64.空间向量中的常见建系策略
一．前言
毋庸置疑，用好空间向量的第一步就是建好直角坐标系，即找到共起点的三条两两相互垂
直的线.在一些问题中，它确实很容易实现，但在另一些问题或者说近年新高考卷的立体
几何题目中，它就不太好实现了！这些题目中，建系的过程也意味着一定的几何推演，即
找到那个共起点的三条两两相互垂直的线. 这就在无形之中提高了几何论证的强度，所
以，但凡题目稍稍复杂就建不了系的学生，基本就是必修二的空间几何体学的太差，垂直
关系的探寻与证明基础较差，所以还是必须得在那里下功夫. 基于上述讨论，本文总结一
些常见的建系策略，下面所有的策略都首先依赖于一个基本点：将尽可能多的几何体顶点
放到坐标轴上.
1.“墙角模型”（共起点的三条两两相互垂直的线）的建系策略
2.利用线面垂直关系进行建系
3.利用面面垂直关系进行建系
4.以底面（某个面）内的垂直关系“暴力”建系
5.基底法
二．典例分析
★1.“墙角模型”的建系策略
例1（2023 年新高考1 卷）如图，在正四棱柱
中，
．点
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
2,
4
AB
AA
分别在棱
，
上，
．
2
2
2
2
,
,
,
A B C D
1
1
1
,
,
AA BB CC
1
DD
2
2
2
2
1,
2,
3
AA
BB
DD
CC
(1)证明：
；
2
2
2
2
B C
A D
∥
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
P
1
BB
2
2
2
P
A C
D
150
2
B P
解析：（1）以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如
C
1
,
,
CD CB CC
, ,
x y z
图，
则
，
，
2
2
2
2
(0,0,0),
(0,0,3),
(0,2,2),
(2,0,2),
(2,2,1)
C
C
B
D
A
2
2
2
2
(0, 2,1),
(0, 2,1)
B C
A D
，又
不在同一条直线上，
.
2
2
2
2
B C
A D
∥
2
2
2
2
B C
A D
，
2
2
2
2
B C
A D
∥
（2）设
，则
，
(0,2, )(0
4)
P
2
2
2
2
2
( 2, 2,2)
(0, 2,3
),
=(
2,0,1)
,
A C
PC
D C
设平面
的法向量
，则
，
2
2
PA C
( , , )
n
x y z
2
2
2
2
2
2
0
2
(3
)
0
n A C
x
y
z
n PC
y
z
令
，得
，
，设平面
的法向量
2
z
3
,
1
y
x
(
1,3
,2)
n
2
2
2
A C D
( , , )
m
a b c
，
则
，令
，得
，
，
2
2
2
2
2
2
2
0
2
0
m A C
a
b
c
m D C
a
c
1
a
1,
2
b
c
(1,1,2)
m
，化简可得，
2
2
6
3
cos
,
cos150
2
6 4
(
1)
(3
)
n m
n m
n m
2
4
3
0
，
解得
或
，
或
，
.
1
3
(0,2,1)
P
(0,2,3)
P
2
1
B P
★2.利用线面垂直关系进行建系（多出现直棱柱）
例2．已知，图中直棱柱
的底面是菱形，其中
.又点
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
2
4
AA
AC
BD
分别在棱
上运动，且满足：
，
.
,
, ,
E F P Q
1
1
1
1
,
,
,
AA BB CC DD
BF
DQ
1
CP
BF
DQ
AE
(1)求证：
四点共面，并证明
平面
；
,
, ,
E F P Q
//
EF
PQB
(2)是否存在点
使得二面角
的余弦值为
？如果存在，求出
的长；如果
P
B
PQ
E
15
5
CP
不存在，请说明理由.
