文档文本内容
2019 年湖南省邵阳市新邵县中考数学一模试卷
一．选择题（共12 小题，满分36 分，每小题3 分）
1．下列说法错误的有（ ）
①无限小数是无理数；
②无理数都是带根号的数；
③只有正数才有平方根；
④3 的平方根是
；
⑤﹣2 是（﹣2）2的平方根．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+k 经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是（ ）
A．k＞0
B．k＜0
C．k≤0
D．k≥0
5．将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上，且DE∥BC，如图所示，则下列结论不
成立的是（ ）
A．∠AED＝∠B
B．AD：AB＝DE：BC
C．
D．△ADB 是等腰三角形
6．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD 的值为（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．70°
7．对角线长分别为6 和8 的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′
两点重合，MN 是折痕．若B'M＝1，则CN 的长为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且a≠0）的x 与y 的部分对应值如下表：
有下列结论：
①a＞0；
②4a﹣2b+1＞0；
③x＝﹣3 是关于x 的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c＝0 的一个根；
④当﹣3≤x≤n 时，ax2+（b﹣1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
9．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10 次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是
S 甲
2＝1.8，S 乙
2＝0.7，则成绩比较稳定的是（ ）
A．甲稳定
B．乙稳定
C．一样稳定
D．无法比较
10．如图，将△ABC 沿角平分线BD 所在直线翻折，顶点A 恰好落在边BC 的中点E 处，AE＝BD，那么
tan∠ABD＝（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝13，AC＝5，BC＝12，阴影部分是
△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD、CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE
的度数是（ ）
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
二．填空题（共8 小题，满分24 分，每小题3 分）
13．﹣2.5 的倒数是 ．
14．已知一个一元二次方程的一个根为3，二次项系数是1，则这个一元二次方程可以是 （只
需写出一个方程即可）
15．不等式﹣5x+15≥0 的解集为 ．
16．半径为2 的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，
那么这个恒星的面积等于 ．
17．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝55°，则∠1+∠2＝ ．
18．图①是一个三角形，分别连接这个三角形的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边
的中点，得到图③．按上面的方法继续下去，第n 个图形中有 个三角形（用含字母n 的代数
式表示）．
19．如图，△ABO 中，AB⊥OB，OB＝
，AB＝1，把△ABO 绕点O 逆时针旋转120°后得到△A1B1O，则
点B1的坐标为 ．
20．如图，在直角坐标系中，点A 在y 轴上，△OAB 是等腰直角三角形，斜边OA＝2，将△OAB 绕点O
逆时针旋转90°得△OA′B′，则点B′的坐标为 ．
三．解答题（共8 小题）
21．化简：
．
22．解方程：
．
23．阅读例题，回答问题：
例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m 有一个因式是x+3，求另一个因式以及m 的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n．
∴
∴
∴另一个因式为x﹣7，m＝21．仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x+k 有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k 的值．
24．如图1，在△ABC 中，∠A＝60°，∠CBM，∠BCN 是△ABC 的外角，∠CBM，∠BCN 的平分线BD，
CD 交于点D．
（1）求∠BDC 的度数；
（2）在图1 中，过点D 作DE⊥BD，垂足为点D，过点B 作BF∥DE 交DC 的延长线于点F（如图
2），求证：BF 是∠ABC 的平分线．
25．如图，某测量小组为了测量山BC 的高度，在地面A 处测得山顶B 的仰角45°，然后沿着坡度为i＝
1：
的坡面AD 走了200 米达到D 处，此时在D 处测得山顶B 的仰角为60°，求山高BC（结果保
留根号）．
26．商场某种商品平均每天可销售30 件，每件盈利50 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降
价措施．经调査发现，每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件．
（1）若某天该商品每件降价3 元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含x 的代
数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000 元？
27．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件赢利40 元，为了扩大销售，增加赢利，尽
快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每
天可多售出2 件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200 元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
28．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M 是BC 边的中点，MN⊥BC 交AC 于点N，动点P 在线段BA
上以每秒
cm 的速度由点B 向点A 运动．同时，动点Q 在线段AC 上由点N 向点C 运动，且始终
保持MQ⊥MP．一个点到终点时两个点同时停止运动，设运动的时间为t 秒（t＞0）．
（1）求证：△PBM∽△QNM．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4
cm，
①求动点Q 的运动速度；
②设△APQ 的面积为S（cm2），求S 与t 的等量关系式（不必写出t 的取值范围）．
2019 年湖南省邵阳市新邵县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12 小题，满分36 分，每小题3 分）
