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6.3 空间几何中的空间角与空间距离
1
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2
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考点一 线线角
【例1-1】（2024 辽宁省）如图，在直三棱柱
中，所有棱长都相等，
分别是棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】连接
，因为在直三棱柱
中，
分别是棱
的中点，
故
，即四边形
为平行四边形，所以
，
则
即为异面直线
与
所成角或其补角；
直三棱柱
中，所有棱长都相等，设其棱长为
，连接
，
则
平面
，故
平面
平面
，
故
，
是棱
的中点，故
，
则
,而
5
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，又
，故在
中，
,
由于异面直线所成角的范围
，故异面直线
与
所成角的余弦值是
，
故选：D.
【例1-2】（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC 中，
，
，
，点D，E，F 满足
，
，
，则直线CE 与DF 所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，
，
，则
，
，
，
，
所以
，
故直线CE 与DF 所成的角为
.
故选：D
【例1-3】（24-25 上海·单元测试）如图，在三棱锥
中，
为等边三角形，
为等腰直角三
角形，
，平面
平面ABC，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为 ．
6
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【答案】
【解析】取
的中点
，连接
，
，因为
，所以
．
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
．又
，所以
，
可得
，
，
两两垂直，所以以
为坐标原点，
，
，
的方向分别为
，
，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，不妨设
，则
，
，
，
，所以
，
，
所以
，
又异面直线所成角的取值范围为
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
．
故答案为：
.
【一隅三反】
1．（23-24 安徽芜湖·期末）在三棱锥
中，
，
，E，F 分别是
，
的中点，
，则直线
与
所成的角的余弦值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】取
的中点
，连接
，
因为E，F 分别是
，
的中点，
所以
，故
或其补角为直线
与
所成的角，
，
又
，
故
，
故直线
与
所成的角的余弦值为
.
故选：A
2（23-24 ·福建厦门·期末）在四面体
中，
，
，
，
，则
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，
，令
为
与
所成夹角，
则
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.
故选：A
3．（24-25 上海·课堂例题）如图，在棱长为2 的正方体中，
分别是
的中点，G 在棱CD 上，且
，H 是
的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：
；
(2)求异面直线EF 与
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA、DC、
分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间
直角坐标系
，
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则
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，故
．
（2）因为
，所以
．
因为
，且
，
所以
．
考点二 线面角
【例2-1】（23-24 黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥
中，
平面
，
是
的中点，则
与平面
所成角的正弦值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，取
中点
，连接
，令
.
因为
面
，
面
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
面
，
面
，所以
，
又因为
，所以
，因为
面
，
，所以
面
，
因为
面
，所以
，
因为
面
，
所以
面
，所以
是
与平面
所成角，
因为
，.
.，所以
,
由已证知，
面
，因为
面
，所以
，所以
，
因为
面
，
面
，所以
，所以
，所以
，
由已证知，
面
，又因为
面
，所以
所以
，
即
与平面
所成角的正弦值是
.
故选：B．
【例2-2】（23-24 江苏徐州·期中）已知平行四边形
中，
是线段
的中点.沿
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直线
将
翻折成
，使得平面
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）在
中，
，
翻折后，
，则
，
于是
，而平面
⊥平面
，平面
平面
=
，
平面
，
所以
平面
.
（2）由（1）知
平面
，且
，显然直线
两两垂直，
如图，以D 为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
由E 是线段
的中点，得
，
，
在平面
中，
，
，
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设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
，
以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【一隅三反】
1．（22-23 云南昭通·期末）如图所示，
平面
，
，
，
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：取
的中点
，连接
，如图5 所示：
因为
分别为
的中点，所以
且
.
又
，且
，所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，则
,
因为
平面
，
平面
，所以
平面
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（2）如图6，取
的中点
，连接
，
∵
，∴
,
∵
平面
，∴
，
∵
，∴
平面
.
则直线
与平面
所成角为
，
在
中，∵
，
∴
，
在等边
中，∵
，∴
，
∴
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
2．（2024 贵州贵阳 ）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
为
的中点.
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(1)设平面
与直线
相交于点
，求证：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为底面
为菱形，所以
，
因为
平面
，且
平面
，
所以
平面
；
因为
平面
，且平面
平面
，
所以
；
因为
平面
，且
平面
，
所以
平面
.
