42.三角形的外心及其应用
一．基本原理
1．外心：三角形三条中垂线的交点.外心
O
OC
OB
OA
2
2
2
OC
OB
OA
0
CA
OA
OC
BC
OC
OB
AB
OB
OA
外心性质：如图，
为
的外心，证明：
O
ABC
（1）.
；
，同理可得
2|
|
2
1
AB
AB
AO
2|
|
2
1
AC
AC
AO
BC
BO
等.
（2）.
，同理可得
等.
)
|
|
|
(|
4
1
2
2
AC
AB
AF
AO
BF
BO
（3）.
，同理可得
等.
)
|
|
|
(|
2
1
2
2
AB
AC
BC
AO
AC
BO
证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.
附：如图，直角三角形
中，
.
ABC
2|
|
AB
AC
AB
2.二次曲线背景下的外接圆问题也是很常见的圆锥曲线背景，通常情况下，我们有两种处
理方式：
（1）.只告诉圆过的点，不知圆心.
此时，就需要利用外接圆圆心是中垂线的交点来计算，先算边长所在的方程，再算这条边
的中垂线所在的方程，最后求出两条中垂线方程的公共解，即圆心坐标，即可解决.这种
情况下，需要注意特殊的中垂线（垂直或者平行与坐标轴）.这种情况下，用两条中垂线
来同构方程即可.
（2）.不仅告诉圆所过的点，还告诉了圆心的位置，或者也不知圆心位置，那么就可设出
圆心坐标，利用圆的定义来完成，由于此时所过点相对于圆心的地位是等价的，所以，这
类计算方法意味着可以同构运算！
二．典例分析
例1．已知
是半径为2 的圆
的内接三角形，则下列说法正确的是（ ）
ABC
A
O
A．若角
，则
π
3
C
12
AB AO
B．若
，则
2
0
OA
AB
AC
|
| 4
BC
C．若
，则
，
的夹角为
|
|
OA
OB
OA OB
OA
OB
π
3
D．若
，则
为圆
的一条直径
2
(
)
|
|
BC
BA
AC
AC
AB
O
解析：对于A，作
垂直于
.垂足为
，则
,由正弦定理得
OD
AB
D
1
2
AD
AB
，故
π
2 2 sin
4 sin
2 3
3
AB
C
,故A 错误；
2
1
|
| |
| cos
|
| |
|
(2 3)
6
2
AB AO
AB
AO
BAO
AB
AD
对于B，由
得，
，即
,则点
为
2
0
OA
AB
AC
0
OA
AB
OA
AC
0
OB
OC
O
BC
的中点，即
为圆的直径，故
，B 正确；
BC
|
| 4
BC
对于C，设
，
的夹角为
，由
得，
，即
OA
OB
|
|
OA
OB
OA OB
2
2
|
|
(
)
OA
OB
OA OB
，解得
或
，由于
，故
2
8
8cos
16cos
1
cos
2
cos
1
|
|
0
OA
OB
OA OB
，故
，则
，
的夹角为
，C 正确；
1
cos
,
(0,π)
2
π
3
OA
OB
π
3
对于D,由
得
，
2
(
)
|
|
BC
BA
AC
AC
2
(
)
|
|
(
)
0
BC
BA
AC
AC
BC
BA
AC
AC
即
，则
为圆
的一条直径，D 错误，故选:BC
(
)
0,2
0
BC
BA
CA
AC
BA AC
BC
O
例2．在
中，内角
所对的边分别为
是
ABC
V
, ,
A B C
, , ,
2 7, sin
sin ,
2
A
C
a b c b
a
b
A O
的外心，
，则
的面积为（ ）
ABC
V
6
AO BC
ABC
V
A．
B．6
C．
D．
2 21
2 7
6 3
【详解】因为
，故由
得
，
π
sin
sin
cos
2
2
2
A
C
B
B
sin
sin
2
A
C
a
b
A
cos
sin
2
B
a
b
A
由正弦定理得
，又
，故
，
sin cos
sin sin
2
B
A
B
A
sin
0
A
cos
sin
2sin
cos
2
2
2
B
B
B
B
因为
，所以
，故
，所以
.
