专题 02 不等式（九大题型 7 大易错题）
【题型1 不等式的性质】
1．（2024·山东聊城·三模）“a+b<-2，且ab>1”是“a<-1，且b<-1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若a<-1，且b<-1，根据不等式的加法和乘法法则可得a+b<-2，且ab>1，即
必要性成立；
1 1
当a=-3,b=- ，满足a+b<-2，且ab>1，但是b=- >-1，故充分性不成立，
2 2
所以“a+b<-2，且ab>1”是“a<-1，且b<-1”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
b+c b
A．若a>b，则 > B．若a>b，c>d，则a-d>b-c
a+c a
1 1
C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a>b，则 >
a-b a
【答案】B
【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.
b+c b
【详解】对于A，可以取a=2，b=1，c=-1，此时 < ，所以A错误.
a+c a
对于B：∵c>d，∴-d>-c，因为a>b，所以a-d>b-c，故B正确；
对于C：取a=-2，b=-1时，则a2=4，ab=2，b2=1，则a2>ab>b2，故C错误；
1 1 1 1 1
对于D：当a=1，b=-1时， = ， =1，则 < ，故D错误；
a-b 2 a a-b a
故选：B.
3．（2024·广东茂名·模拟预测）已知a>0，b>0，则下面结论正确的是（ ）
A．若ab=4，则a+b≤4 B．若a>b，则ac2>bc2b b+m
C．若a+2b=2，则2a+4b有最小值4 D．若a>b>m>0，则 >
a a+m
【答案】C
【分析】对于A. 利用基本不等式求解判断；对于B.取c=0判断；对于C.利用基本不等式
结合指数运算求解判断；对于D.利用作差法比较.
【详解】因为a>0，b>0，
对于选项A：若ab=4，则a+b≥2❑√ab=4，当且仅当a=b=2时取等号，A错误；
对于选项B：当c=0时，式子不成立，B错误；
对于选项C：若a+2b=2，则2a+4b≥2❑√2a ⋅22b=2❑√2a+2b=4，
当且仅当a=2b=1时取等号，C正确；
b b+m m(b-a)
对于选项D：因为a>b>m>0，且 - = <0，
a a+m a(a+m)
b b+m
所以 < ，故D错误．
a a+m
故选：C．
4．（2024·上海宝山·二模）已知a>b>0，则（ ）
A．a2>b2 B．2a<2b
1 1 log a＞log b
C． a2<b2 D． 1 1
2 2
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，及函数单调性，即可求解.
【详解】a>b>0，
则a2>b2，故A正确；
2a>2b，故B错误；
1 1
a2>b2，故C错误；
log a<log b
1 1 ，故D错误.
2 2
故选：A.
5．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a，b，c，d满足：a>b>0>c>d，则下列不等式一
定正确的是（ ）
A．a+d>b+c B．ad>bc C．a+c>b+d D．ac>bd【答案】C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【详解】对于ABD，取a=2,b=1,c=-2,d=-4，满足a>b>0>c>d，
显然a+d=-2<-1=b+c，ad=-8<-2=bc，ac=-4=bd，ABD错误；
对于C，a>b>0>c>d，则a+c>b+d，C正确.
故选：C
6．（2024·北京丰台·二模）若a,b∈R，且a>b，则（ ）
1 1
A． < B．a2b>ab2
a2+1 b2+1
a+b
C．a2>ab>b2 D．a> >b
2
【答案】D
【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
1 1 1
【详解】由于a>b，取a=1,b=-1， = = ，a2b=ab2=1，无法得到
a2+1 b2+1 2
1 1
< ，a2b>ab2，故AB错误，
a2+1 b2+1
取a=0,b=-2,则a2=0,ab=0,b2=4，无法得到a2>ab>b2，C错误，
a+b
由于a>b，则2a>b+a>2b，所以a> >b，
2
故选：D
7．（2024·四川成都·模拟预测）命题“|x+ y|+|x- y|≤2”是“|x|≤1，且|y|≤1”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据绝对值三角不等式和充分条件必要条件的定义即可判断.
【详解】若|x+ y|+|x- y|≤2，
2|x|=|x+ y+x- y|≤|x+ y|+|x- y|≤2，即|x|≤1，
2|y|=|x+ y-x+ y|≤|x+ y|+|x- y|≤2，即|y|≤1，
则充分性成立；
若|x|≤1且|y|≤1，
当(x+ y)(x- y)≥0时，|x+ y|+|x- y|=|x+ y+x- y|=2|x|≤2，当(x+ y)(x- y)<0时，|x+ y|+|x- y|=|x+ y-x+ y|=2|y|≤2，
则必要性成立；
综上所述：“|x+ y|+|x- y|≤2”是“|x|≤1，且|y|≤1”的充分必要条件.
故选：C.
8．多选题（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等
式正确的有（ ）
c d
A．c2<cd B．a-c<b-d C．ac<bd D． - >0
a b
【答案】AD
【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误.
【详解】对于A，由0>c>d和不等式性质可得c2<cd，故A正确；
对于B，因a>b>0>c>d，若取a=2，b=1，c=-1，d=-2，
则a-c=3，b-d=3，所以a-c=b-d，故B错误；
对于C，因a>b>0>c>d，若取a=2，b=1，c=-1，d=-2，
则ac=-2，bd=-2，所以ac=bd，故C错误；
1 1
对于D，因为a>b>0，则0< < ，又因0>c>d则0<-c<-d，
a b
c d c d
由不等式的同向皆正可乘性得，- <- ，故 - >0，故D正确．
a b a b
故选：AD．
9．多选题（2024·湖北武汉·二模）下列说法正确的是（ ）
b a
A．若ac2>bc2，则a>b B． + 的最小值为2
a b
b b+m 1
C．∀a>b,m>0, < D． ❑√sin2x+1+ 的最小值为2
a a+m ❑√sin2x+1
【答案】AD
【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.
【详解】对于A，若ac2>bc2，则a>b，A正确;
b a b a b
对于B， + ≥2或 + ≤-2，因为 不知道和0的大小关系，B错误；
a b a b a
b b+m b(a+m)-a(b+m) m(b-a)
对于C，若a>b,m>0，则 - = = ，而
a a+m a(a+m) a(a+m)
m(b-a)<0，但是a(a+m)与0的大小不能确定，故C错误；1 1
对于D， ❑√sin2x+1+ ≥2，当且仅当 ❑√sin2x+1= ，即sinx=0取等
❑√sin2x+1 ❑√sin2x+1
号，D正确.
故选：AD
10．多选题（2024·福建厦门·三模）若a<b<0，则（ ）
a 4b
A．a2>b2 B．ab<b2 C．2a>2b D． + ≥4
b a
【答案】AD
【分析】对A、B：借助不等式的性质即可得；对C：借助指数函数的单调性即可得；对
D：借助基本不等式计算即可得.