（2）过
作
交
于
，连接
，
平面
平面
，
，
又
平面
，
平面
，
是直线
与平面
所成的角，
底面
为菱形，且
，
为等边三角形，且
，
，
平面
平面
，
，且
是
的中位线，
在
中，
，
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在
中，
，
，即直线
与平面
所成的角为
.
3 ．（23-24 ·广东·期末）如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，底面
是正三角形，
，点
、
分别在
、
上，且
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
⋅
【解析】（1）在线段
上取一点
，使
，连结
、
，
在
中，因为
，
，所以
，
所以
且
，
因为
，
，且
，
所以
，且
，
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所以
且
，
故四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
， 所以
平面
．
（2）以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，轴建立如图空间直角坐标系，
因为底面
是正三角形，
，所以点
，点
，
点
，点
，点
，
因为
，所以点
，
则
，
，
，
设平面
的一个法向量为
．
由
，令
，
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得平面
的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成角的大小为
，
则
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的余弦值为
⋅
4．（23-24 安徽宣城·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，且
，
分别为棱
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
平面
平面
，则
，
由
，则
；
又
平面
，
平面
平面
，
，
，且
为
的中点，
，
平面
，
平面
，又
平面
，
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所以平面
平面
；
（2）解法一：如图，连结
，由（1）知
平面
，
所以，
为直线
在平面
内的射影，且
，
所以，
即为直线
与平面
所成的角.
在直角梯形
内，过
作
于
，则四边形
为矩形，
，在
中，
，
所以，
，
而
，在
中，
，
所以
，
综上，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
解法二：在直角梯形
内，过
作
于
，则四边形
为矩形，
，在
中，
，
所以，
，
以
点为原点，
分别为
轴，建系如图，
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则
.
由（1）知，
平面
，平面
法向量可取为
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
综上，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
考点三 二面角
【例3-1】（23-24 吉林白山 ）如图，在棱长为
的正方体
中，
为
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
又四边形
为正方形，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
；
（2）如图，连接
，取
的中点
，连接
交
于点
，连接
，
设
交
于点
，连接
，
，
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因为
为
的中点，所以
，
因为
，
，所以四边形
是平行四边形，所以
，
所以
，所以平面
即为平面
，且
为
中点，
由（1）知
平面
，又
平面
，所以
，
又
，
为
的中点，所以
，
所以
为平面
与平面
的夹角，
由
为直角三角形，可得
，
，则
，
即
为等腰三角形，所以
，
即平面
与平面
夹角的余弦值为
.
【例3-2】（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
，
，点
为线段
的中点，点
在线段
上.
(1)若
，求证：
；
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(2)若
是
上靠近点
的三等分点，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【解析】（1）在正方形
中，
，又
在
中，点
为线段
的中点，
平分
，
在
中，
，
过
作
交
于
，连接
，则
，
在正方形
中，
四边形
是矩形，
，又
，
平面
，
平面
，又
平面
.
（2）
，
在正方形
中，
，
而
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
平面
平面
，
过
作
交
于点
，
由平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
得，
平面
，
故
两两互相垂直，以
为原点，以
所在直线分别为
轴，
建立如图所示空间直角坐标系
，
则
，
由（1）知：
，
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是
上靠近点
的三等分点，
，
故
，
设平面
的法向量为
，
故
，取
，故
所以平面
的一个法向量
，
同理：设平面
的法向量
，
，取
，故
，
平面
的一个法向量
，
设平面
与平面
所成的锐二面角的平面角为
，
则
故平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
【一隅三反】
1．（23-24·河北邢台）已知正方体
．
(1)证明：
．
(2)求二面角
的余弦值．
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【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【解析】（1）连接
．
在正方体
中，
平面
，
平面
，所以
．
在正方形
中，
．
因为
，
平面
，
所以
平面
．
因为
平面
，所以
；
（2）取
的中点M，连接
，
，则
．
在正方体
中，
因为
平面
，
平面
，所以
．
又因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，则
．
又因为
，所以
为二面角
的平面角．
连接
，设正方体的棱长为4．在
中，
，
，
．
由余弦定理得
．
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故二面角
的余弦值为
．
2．（2024 四川凉山 ）如图，四棱锥
的底面是边长为3 的菱形，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，
，求二面角
的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）设
，连接
，因为底面
为菱形，
所以
为
的中点，
，
又
，所以
，
平面
，
，
所以
平面
.又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）在平面
中过点
作
交
于点
，
因为
平面
，又
平面
，
所以
，
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又
，
平面
，所以
平面
，
过点
作
交
于点
，连接
，
又
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
所以
即为二面角
的平面角，
在
中，
因为
，所以
，
因为
所以
，
在
中，
，
又
平面
，
平面
，所以
，
所以
，
所以二面角
的正切值为.