π
0,
2
2
B
cos
0
2
B
1
sin 2
2
B
π
3
B
因为
，
2
2
1
1
(
)
|
|
|
|
6
2
2
AO BC
AO
AC
AB
AO AC
AO AB
AC
AB
所以
.在
中余弦定理得，
，所以
4
AB
ABC
V
2
2
2
2
2
cos
28
16
4
b
a
c
ac
B
a
a
.所以
的面积为
.故选：D.
6
a
ABC
V
1
sin
6 3
2
S
ac
B
例3．若
是
的外心，且
，则
O
ABC
V
2
2
2
2
2
5
2
AC
AB
AB AO
AC AO
AO
AB
AC
的最大值是（ ）
sin
2sin
B
C
A．
B．
C．
D．2
2
3
2
3
2
2
5
2
2
【详解】如图所示：
设
，
，
，
，由
AB
c
AC
b
BAO
CAO
，
2
2
2
2
2
5
2
AC
AB
AB AO
AC AO
AO
AB
AC
得
，化简得
，由
2
2
2
2
2
5
cos
cos
2
b
c
c AO
b AO
AO
c
b
2
2
5
cos
cos
2
b
c
AO
c
b
O
是
的外心可知，
是三边中垂线交点，得
，
代入上式得
ABC
V
O
cos
2
c
AO
cos
2
b
AO
，所以
，根据题意知，
是三角形
外接
2
2
5
2
2
2
b
c
c
b
AO
c
b
AO
AO
2
2
2
5
b
c
AO
AO
ABC
圆的半径，可得
，
.所以
，
sin
2
b
B
AO
sin
2
c
C
AO
2
2
sin
2sin
2
2
2
b
c
b
c
B
C
AO
AO
AO
由柯西不等式可得：
，所以
，所以
2
2
2
2
1
2
2
b
c
b
c
2
2
2
25
b
c
AO
，
2
5
b
c
AO
所以
，当且仅当“
”时，等号成立.所以
的最大值为
5
2
5
2
2
2
AO
b
c
AO
AO
2b
c
sin
2sin
B
C
.故选：C.
5
2
例4．已知点
，
是
轴上的动点，且满足
，
的外心
在
(2,0),
(1,4)
A
B
M
N
、
y
4
MN
AMN
A
P
轴上的射影为
，则
的最小值为___________.
y
Q
PQ
PB
【详解】设点
，则
）根据点
是
的外心,
，
0,
M
t
0,
4
N
t
P
AMN
A
,
2
P x t
而
，则
,所以
,从而得到点
的轨
2
2
PM
PA
2
2
2
4
2
2
x
x
t
2
2
,
2
4
t
x
y
t
P
迹为
，焦点为
,由抛物线的定义可知
，因为
2
4
y
x
𝐅(𝟏,𝟎)
1
PF
PQ
4
PF
PB
BF
，
，即
，当点P 在线段BF 上时等号成立.
1
4
PF
PB
PQ
PB
3
PQ
PB
所以
的最小值为3，故答案为：3
PQ
PB
例5．已知点
分别为双曲线
的左、右焦点，点A，B 在C 的
1
2
F
F
，
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
：
右支上，且点
恰好为
的外心，若
，则C 的离心率为________.