【详解】对A：由a<b<0，则|a|>|b|>0⇒ a2>b2>0，故A正确；
对B：由a<b<0，则ab>b2，故B错误；
对C：由y=2x在R上单调递增，故2a<2b，故C错误；
a a 4b √a 4b
对D：由a<b<0，则 >0，故 + ≥2❑ × ≥4，
b b a b a
当且仅当a=2b<0时等号成立，故D正确.
故选：AD.
【题型2 大小比较】
11．（2024·湖北黄冈·二模）已知a,b,c,d分别满足下列关系：
17 3
16a=15,b=log 16,log c= ,d=tan ，则a,b,c,d的大小关系为（ ）
17 15 16 2
16
A．a<b<c<d B．c<a<b<d
C．a<c<b<d D．a<d<b<c
【答案】B
【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得a<b，利用指对数函数
的单调性，通过构造函数判断单调性可推得c<a，最后利用正切函数的单调性可得b<d.
【详解】由16a=15,可得a=log 15,
16
ln15 ln16 ln15⋅ln17-(ln16) 2
a-b=log 15-log 16= - = ,
16 17 ln16 ln17 ln16⋅ln17因ln15⋅ln17< (
ln15+ln17) 2
= (
ln255) 2
< (
ln256) 2
=(ln16) 2 ，
2 2 2
又ln16⋅ln17>0，故a-b<0,即a<b；
15
因log c=
17
,，则c=
(15) 1
1
7
6<
15
,由c 16 15 ln16 ln16 ln15，
15 16 16 16 < = ⋅ = ÷
16 a log 15 16 ln15 16 15
16
lnx 1-lnx
由函数y= ，y'= ，因x>e时，y'<0，
x x2
lnx ln16 ln15
即函数y= 在(e,+∞)上单调递减，则有0< < ，故得c<a；
x 16 15
3 π
由b=log 16<1，而d=tan >tan =1，即b<d，
17 2 4
综上，则有c<a<b<d.
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，
（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；
（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放
缩比较；
（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.
1 2
2 -
12．（2024·辽宁·一模）设a= ，b=2-e3，c=1-e 3则（ ）
3
A．a<b<c B．c<b<a
C．b<c<a D．a<c<b
【答案】B
【分析】利用导数证明不等式ex≥x+1，可得b<a,c<a；根据不等式的性质可证得
2 1
1+e
- 3>e3，则c<b，即可求解.
【详解】对于函数f(x)=ex-x-1，f' (x)=ex-1，
令f' (x)<0⇒x<0,f' (x)>0⇒x>0，
所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x) =f(0)=0，则f(x)≥0，即ex≥x+1.
min1 2
1 2 - 2 2
所以b=2-e3≤2-( +1)= ，c=1-e 3≤1-(- +1)= .
3 3 3 3
1 2 1
2 - 1 √ 1 2
由e2<8，得 e3
2
<83
1
=2 ，所以
e3<
1 ，则
1+e 3=1+
2
>2
❑ 2
=
1
>e3
，
e3 e3 e3 e3
2 1
所以
1-e
- 3<2-e3，即c<b.
所以c<b<a.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
1 ln5 ln6
13．（2024·云南昆明·模拟预测）设a= ,b= ,c= ，则（ ）
6 10 12
A．c<b<a B．c<a<b
C．b<c<a D．b<a<c
【答案】A
lnx
【分析】构造函数f (x)= ，利用函数单调性确定b,c大小，通过作差a-b，判断正负
x2
即可确定a,b大小即可.
lnx 1-2lnx
【详解】设f (x)= ，则令f'(x)= =0，得x=❑√e，
x2 x3
则f (x)在(0,❑√e)上单调递增，在(❑√e,+∞)上单调递减，
b=f (❑√5),c=f (❑√6)，则b>c，
1 ln5 5-3ln5 lne5-ln125
又a-b= - = = >0，得a>b，
6 10 30 30
所以a>b>c，
故选：A
e+1 ln5
14．（2024·云南贵州·二模）已知a=ln(❑√2e),b= ,c= +1，则a,b,c的大关系
e 5
为（ ）
A．c>a>b B．b>a>cC．a>b>c D．b>c>a
【答案】B
lnx
【分析】根据a,b,c的特点，构造函数f(x)= ，判断其单调性，得到
x
1
f(x) =f(e)= ，故有f(e)>f(5),f(e)>f(2)，再运用作差法比较f(5),f(2)即得.
max e
lnx 1-lnx
【详解】设f(x)= ，则f' (x)= ，
x x2
当0<x<e时，f' (x)>0，f(x)在(0,e)上递增；
当x>e时，f' (x)<0，f(x)在(e,+∞)上递减,
1
故f(x) =f(e)= .
max e
1 ln5 1 ln2
则 > , > ，即b>c,b>a；
e 5 e 2
25
ln
由ln5 ln2 2ln5-5ln2 32 可知c<a，故b>a>c.
- = = <0
5 2 10 10
故选：B.
【题型3 基本不等式求函数最值】
1
15．（2024·宁夏·二模）直线ax+by-1=0过函数f(x)=x+ 图象的对称中心，则
x-1
4 1
+ 的最小值为（ ）
a b
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得f (x)的对称中心，从而得到a+b=1，再
利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
1
【详解】因为y=x+ 为奇函数，所以函数图象关于(0,0)中心对称，函数图象向右平移1
x
1
个单位，再向上平移1个单位可得函数f(x)=x+ 的图象，
x-1所以f (x)的对称中心为(1,1)，所以a+b=1，
4 1 (4 1) 4b a √4b a
所以 + =(a+b) + =5+ + ≥5+2❑ ⋅ =9，
a b a b a b a b
4b a 2
当且仅当 = ，即a=2b= 时，等号成立，
a b 3
4 1
所以 + 的最小值为9．
a b
故选：A
16．（2024·山西太原·三模）已知△ABC 中，A=120∘， D是BC的中点，且 AD=1，
则△ABC 面积的最大值（ ）
A．❑√3 B．2❑√3 C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用中线得到4=b2+c2-bc，结合不等式得出bc≤4，进而得到面积的最大值.
1
【详解】因为A=120∘，所以⃗AB⋅⃗AC=|⃗AB||⃗AC|cos120°=- bc，
2
1 1
因为AD是中线，所以⃗AD= (⃗AB+⃗AC)，⃗AD2= (⃗AB2+⃗AC2+2⃗AB⋅⃗AC)，
2 4
所以4=b2+c2-bc≥bc，当且仅当b=c时，等号成立；
1 1 ❑√3
△ABC 面积为S= bcsin A≤ ×4× =❑√3.
