北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.5 对数与对数函数
基础篇
【基础集训】
考点 对数与对数函数
1.已知函数f(x)={log 2 x,x>0, 则f(f(1))+f( log 1)的值是 ( )
3-x+1,x≤0, 32
7
A.5 B.3 C.-1 D.
2
答案 A
2.函数f(x)=xa满足f(2)=4,那么函数g(x)=|log(x+1)|的图象大致为 ( )
a
答案 C
3.已知a>0且a≠1,函数f(x)=log(x+ )在区间(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=log||x|-b|的
a √x2+b a
图象是 ( )
答案 A
lg√27+lg8-3lg√10
4.化简: = .
lg1.2
3
答案
2
1 1
5.设2x=5y=m,且 + =2,则m= .
x y
答案 √10
6.已知对数函数f(x)的图象过点(4,1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若实数m满足f(2m-1)<f(5-m),求实数m的取值范围.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
[教师专用题组]
【基础集训】
考点 对数与对数函数
1.(2020课标Ⅰ文,8,5分)设alog4=2,则4-a= ( )
3
1 1
A. B.
16 9
1 1
C. D.
8 6
1 1
答案 B ∵alog 3 4=2,∴a=2log 4 3=log 2 3,∴4-a=4-log 2 3=2-2log 2 3= 2 log 29 = 9 ,故选B.
2.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )
A. f(x)在(0,2)单调递增
B. f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C 函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln [x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函
数的单调性可知,x∈(0,1)时, f(x)单调递增,x∈(1,2)时, f(x)单调递减,故A、B选项错误;t(x)的图象关于直线
x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C选项正确,D选项错误.故选C.
3.(2018重庆高考仿真模拟,5)已知函数f(x)=ln(-x2-2x+3),则f(x)的增区间为 ( )
A.(-∞,-1) B.(-3,-1)
C.[-1,+∞) D.[-1,1)
答案 B 由-x2-2x+3>0,解得-3<x<1,即f(x)的定义域为(-3,1).易知y=-x2-2x+3在(-3,-1)上递增,在(-1,1)上递减,
由y=ln x递增,根据复合函数同增异减的原则,得f(x)在(-3,-1)上递增,故选B.
4.(2017浙江名校协作体,11)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则xy的最大值是 .
1
答案
12
1
{x= ,
解析 由lg 2x+lg 8y=lg 2,知x+3y=1,∴1≥2 ,故xy≤ 1 ,当且仅当 2 时,取等号.
√3xy
12 1
y=
6
1
5.(2017江苏如东高级中学第二次学情调研)函数f(x)= 的定义域为 .
log (3-x)
2
答案 (-∞,2)∪(2,3)
{3-x>0,
解析 由题设可得 解之得x<3且x≠2,所以答案为(-∞,2)∪(2,3).
3-x≠1,
综合篇
【综合集训】北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
考法一 对数式大小的比较方法
1.(2020普通高等学校招生全国统一考试考前演练)若a=(2) 2 ,b=log
2
3,c=log
4
6,则a,b,c的大小关系是 (
3
)
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<b<a D.b<c<a
答案 B
2.(2020湖南长沙明德中学3月月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=x3+3x,则a=f( 3
22
),b=f( 1 ),c=f( )的大小关系为 ( )
log √2
327
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
答案 C
考法二 对数函数的图象与性质的应用
3.(2021届江苏盐城摸底,5)若函数f(x)={-x+6,x≤2,
(a>0且a≠1)的值域为[4,+∞),则实数a的取值范
3+log x,x>2
a
围是( )
A.(1,2] B.(0,2] C.[2,+∞) D.(1,2√2]
答案 A
4.(2021届重庆巴蜀中学高考适应性月考,9)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x+2),且x∈(-1,0)时, f(x)=2x+
1
,则f(log18)= ( )
2
9
8 8
A.-1 B.- C.1 D.
9 9
答案 C
5.(2021届浙江“山水联盟”开学考,11)已知函数f(x)={log 2 x,x>0, 则f( f (1))= ;若f(x)=1 ,
2x-1,x≤0, 2 2
则x= .
1
答案 - ;√2
2
6.(2020江苏启东中学检测,14)函数f(x)=ln(x2-2x-3)的单调递减区间为 .
答案 (-∞,-1)
[教师专用题组]
【综合集训】北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
考法一 对数式大小的比较方法
1.(2018天津文,5,5分)已知a=log
3
7,b=(1)
3
1 ,c=lo
g
1 ,则a,b,c的大小关系为 ( )
2 4 1 5
3
A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
答案 D 本题主要考查指数、对数式的大小比较.
b=(1)
3
1 <(1) 0 =1,a=log
3
7>log
3
3=1,
4 4 2
1 7
g
c=lo
1 5
=log
3
5>log
32
=a,
3
∴c>a>b.故选D.