1．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得无理数，可判断①②；根据平方根，可判断③④⑤．
【解答】解：①无限循环小数是有理数，故①错误；
②无限不循环小数是无理数，故②错误；
③0 的平方根是0，故③错误；
④3 的平方根是±
，故④错误；
⑤±
，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查了无理数，注意无理数是无限不循环小数．
2．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结
果比较近似．
【解答】解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；
C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误；
D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；
故选：A．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的
特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应
选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【解答】解：A、只是中心对称图形，故本选项错误；
B、只是中心对称，故本选项错误；
C、只是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项错误；
D、即是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180 度后与原
图形重合．
4．【分析】根据一次函数的性质求解．
【解答】解：一次函数y＝2x+k 的图象经过第一、二、三象限，
那么k＞0．
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b 的关系．解答本题注意理解：直线
y＝kx+b 所在的位置与k、b 的符号有直接的关系．k＞0 时，直线必经过一、三象限；k＜0 时，直线必
经过二、四象限；b＞0 时，直线与y 轴正半轴相交；b＝0 时，直线过原点；b＜0 时，直线与y 轴负半
轴相交．
5．
【分析】根据题意可得DE 是原三角形的中位线，利用折叠的性质解决，折叠前后图形的形状和大小
不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【解答】解：A．∵DE∥BC，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上，
∴∠A′DE＝∠EDA，∠EDA＝∠DAB，∠B＝∠A′DE，
∴∠EDA＝∠DAB＝∠B，
∴AD＝BD，
同理可得：AE＝EC，
∴A′B＝A′C，
∴∠AED＝∠B；故此选项正确；
B．∵AD：AB＝1，DE：BC＝1：2，故此选项错误，
C．∵
＝
；∴DE＝
BC，故此选项正确，
D．△A′BC 中，A′B＝A′C，为等腰三角形；故此选项正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及等腰三角形的性质等知识，通过折叠变换考查学生的
逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
6．【分析】延长ED 交BC 于F，根据平行线的性质求出∠MFC＝∠B＝75°，求出∠FDC＝35°，根据三
角形外角性质得出∠C＝∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可．
【解答】解：延长ED 交BC 于F，如图所示：
∵AB∥DE，∠ABC＝75°，
∴∠MFC＝∠B＝75°，
∵∠CDE＝145°，
∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°，
∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC 的度数，
注意：两直线平行，同位角相等．
7．【分析】连接AC、BD，如图，利用菱形的性质得OC＝
AC＝3，OD＝
BD＝4，∠COD＝90°，再利
用勾股定理计算出CD＝5，接着证明△OBM≌△ODN 得到DN＝BM，然后根据折叠的性质得BM
＝B'M＝1，从而有DN＝1，于是计算CD﹣DN 即可．
【解答】解：连接AC、BD，如图，
∵点O 为菱形ABCD 的对角线的交点，
∴OC＝
AC＝3，OD＝
BD＝4，∠COD＝90°，
在Rt△COD 中，CD＝
＝5，
∵AB∥CD，
∴∠MBO＝∠NDO，
在△OBM 和△ODN 中
，
∴△OBM≌△ODN，
∴DN＝BM，
∵过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN 是折痕，
∴BM＝B'M＝1，
∴DN＝1，
∴CN＝CD﹣DN＝5﹣1＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大
小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．
8．【分析】根据表中x 与y 的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断①，由对称轴x＝﹣
1 可得b＝2a，代入4a﹣2b+1 可判断②，根据直线y＝x 过点（﹣3，﹣3）、
（n，n）可知直线y＝x 与抛
物线y＝ax2+bx+c 交于点（﹣3，﹣3）、（n，n），即可判断③，根据直线y＝x 与抛物线在坐标系中位
置可判断④．
【解答】解：根据表中x 与y 的部分对应值，画图如下：
由抛物线开口向上，得a＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为x＝
＝﹣1，即﹣
＝﹣1，
∴b＝2a，
则4a﹣2b+1＝4a﹣4a+1＝1＞0，故②正确；
∵直线y＝x 过点（﹣3，﹣3）、（n，n），
∴直线y＝x 与抛物线y＝ax2+bx+c 交于点（﹣3，﹣3）、（n，n），
即x＝﹣3 和x＝n 是方程ax2+bx+c＝x，即ax2+（b﹣1）x+c＝0 的两个实数根，故③正确；
由图象可知当﹣3≤x≤n 时，直线y＝x 位于抛物线y＝ax2+bx+c 上方，
∴x≥ax2+bx+c，
∴ax2+（b﹣1）x+c≤0，故④错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与直线交点、一元二次方程的解，根据
表中数据画出二次函数图象的草图是解题的前提，熟练掌握抛物线与直线、抛物线与一元二次方
程间的关系是解题的关键．
9．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵S 甲
2＝1.8，S 乙
2＝0.7，
∴S 甲
2＞S 乙
2，
∴成绩比较稳定的是乙；
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数
据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各
数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．【分析】作CM⊥AE 交AE 的延长线于M，作DN⊥AB 于N，DF⊥BC 于F，AE 与BD 交于点K，设
DK＝a，先证明AD：CD＝1：2，再证明△BKE≌△CME，得BK＝CM＝3a，根据tan∠ABD＝
即
可解决问题．
【解答】解：如图，作CM⊥AE 交AE 的延长线于M，作DN⊥AB 于N，DF⊥BC 于F，AE 与BD 交于
点K，设DK＝a．
∵AB＝BE＝EC，
∴BC＝2AB，
∵DB 平分∠ABC，