2 2 2
故选：A
17.（2024·四川遂宁·模拟预测）在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若
1 2
⃗AF=x⃗AB+2y⃗AC(x>0,y>0)，则 + 的最小值为（ ）
x y
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【分析】先根据共线向量基本定理得到x+2y=1，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以设⃗BF=λ⃗BC，故⃗AF-⃗AB=λ⃗AC-λ⃗AB，
即⃗AF=λ⃗AC+(1-λ)⃗AB，
又⃗AF=x⃗AB+2y⃗AC(x>0,y>0)，故x+2y=1-λ+λ=1，
1 2 (1 2) 2y 2x √2y 2x
故 + = + (x+2y)=1+4+ + ≥5+2❑ ⋅ =9，
x y x y x y x y
2y 2x 1
当且仅当 = ，即x= y= 时，等号成立，
x y 3
1 2
故 + 的最小值为9.
x y
故选：D
x2 y2
18．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C : + =1(m>n>0)与双曲线
1 m2 n2
x2 y2
C : - =1(a>0,b>0)有共同的焦点F ,F ，点P为两曲线的一个公共点，且
2 a2 b2 1 2
∠F PF =60∘，椭圆的离心率为e ，双曲线的离心率为e ，那么e2+e2 最小为（ ）
1 2 1 2 1 2
2+❑√3 2+❑√3 3+2❑√2 3+2❑√2
A． B． C． D．
4 2 4 2
【答案】B
【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造
1 3
+ =4
，利用基本不等式，即可求解.
e2 e2
1 2
【详解】设两曲线的半焦距为c，由余弦定理得
|F F | 2=|PF | 2+|PF | 2-2|PF |⋅|PF |cos60∘．
1 2 1 2 1 2
在椭圆中，|F F | 2=(|PF |+|PF |) 2-2|PF |⋅|PF |(1+cos60∘)，
1 2 1 2 1 2
2n2 4
得|PF |⋅|PF |= = n2 ．
1 2 1+cos60∘ 3
在双曲线中，|F F | 2=(|PF |-|PF |) 2+2|PF |⋅|PF |(1-cos60∘)，
1 2 1 2 1 22b2 4n2
得|PF |⋅|PF |= =4b2 ．从而 =4b2，得n2=3b2，
1 2 1-cos60∘ 3
m2 3a2
则m2=n2+c2=3b2+c2,a2=c2-b2，即m2+3a2=4c2, + =4，
c2 c2
1 3
+ =4
即 ．
e2 e2
1 2
1 1 3 1(
e2 3e2
) 1 2+❑√3
所以e2+e2= (e2+e2) ( + )= 4+ 2+ 1 ≥ ×(4+2❑√3)= ，
1 2 4 1 2 e2 e2 4 e2 e2 4 2
1 2 1 2
3+❑√3
当且仅当e2=❑√3e2=
时等号成立.
2 1 4
故选：B
2
19．（2024·湖南长沙·二模）已知 m>0 ，n>0，直线 y= x+m 与曲线
e
1 1
y=2lnx-n+4 相切，则 + 的最小值是（ ）
m n
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用已知条件求出切点横坐标，从而得到m+n=4。利用基本不等式即可求解.
2
【详解】由于直线 y= x+m 与曲线 y=2lnx-n+4 相切，
e
2 2 2
设切点为(x ,y )，且y'= ，所以 = ，
0 0 x e x
0
则切点横坐标x =e ，则2+m=2-n+4，即m+n=4 .
0
( 1 1) n m 1 1
所以(m+n) + =2+ + ≥2+2=4，即 + ≥1，
m n m n m n
1 1
当且仅当 m=n=2时取等号，所以 + 的最小值为1.
m n
故选：D
1 9
20．（2024·安徽·模拟预测）已知m,n∈(0,+∞)， +n=4，则m+ 的最小值为（ ）
m n
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.
【详解】∀m,n∈(0,+∞)，
9 1( 9)( 1 ) 1( 9 ) 1( √ 9 )
m+ = m+ +n = 10+mn+ ≥ 10+2❑mn⋅ =4，
n 4 n m 4 mn 4 mn
9
当且仅当mn= ，即m=1，n=3时等号成立.
mn
故选：B.
1
21．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数a，b满足e2a-2+eb=e2-2a+e-b，则a- 的最
2b
大值为（ ）
1 3
A．0 B． C．1 D．
2 2
【答案】A
【分析】根据等式关系构造函数f (x)=ex-e-x，由其单调性可得2a-2=-b，于是结合基
1
本不等式可得a- 的最大值.
2b
【详解】由题e2a-2-e2-2a=e-b-eb，构造函数f (x)=ex-e-x，则f (2a-2)=f (-b)，
2-b
显然f (x)在R上单调递增，所以2a-2=-b，即a= ，
2
所以a- 1 = 2-b - 1 =1- 1 ⋅ ( b+ 1) ≤1- 1 ×2❑ √ b⋅ 1 =0，当且仅当a= 1 ，b=1时
2b 2 2b 2 b 2 b 2
等号成立.
1
所以a- 的最大值为0.
2b
故选：A.
【点睛】关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数
学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内
在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因
此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多
问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
4 1
22．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若x>0，y>0，且x+ y=1，则 + 的最小值为 ．
x y
【答案】9
【分析】利用“1”的变形，结合基本不等式即可求解.
4 1 (4 1) 4 y x √4 y x
【详解】 + = + (x+ y)=5+ + ≥5+2❑ ⋅ =9，
x y x y x y x y
4 y x 2 1
当 = ，即x=2y，联立x+ y=1，得到x= ,y= 时，等号成立，
x y 3 3
4 1
所以 + 的最小值为9.
x y
故答案为：9
2 ( 1 )
23．（2024·重庆·模拟预测）已知f (x)=2x- +lnx，若实数m，n满足f (m)+f =0，
x n2
1
则4m+
的最小值为
n2
【答案】4
【分析】利用导数求解函数单调性，由f (x)+f
(1)
=0得
m
=1，即可利用不等式求解最值.
x n2
2 2 1 2
【详解】由f (x)=2x- +lnx(x>0)可得f'(x)=2+ + >0，故f (x)=2x- +lnx在
x x2 x x
(0,+∞)单调递增，
(1) ( 2 ) (2 1)
而f (x)+f = 2x- +lnx + -2x+ln =0，
x x x x
( 1 ) m
故f (m)+f =0得 =1，
n2 n2
4m+ 1 =4n2+ 1 ≥2❑ √ 4n2 ⋅ 1 =4，当且仅当4n2= 1 ，即n2= 1 时取等号，
n2 n2 n2 n2 2
故答案为：4y 4x
24．（2024·江西赣州·二模）已知y>x>0，则 - 的最小值为 .
y-x 2x+ y
2
【答案】
3
y 4x
【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对 - 进行变形配凑，
y-x 2x+ y
再结合基本不等式即可求解最小值.