2
F
1F AB
A
1
1
(
)
0
BF
BA
AF
【详解】取
的中点为C，连接BC、
、
，如图所示：
1
AF
2
AF
2
BF
因为
，所以
，又C 为
的中点，所以
为等
1
1
1
1
(
)
0
2
BF
BA
AF
BC AF
1
BC
AF
1
AF
1
ABF
A
腰三角形且
，因为点
恰好为
的外心，所以点
在直线BC 上，且
1
BF
BA
2
F
1F AB
A
2
F
，由双曲线的定义知
，则
2
2
1
2
2
AF
BF
F F
c
1
2
1
2
2
AF
AF
BF
BF
a
1
1
2
2
AF
BF
a
c
，
所以
为等边三角形，则
，在
中，
即
1
ABF
A
2
3
3
2
BC
BF
c
1
CBF
A
2
2
2
1
1
CB
CF
BF
，化简得
，同时除以
可得
，解
2
2
2
9
2
2
c
a
c
a
c
2
2
3
6
6
0
a
ac
c
2
a
2
2
2
1
0
e
e
得
或
(舍去).故答案为：
1
3
2
e
1
3
2
3
1
2
例6.（2025 届高三T8 联考）已知过
两点的动抛物线的准线始终与圆
( 1,0), (1,0)
A
B
相切,该抛物线焦点
的轨迹是某圆雉曲线
的一部分.
2
2
9
x
y
P
E
（1）求曲线
的标准方程;
E
（2）已知点
,过点
的动直线与曲线
交于M,N 两点,设
的外心
( 3,0),
(2,0)
C
D
D
E
CMN
为Q,O 坐标原点,问:直线OQ 与直线MN 的斜率之积是否为定值,如果是定值,求出该定值;
如果不是定值,说明理由.
解析：（1）
1
8
9
2
2
y
x
（2）★算法1.求中垂线同构
设直线
,代入椭圆方程可得
:
2(
0)
MN x
my
m
2
2
2,
8
9
72,
x
my
x
y
设
,
2
2
8
9
32
40
0.
m
y
my
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
则
，
的中点坐标为
,则
1
2
y
y
1
2
2
2
32
40
,
8
9
8
9
m
y y
m
m
CM
1
1
1
1
3,
,
2
2
3
CM
x
y
y
k
x
的垂直平分线的斜率为
∴
的垂直平分线方程为
CM
1
1
3.
x
y
CM
.
，即
，由
得
1
1
3
x
y
y
1
1
3
2
2
x
y
x
2
1
1
1
1
5
9
2
my
x
y
x
y
y
1
2
y
2
2
1
1
1
9
8
x
y
,∴
的垂直平分线方程为
.同理
的垂直平分线
2
1
1
1
9
9
2
16
x
y
y
CM
1
1
y
x
y
1
1
16 y
CN
方程为
.设点
,则
是方程
,
2
2
5
my
y
x
y
2
1
16 y
0
0
,
Q x
y
1
2
,
y y
0
0
5
1
16
my
y
x
y
y
即
的两根,∴
两式
2
0
0
0
16
16
80
0
y
mx
y
y
x
1
2
0
0
2
1
2
0
2
32
16
16
,
8
9
40
80
,
8
9
m
y
y
mx
y
m
y y
x
m
相除得
.即直线
与
的斜率之积为
.
0
0
0
0
0
4
,
5
5
5
mx
y
y
m
m
x
x
OQ
MN
5
★方法2.设圆心同构
设圆心
，则由
，整理
0
0
,
Q x
y
2
0
1
2
0
1
2
0
2
0
2
2
)
(
)
(
)3
(
|
|
|
|
y
y
x
x
y
x
QM
QC
过程中，代入直线
与椭圆方程
可化简得：
:
2(
0)
MN x
my
m
1
8
9
2
1
2
1
y
x
，同理可得：
0
80
)
(
16
0
1
0
0
2
1
x
y
y
mx
y
0
80
)
(
16
0
2
0
0
2
2
x
y
y
mx
y
故
，另一方面，由韦达定理可得：
0
2
1
0
0
2
1
80
),
(
16
x
y
y
y
mx
y
y
，故而解得：
，故
，
1
2
0
0
2
1
2
0
2
32
16
16
,
8
9
40
80
,
8
9
m
y
y
mx
y
m
y y
x
m
9
8
2
5
9
8
2
1
2
0
2
0
m
m
y
m
x
m
x
y
5
0
0
即直线
与
的斜率之积为
.