3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，
且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
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【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取
的中点为，接
，则
，
而
，故
，故四边形
为平行四边形，
故
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）
因为
，故
，故
，
故四边形
为平行四边形，故
，所以
平面
，
而
平面
，故
，而
，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
则
设平面
的法向量为
，
则由
可得
，取
，
设平面
的法向量为
，
则由
可得
，取
，
故
，
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故平面
与平面
夹角的余弦值为
4 ．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形
ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【解析】（1）因为
为
的中点，所以
，
四边形
为平行四边形，所以
，又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）如图所示，作
交
于
，连接
，
因为四边形
为等腰梯形，
，所以
，
结合（1）
为平行四边形，可得
，又
，
所以
为等边三角形，
为
中点，所以
，
又因为四边形
为等腰梯形，
为
中点，所以
，
四边形
为平行四边形，
，
所以
为等腰三角形，
与
底边上中点
重合，
，
，
因为
，所以
，所以
互相垂直，
以
方向为
轴，
方向为
轴，
方向为轴，建立
空间直角坐标系，
，
，
，
，设平面
的法向量为
，
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平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，得
，即
，
则
，即
，令
，得
，
即
，
，则
，
故二面角
的正弦值为
.
考点四 点面距
【例4-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱
中，
是边长为2 的等边三角形，
.
(1)证明：
；
(2)若三棱柱
的体积为3，且直线
与平面ABC 所成角为60°，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
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(2)
【解析】（1）如图，取
的中点
，连接
，
，因为
是等边三角形，所以
，
又
，所以
，且
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
又
，所以
；
（2）在平面
中，作
，垂足为D，
由（1）知
平面
，
平面
，所以
，
而
，
平面ABC，
平面ABC，
所以
平面ABC，由
为
中点，所以
，
所以可过点O 作Oz 轴平行于
，建立如图所示的空间直角坐标系
，
因为三棱柱
的体积为3，
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所以
，故
，
则
，
，
，设
，
，
所以
平面ABC 的一个法向量为
，
所以
，解得
，
此时
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，解得
，
，所以
，
又
，
故点
到平面
的距离为
.
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
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(2)若二面角
的余弦值为
，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)点
到平面
的距离为
.
【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质可知
，
，四边形
为平行四边形，
又因为
，所以四边形
为正方形，所以
，
因为
，
，
，
所以
平面
，
所以
，
因为
，
所以
，
又因为
平面
所以
平面
.
（2）以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
32
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所以平面
的一个法向量为
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，所以
，
取
，则
，
，
所以
，
设二面角
的大小为
，
则
，解得
，
所以
，平面
的一个法向量
，
设点
到平面
的距离为
，
则
，
所以点
到平面
的距离为
.
2．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD 是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，圆O 的半径为1，
，点G 是线段BF 的中点．
(1)证明：
平面DAF；
33
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(2)若直线DF 与圆柱底面所成角为45°，求点G 到平面DEF 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取
中点
，连接
，如图所示：
为
中点，则
，又
，得
，
由
，
，得
，
所以四边形
为平行四边形，
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）因为
，
，
，所以
.
因为
平面
，且直线
与圆柱底面所成角为
，
所以
，则有
.
如图，以
为原点，
分别为
轴，过
垂直于底面的直线
为轴，建立空间直角坐标系
，
则有
，
，
，
34
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设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，有
，得
，
，
设点
到平面
的距离为
，
.
故点
到平面
的距离
.
考点五 点线距和线线距
【例5-1】（23-24 浙江·期中）空间点
，则点
到直线
的距离
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，
所以
，
所以
，
所以点A 到直线BC 的距离
.
故选：D.