∴DN＝DF，
∵
，
∴
，
，
∵DB⊥AM，CM⊥AM，
∴DK∥CM，
∴
，∠KBE＝∠MCE，
∴CM＝3a，
在△BKE 和△CME 中，
，
∴△BKE≌△CME，
∴BK＝CM＝3a，
∴BD＝AE＝4a，
∴AK＝KE＝2a，
∴tan∠ABD＝
．
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的
关键是发现AD：DC＝1：2 这个条件，学会常用辅助线的添加方法，属于中考常考题型．
11．
【分析】根据AB＝13，AC＝5，BC＝12，得出AB2＝BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为
直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝13，AC＝5，BC＝12，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC 为直角三角形，
∴△ABC 的内切圆半径＝
＝2，
∴S△ABC＝
AC•BC＝
×12×5＝30，
S 圆＝4π，
∴小鸟落在花圃上的概率＝
＝
；
故选：B．
【点评】本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．同时
也考查了勾股定理的逆定理．
12．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，根据三角形内角和定
理求出∠ACB，根据角平分线的定义计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD 是△ABC 的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝
＝70°，
∵CE 是△ABC 的角平分线，
∴∠ACE＝
∠ACB＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握
等腰三角形的三线合一是解题的关键．
二．填空题（共8 小题，满分24 分，每小题3 分）
13．【分析】根据倒数的定义作答．
【解答】解：∵﹣2.5 是﹣
，所以它的倒数是
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
14．【分析】以3 和0 为根写一个二次项系数是1 的一元二次方程即可．
【解答】解：一元二次方程的一个根为3，二次项系数是1，这个一元二次方程可以为x2﹣3x＝0．
故答案为x2﹣3x＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．灵活应用整体代入的方法计算．
15．【分析】把15 移到不等式右边，两边同时除以﹣5 即可．
【解答】解：﹣5x+15≥0，
移项，得：﹣5x≥﹣15，
系数化为1 得：x≤3．
【点评】注意不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
16．【分析】恒星的面积＝边长为4 的正方形面积﹣半径为2 的圆的面积，依此列式计算即可．
【解答】解：如图．
2+2＝4，
恒星的面积＝4×4﹣4π＝16﹣4π．
故答案为16﹣4π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为4 的正方形面积﹣半径为2
的圆的面积．
17．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示出△ABC 的三个内角，再利用三角
形的内角和等于180°列式整理即可得解．
【解答】解：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1，
∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，
∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
在△ABC 中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝150°﹣∠3，
∵∠3＝55°，
∴∠1+∠2＝150°﹣55°＝95°．
故答案为：95°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3 表示出△ABC 的三个内角是解题的关键，
也是本题的难点．
18．【分析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就
是4 与几的乘积减去3．如图③中三角形的个数为9＝4×3﹣3．按照这个规律即可求出第n 各图形
中有多少三角形．
【解答】解：分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，
图①中三角形的个数为1＝4×1﹣3；
图②中三角形的个数为5＝4×2﹣3；
图③中三角形的个数为9＝4×3﹣3；
…
可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4 与几的乘积减去3．
按照这个规律，如果设图形的个数为n，那么其中三角形的个数为4n﹣3．
故答案为4n﹣3．
【点评】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题
目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难
题．
19．【分析】过B1作B1C⊥y 轴于C，由把△ABO 绕点O 逆时针旋转120°后得到△A1B1O，根据旋转的
性质得到∠BOB1＝120°，OB1＝OB＝
，解直角三角形即可得到结果．
【解答】解：过B1作B1C⊥y 轴于C，
∵把△ABO 绕点O 逆时针旋转120°后得到△A1B1O，
∴∠BOB1＝120°，OB1＝OB＝
，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COB1＝30°，
∴B1C＝
OB1＝
，OC＝
，
∴B1（﹣
，
）．
故答案为：（﹣
，
）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性
质来求出旋转后的点的坐标是解题的关键．
20．【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方逆时针，旋转角度90°，求B′坐标．
【解答】解：由已知OA＝2，△OAB 是等腰直角三角形，得点B 的坐标为（1，1），根据旋转中心O，
旋转方向逆时针，旋转角度90°，从而得B′点坐标为（﹣1，1）．
【点评】本题涉及图形变换﹣﹣旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转
方逆时针，旋转角度90°，求得B′坐标．
三．解答题（共8 小题）
21．【分析】利用二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式＝
﹣
﹣
＝6﹣6
﹣
＝6﹣7
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的
乘除运算，然后合并同类二次根式．
22．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方
程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣2x﹣3x﹣3＝5，
移项合并得：﹣5x＝6，
解得：x＝﹣
，
经检验x＝﹣
是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式