【详解】由题y>x>0，所以
y 4x y 4x+2y-2y y 2y
- = - = + -2
y-x 2x+ y y-x 2x+ y y-x 2x+ y
( 1 2 ) ( 2 2 )
= y + -2= y + -2
y-x 2x+ y 2y-2x 2x+ y
1 ( 2 2 )
= [(2y-2x)+(2x+ y)] + -2
3 2y-2x 2x+ y
2( 2x+ y 2y-2x)
= 2+ + -2
3 2y-2x 2x+ y
2( √ 2x+ y 2y-2x) 8 2
≥ 2+2❑ · -2= -2= ，
3 2y-2x 2x+ y 3 3
2x+ y 2y-2x
当且仅当 = ，即2x+ y=2y-2x，即y=4x时等号成立.
2y-2x 2x+ y
2
故答案为： .
3
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离
4x 4x+2y-2y 2y 1
- =- = -2和配凑y= [(2y-2x)+(2x+ y)].
2x+ y 2x+ y 2x+ y 3
2
25．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，P是线段AD上的动点
3
x+ y
（与端点不重合），设⃗CP=x⃗CA+ y⃗CB，则 的最小值是 .
xy
【答案】4+2❑√32
【分析】由⃗BD= ⃗BC，得到⃗CB=3⃗CD，从而有⃗CP=x⃗CA+3 y⃗CD，再根据A,P,D三
3
点共线，得到x+3 y=1，然后利用基本不等式求解.
2
【详解】解：因为在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，
3
所以⃗CB=3⃗CD，
又因为⃗CP=x⃗CA+ y⃗CB，则⃗CP=x⃗CA+3 y⃗CD，
因为A,P,D三点共线，则x+3 y=1，结合题意知x>0,y>0，
x+ y 1 1 (1 1)
所以 = + = + (x+3 y)，
xy y x y x
x 3 y √ x 3 y
= + +4≥2❑ ⋅ +4=2❑√3+4，
y x y x
当且仅当¿，即¿ ¿时，等号成立，
故答案为：4+2❑√3
1 1
26．（2024·广西河池·模拟预测）若实数a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a，则 + 的最
a-1 b
小值为 .
【答案】4
【分析】根据a>1>b>0，将a2+2b=b2+2a化简可得a+b-2=0，再根据基本不等式
“1”的巧用求解最值即可.
【详解】由a2+2b=b2+2a可得(a-b)(a+b-2)=0，
因为a>1>b>0，所以a-b≠0，即a+b-2=0，则a-1+b=1，
1 1 ( 1 1) b a-1 √ b a-1
则 + = + (a-1+b)=2+ + ≥2+2❑ ⋅ =4，
a-1 b a-1 b a-1 b a-1 b
b a-1 3 1 1 1
当且仅当 = ，即a= ,b= 时等号成立，故 + 的最小值为4.
a-1 b 2 2 a-1 b
故答案为：4.
27．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知lgx+lg y=2，则x+ y的最小值为 .
【答案】20
【分析】由lgx+lg y=2可得xy=100，再由基本不等式求解即可.
【详解】依题意x>0，y>0，由lgx+lg y=2可得xy=100，
所以x+ y≥2❑√xy=20，等号成立当且仅当x= y=10.故答案为：20.
【题型4利用基本不等式求参数】
28．（2024·江西·模拟预测）已知平面向量⃗a=(2λ2+1,λ)，⃗b=(μ,1)，其中λ>0，若
⃗a//⃗b，则实数μ的取值范围是（ ）
A．[2❑√2,+∞) B．[2,+∞) C．[❑√2,+∞) D．[1,+∞)
【答案】A
2λ2+1
【分析】根据向量平行，得到μ= ，结合基本不等式即可求.
λ
【详解】由题意，因为⃗a//⃗b，所以λμ=2λ2+1，又λ>0，
2λ2+1 1 √ 1 1 ❑√2
所以μ= =2λ+ ≥2❑2λ× =2❑√2，当且仅当2λ= 即λ= 时等号成立．
λ λ λ λ 2
故选：A
29．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合A={x|❑√x≤a}，B={x|x2-2x-3≤0}，且
A⊆B，则a的取值范围为（ ）
A．[0,1] B．[0,❑√3] C．(-∞,1] D．(-∞,❑√3]
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再分a<0、a≥0两种情况讨论，确定集合A，
再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可.
【详解】由x2-2x-3≤0，即(x+1)(x-3)≤0，解得-1≤x≤3，
所以B={x|x2-2x-3≤0}=[-1,3]，
当a<0时，A={x|❑√x≤a}=∅，符合A⊆B，
当a≥0时，由❑√x≤a，解得0≤x≤a2，
所以A={x|❑√x≤a}={x|0≤x≤a2}，
因为A⊆B，所以¿，解得0≤a≤❑√3.
综上可得a的取值范围为(-∞,❑√3].故选：D
30．（2024·广西·模拟预测）已知a,b∈(-∞,0)，且a+4b=ab-5，则ab的取值范围为
（ ）
A．[25,+∞) B．[1,+∞) C．(0,5] D．(0,1]
【答案】D
【分析】首先确定0<ab<5，再由基本不等式得到ab+4❑√ab-5≤0，从而求出ab的取值
范围.
【详解】因为a,b∈(-∞,0)，a+4b=ab-5，则a+4b<0，所以0<ab<5．
又ab-5=a+4b=-[(-a)+4(-b)]≤-2❑√4ab=-4❑√ab，
即ab+4❑√ab-5≤0，即(❑√ab+5)⋅(❑√ab-1)≤0，解得0<❑√ab≤1，
所以0<ab≤1，当且仅当-a=-4b，即a=4b=-2时，等号成立，
即ab的取值范围为(0,1].
故选：D．
【题型5 一元二次不等式求解】
31．（2024·河南郑州·三模）已知集合A={x|x2-3x-4≤0},B={y|y=ln(x2+1)}，则
A∩B=（ ）
A．[-1,4] B．[0,1] C．(0,4] D．[0,4]
【答案】D
【分析】求出集合A和B即可求解.
【详解】因为A={x|x2-3x-4≤0}，所以A={x|-1≤x≤4}，
因为x2+1∈[1,+∞)，所以B={y|y≥0}，
所以A∩B=[0,4].
故选：D.
32．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知集合A={x∈N|x2<16}，B={x|x-2≤0}，则
A∩B=（ ）
A．{1,2} B．{0,1,2} C．{x∣-4<x≤2} D．{x∣0<x≤2}【答案】B
【分析】解一元二次不等式求出A集合，解一元一次不等式求出B集合，利用交集的定义
运算即可.