【例5-2】．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
为棱
的中点，直线
与
所成角的余弦值为
．求：
35
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(1)点
到直线
的距离；
(2)二面角
的余弦值．
【答案】(1)
(2)
．
【解析】（1）取
的中点
，连接
，
因为
，
，所以
，
又
，所以四边形
为平行四边形，
又
，
故
⊥
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
如图，以A 为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，轴，建立空间直角坐标系，
设
，则
，
于是
．
设
所成的角为
，
36
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则
，
故
，解得
，
设点
到直线
的距离为
，
则
，
所以
．
所以点
到直线
的距离为
．
（2）依题意，
．
设平面
的一个法向量
，
则
，
解得
，令
，得
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
解得
，令
，得
，则
．
设二面角
的平面角为
，由图知
为锐角，
则
，
所以二面角
的余弦值为
．
【一隅三反】
1（2024·广西来宾·一模）棱长为3 的正方体
中，点E，F 满足
，
，则点
37
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E 到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得
，
，
，
，
，设向量
与
的夹角为
，
，
所以点
到直线
的距离为
.
故选：A.
2．（2024·天津北辰·三模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
∥
，
，
，
为棱
的中点.
(1)证明：
∥平面
；
38
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(2)求平面
和平面
夹角的余弦值；
(3)求A 点到直线
的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【解析】（1）取
中点
，连接
，
．
在
中，
，
分别为
，
的中点，则
，
，
因为
∥
，
，则
，
，
可知四边形
为平行四边形，则
，
且
平面
，
平面
，所以
∥平面PAD．
（2）因为
平面
，
，
平面ABCD，
则
，
，且
，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系
，如图所示，
取CD 的中点
，连接BE，
因为
∥
，
，则
，
，
又因为
，所以四边形ABED 为矩形，
且
，可知四边形ABED 是以边长为2 的正方形，
则
，
，
，
，
，
，
39
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可得
，
，
，
设平面BDM 的法向量为
，所以
，
令
，则
，
．所以平面BDM 的一个法向量为
，
易知
为平面PDM 的一个法向量，
所以
，
所以平面
和平面
夹角的余弦值为
.
（3）由（2）可知：
，
则
，
即
，可知
为锐角，
则
，
所以A 点到直线
的距离为
.
考点六 动点问题
【例6-1】（2023·广东韶关·一模）已知矩形
中，
，
，
是
的中点，如图所示，沿
将
翻折至
，使得平面
平面
.
(1)证明：
；
40
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(2)若
是否存在
，使得
与平面
所成的角的正弦值是
？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）依题意
矩形，
，
，
是
中点，
所以
，
又
，所以，
，
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
.
（2）
以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
设
是
的中点，
因为
，所以
，
又平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
，
假设存在满足题意的
，则由
.
可得，
.
设平面
的一个法向量为
，
41
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则
，令
，可得
，
，即
，
设
与平面
所成的角为
，所以
解得
（
舍去），
综上，存在
，使得
与平面
所成的角的正弦值为
.
【例6-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知
平面
，
，
是等腰直角三角形，
其中
，且
．
(1)设线段
中点为
，证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离等于
，如果存在，求
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
的长为
【解析】（1）取
的中点
，
的中点
，连结
、
、
则有
，
，
因为
，
，所以
且
，
所以四边形
是平行四边形，则
，
42
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又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）存在.设
，在
中，
.
因为
面
，所以
.
因为
面
，
面
，
面
所以
,
，
则
均为直角三角形.
在
中，
同理，
.
取
的中点
，因为
，所以
，
而
.
故
.
因为点
到面
的距离等于
，
所以
.
而
，所以
，解得
.
所以在线段
上只存在唯一一点
，当且仅当
时，点
到面
的距离等于
.
43
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【一隅三反】
1．（2023·天津·一模）已知底面
是正方形，
平面
，
，
，点
、
分别为线段
、
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值是
，若存在求出
的值，若不
存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在；
或
【解析】（1）证明：法一：分别取
、
的中点
、
，连接
、
、
，
由题意可知点
、
分别为线段
、
的中点．所以
，
，
44
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因为
，所以
，所以点
、
、
、
四点共面，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
，
、
平面
，所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
；
法二：因为
为正方形，且
平面
，所以
、
、
两两互相垂直，
以点
为坐标原点，以
、
、
所在直线分别为
、
、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
、
、
，
所以
，易知平面
的一个法向量
，
所以
，所以
，
又因为
平面
，所以
平面
．
（2）解：设平面
的法向量
，
，
，
则
，取
，可得
，
45
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所以平面
的一个法向量为
，
易知平面
的一个法向量
，设平面
与平面
夹角为
，
则
，
所以平面
与平面
夹角余弦值为
；
（3）解：假设存在点
，使得
，其中
，
则
，
由（2）得平面
的一个法向量为
，
由题意可得
，
整理可得
．即
，
因为
，解得
或
，所以，
或
．
2．（22-23 高三下·湖南·阶段练习）如图1，在
中，
，
，
为
的中点，
为
上一点，且
.现将
沿
翻折到
，如图2.