2.(2019北京西城期末,6)设M>0,N>0,0<a<1,则“logM>logN”是“M<N+1”的 ( )
a a
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 当0<a<1时,y=logx为减函数,
a
又logM>logN,所以0<M<N,
a a
可得M<N+1,
即“logM >logN”是“M<N+1”的充分条件,
a a
由“M<N+1”不能推出“M<N”,
故由“M<N+1”不能推出“logM>logN”,
a a
即“logM >logN”是“M<N+1”的不必要条件,
a a
即“logM >logN”是“M<N+1”的充分而不必要条件,故选A.
a a
小题巧解 本题充分性容易判断,判断必要性时,作为选择题可以采用特殊值法,不妨令M=1,N=1,即可得到必
要性不成立.
3.若log(loga)=log(logb)=log(logc)=1,则a,b,c的大小关系是 ( )
2 3 3 4 4 2
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a
答案 D ∵log(loga)=log(logb)=log(logc)=1,
2 3 3 4 4 2
∴loga=2,logb=3,logc=4,
3 4 2
∴a=9,b=64,c=16,
∴b>c>a.
4.a,b,c∈R+且2a=3b=6c,记x=2a,y=3b,z=6c,则x,y,z的大小关系为 .
答案 y<x<z
解析 设2a=3b=6c=k,
lgk lgk lgk
∵a,b,c∈R+,∴k>1,则a= ,b= ,c= .
lg2 lg3 lg6
lgk lgk lgk
∴x=2a= ,y=3b= ,z=6c= .
lg√2 lg√33 lg√66
∵0<lg√66<lg√2=lg√6 8<lg√6 9=lg√33,∴y<x<z.
考法二 对数函数的图象与性质的应用
g 8 g
1.设函数f(x)=lo 1(x2+1)+ ,则不等式f(logx)+f(lo 1x)≥2的解集为 ( )
2
3x2+1 2
2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.(0,2] B.[1 ]
,2
2
C.[2,+∞) D.( 1]∪[2,+∞)
0,
2
g 8
答案 B ∵ f(x)的定义域为R, f(-x)=lo 1(x2+1)+ =f(x),∴f(x)为R上的偶函数.
2
3x2+1
g
令t=log
2
x,∴lo
1
x=-t,
2
g
则不等式f(log
2
x)+f(lo
1
x)≥2可化为f(t)+f(-t)≥2,
2
即2f(t)≥2,∴f(t)≥1.
g 8
又∵f(1)=lo 12+ =1, f(x)在[0,+∞)上单调递减,在R上为偶函数,
2
3+1
∴-1≤t≤1,即logx∈[-1,1],∴x∈[1 ],故选B.
2 ,2
2
2.(2019北京四中期中文,7)已知函数f(x)={x2-2x+2,x≤2,
若∃x∈R,使得f(x)≤5m-4m2成立,则实数m
0 0
log x,x>2,
2
的取值范围为 ( )
A.[ 1] B.[1 ] C.[ 1] D.[1 ]
-1, ,1 -2, ,1
4 4 4 3
答案 B
函数f(x)={x2-2x+2,x≤2,
当x≤2时,函数是二次函数的一部分,二次函数图象的对称轴为
log x,x>2,
2
x=1,函数的最小值为1,当x>2时,y=logx>1,若∃x∈R,使得f(x)≤5m-4m2成立,则1≤5m-4m2,解得m∈[1 ]
2 0 0 ,1
4
.
所以B选项是正确的.
评析 不等式的恒成立问题转化为求分段函数的最小值问题,然后求解不等式即可.
3.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,15)定义区间[x,x](x<x)的长度等于x-x.函数y=|logx|(a>1)的定义域为
1 2 1 2 2 1 a
3
[m,n](m<n),值域为[0,1].若区间[m,n]的长度的最小值为 ,则实数a的值为 .
4
答案 4
解析 作出函数y=|logx|的图象(图略),要使定义域区间[m,n]的长度最小,则[m,n]=[1 ]或[m,n]=[1,a].若1-
a ,1
a
1 3 3 7 1 3 3
= ,则a=4,此时a-1=3,符合题意.若a-1= ,则a= ,此时1- = < ,不符合题意,所以a=4.
a 4 4 4 a 7 4北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
4.(2018江苏常熟上学期期中,10)若函数f(x)={-x+8,x≤2,
(a>0且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取
log x+5,x>2
a
值范围是 .
答案 (1,2]
解析 当x≤2时,-x+8≥6恒成立,
即x≤-2,要满足函数f(x)的值域为[6,+∞),需有logx+5≥6在(2,+∞)上恒成立,则{ a>1, 解得1<a≤2.
a
log 2+5≥6,
a
故实数a的取值范围为1<a≤2.
5.(2018浙江嘉兴高三期末,13)已知函数f(x)=log(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是 ; f(0)+4f(2)=
4
.
答案 (-4,0);3
解析
由4-|x|>0,解得函数f(x)的定义域为(-4,4).f(x)={log
4
(4-x)(0≤x<4),
故f(x)在(-4,0)上单调递
log (4+x)(-4<x<0),
4
1 1 1
增,在(0,4)上单调递减.由于f(0)=log4=1, f(2)=log2= ×log2= ,故f(0)+4f(2)=1+ =3.
4 4
2
2
2
42