【详解】因为A={x∈N|x2<16}={0,1,2,3}，B={x|x-2≤0}={x|x≤2}，
所以A∩B= {0,1,2}.
故选：B
33．（2024·安徽马鞍山·三模）已知集合A={x∣x2-4x>0},B={x∣lnx>0}，则
(∁ A)∩B=（ ）
R
A．(0,4) B．(0,4] C．(1,4] D．［1，4]
【答案】C
【分析】本题先解不等式求出集合A、B，再结合补集和交集的定义即可求解.
【详解】因为集合A=¿或x＜0}，
B=¿，
所以∁ A=¿，
R
故∁ A∩B=¿
R
故选：C.
34．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知集合A={x∣x+2>0}，B={x∣x2-x-2<0}，则
A∩B=（ ）
A．{x∣-2<x<1}B．{x∣-2<x<2} C．{x∣-1<x<1} D．{x∣-1<x<2}
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由x2-x-2<0，即(x+1)(x-2)<0，解得-1<x<2，
所以B={x∣x2-x-2<0}={x|-1<x<2}，
又A={x∣x+2>0}={x∣x>-2}，所以A∩B={x∣-1<x<2}.
故选：D
35．（2024·河北·模拟预测）已知集合A={x∈N|x≤5}，集合B={x|x2-4x+3>0}，则
A∩B=（ ）A．{2} B．{0,1,3,4,5} C．{0,4,5} D．{4,5}
【答案】C
【分析】化简集合A,B，根据集合交集的概念求解即可.
【详解】由题意可得A={x∈N|x≤5}={0,1,2,3,4,5}，
由x2-4x+3=(x-3)(x-1)>0解得x>3或x<1，所以B=¿或x>3}，
所以A∩B={0,4,5}，
故选：C
【题型6 根据一元二次不等式解求参数】
36．（2024·陕西·二模）若2∈¿，则a的取值范围为（ ）
A．(-3,-1) B．[-3,-1]
C．(-∞,-3]∪[-1,+∞) D．(-∞,-3)∪(-1,+∞)
【答案】D
【分析】
将x=2代入原不等式，可得a2+4a+3>0，解之即可求解.
【详解】由题意知，当a=0时，{x|ax2+3x+a2-3>0}可变为{x|x>1}，符合题意；
当a≠0时，由2∈{x|ax2+3x+a2-3>0}，得a×22+3×2+a2-3>0，
即a2+4a+3>0，解得a<-3或a>-1且a≠0；
综上，实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(-1,+∞).
故选：D
37．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合P={x||x+1|<2}，
Q={x|x2-(a+1)x+a<0}．若P∪Q=P，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-3,1) B．[-3,1] C．(1,3] D．(-∞,1)
【答案】B
【分析】解绝对值不等式求出集合P，由P∪Q=P，得Q⊆P，由此能求出实数a的取值
范围.
【详解】由|x+1|<2，解得-3<x<1，所以集合P={x|-3<x<1} ，由x2-(a+1)x+a<0，可得(x-1)(x-a)<0，所以Q={x|(x-1)(x-a)<0}，
因为P∪Q=P，所以Q⊆P，
当a>1时，不符合题意，
所以Q={x|a<x<1}，因为Q⊆P，所以-3≤a≤1，
即实数a的取值范围是[-3,1]．
故选：B．
38．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数，则实数k的取
值范围是（ ）
A．2≤k≤18 B．-18<k<-2
C．2<k<18 D．0<k<2
【答案】C
【分析】分类讨论k=0与k≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【详解】当k=0时，不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0，显然不合题意；
当k≠0时，因为kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数，
所以¿，解得2<k<18；
综上：2<k<18.
故选：C.
39．（2024·上海·高考真题）已知x∈R,则不等式x2-2x-3<0的解集为 ．
【答案】{x|-1<x<3}
【分析】求出方程x2-2x-3=0的解后可求不等式的解集.
【详解】方程x2-2x-3=0的解为x=-1或x=3，
故不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-1<x<3}，
故答案为：{x|-1<x<3}.
{ 1 }
40．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合A={x|x2+mx≤0}，B= - ,m-1 ，且A∩B有
3
4个子集，则实数m的最小值是 .
1
【答案】 /0.5
21 1
【分析】根据A∩B的子集个数，得到A∩B元素个数，分m-1>- 和m-1<- 讨论，
3 3
进而得到实数m的取值范围.
【详解】由A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个元素，
所以B∩A=B，所以 A={x|x2+mx≤0}={x|-m≤x≤0}，
所以满足¿，或¿，
1 2 2
综上，实数m的取值范围为 ≤m< ，或 <m≤1，
2 3 3
1
故答案为：
2
41．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+∞)，使x2-ax+4<0”是假命题，则实数a的取
值范围为 .
【答案】(-∞,4]
4
【分析】将问题转化为“a≤x+ 在(0,+∞)上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得
x
最值，从而得解.
【详解】因为“∃x∈(0,+∞)，使x2-ax+4<0”是假命题，
所以“∀x∈(0,+∞)，x2-ax+4≥0”为真命题，
4
其等价于a≤x+ 在(0,+∞)上恒成立，
x
4
又因为对勾函数f (x)=x+ 在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
x
所以f (x) =f(2)=4，
min
所以a≤4，即实数a的取值范围为(-∞,4].
故答案为：(-∞,4].
【题型7 不等式恒成立问题】
42．（2024·陕西榆林·三模）已知α∈(0,2π)，若当x∈[0,1]时，关于x的不等式
(sinα+cosα+1)x2-(2sinα+1)x+sinα>0恒成立，则α的取值范围为（ ）(π 5π ) (π 5π ) ( π π ) (π 5π )
A． , B． , C． , D． ,
12 12 6 6 6 3 3 6
【答案】A
【分析】令f (x)=(sinα+cosα+1)x2-(2sinα+1)x+sinα，易得f (x)的对称轴为
1
sinα+
2 ，则¿，进而可得出答案.
x= ∈(0,1)
sinα+cosα+1
【详解】令f (x)=(sinα+cosα+1)x2-(2sinα+1)x+sinα，
由题意可得¿，则¿，
π
( )
又因为α∈(0,2π)，所以α∈ 0, ，
2
1
sinα+
函数f (x)的对称轴为 2 ，
x= ∈(0,1)
sinα+cosα+1
则¿，
即¿，
π π 5π
即¿，结合α∈ ( 0, ) ，解得 <α< .
2 12 12
故选：A.