(1)证明：
.
(2)已知二面角
为
，在棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？
若存在，确定
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
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【解析】（1）证明：翻折前，在
中，
，翻折后，有
，
，
又
，
、
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）解：因为二面角
为
，
，
，
所以，二面角
的平面角为
，
以点
为坐标原点，
、
所在直线为
、
轴，过点
且垂直于平面
的直线为轴建立如下图所示的
空间直角坐标系，
不妨设
，则
、
、
、
、
.
，
，
，
.
设
，
，其中
，
设平面
的法向量为
，
由
得
，
取
，可得
，
，解得
，合乎题意，
故当
时，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
3．（22-23 高三上·山东济南·期末）如图，在三棱柱
中，四边形
是菱形，
，平面
47
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平面
.
(1)证明：
；
(2)已知
，
，平面
与平面
的交线为.在上是否存在点
，使直线
与平面
所成角的正弦值为
?若存在，求线段
的长度；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点
，线段
的长为．
【解析】（1）证明：因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
因为四边形
是菱形，所以
，
又因为
，
、
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
（2）解：取
中点
，连接
，
因为四边形
为菱形，则
，
又因为
，则
为等边三角形，
由菱形的几何性质可知
，
，则
也为等边三角形，
因为
为
的中点，则
，
，
，
48
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由（1）知，
平面
，以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、轴建立如下图
所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
、
，
，
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为平面
平面
，
平面
，所以
，由（1）知
平面
，
设
，则
，
．
设平面
的法向量
，则
，
取
，可得
，
因为直线
与平面
所成角的正弦值为
，
则
，解得
，
因此，存在点
，线段
的长为．
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱
中，
，
，
，则异面
直线
与
所成角的余弦值为（ ）
49
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】以
为原点，在平面
内过
作
的垂线交
于
，
以
为
轴，以
为
轴，以
为轴，建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱
中，
，
，
，
所以
，
所以
，
设异面直线
与
所成角为
，
所以
.
故选：C.
2．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体
中，已知
，
，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线
与BD 所成的角为90°
50
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B．线段
的长度为
C．直线
与
所成的角为90°
D．直线
与平面ABCD 所成角的正弦值为
【答案】D
【解析】在平行六面体
中，令
，
，
，
由
，
，
得
，
，
对于
，显然
，
，
则
，即
，
因此直线
与
所成的角为
，A 正确；
对于B，
，即
，B 正确；
对于C，
，即
，
因此直线
与
所成的角为
，C 正确；
对于D，在平行六面体
中，四边形
是菱形，即
，
又
，
，
平面
，于是
平面
，
又
平面
，则平面
平面
，
连接
交
于点
，在平面
内过点
作
于点
，如图，
51
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由平面
平面
，因此
平面
，即直线
与平面
所成角为
，
，则
，即
，
由
及选项C 知，
，则
，D 错误.
故选：D
3．（2024·青海西宁·模拟预测）在直三棱柱
中，
，
，
为线段
的中
点，点
在线段
上，且
，则直线
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，以点
为原点建立空间直角坐标系，
不妨设
，则
，
则
，故
，
因为
轴
平面
，则可取平面
的法向量为
，
则
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
故选：B.
4．（2024·河北沧州·二模）已知四面体
满足
52
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，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为四面体
满足
，
可得
，
设平面
的一个法向量
，
则
，
令
，解得
，所以
，
所以
，
设点
到平面
的距离为，则
.
故选：D.
5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面
是边长为2 的正方形，半圆面
底面
，点
为圆弧
上的动点．当三棱锥
的体积最大时，二面角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】三棱锥
的体积与
到平面
的距离成正比，
故当三棱锥
的体积最大时,此时点
处于半圆弧的正中间位置.
点
处于半圆弧的正中间位置时，记
的中点为
，以其为原点，
分别作为
轴正方向，建
53
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立空间直角坐标系.