解析（1）如图：在棱
分别取点
，使得
，
,
CP DQ
,
M N
1
QN
PM
易知四边形
是平行四边形，所以
，连结
，则
，且
MNQP
/ /
MN
PQ
,
,
FM MN NE
AE
ND
所以四边形
为矩形，故
，同理，
且
AE ∥ND
ADNE
AD ∥NE
FM ∥BC ∥AD
，故四边形
是平行四边形，所以
，所以
NE
MF
AD
FMNE
EF ∥MN
EF ∥PQ
故
四点共面；又
平面
平面
，所以
平面
,
, ,
E F P Q
EF ∥
,
PQ EF
,
BPQ PQ
BPQ
EF ∥
.
PQB
（2）以点
为原点，以
为
轴，以
为
轴，
轴过
且平行
，如图建系，由已
O
OA
x
OB
y
z
O
1
AA
知，
，设
，因为
2,0,0 ,
0,1,0 ,
0, 1,0 ,
2,0,0
A
B
D
C
2,0,
E
b
，则
，
,
1
BF
DQ CP
BF
DQ
AE
0, 1,1
,
0,1,1
,
2,0,2
Q
b
F
b
P
b
平面
中向量
，设平面
的一个法向量为
EFPQ
2,1,1 ,
2, 1,1
EF
EQ
EFPQ
n1 =
，因为
，
(x1,y1,z1)
1
1
n
EF
n
EQ
则
，取
，可得其一个法向量为
平面
中，
1
1
1
1
1
1
2
0
2
0
x
y
z
x
y
z
1
1
x
1
1,0,2 ,
n
BPQ
，设平面
的一个法向量为
，因为
2, 1,2
,
0, 2,1
BP
b
BQ
b
BPQ
2
2
2
,
,
n
x
y
z
，则
，取
，所以其中一个法向量
n
BP
n
BQ
2
2
2
2
2
2
2
0
2
1
0
x
y
b z
y
b z
2
4
z
，
3,2
2 ,4
n
b
b
若
，则
，
1
1
2
2
15
cos
,
5
5
(3
)
4 1
16
n n
n n
b
b
2
2
(
11)
3 5 1
4 1
20
b
b
b
即有
，解得
或
，所以
.
2
7
10
17
0,
0,2
b
b
b
1
b
17
0,2
7
1,
3
b
CP
★3.利用面面垂直关系进行建系
例3．如图，边长为2 的正方形
所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，
是
上
ABCD
ACD
M
ACD
异于
，
的点．
C
D
（1）证明：平面
平面
；
AMD
BMC
（2）当三棱锥
体积最大时，求面
与面
所成二面角的正弦值．
M
ABC
MAB
MCD
解析：（1）（方法1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC
平
面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M 为
上异于C，D 的点，且DC 为直径，
CD
所以DM⊥CM.又 BC
CM=C，所以DM⊥平面BMC.而DM
平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
（方法2）建立直角坐标系，如图2，设
，
(0, , )
M
a b
0,0,0 ,
2,0,0 ,
2,2,0 ,
0,2,0 ,
D
A
B
C
所以
，设平面
的一个法向量为
，所以
2,0,0 ,
0, ,
DA
DM
a b
AMD
1
1
1
,
,
m
x y z
，即
，取平面
的一个法向量
，同理可得，平面
=0
=0
n DA
n DM
1
1
1
2 =0
+
=0
x
ay
bz
AMD
(0, ,
)
m
b
a
的一个法向量
，因为点
在以
为圆心，半径为的圆上，所
BMC
(0, ,2
)
n
b
a
M
0,1,0
1
以，
，即
，而
，所以平面
平面
2
2
1
1
a
b
2
2
2
0
a
b
a
2
2
2
0
b
a
n
a
m
AMD
．
BMC
（2）以D 为坐标原点，
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.
DA
当三棱锥M−ABC 体积最大时，M 为
的中点.由题设得
CD
，
0,0,0 ,
2,0,0 ,
2,2,0 ,
0,2,0 ,
0,1,1
D
A
B
C
M
2,1,1 ,
0,2,0 ,
2,0,0
AM
AB
DA
设
是平面MAB 的法向量，则
即
，可取
.
