第二章 方程与不等式
2.4一元二次方程及其应用
考点：1.一元二次方程的根；2.一元二次方程根的判别式；3.一元二次方程根与系数的关系；4.解一
元二次方程；5.一元二次方程的实际应用.
第1关 练速度
1.下列方程中，有两个相等实数根的是 ( )
A.(x−2) 2=−1 B.(x−2) 2=0
C.(x−2) 2=1 D.(x−2) 2=2
2.一元二次方程 x2−2x=0的解是( )
A.x =3,x =1 B.x =2,x =0
1 2 1 2
C.x =3,x =−2 D.x =−2,x =−1
1 2 1 2
3.用配方法解一元二次方程 x2−2x−2023=0时，将它转化为(x+a) 2=b的形式，则a³的值为 ( )
A.-2 024 B.2 024
C.-1 D.1
4.若x₁、x₂是方程 x2−6x−7=0的两个根，则 ( )
A.x +x =6 B.x +x =−6
1 2 1 2
7
C.x ⋅x = D.x ⋅x =7
1 2 6 1 2
5.关于 x 的一元二次方程 x2+kx−2=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
6.若关于x 的一元二次方程 (a+2)x2+x+a2−4=0的一个根是x=0，则a的值为 ( )
A.2 B.-2
1
C.2或-2 D.
2
7.若关于x的一元二次方程 x2−8x+m=0的两根为x₁、x₂,且 x =3x ,则 m 的值为 ( )
1 2
A.4 B.8 C.12 D.16
8.眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩
产量从2021年的670千克增长到了2023年的780 千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为(
)
A. 670×(1+2x)=780 B.670×(1+x) 2=780
C.670×(1+x2)=780 D. 670×(1+x)=780
9.若关于x 的一元二次方程. x2+6x+m=0有 两 个 相 等 的 实 数 根,则m= .
学科网（北京）股份有限公司10.已知关于x的一元二次方程 x2+kx−6=0的一个根是2，则另一个根的值是 .
11.已知关于x的一元二次方程 x2−2x+k=0有两个不相等的实数根.请写出一个满足题意的k的值： .
12. 解方程(组):
x2−3xy−4 y2=0,
(1) (x−2) 2−4=0; (2)x2−2x=3; (3) {
x+2y=6.
第2关 练准确率
13.淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a与2 的积，求得的答案比正确答案小1,则a= ( )
A.1 B.❑√2−1
C.❑√2+1 D. 1或 ❑√2+1
14.已知关于x的一元二次方程 x2−mx−n2+mn+1=0,其中m、n满足m-2n=3，关于该方程根的情况，下列判
断正确的是 ( )
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
15.规定:对于任意实数 a、b、c,有【a,b】★c= ac+b,其中等式右边是通常的乘法和加法运算,如【2,3】
★1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x+1】★(mx)= 0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( )
1 1
A.m< B.m>
4 4
1 1
C.m> 且 m≠0 D.m< 且m≠0
4 4
16.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个
根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原来的方程是(
)
A.x2+6x+5=0 B.x2−7x+10=0
C.x2−5x+2=0 D.x2−6x−10=0
1 1
17.若关于x 的一元二次方程 x2+2x+p=0两根为x₁,x₂,且 + =3,则 p的值为( )
x x
1 2
2 2
A.− B. C.-6 D.6
3 3
18. 如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长 5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15 m²，在鸭舍
侧面中间位置留一个 1 m 宽的门(由其他材料制成)，则BC长为( )
学科网（北京）股份有限公司A.5m 或6m B.2.5m 或3m
C.5m D. 3m
19.等腰三角形的两边长分别是方程 x2−10x+21=0的两个根，则这个三角形的周长为 ( )
A. 17 或13 B. 13 或21
C. 17 D. 13
20.已知m为方程 x2+3x−2022=0的根，那么 m3+2m2−2025m+2022的值为( )
A. - 2 022 B.0
C. 2 022 D. 4 044
21.随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司 2021 年缴税40 万元,2023 年缴税 48.4 万元,该公
司这两年缴税的年平均增长率是 .
22.已知关于x 的一元二次方程 x2−(m+2)x+m−1=0.
(1)求证：无论 m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且 x2+ x2−x x =9,求m 的值.
1 2 1 2
23.运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步.若两人同时从 A 地出发，匀速跑向距离9 000
米处的 B 地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的 1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达 B 地.
(1)求小美每分钟跑多少米?
(2)若从A 地到达 B 地后，小美以跑步形式继续前进到C 地.从小美跑步开始，前20 分钟内，平均每分钟
消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程
中，小美共消耗1 650 卡的热量，小美从A 地到 C 地锻炼共用多少分钟?
24.如图,在矩形空地 ABCD上，修建2条平行于AB边、1条平行于 BC边的小路，3条路等宽，其余部分铺草坪.
已知AB长为56 m,AD 长为84m,铺草坪的单价是100 元/m²,铺草坪的总价为432000 元.求每条小路的宽度.
学科网（北京）股份有限公司第3关练 思维宽度
25.若一元二次方程 2x2−4x−1=0的两 根 为 m、n,则 3m2−4m+n2 的值为 .
26.已知x₁、x₂是关于x 的方程 x2−2kx+k2−k+1=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若k<5,且k、x₁、x₂都是整数,求 k的值.