方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23．【分析】设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k＝（2x﹣3）（x+n）＝2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3＝
5，k＝3n，继而求出n 和k 的值及另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+n）＝2x2+（2n﹣5）x﹣5n，
则
解得：n＝4，k＝20，
故另一个因式为（x+4），k 的值为20．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解．
24．【分析】（1）依据三角形内角和定理可得，∠ABC+∠ACB＝120°，进而得出∠CBM+∠BCN＝360°
﹣120°＝240°，再根据∠CBM，∠BCN 的平分线BD，CD 交于点D，即可得到，∠DBC+∠BCD＝
120°，即可得出∠D＝180°﹣120°＝60°；
（2）依据DE⊥BD，BF∥DE，即可得出∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，再根据∠3＝∠4，可得∠1＝
∠2，进而得到BF 是∠ABC 的平分线．
【解答】解：（1）∵△ABC 中，∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
又∵∠ABM＝∠ACN＝180°，
∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣120°＝240°，
又∵∠CBM，∠BCN 的平分线BD，CD 交于点D，
∴∠CBD＝
∠CBM，∠BCD＝
∠BCN，
∴△BCD 中，∠DBC+∠BCD＝
（∠CBM+∠BCN）＝
×240°＝120°，
∴∠D＝180°﹣120°＝60°；
（2）如图2，∵DE⊥BD，BF∥DE，
∴∠DBF＝180°﹣90°＝90°，
即∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴BF 是∠ABC 的平分线．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
25．【分析】作DF⊥AC 于F．解直角三角形分别求出BE、EC 即可解决问题；
【解答】解：作DF⊥AC 于F．
∵DF：AF＝1：
，AD＝200 米，
∴tan∠DAF＝
，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝
AD＝
×200＝100（米），
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF 是矩形，
∴EC＝DF＝100（米），
∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴AD＝BD＝200（米），
在Rt△BDE 中，sin∠BDE＝
，
∴BE＝BD•sin∠BDE＝200×
＝100
（米），
∴BC＝BE+EC＝100+100
（米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件”结合每件商品降价x 元，即可找出
日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50 元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，
再根据尽快减少库存即可确定x 的值．
【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3 元，当天可获利1692 元．
（2）∵每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件，
∴设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加2x 件，每件商品，盈利（50﹣x）元．
故答案为：2x；50﹣x．
（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000，
整理，得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x＝25．
答：每件商品降价25 元时，商场日盈利可达到2000 元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关
键．
27．【分析】（1）设每件衬衫降价x 元，商场平均每天盈利y 元，可得每件盈利40﹣x 元，每天可以售出
20+2x 件，进而得到商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，依据方程1200＝（40﹣x）（20+2x）即可
得到x 的值；
（2）用“配方法”即可求出y 的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x 元，商场平均每天盈利y 元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200 时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得 x1＝10，x2＝20，
经检验，x1＝10，x2＝20 都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20 元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15 时，y 的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15 元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250 元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用
基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．
28．【分析】（1）由条件可以得出∠BMP＝∠NMQ，∠B＝∠MNC，就可以得出△PBM∽△QNM；
（2）①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM、MN 的值，再由△PBM∽△QNM 就可以求出Q
的运动速度；
②先由条件表示出AN、AP 和AQ，再由三角形的面积公式就可以求出其解析式．
【解答】解：（1）∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMN+∠PMB＝90°，∠QMN+∠PMN＝90°，
∴∠PMB＝∠QMN．
∵∠B+∠C＝90°，∠C+∠MNQ＝90°，
∴∠B＝∠MNQ，
∴△PBM∽△QNM．
（2）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∴BC＝2AB＝8
cm．AC＝12cm，
∵MN 垂直平分BC，
∴BM＝CM＝4
cm．
∵∠C＝30°，
∴MN＝
CM＝4cm．
①设Q 点的运动速度为v（cm/s）．
∵△PBM∽△QNM．
∴
＝
，
∴
＝
，
∴v＝1，
答：Q 点的运动速度为1cm/s．
②∵AN＝AC﹣NC＝12﹣8＝4cm，
∴AP＝4
﹣
t，AQ＝4+t，
∴S＝
AP•AQ＝
（4
﹣
t）（4+t）＝﹣
t2+8
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的综合问题，考查了相似三角形的判定与性质的运用，三角形
的面积公式的运用的运用，解答本题时求出△PBM∽△QNM 是关键．
