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第 12 讲 零点问题、隐零点问题与零点赋值问题
【典型例题】
例1．（2024·北京石景山·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值；
(3)当 时，求证： ．
例2．（2024·山西·一模）已知 ，且 ，函数 .
(1)记 为数列 的前 项和.证明：当 时， ；
(2)若 ，证明： ；
(3)若 有3个零点，求实数 的取值范围.
例3．（2024·辽宁抚顺·一模）已知函数 ．
(1)当 时，判断 的单调性；
(2)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
例4．（2024·江西赣州·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间，
(2)已如 .若函数 有唯一的零点 .证明， .例5．（2024·高三·河南焦作·阶段练习）已知函数 ， .
(1)若 的最大值是0，求m的值；
(2)若对于定义域内任意x， 恒成立，求m的取值范围.
例6．（2024·四川南充·二模）设函数 ， ．
(1)若函数 在区间 是单调函数，求 的取值范围；
(2)设 ，证明函数 在区间 上存在最小值 ，且
例7．（2024·山西·模拟预测）已知函数 ，且 与 轴相切于坐标原点．
(1)求实数 的值及 的最大值；
(2)证明：当 时， ；
(3)判断关于 的方程 实数根的个数，并证明．
【过关测试】
1．（2024·全国·模拟预测）当 时，总有不等式 成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)设方程 ，试确定该方程实根的个数，并证明你的结论．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且 在点 处的切线的斜率为 ．
设函数 的最大值为 ．
(1)求 的值；
(2)求证： ；
(3)若不等式 ，求实数 的最大值．
3．（2024·上海·一模）已知 ，函数 的导函数为 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)求函数 的极值点；
(3)函数 的图象上是否存在一个定点 ，使得对于定义域内的任意实数 ，
都有 成立？证明你的结论．
4．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数 .
(1)判断 的单调性；
(2)当 时，求函数 的零点个数.
5．（2024·云南·一模）已知 是自然对数的底数，常数 ，函数 .
(1)求 、 的单调区间；(2)讨论直线 与曲线 的公共点的个数；
(3)记函数 、 ，若 ，且 ，则 ，求
实数 的取值范围.
6．（2024·山东泰安·一模）已知函数 ．
(1)若 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直，证明： ；
(2)若对任意的 且 ，函数 ，证明：函数 在 上存在唯一零点．
7．（2024·山东淄博·一模）已知函数
(1)讨论函数 在区间 上的单调性;
(2)证明函数 在区间 上有且仅有两个零点.
8．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 ， 恒成立，求 的取值范围．
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求函数 的图像在点 处的切线方程；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．10．（2024·四川·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调递减区间；
(2)若 有两个极值点 ， （ ）.
①求实数b的取值范围；
②证明： .
11．（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 只有一个极值点，求实数 的取值范围；
(2)若 在 处取得极值 ，且 ，证明： ．
12．（2024·高三·江西·阶段练习）记函数 在 上的导函数为 ，若 （其
中 ）恒成立，则称 在 上具有性质 ．
(1)判断函数 （ 且 ）在区间 上是否具有性质 ？并说明理由；
(2)设 均为实常数，若奇函数 在 处取得极值，是否存在实数 ，使得 在
区间 上具有性质 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设 且 ，对于任意的 ，不等式 成立，求 的最大值．13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)若 ，求函数 的零点个数．
14．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 点 处的切线方程；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
15．（2024·安徽·模拟预测）已知函数 的图象在点 处的切线方程为
．
(1)求 的解析式；
(2)证明： ， ．
参考数据： ．
16．（2024·辽宁·一模）已知函数
(1)讨论 的零点个数;
(2)当 时，| 求a的取值范围.17．（2024·高三·湖南湘潭·阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，记 的极小值点为 ，证明： 存在唯一零点 ，且 .（参考数据：
）
18．（2024·高三·河南信阳·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
19．（2024·四川遂宁·二模）已知函数 ．
(1)若 在区间 存在极值，求 的取值范围；
(2)若 ， ，求 的取值范围．
20．（2024·黑龙江·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)若存在 ，满足 ，求 的取值范围．21．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）函数 ；
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2) 在 恒成立，求整数 的最大值.