, ,
n
x y z
=0
=0
n AM
n AB
2 + + =0
2 =0
x y z
y
1,0,2
n
是平面MCD 的一个法向量，因此
，
，
DA
5
cos
,
5
DA
D
DA
n
A
n
n
2 5
sin
,
5
n DA
所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是
.
2 5
5
例4．如图，四面体
中，
，E 为
的中点．
ABCD
,
,
AD
CD AD
CD
ADB
BDC
AC
(1)证明：平面
平面
；
BED
ACD
(2)设
，点F 在
上，当
的面积最小时，求
与平面
2,
60
AB
BD
ACB
BD
AFC
A
CF
所成的角的正弦值．
ABD
解析：（1）因为
，E 为
的中点，所以
；在
和
中，因
AD
CD
AC
AC
DE
ABD
△
CBD
△
为
，所以
，所以
，又因为E 为
,
,
B
A
C
D
CD
ADB
DB DB
D
ABD
CBD
≌
△
△
AB
CB
的中点，所以
；又因为
平面
，
，所以
平面
AC
AC
BE
,
DE BE
BED
DE
BE
E
AC
，
BED
因为
平面
，所以平面
平面
.
AC
ACD
BED
ACD
（2）连接
，由（1）知，
平面
，因为
平面
，所以
，所
EF
AC
BED
EF
BED
AC
EF
以
，当
时，
最小，即
的面积最小.因为
1
= 2
AFC
S
AC EF
△
EF
BD
EF
AFC
A
，所以
，又因为
，所以
是等边三角形，因
ABD
CBD
≌
△
△
2
CB
AB
60
ACB
ABC
V
为E 为
的中点，所以
，
，因为
，所以
，在
AC
1
AE
EC
3
BE
AD
CD
1
1
2
DE
AC
中，
，所以
.以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐
DEB
A
2
2
2
DE
BE
BD
BE
DE
E
标系
，
E
xyz
则
，所以
，设平面
的一个
1,0,0 ,
0, 3,0 ,
0,0,1
A
B
D
1,0,1 ,
1, 3,0
AD
AB
ABD
法向量为
，则
，取
，则
，又因为
, ,
n
x y z
0
3
0
n AD
x
z
n AB
x
y
3
y
3, 3,3
n
，所以
，所以
3 3
1,0,0 ,
0,
,
4
4
C
F
3 3
1,
,
4
4
CF
6
4 3
cos ,
7
7
21
4
n CF
n CF
n CF
，
设
与平面
所成的角为
，所以
，
CF
ABD
0
2
4 3
sin
cos ,
7
n CF
所以
与平面
所成的角的正弦值为
.
CF
ABD
4 3
7
★4.以底面（某个面）内的垂直关系建系
这种情况下，我们可以用底面某个垂直关系再做一条z 轴或者将几何体中的线面垂直平移
过来，此时，除了几何演绎外，还可以关注下面的一些常见垂直关系：
1.等腰梯形：如图1，我们可以证得
，这是底边为等腰梯形的四棱锥中常出现
DB
AD
的垂直情形.
图1 图2 图3
2.内角为
的菱形，如图2，
，
为
中点，则
.
120
120
BAD
E
CD
CD
AE
3.内角为
的平行四边形，如图3，
，
，则
.