27.关于 x 的一元二次方程 x2+mx−1=0,当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数
的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也
应用到了黄金分割数.
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a,b满足:( a2+ma=1,b2−2mb=4,且b≠-2a,求 ab的值;
(3)已知两个不相等的实数p、q满足： p2+ np−1=q,q2+nq−1=p,求 pq-n的值.
学科网（北京）股份有限公司2.4一元二次方程及其应用
1. B 2. B 3. D 4. A 5. A 6. A 7. C 8. B
9.9 10.-3 ·11.0(答案不唯一)
或x-2=-2,解得
12.(1)(x−2) 2−4=0,(x−2) 2=4,x−2=2 x =4, x =0.
1 2
(2)∵x²-2x=3,∴x²-2x-3=0,∴(x-3)(x+1)=0,∴x₁=3, x =−1.
2
x2−3xy−4 y2=0,①
(3){ 由 ② 得 x=6-2y, 代 入 ① 中 得 ( (6−2y) 2−
x+2y=6,②
36=0,6(y
3(6−2y)y−4 y2=0,(36−24 y+4 y2)−18 y+6 y2−4 y2=0,6 y2−42y+
²-7y+6)=0,6(y-6)(y-1)=0,解得 y=1 或 y=6,当 y=1 时,x=6-2×1=4,当 y=6 时,x=6-
x=4, x=−6,
2×6=-6,∴方程组的解为 { 或 {
y=1 y=6.
13. C 14. C 15. D 16. B 17. A 18. C 19. C 20. B 21.10%
22.(1)b2−4ac=[−(m+2)) 2 −4×1×(m−1)=m2+8, ∴无论m取何值. ,m2+8>0 恒成
立，∴无论 m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)∵ x₁ ,x₂ 是 方 程 的 两 个 实 数 根 ， ∴ x₁ +
x2−(m+2)x+m−1=0
x =m+2,x x =m−1,∴x2+x2−x x =(x +x ) 2−3x x =(m+2) 2− 3(m-1)=9,解得
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
m =1,m =−2.
1 2
9000 9000
23.(1)设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑1.2x米，根据题意，得 −5= ,
x 1.2x
解 得 x=300 ， 经 检 验 ， x=300 既 是 所 列 分 式 方 程 的 解 , 也 符 合 题 意 , 则
1.2x=1.2×300=360.答:小美每分钟跑360米.
(2)设小美从A地到 C 地锻炼共用y分钟，根据题意，得 15×20+(y-20)(15+y-20)=
1650,解得 y =50,y =−25(不符合题意，舍去).答：小美从A 地到C 地锻炼共用50
1 2
分钟.
24. 设 每 条 小 路 的 宽 为 xm,432000÷100=4320(m² ),∴ (84-2x)(56-x)=4320, 解 得
x =2,x =96.∵x<56,∴x=2.答：每条小路的宽度为2m.
1 2
25.6 解 析 ： ∵ 一 元 二 次 方 程 2x2−4x−1=0的 两 根 为 m 、 n,∴ m+
1
n=2,mn=− ,2m2−4m=1,∴3m2−4m+n2=2m2−4m+m2+n2=m2+
2
n2+1=(m+n) 2−2mn+1=22−2× ( − 1) +1=6. 故答案为6.
2
26.(1)∵x₁、x₂是关于 x 的方程 x2−2kx+k2−k+1=0的两个不相等的实数根，∴
7
b2−4ac>0,∴b2−4ac=(−2k) 2−4×1×(k2−k+1)=4k2−
4k2+4k−4=4k−4>0,解得k>1.
(2)∵k<5,由(1)得k>1,∴1<k<5,∴整数k的值有2,3,4,
当k=2时，方程为 x2−4x+3=0,解得 x =1,x =3(都是整数，此情况符合题意)；
1 2
当k=3时，方程为 x2−6x+7=0,解得 x=3±❑√2(不是整数，此情况不符合题意)；
学科网（北京）股份有限公司当k=4时，方程为 x2−8x+13=0,解得： x=4±❑√3(不是整数，此情况不符合题意).
综上所述，k的值为2.
−1±❑√5
27.(1)依据题意,将 m=1 代入 x2+mx−1=0得 x2+x−1=0,解得 x= ,⋅黄金分
2
−1+❑√5
割数大于0，∴黄金分割数为 .
2
则 ( b) 2 ( b) 0. 又
(2)∵b2−2mb=4,∴b2−2mb−4=0, − +m⋅ − −1=
2 2
2
∵ b≠ -2a,∴ a 、 -b 是 一 元 二 次 方 程 x2+mx−1=0的 两 个 根 ， 则
2
( b)
a⋅ − =−1,∴ab=2.
2
即
(3)∵p2+np−1=q,q2+nq−1=p,∴(p2+np−1)+(q2+nq−1)=q+p,
又
(p2+q2)+n(p+q)−2=p+q,∴(p+q) 2−2pq+n(p+q)−2=p+q
即 ((p-q)
∵(p2+np−1)−(q2+nq−1)=q−p,∴(p2−q2)+n(p−q)=−(p−q)
(p+q+n+1)=0.∵p、q为两个不相等的实数,∴p-q≠0,则p+q+n+1=0,∴p+q=-n-1.又∵(
, 即
(p+q) 2−2pq+n(p+q)−2=p+q ∴(−n−1) 2−2pq+n(−n−1)−2=−n−1,
pq-n=0.
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