平面
显然有法向量
，
，
设
为平面
的法向量，
则该向量与
和
均垂直，
所以
，从而
.
令
，解得
，
故
符合条件，
显然二面角
为锐角，
因此所求余弦值为
.
故选：D.
6．（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，
为线段
的中点，
为线段
的中点.直线
到平面
的距离为（ ）.
A．
B．
C．
D．
54
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【答案】C
【解析】∵
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，
因此直线
到平面
的距离等于点
到平面
的距离，
如图，以
点为坐标原点，
所在的直线为
轴，
所在的直线为
轴，
所在的直线为轴，建立直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，
设点
到平面
的距离为
，
则
，
故直线
到平面
的距离为
.
故选：C.
7．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，
彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长
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椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知
和
是圆
的两条互相垂直的直径，将平面
沿
翻折至平面
，使得平面
平面
（如图2）此时直线
与平面
所成角的正弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，而平面
平面
，平面
平面
，
又
平面
平面
，则
平面
，
，
因此直线
两两垂直，以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
令圆半径
，则
，
，设平面
的一个法向量
，
则
，令
，得
，设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
故选：B
8．（2024·山东临沂·二模）已知正方体
中，M，N 分别为
，
的中点，则（ ）
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A．直线MN 与
所成角的余弦值为
B．平面
与平面
夹角的余弦值为
C．在
上存在点Q，使得
D．在
上存在点P，使得
平面
【答案】C
【解析】以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，
所以
，
，
，
对于A，
，
，
直线MN 与
所成角的余弦值为
，故A 错误；
对于B，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
平面
与平面
夹角的余弦值为：
，故B 错误；
对于C，因为Q 在
上，设
，所以
，
，
57
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则
，所以
，
所以
，
，
所以
，解得：
.
故
上存在点
，使得
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
四点共面，
而
平面
，所以
上不存在点P，使得
平面
，故D 错误.
故选：C.
.
二、多选题
9．（2024 高三上·湖北·开学考试）如图，
平面
，
，
，
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
平面
C．平面
与平面
的夹角的余弦值为
58
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D．直线
与平面
所成角的正弦值为
【答案】BC
【解析】因为
平面
，
，
由题意，以
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
轴、
轴、轴正方向建立空间直角坐标系，
可得
，
，
，
，
，
，
则
，
，
所以
，所以
，
不垂直，故A 错误；
依题意，
是平面
的法向量，
又
，可得
，则
，
又因为直线
平面
，所以
平面
，故B 正确；
设
为平面
的一个法向量，则
，
即
，令
，可得
，
依题意，
，
，
设
为平面
的法向量，
则
，即
，不妨令
，可得
，
59
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所以
，
故平面
与平面
的夹角的余弦值为
，故C 正确；
设直线
与平面
所成角为
，
，
则
，故D 错误.
故选：BC.
10．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，
是矩形
所在平面外一点，
，二
面角
为
，
为
中点，
为
中点，
为
中点．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是二面角
的平面角
C．
D．
与
所成的角的余弦值
【答案】BD
【解析】
连接
，过
向平面
引垂线，垂足为
，连接
；
因为
，
为
中点，所以
；
因为
垂直于平面
，
平面
，所以
；
平面
，
平面
，
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
60
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所以二面角
的平面角为
；
在
中，
，
，所以
，
在
中，
，
，所以
，
；
因为
为矩形，所以
，又
，
，
过点
作
交
于
，
，所以四边形
为正方形；
如图所示，建立以
为坐标原点，
为
轴，过
且与
垂直的方向为
轴，
为轴的空间直角坐标系；
，
，
，
，
，
，
为
中点，所以
；
，所以
，
故
，A 错误；
为
中点，
为
中点，
为
中位线，
，
又
，所以
，又因为
，
所以
是二面角
的平面角，B 正确；
因为
为锐角，且
，
，
所以
，
所以
，
所以
，C 错误；
设
与
所成的角为
，
，
，
，D 正确.
