是直角梯
形，
∥
，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）在长方体
中，
在线段
上，且满足
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若异面直线
与
所成角的余弦值为
，求
到平面
的距离.
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9．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在多面体ABCDE 中，A，B，E，D 四点共
面，
，
，
，
，
，F 为BC 的中点．
(1)求证：平面ADF
平面BCE；
(2)求点E 到平面ABC 的距离．
10．（21-22 高二上·北京·期中）在如图所示的几何体中，四边形
为正方形，
，
平面
，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的大小；
(3)求点
到平面
的距离．
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