120
120
ABC
AB
AC
2
BC
AB
例5 ．如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
PO
P
ABC
PA
PB
AB
AC
PB
(1)证明：
平面
；
/ /
OE
PAC
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
30
ABO
CBO
3
PO
5
PA
C
AE
B
解析： （1）证明：连接
并延长交
于点
，连接
、
，因为
是三棱锥
BO
AC
D
OA
PD
PO
的高，所以
平面
，
平面
，所以
、
，
P
ABC
PO
ABC
,
AO BO
ABC
PO
AO
PO
BO
又
，所以
，即
，所以
，又
，即
PA
PB
POA
POB
△
△
OA
OB
OAB
OBA
AB
AC
，所以
，
，所以
，所
90
BAC
90
OAB
OAD
90
OBA
ODA
ODA
OAD
以
，即
，所以
为
的中点，又
为
的中点，所以
AO
DO
AO
DO
OB
O
BD
E
PB
//
OE PD
，又
平面
，
平面
，所以
平面
OE
PAC
PD
PAC
//
OE
PAC
（2）过点
作
，如图建立空间直角坐标系，因为
，
，所以
A
//
Az OP
3
PO
5
AP
，又
，所以
，则
，
2
2
4
OA
AP
PO
30
OBA
OBC
2
8
BD
OA
4
AD
，
4 3
AB
所以
，所以
，
，
，
，所以
12
AC
2 3,2,0
O
4 3,0,0
B
2 3,2,3
P
0,12,0
C
，
3
3 3,1, 2
E
则
，
，
，设平面
的法向量为
3
3 3,1, 2
AE
4 3,0,0
AB
0,12,0
AC
AEB
, ,
n
x y z
，则
，令
，则
，
，所以
；设平面
3
3 3
0
2
4 3
0
n AE
x
y
z
n AB
x
2
z
=
3
y
0
x
0, 3,2
n
的法向量为
，则
，令
，则
，
AEC
, ,
m
a b c
3
3 3
0
2
12
0
m AE
a
b
c
m AC
b
3
a
6
c
0
b
，所以
；所以
.设二面角
的
3,0, 6
m
12
4 3
cos
,
13
13
39
n m
n m
n m
C
AE
B
大小为
，则
，所以
，即二面角
4 3
cos
cos
,
= 13
n m
2
11
sin
1 cos
13
C
AE
B
的正弦值为
.
11
13
例6 ．如图，在四棱台
中，四边形
是边长为4 的菱形，
1
1
1
1
A B C D
ABCD
ABCD
，
平面
，
．
60
ABC
1A A
ABCD
1
1
1
2
AA
A D
(1)证明：
；
1
1
AC
AB
(2)求二面角
的正弦值．
1
1
1
A
CD
B
解析：（1）菱形
中，
，则
是正三角形，在平面
内过
作
ABCD
60
ABC
ABC
V
ABCD
A
，由
平面
，得直线
两两垂直，以点
为原点，直线
Ax
BC
1A A
ABCD
1
,
,
Ax AD AA
A
分别为
轴建立空间直角坐标系，则
1
,
,
Ax AD AA
, ,
x y z
，于是
1
1
1
(0,0,0),
(2 3,2,0),
(0,0,2),
(0,2,2),
( 3, 1,2)
A
C
A
D
B
，
，因此
1
1
(2 3,2, 2),
( 3, 1,2)
AC
AB
1
1
2 3
3
2 ( 1)
2 2
0
AC AB
，所以
.
1
1
AC
AB
1
1
AC
AB
（2）由（1）知，
，设平面
的法向
1
1
1
1
1
( 2 3,0,2),
(0,2,0),
(
3,3,0)
CD
A D
B D
1
1
ACD
量
，则
，令
，得
，设平面
的法
( , , )
n
x y z
1
1
1
2 3
2
0
2
0
n CD
x
z
n A D
y
1
x
(1,0, 3)
n
1
1
B CD
向量
，则
，令
，得
，设二面角
( , , )
m
a b c
1
1
1
2 3
2
0
3
3
0
m CD
a
c
n B D
a
b
3
a
( 3,1,3)
m
的大小为
，则
，
1
1
1
A
CD
B
|
|
4 3
2 3
| cos
| | cos
,
|
|
||
|
13
2
13
m n
m n
m n
所以二面角
的正弦值为
.
1
1
1
A
CD
B
2
2 3
13
sin
1 (
)
13
13
★5.基底法
例7．如图，在平行六面体
中，
，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
AB
AD
AA
.
1
1
60
A AB
A AD
BAD
（1）求证：四边形
为正方形；
1
1
BDD B
（2）求体对角线
的长度；
1
AC
（3）求异面直线
与
所成角的余弦值.