OQ
MN
5
例7 .已知椭圆
的四个顶点围成的四边形面积为
，周长为
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
4 2
4 6
，一双曲线
的顶点是该椭圆的焦点，焦点是该椭圆长轴上的顶点.
E
（1）求椭圆
和双曲线
的标准方程；
C
E
（2）
是双曲线
上不同的三点，且
两点关于
轴对称，
的外接圆经过
, ,
A B D
E
,
B D
y
ABD
△
原点
.求证：直线
与圆
相切.
O
AB
2
2
1
x
y
解析：（1）根据题意得
，又
，解得
，
2
2
2
4 2
4
4 6
ab
a
b
0
a
b
2
2
4,
2
a
b
，所以椭圆
的方程为
，将
代入圆的方程，
2
2
2
2
c
a
b
C
2
2
1
4
2
x
y
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
椭圆
的焦点坐标为
，长轴上两个顶点坐标为
，依题意，设双曲线
C
2,0
2,0
，则
，解得
，所以双曲线
的方程是
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
m
x
y
E
m
n
n
2
2
2
2
m
m
n
2
m
n
E
，即
.
2
2
1
2
2
x
y
2
2
2
x
y
（2）证明：易知直线
一定不为水平直线，设为
，设
AB
x
my
n
，
1
1
2
2
2
2
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
D
x
y
联立
，整理得
，则
2
2
2
x
y
x
my
n
2
2
2
1
2
2
0
m
y
mny
n
2
1
2
1
2
2
2
2
2
,
1
1
mn
n
y
y
y y
m
m
，
由于外接圆过原点且关于
轴对称，设为
，将
代入圆的
y
2
2
0
x
y
Ey
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
方程得
，消去
得
，又
，
，
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
0
0
x
y
Ey
x
y
Ey
E
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
y
x
y
y
x
y
2
2
1
1
2
x
y
2
2
2
2
2
x
y
，化简得
，
，
，
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
y
y
y
y
1
2
1
2
1
2
2
2
y y
y
y
y
y
1
2
y
y
1
2
1
y y
由
，则原点到直线
的距离
，即直线
与圆
2
2
2
1
2
2
2
1,
1
1
n
y y
n
m
m
AB
2
1
1
n
d
m
AB
相切.
2
2
1
x
y
三．习题演练
1．已知
的外心为
，内角
的对边分别为
，且
．若
ABC
V
G
, ,
A B C
, ,
a b c
: :
5:5:8
a b c
，则
（ ）
28
CA CB
CG CB
A．
B．50
C．25
D．
25
2
25 2
【详解】由已知，令
，所以
是等腰三角形．由余弦定
5 ,
5 ,
8 (
0)
a
m b
m c
m m
ABC
V
理，得
．因为
，所以
2
2
2
(5 )
(5 )
(8 )
7
cos
2
5
5
25
m
m
m
ACB
m
m
28
CA CB
，解得
（负值已舍去），所以
．
5
5
cos
28
m
m
ACB
2
m
10,
10,
16
a
b
c
设
的外接圆半径为
，因为
，
ABC
V
R
2
2
24
sin
1 cos
1 (
)
25
25
7
ACB
ACB
所以
，所以
．由
为等腰三角形知
50
2
sin
3
c
R
ACB
25
3
R
CG
ABC
V
1
2
GCB
ACB
，
所以
，即
．所以
2
2 1
1
cos
9
cos
cos (
)
2
2
25
ACB
GCB
ACB
3
cos
5
GCB
．故选：B．
25
3
cos
10
50