故选：BD
61
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11．（2023·全国·模拟预测）已知正方体
的棱长为2，E 为线段
的中点，
，
其中
，
，点Q 在底面ABCD 内（包括边界），且点Q 到点A 的距离与到平面
的距离相等，
则下列选项中正确的是（ ）
A．当
时，
的最小值为
B．当
时，
与
不垂直
C．当
时，存在点P，使得EP 与平面
所成的角为
D．当
时，PQ 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A 中，在AB 上取点H，使
，在
上取点
，使
，
因为
，
，
，所以
点在线段
上，
将平面
与平面AHKD 沿着
展开到同一平面内，
如图1 所述，连接
，交于
于点P，
此时
三点共线，
取得最小值，
由勾股定理得
，则
，
，
所以A 正确．
对于B 中，如图2 所示，取
的中点
，
的中点
，连接
，
，
，
62
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因为
，
，
，所以点
在线段
上，
在正方形
中，
分别为
的中点，可得
，
又由
，且
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，所以B 错误．
对于C 中，当
时，点P 在线段
上，
以
为原点，以
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得
，
则
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
设平面
与平面
的夹角为θ，可得
，
因为
，所以
，存在点P 使得EP 与平面
所成的角为
，
所以C 正确．
63
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对于D 中，当
时，
，因为
，
令
，则
，
，
设
与
相交于点
，则点
在线段
上运动，在平面
内，以线段
的中点为原点，建立平面直
角坐标系，如图3 所示，
点Q 在底面ABCD 内，且点Q 到点A 的距离与到平面
的距离相等，
即点Q 到点A 的距离与到直线
的距离相等，
根据抛物线的定义，可得点
的轨迹方程为
，
线段NB 的方程为
．
设直线
与抛物线
相切，联立两方程，根据
，解得
，
此时切点横坐标为
，符合题意，
又由平行线
与
间的距离为
，即为
的最小值，
所以D 正确．
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·浙江金华·三模）四棱锥
的底面
为正方形，
平面
，且
，
．四棱锥
的各个顶点均在球O 的表面上，
，
，则直线l 与平面
所成夹角的范
围为 ．
【答案】
．
64
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【解析】依题意，四棱锥
的外接球的球心O 为
的中点，连接
，
交点为Q，因为底面
为正方形，所以
，
又
平面
，且
平面
，所以
，
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以
为平面
的一个法向量，
如图建立坐标系，并设直线l 上异于B 的一点
，所求线面角为
，
，
则
，
，
，
由
可得
，
∴
，
当
时，
，
当
时，
，
综上，
，∴
．
故答案为：
.
65
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另解：依题意，四棱锥
的外接球的球心O 为
的中点，连接
，
交点为Q，因为底面
为正方形，所以
，
又
平面
，且
平面
，所以
，
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
即
面
，
若
平面
，则与平面
所成的角为.
若过B 的直线l 与平面
相交于点R，
在平面
中，过B 作直线
，与平面
相交于点为S，
因为
面
，且
平面
，所以
，
又
，
，且
，
平面
，
所以
平面
，
故过
且与
垂直的直线与平面
的交点的轨迹为直线
，
又
平面
，所以
，又
，且
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
又
面
，所以
为
在面
内的射影，
即
为直线l 与平面
所成的角，且
，
又
，而
，
当且仅当
重合等号成立，故
，
综上，
，∴
．
故答案为：
.
66
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13．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点
是圆台
的上底面圆
上的动点，
在下底面圆
上，
，则直线
与平面
所成角的余弦值的最小值为 ．
【答案】
【解析】连接
，过
作
垂直于
的延长线于点
，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
在三角形
中，因为
，
故
，则
，
则
，
，故点
；
又
，设点
，由
，则可得
；
，
设平面
的法向量
，
则
，即
，取
，则
，
故平面
的法向量
，又
，
67
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设直线
与平面
所成角为
，
则
因为
，且
，故令
，
则
又
，故
，
，也即
，
故
的最大值为
，又
，故
的最小值为
.
即直线
与平面
所成角的余弦值的最小值为
.
故答案为：
.
14．（2024·四川成都·模拟预测）已知三棱锥
中，
，
，
，二
面角
的余弦值是
．则当三棱锥
的体积最大时，其外接球的表面积是 ．
【答案】
【解析】如图：平面
即平面
，平面
即平面
，即二面角
的余弦值为
，
过
作
，垂足为
，过
作
，垂足为
，
则
，
又
，
，则
，
设
则
68
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，
所以
，即
，
所以
，则
，
过
作面
的垂线，垂足为
，连接
，
则
，
即三棱锥
当以
为顶点时高为
，要体积最大，则
最大，
,要
最大，则需
最大，
在
中，
所以
，当且仅当
时等号成立，
此时
为等边三角形，即
，又
，所以
重合，
图形如下：设
的中心为
，连接
在
中，
，
，
，
所以
，
过
作面
的垂线，则三棱锥
的外接球球心必在该垂线上，设为点
，设球的半径为，
则
，
69
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所以
即
，解得
，
所以外接球的表面积是
.
