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2025二轮复习专项训练14
解三角形
[考情分析] 解三角形是高考考查的热点，三角恒等变换单独考查的题目较少，多以解三
角形为背景，在用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角恒等变换进行化简，综合性
较强，难度中等．
【练前疑难讲解】
一、正弦定理、余弦定理
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c
＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
二、解三角形在实际生活中的应用
求实际问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；
若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理．
三、正弦定理、余弦定理的综合应用
以三角恒等变换、正弦定理、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、基本不等式、
平面几何等交汇命题．
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州遵义·三模）在 中，角 的对边分别为 ，D为 的中点，
已知 ， ，且 ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·福建厦门·二模）如图1，扇形 的弧长为 ，半径为 ，线段 上有一
动点 ，弧 上一点 是弧的三等分点，现将该扇形卷成以 为顶点的圆锥，使得
和 重合，则在图2的圆锥中（ ）
A．圆锥的体积为
B．当 为 中点时，线段 在底面的投影长为
C．存在 ，使得
D．
4．（2024·浙江·三模）已知 的内角 的对边分别为 ，且
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 有两解
C．当 时， 为直角三角形
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
三、填空题
5．（2024高三·江苏·专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 = ；若 ，则 面积的最大值为 ．
6．（2023·山东青岛·一模）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如
图所示的四边形 区域建一处湿地公园．已知 ， ，
， ， 千米，则 千米．
四、解答题
7．（2023·全国·高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
8．（23-24高三上·山东枣庄·期末）在 中，角 所对的边分别为 .若
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·湖北黄石·三模）若 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．6
2．（2024·江西赣州·一模）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北黄冈·一模）已知 的内角 所对的边分别为 ， ，下面可使得 有两组解的 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
， 的面积为 ，则 （ ）
A． B．4 C．2 D．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形ABCD是菱形， ，点E为AB的
中点，把 沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面 平面BCDE，则异面
直线PD与BC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在 中，内角 的对边分别为 若满足
，则该三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定
7．（2022·全国·模拟预测）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定
节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放
的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在
圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙
是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即
∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注： ）
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形 中， ，
记 与 的面积分别为 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、多选题
9．（2023·河北秦皇岛·二模）平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是
A(0,2),B(1,0),C(4,1)，则（ ）
A．sinA<sinC B． 锐角三角形
C． 的面积为 D． 的外接圆半径大于210．（2024·重庆·三模）在 中，角 的对边为 若 ，则
的面积可以是（ ）
A． B．3 C． D．
11．（2024·广西南宁·三模）锐角三角形 中，角 ， ， 所对应的边分别是 ， ，
，下列结论一定成立的有（ ）.
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
12．（2024·山东泰安·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，已知
，则 ．
13．（2021·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，
， ，则 ．
14．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，
书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识
测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，
小李先在地面上选取点A，B，测得 ，在点A处测得点C，D的仰角分别为 ，
，在点B处测得点D的仰角为 ，则塔高CD为 m．
四、解答题
15．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
，角 的平分线交边 于点 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.16．（2024·贵州黔东南·二模）在 中，角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
17．（2023·湖南·模拟预测） 的内角A， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
18．（2022·江苏南京·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
是边 上的一点，且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 .
19．（2022高一下·四川成都·竞赛）如图，在△ABC中，AC⊥BC．延长BA到D，使得AD
＝2，且 ．
(1)若 ，求△DBC的面积；
(2)当 时，求△ACD面积的取值范围．
20．（21-22高二下·山西·期中）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；(2)若 ， ，求 的取值范围．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·广东韶关·二模）在 中， ．若 的最长边的长为
．则最短边的长为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024·湖北·模拟预测）在 中，已知 ， ， ，若存在两个这
样的三角形 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽·二模）已知 的内角A， ， 对边分别为 ， ， ，满足
，若 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·一模）如图，在 中， 是 边上靠近
点的三等分点， 是 边上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高一下·福建厦门·期末）一个人骑自行车由 地出发向正东方向骑行了 到
达 地，然后由 地向南偏东 方向骑行了 到达 地，再从 地向北偏东 方向骑行了 到达 地，则 两地的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.
某同学为测量钟楼的高度 ，在钟楼的正西方向找到一座建筑物 ，高为 米，在地面
上点 处（ 三点共线）测得建筑物顶部 ，钟楼顶部 的仰角分别为 和 ，在
处测得钟楼顶部 的仰角为 ，则钟楼的高度为（ ）米.
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 有两解
B．若 ， ，则 的面积最大值为
C．若 ， ， ，则 外接圆半径为
D．若 ，则 一定是等腰三角形
8．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ，以
轴非负半轴为始边作锐角 ， ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ， ，
则下列说法正确的是（ ）A． 的长度为
B．扇形OA P 的面积为
1 1
C．当 与 重合时，|AP |=2sinβ
1
D．当 时，四边形OA A P 面积的最大值为
1 1
9．（2024·广东·一模）嘌呤是一种杂环有机化合物，它在能量的供应、代谢的调节等方面
都有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们
的边长均为1），其平面图形如图所示，则（ ）
A． B．O到AC的距离是
C．O是 的内切圆的圆心 D．
三、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若
，则 的值为 .
11．（2024·广东东莞·模拟预测）在 中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，， ，则 的值为 ．
12．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面凸四边形 中， ，
， ， ， 为钝角，则对角线 的最大值为 .
四、解答题
13．（2024·辽宁·一模）已知在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中
.
(1)求A；
(2)已知直线 为 的平分线，且与BC交于点M，若 求 的周长.
14．（2024·贵州贵阳·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求角 ；
(2)若 ，求 面积的最大值.
15．（2024·广东梅州·二模）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
， ，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当 ，且 时，求AC的长；（Ⅱ）当 ，且 时，求 的面积 ．
16．（2024·江苏盐城·模拟预测）在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
17．（2024·云南·二模） 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是 与 的等
差中项.
(1)若 ，判断 的形状;
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.
18．（2024·广东·模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且
．
(1)证明： ．
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围．
19．（2024·河北衡水·一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，三角形面积
为 ，若 为 边上一点，满足 ，且 .
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围.
20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知 的内角 的对边分别为 的面积为 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的周长为5，设 为边BC中点，求AD.
21．（2024·山西·一模） 中角 所对的边分别为 ，其面积为 ，且
.
(1)求 ；
(2)已知 ，求 的取值范围.
22．（2024·北京·三模）已知函数 的最小正周期
为 .
(1)求 的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件
②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：
的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