3
5
CG CB
CG CB
GCB
2．在
中，设
是
的外心，且
，则
（ ）
ABC
V
O
ABC
V
1
1
3
3
AO
AB
AC
BAC
A．
B．
C．
D．
30o
60o
90
120
【详解】由题意
是
的外心，故
，又
O
ABC
V
| |
|
|
|
|
OA
OB
OC
，
,
1
1
3
3
OB
OA
AB AO
AB
AC
所以
2
2
2
2
|
|
2
OB
OB
OA
AB
OA AB
2
2
2
3
OA
AB
AB
AC
AB
，则
，所以
，同理可得
2
2
1
2
3
3
OA
AB
AB AC
2
1
2
0
3
3
AB
AB AC
2
1
2
AB AC
AB
，故
，所以
，由于
为
2
1
2
AB AC
AC
|
| |
|
AB
AC
1
cos
2
|
||
|
AB AC
BAC
AB
AC
BAC
ABC
V
内角，故
，故选：B
60
BAC
3．在
中，已知A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
，若O 为
ABC
V
2
2
16
cos
5
2
A
bc
a
的外心，
，则实数
__________．
ABC
V
cos
cos
AC
AB
C
B
OB
【详解】
，又
，故有
2
2
1
cos
16
cos
16
8
8
cos
5
2
2
A
A
bc
bc
bc
bc
A
a
2
2
2
2
cos
bc
A
b
c
a
，化简得
，故有
，
2
2
2
2
8
4
+4
4
5
bc
b
c
a
a
2
2
2
2
9
4
8
4
4
a
b
bc
c
b
c
3
2
2
a
b
c
由
，则有
，即有
cos
cos
AC
AB
C
B
OB
cos
cos
AC
AB
BC
OB BC
C
B
，有
cos
cos
AC BC
AB BC
OB BC
C
B
，
cos
cos π
cos
cos
cos
cos
AC
BC
C
AB
BC
B
AC BC
AB BC
C
B
C
B
2
3
2
ab
ac
a b
c
a
，
2
2
cos2
OB BC
OB
OC
OB
R
A
R
2
2
2
2
1
2sin
1
2
sin
R
A
R
A
由
，故
，故
.故答案为：
.
2
sin
a
R
A
2
2
2
2
3
2
sin
2
2sin
2
a
a
A
a
A
3
3
4.已知椭圆
的离心率为
，过点
的直线交椭圆
于点
2
2
2
2
:
1(
1
0)
x
y
C
a
b
a
b
3
2
1,0
M
l
C
，且当
轴时，
.
,
A B
l
x
3
AB
（1）求椭圆
的方程；
C
（2）记椭圆
的左焦点为
，若过
三点的圆的圆心恰好在
轴上，求直线
的方
C
F
, ,
F A B
y
AB
程.
解析：（1）由题意得：
，得
，又当
时，
2
2
2
2
2
2
3
1
2
c
b
e
a
a
2
a
b
1
x
2
2
1
a
y
b
a
，则
，所以
，即
，所以椭圆
的方程为
2
2
2
1
2
1
3
a
AB
b
a
a
2
a
1
2
b
a
C
.
2
2
1
4
x
y
（2）设过
三点的圆的圆心为
，
，又
，
, ,
F A B
0,
Q
n
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
3,0
F
则
，即
，又
在椭圆
2
2
QA
QF
2
2
2
2
1
1
0
0
3
0
x
y
n
n
1
1
,
A x y
2
2
1
4
x
y
上，故
，代入上式化简得到：
，①，同理，根据
2
2
1
1
1
4
x
y
2
1
1
3
2
1
0
y
ny
2
2
QB
QF
可以得到：
，②，由①②可得：
是方程
的两个根，
2
2
2
3
2
1
0
y
ny
1
2
,
y y
2
3
2
1
0
y
ny
则
，设直线
：
，联立方程：
，整理得：
1
2
1
3
y y
AB
1
x
ty
2
2
1
4
1
x
y
x
ty
，故
，解得
，所以
，所以直线
的
2
2
4
2
3
0
t
y
ty
1
2
2
3
1
4
3
y y
t
2
5
t
5
t
AB
方程为：
.
5
1
0
x
y