43．（2024·湖北·二模）已知等差数列{a }的前n项和为S ，且S =n2+m，n∈N*，若对
n n n
a
于任意的a∈[0,1]，不等式 n<x2-(1+a)x-2a2-a+2恒成立，则实数x可能为（ ）
n
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
a
【分析】由S 与a 的关系且{a }为等差数列，求出a ，由 n<2，得
n n n n n
x2-(1+a)x-2a2-a+2≥2，构造函数g(a)=2a2+(1+x)a-x2+x，由g(a)≤0在
a∈[0,1]时恒成立，求实数x的取值范围.【详解】因为S =n2+m，n=1时，a =S =1+m，
n 1 1
n≥2时，a =S -S =n2+m-[(n-1) 2+m]=2n-1，
n n n-1
所以a =1+m，a =3，a =5，
1 2 3
因为{a }为等差数列，所以a =1，m=0，
n 1
a 1
从而a =2n-1， n=2- <2，
n n n
所以x2-(1+a)x-2a2-a+2≥2，即-2a2-(1+x)a+x2-x≥0，
则当0≤a≤1时，g(a)=2a2+(1+x)a-x2+x≤0恒成立，
¿，解得x≤-1或x≥3，
只有选项A符合题意，
故选：A
【题型8 基本不等式的其他应用】
44．（2024·北京延庆·一模）已知在正方体ABCD-A B C D 中，AB=1，P是正方形
1 1 1 1
ABCD内的动点，PA≥PC ，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（ ）
1
1 1 π π
A． B． C． D．
8 4 16 8
【答案】A
【分析】由题意，在平面ABCD上，分别以AB,AD为x,y轴建立平面直角坐标系，设
P(x,y)，根据已知列出x,y满足的关系，进而可得满足条件的点P构成的图形，计算面积
即可.
【详解】如图，连接PC，则PC =❑√PC2+CC2=❑√PC2+1，
1 1如图，在平面ABCD上，分别以AB,AD为x,y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0),C(1,1)，设P(x,y)，
由PA≥PC ，得|PA|≥❑√|PC| 2+1，
1
即❑√x2+ y2≥❑√(x-1) 2+(y-1) 2+1，整理得2x+2y-3≥0，
设直线l:2x+2y-3=0与DC,BC交于点M,N，
则点P在△CMN内部(含边界)，即满足条件的点P构成的图形为△CMN及其内部，
(1 ) ( 1) 1
易知M ,1 ,N 1, ，∴|CM|=|CN|= ，
2 2 2
1 1 1 1 1
∴S = |CM||CN|= × × = ．
△CMN 2 2 2 2 8
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题解题关键是在底面ABCD上建立平面直角坐标系，把空间问题转
化为平面问题去解决．
45．（2024·山东济南·三模）三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC．若该三棱
锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（ ）
9 27
A． ❑√7 B． ❑√3 C．18 D．36
2 2
【答案】C
【分析】由线面垂直得到线线垂直，推出该三棱锥的最长的棱为SC，故SC=9，最短的棱
为SA,AB或BC，分三种情况，利用锥体体积公式和基本不等式求出体积的最大值，得到
答案.
【详解】因为SA⊥平面ABC，AB,AC⊂平面ABC，
所以SA⊥AB，SA⊥AC，
故SB=❑√SA2+AB2,SC=❑√SA2+AC2，因为AB⊥BC，所以AC>BC,AC>AB，故SB<SC，
则该三棱锥的最长的棱为SC，故SC=9，
最短的棱为SA,AB或BC，
当最短的棱为SA，即SA=3时，
由勾股定理得AC=❑√SC2-SA2=❑√81-9=6❑√2，
1 AB2+BC2
故AB2+BC2=AC2=72，故S = AB⋅BC≤ =18，
△ABC 2 4
当且仅当AB=BC时，等号成立，
1 1
故三棱锥体积为 S ⋅AS≤ ×18×3=18，
3 △ABC 3
当最短的棱为AB，即AB=3时，
设BC=x，则AC=❑√x2+9，则SA=❑√SC2-AC2=❑√81-x2-9=❑√72-x2，
1 3x
故S = AB⋅BC= ，
△ABC 2 2
1 x 1 1 x2+72-x2
三棱锥体积为 S ⋅AS= ❑√72-x2= ❑√x2(72-x2)≤ × =18，
3 △ABC 2 2 2 2
当且仅当x2=72-x2，即x=6时，等号成立，
当最短的棱为BC，即BC=3时，
设AB=x，则AC=❑√x2+9，则SA=❑√SC2-AC2=❑√81-x2-9=❑√72-x2，
1 3x
故S = AB⋅BC= ，
△ABC 2 2
1 x 1 1 x2+72-x2
三棱锥体积为 S ⋅AS= ❑√72-x2= ❑√x2(72-x2)≤ × =18，
3 △ABC 2 2 2 2
当且仅当x2=72-x2，即x=6时，等号成立，
综上，该三棱锥的最大体积为18.故选：C
46．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指
圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图
案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块
1
四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足cosα= ，则这块四边形木板周
3
长的最大值为（ ）
10(❑√30+❑√15) 10(❑√30-❑√15)
A． cm B． cm
3 3
10(❑√10+❑√5) 10(❑√10-❑√5)
C． cm D． cm
3 3
【答案】A
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求周长的最大值.
1
【详解】因为四边形木板的一个内角α满足cosα= ，如图，
3
设∠BAD=α，由题设可得圆的直径为❑√100+25=5❑√5，
1 2❑√2
故BD=5❑√5sinα，因cosα= ，α为三角形内角，故sinα= ，
3 3
2❑√2 10❑√10
故BD=5❑√5× = ，
3 31000
故AB2+AD2-2AD×ABcosα=BD2=
，
9
8 1000 2(AD+AB) 2 1000
故(AB+AD) 2= AD×AB+ ≤ + ，
3 9 3 9
√1000 10❑√30 5❑√30
故AB+AD≤❑ ×3= ，当且仅当AB=AD= 时等号成立，
9 3 3
10❑√15 5❑√15
同理BC+CD≤ ，当且仅当BC=CD= 等号成立，
3 3
10(❑√30+❑√15)
故四边形周长的最大值为 cm，
3
故选：A.
47．（2020·上海浦东新·三模）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些
优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线C：(x2+ y2
)
3=16x2y2为四叶玫
瑰线，下列结论正确的有（ ）
（1）方程(x2+ y2 ) 3=16x2y2 (xy<0)，表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2；
（3）曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π；
（4）曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点).