故答案为：
四．解答题
15．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥
中，
底面
，且
，四边形
是直角
梯形，且
，
，
，
，
为
中点，
在线段
上，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线PB 与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到PD 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）如图，取
中点
，连接
因为
为
中点，
，
，
，所以
，
70
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所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
为
中点，
为
中点，则
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，故
平面
．
（2）
根据题意，分别以
所在直线为
轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得，
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，解得
，
取
，则
，所以平面
的一个法向量为
，
设直线PB 与平面
所成角为
，
则
.
所以直线PB 与平面
所成角的正弦值为
.
（3）由（2）可知，
，
71
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所以点
到PD 的距离为
.
16．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以
为轴的
圆柱与以
为轴截面的半圆柱
拼接而成，其中
为半圆柱的母线，点
为弧
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)当
，平面
与平面
夹角的余弦值为
时，求点
到直线
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）过
作
交弧
上一点，连结
，如图所示：
则
为弧
的中点，则
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
.
由题意可知，
，
为等腰直角三角形，则
；
因为
为弧
的中点，所以
,
则
为等腰直角三角形，则
，
72
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所以
，则
,
因为
，则
，又
，
又因为
、
面
，
所以
平面
，因为
面
，
所以平面
平面
.
（2）由题意知，
两两垂直，所以
为坐标原点，
以
分别为
轴，
轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：
设
，又
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，令
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，令
，
，
设平面
与平面
的夹角为
，解得
（负舍），
所以
，
，
，
73
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则
，
所以点
到直线
的距离为
.
17．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由
，
得
，又
，在
中，
由余弦定理得
,
所以
，则
，即
，
所以
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
故
；
（2）连接
，由
，则
，
在
中，
，得
，
所以
，由（1）知
，又
平面
，
74
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所以
平面
，又
平面
，
所以
，则
两两垂直，建立如图空间直角坐标系
，
则
，
由
是
的中点，得
，
所以
，
设平面
和平面
的一个法向量分别为
，
则
，
，
令
，得
，
所以
，
所以
，
设平面
和平面
所成角为
，则
，
即平面
和平面
所成角的正弦值为
.
18．（2024·山西吕梁·三模）如图，
为圆锥的顶点，
为圆锥底面的圆心，
为底面直径，
为底面
圆
的内接正三角形，且
的边长为
，点
在母线
上，且
，
.
75
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(1)求证：
，并求三棱锥
的体积；
(2)若点
为线段
上的动点，当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面
的距
离.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）设
，连接
，
为底面圆
的内接正三角形，
为
中点，
又
，
；
，
；
平面
平面
平面
平面
，
平面
平面
平面
平面
，
又
平面
，
76
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又
平面
，又
平面
，
所以
，
又
平面
，
平面
平面
平面
；
为
中点，
，即
，
又
平面
，
平面
，
平面
平面
，
，
，
又
平面
，
.
（2）
为
中点，又
，
为
中点，
，
，
以
为坐标原点，
正方向为
轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
77
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，
，
设
，
；
设平面
的法向量
，
则
，令
，解得：
，
设直线
与平面
所成角为
，
，
令
，则
，
，
当
，即
时，
，
，此时
，
，
点
到平面
的距离
.
78
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19．（2023·福建龙岩·二模）三棱柱
中，
，
，侧面
为矩形，
，三棱锥
的体积为
．
(1)求侧棱
的长；
(2)侧棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出线段
的长；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在平面
内过
作
，垂足为
，
因为侧面
为矩形，所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
易得
，
面
，平面
平面
，
所以
平面
，
因为
，所以
，
因为
，
，所以
；
（2）存在点
满足题意，
，理由如下：
79
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如图，以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
设
，则
，
故
，
，
设平面
的法向量为
则
即
，令
，则
，
故平面
的一个法向量
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，解得
，
故存在点E 满足题意，所以
.
80