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4）
【答案】A
【分析】因为xy<0，所以x与y异号，从而可判断（1）；利用基本不等可判断（2）；将
以O为圆心，2为半径的圆的面积与曲线C围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确
定曲线C经过点(❑√2,❑√2)，再将第一象限内经过的整点(1,1)，(1,2)，(2,1)逐一代入曲线
C的方程进行检验，根据对称性即可判断（4）.【详解】对于（1）：因为xy<0，所以x与y异号，故图象在第二和第四象限，正确；
x2+ y2
对于（2）：因为x2+ y2≥2xy (x>0,y>0)，所以xy≤ ，
2
所以(x2+ y2) 3 =16x2y2≤16×
(x2+ y2
)
2
=4(x2+ y2) 2 ，所以x2+ y2≤4，正确；
2
对于（3）：以O为圆点，2为半径的圆O的面积为4π，
结合（2）知然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，错误；
对于（4）：将x2+ y2=4和(x2+ y2
)
3=16x2y2联立，解得x2= y2=2，
所以可得圆x2+ y2=4与曲线C相切于点(❑√2,❑√2)，(-❑√2,❑√2)，(-❑√2,-❑√2)，
(❑√2,-❑√2)，
点(❑√2,❑√2)的位置是图中的点M，
由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，
把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，
所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点
(0,0)，错误.
故选：A
48．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形AOB，计划在空地
上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，
∠AOB=60°，OA=2.在方案1中，若设OE=x，EF= y，则x，y满足的关系式为
，比较两种方案，沙坑面积最大值为 .【答案】 4x2+2xy+ y2-4=0（其中x∈(0,1)，y∈(0,2)），或y=❑√4-3x2-x，
2❑√3 2
(x∈(0,1)) / ❑√3
3 3
【分析】（1）连接OC，在Rt△OCF中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；
2
（2）由（1）及基本不等式求得xy≤ ，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接
3
OM，OC，设OE=m，EF=n，在Rt△OCM中应用勾股定理得m2+❑√3mn+n2=4，结
合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可.
【详解】连接OC，由OE=x，EF= y，∠AOB=60°，OA=2，得DE=❑√3x，
在Rt△OCF中，(x+ y) 2+(❑√3x) 2=4，由OD=2x<2，得0<x<1，
显然y=❑√4-3x2-x在(0,1)上单调递减，0<y<2
所以x,y满足的关系式为4x2+2xy+ y2-4=0（x∈(0,1)，y∈(0,2)）或
y=❑√4-3x2-x，(x∈(0,1))；
方案1：设游泳池DEFC的面积为S ，
1
2 1
由（1）得4=4x2+2xy+ y2≥2xy+4xy=6xy，解得xy≤ ，当且仅当2x= y，即x= ，
3 ❑√32
y= 时取等号，
❑√3
2❑√3
所以S =❑√3xy≤ ；
1 3
方案2：设游泳池DEFC的面积为S ，取CF的中点M，
2
m 2 ❑√3m 2
连接OM，OC，设OE=m，EF=n，在Rt△OCM中，( ) +( +n) =4，
2 2
则4=m2+❑√3mn+n2≥(2+❑√3)mn，解得mn≤4(2-❑√3)，当且仅当m=n=❑√6-❑√2时取
等号，
S =mn≤4(2-❑√3)，
2
2❑√3 14❑√3-24 ❑√588-❑√576
而 -4(2-❑√3)= = >0，
3 3 3
2❑√3
所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为 .
3
故答案为：4x2+2xy+ y2-4=0（x∈(0,1)，y∈(0,2)），或y=❑√4-3x2-x，
2❑√3
(x∈(0,1))；
3
【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基
本不等式求解最值是解决问题的关键.
49．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在△ABC中，D为BC边的中点，且AD=❑√5．
❑√5
(1)若△ABC的面积为2，cos∠ADC= ，求B；
5
(2)若AB2+AC2=18，求△ABC的周长的最大值．
π
【答案】(1)
4
(2)10
【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，求得BD=1，由余弦定理，求得
❑√2
AB=2❑√2，再由正弦定理求得sinB= ，进而求得B的值；
2
（2）设CD=BD=x，分别在△ABD和△ACD中，利用余弦定理，列出方程求得x=2，结合(AB+AC) 2≤2(AB2+AC2)，即可求解.
【详解】（1）解：因为△ABC的面积为2，且D为BC的中点，
1
可得S = |AD||BD|sin∠ADB=1，
△ABD 2
2❑√5
又因为sin∠ADB=sin∠ADC= ，可得BD=1，所以BC=2
5
在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD⋅BD⋅cos∠ADB
2❑√5
=(❑√5) 2+12-2×❑√5×1× =8，所以AB=2❑√2，
5
AB AD ❑√2
由正弦定理 = ，可得sinB= ，
sin∠ADB sinB 2
❑√5
因为∠ADC+∠ADB=π且cos∠ADC= ，
5
❑√5
可得cos∠ADB=cos(π-∠ADC)=-cos∠ADC=- <0，
5
π
即∠ADB为钝角，所以B为锐角，所以B=
.
4
（2）解：设CD=BD=x，分别在△ABD和△ACD中，
由余弦定理AB2=AD2+BD2-2AD⋅BD⋅cos∠ADB，
即AB2=x2+5-2x⋅❑√5cos∠ADB，同理可得AC2=x2+5+2x⋅❑√5cos∠ADB，
所以AB2+AC2=2(x2+5)=18，可得x=2，
又因为(AB+AC) 2≤2(AB2+AC2)=36，当且仅当AB=AC时，等号成立，
所以AB+AC≤6，所以△ABC周长的最大值为10．
50．（2024·江西·模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b是a，c
的等比中项．
(1)求B的最大值：
acosB+bcosA
(2)若C为钝角，求 的取值范围．
bcosC+ccosB
π
【答案】(1)
3
(1+❑√5 3+❑√5)
(2) ,
2 2a2+c2-ac
【分析】（1）根据等比中项及余弦定理得cosB= ，根据基本不等式及余弦函
2ac
数性质可得结果；
（2）依题意设b=aq，c=aq2(q>1)，根据三角形三边关系及条件求出
√1+❑√5 1+❑√5
❑ <q< ，利用正弦定理及两角和正弦公式。诱导公式化简得
2 2
acosB+bcosA
=q2
，从而可得结果.
bcosC+ccosB
【详解】（1）因为b是a，c的等比中项，所以b2=ac．
由余弦定理可知b2=a2+c2-2accosB=ac，
a2+c2-ac 2ac-ac 1
则cosB= ≥ = ，当且仅当a=c时，等号成立．
2ac 2ac 2
π 1
又B∈(0,π)，根据余弦函数的性质且cos = ，
3 2
π
故B的最大值为 ．
3
（2）由已知可设b=aq，c=aq2(q>1)，
√1+❑√5 1+❑√5
则¿，所以¿，解得❑ <q< ．
2 2
acosB+bcosA
=
sinAcosB+sinBcosA
=
sin(A+B)
=
sinC
=
c
=q2 ∈
(1+❑√5
,，
3+❑√5)
bcosC+ccosB sinBcosC+sinCcosB sin(B+C) sinA a 2 2
acosB+bcosA (1+❑√5 3+❑√5)
所以 的取值范围为 , ．
bcosC+ccosB 2 2
【题型9 不等式与线性规划综合】
51．（2024·陕西西安·模拟预测）若x，y满足约束条件¿，则z=-2x- y的最小值为
（ ）A．0 B．-4 C．-5 D．-6
【答案】C
【分析】作出不等式所表示的可行域，数形结合可求z的最小值.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如图所示：
当直线z=-2x- y经过点B时，z最小，
由¿，解得¿，即B(2,1)，
将B(2,1)代入z=-2x- y，可得z=-5，
所以z的最小值为-5.
故选：C.
52．（2024·全国·模拟预测）在不等式组¿表示的平面区域内任取一点P(x,y)，则满足
y≥x-2的概率为（ ）
7 2 5 4
A． B． C． D．
9 3 9 9
【答案】C
【分析】分别画出不等式组¿和不等式y≥x-2满足的区域，再利用几何概型的概率求解.
【详解】解：如图，
不等式组¿表示的平面区域为△OAB及其内部，其中O(0,0),A(6,0),B(3,3)，
1
所以S = ×6×3=9，
△OAB 2
设直线y=x-2与直线y=0,x+ y-6=0分别交于点C(2,0),D(4,2)，所以满足y≥x-2的平面区域为四边形OCDB及其内部，
1
S =S -S =9- ×4×2=5，
四边形OCDB △OAB △ACD 2
5
所以满足y≥x-2的概率为P= ．
9
故选：C．
53．（2024·四川·模拟预测）若关于x,y的不等式组¿表示的平面区域是直角三角形区域，
则实数k=（ ）
A．-1 B．1 C．-1或0 D．0或1
【答案】C
【分析】由已知，关于x,y的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则直线
kx+ y-2=0垂直于直线y+x=0或直线kx+ y-2=0垂直于直线x=1，从而得到k值.
【详解】由题意，当直线kx+ y-2=0垂直于直线y+x=0时，表示的平面区域是直角三角
形区域，所以k=-1.
当直线kx+ y-2=0垂直于直线x=1时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以k=0.
故选:C．
54．（2024·全国·模拟预测）已知x,y满足约束条件¿，则x2+ y2的最小值为（ ）
A．2 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，再根据x2+ y2表示可行域内的点(x,y)与原点
(0,0)距离的平方，数形结合即可.【详解】约束条件表示的可行域为如图所示的阴影部分（包括边界），
x2+ y2表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)距离的平方．
由图知，❑√x2+ y2的最小值为原点(0,0)到直线x+ y-6=0的距离．
6
由点到直线的距离公式得原点(0,0)到直线x+ y-6=0的距离d= =3❑√2，
❑√2
故x2+ y2的最小值为18．
故选：B．
55．（2024·四川·模拟预测）若x，y满足约束条件¿，则z=x+4 y的最大值为 ．
【答案】9
【分析】作出可行域，再数形结合求出目标函数的最大值.
【详解】因为x，y满足约束条件¿，
作出可行域如下所示：
由¿，解得¿ ，由¿，解得¿，
由¿，解得¿，
所以约束条件表示的是以三点A(1,2),B(3,-1),C(4,1)为顶点的三角形及其内部，
1 z 1
目标函数可化为y=- x+ ，平移直线y=- x可知，
4 4 4
当直线经过点A(1,2)时，在y轴上的截距最大，此时z =1+4×2=9．
max
故答案为：9
56．（2024·陕西·模拟预测）已知实数x,y满足约束条件¿，则由可行域围成区域的面积为
.【答案】8
【分析】可行域围成区域是平行四边形，利用两点间距离公式求底边长，平行线间的距离
求高，可计算面积.
【详解】在直角坐标系中作出其可行域，区域是平行四边形，如图，
¿ ¿ E(0,4)
，解得 ，即 ，
¿，解得¿，即F(2,0)，
|EF|=❑√22+42=2❑√5，
|8-4| 4
且2x+ y=4与2x+ y=8之间的距离为 = ，
❑√4+1 ❑√5
4
所以围成的图形面积为2❑√5× =8.
❑√5
故答案为：8.
【易错点1忽视字母的取值范围而致错】
1．（2024·北京东城·一模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】举出反例即可判断ABD，利用作差法即可判断C.
【详解】当 时， ，故AD错误；
当 时， ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，因为 ，所以 且 ，则 ，
所以 ，故C正确.
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.
【详解】 ，即 ，故选项A正确；
当 时，满足 ，但 ，此时 ， ，故选项
B，C错误；
当 时，由 可得 ，故选项D错误.
故选:A．
【易错点2 多次运用不等式性质而致错】
1．（2024·全国·模拟预测）已知实数 满足 ，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由 可得 ，所以 ，
故答案为：
2．（2024高三·全国·专题练习）若实数x，y满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是
．
【答案】[ ， ]
【详解】因为(xy2)3∈[1，64]， ∈[ ， ]，所以xy5＝(xy2)3· ∈[ ， ].
【易错点3忽视字不等式种高次项的系数】
1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“ ”为假命题，则
实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】正难则反，命题“ ”为假命题，等价于命题“
”为真命题，则分为 和 两大类讨论即可.
【详解】命题“ ”的否定为：“ ”
命题“ ”为假命题等价于命题“ ”为真命
题；
当 时， ，成立；
当 时，结合一元二次函数的图象可得： ，解得 ，
综上，实数m的取值范围是 .
故答案为： .
2．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设 ， ，将不等式恒成立问题转化成 ，构造 ，根据单调性求最值.
【详解】设 ，
，
则 ，
则 恒成立可化为 恒成立，
即 恒成立，故 ，
设 ，
易知 在 时递减，在 时递增，
所以 ，
而 显然在 时单调递增，所以 ，
故 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：本题将恒成立问题转化成求最值问题，然后采用双换元和轮流作主法
求最值.
【易错点4 运用不等式基本性质求最值时，忽略不等式成立的三个条件】
1.（没有考虑等号能否取到）
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简两个集合，再利用补集运算求解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
故选：B
2.（忽视一元二次不等式种两根大小）
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合 ，集合
，若 ，则 .
【答案】0或1
【分析】根据题意先求集合 ，结合包含关系分析求解.
【详解】由题意可知： ，
，
因为 ，可知 或 ，可得 或 .
故答案为：0或1.
3.（没有考虑“一正”）
1．（2024高三·天津·专题练习）已知正项等比数列 中， ， ， 成等差数列．若
数列 中存在两项 ， ，使得 为它们的等比中项，则 的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B【分析】先根据题意求出首项及公比，再根据等比中项的定义求出 ，再根据基本不等
式中“1”的整体代换即可得解.
【详解】设正项等比数列 公比为 ，由 ， ， 成等差数列，
有 ，即 ，得 ，
由 ，解得 ，
若数列 中存在两项 ， ，使得 为它们的等比中项，
则 ，即 ，得 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为3．
故选：B