1
AB
1
BD
解析：（1）因为
，
，
BD
AD
AB
1
1
1
1
1
1
B D
A D
A B
AD
AB
所以
，而
不共线，所以四边形为
平行四边形，
1
1
BD
B D
1
1
,
,
,
B D D B
1
1
BDD B
又
，
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
2
2
BD BB
AD
AB
AA
AD AA
AB AA
所以
，即
，所以四边形
为正方形；
1
BD
BB
1
BD
BB
1
1
BDD B
（2）由题意易知
，
1
1
1
AC
AB
BC
CC
AD
AB
AA
所以
，
2
2
1
1
AC
AD
AB
AA
2
2
2
1
1
1
2
2
2
AD
AB
AA
AD AB
AB AA
AD AA
因为
，
，
1
1
AB
AD
AA
1
1
60
BAD
BAA
DAA
所以
，
，
1
1
1
2
2
2
2 1 1
1
2
AD AB
AB AA
AD AA
2
2
2
1
1
AD
AB
AA
所以
，即
；
2
1
1
6
6
AC
AC
1
6
AC
（3）因为
，
，
1
1
AB
AB
AA
1
1
AB
AD
AA
BD
所以
2
2
1
1
1
1
1
1
1
AB BD
AB
AA
AB
AD
AA
AB
AB AD
AA AD
AA
，
2
2
2
1
1
1
1
2
3
AB
AB
AA
AB
AA AD
AA
，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
BD
AB
AD
AA
AB
AD
AA
AB AD
AA AD
AB AA
所以
，所以异面直线
与
所成角的余弦值为
1
1
1
1
1
1
1
6
cos
,
6
3
2
AB BD
AB BD
AB
BD
1
AB
1
BD
.
6
6
三．习题演练
1．已知四棱柱
中，底面
为梯形，
，
平面
，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
ABCD
/ /
AB
CD
1A A
ABCD
，其中
．
是
的中点，
是
的中点．
AD
AB
1
2,
1
AB
AA
AD
DC
N
1
1
B C
M
1
DD
(1)求证
平面
；
1
//
D N
1
CB M
(2)求平面
与平面
的夹角余弦值；
1
CB M
1
1
BB CC
(3)求点
到平面
的距离．
B
1
CB M
【详解】（1）取
中点
，连接
，
，由
是
的中点，故
，且
1
CB
P
NP
MP
N
1
1
B C
1
//
NP CC
，
1
1
2
NP
CC
由
是
的中点，故
，且
，则有
、
M
1
DD
1
1
1
1
1
2
2
D M
DD
CC
1
1
//
D M CC
1
//
D M NP
1
D M
NP
，
故四边形
是平行四边形，故
，又
平面
，
平面
，
1
D MPN
1
//
D N MP
MP
1
CB M
1
D N
1
CB M
故
平面
；
1
//
D N
1
CB M
（2）以
为原点建立如图所示空间直角坐标系，
A
有
、
、
、
、
、
，
A(0,0,0)
2,0,0
B
1 2,0,2
B
0,1,1
M
C(1,1,0)
1 1,1,2
C
则有
、
、
，设平面
与平面
的法向量
1
1, 1,2
CB
1,0,1
CM
1
0,0,2
BB
1
CB M
1
1
BB CC
分别为
、
，则有
，
1
1
1
,
,
m
x y z
2
2
2
,
,
n
x
y
z
1
1
1
1
1
1
2
0
0
m CB
x
y
z
m CM
x
z
，
1
2
2
2
1
2
2
0
2
0
n CB
x
y
z
n BB
z
分别取
，则有
、
、
，
，即
、
，
1
2
1
x
x
1
3
y
1
1
z
2
1
y
2
0
z
1,3,1
m
1,1,0
n
则
，故平面
与平面
的夹角余弦值为
1 3
2 22
cos
,
11
1 9 1
1 1
m n
m n
m
n
1
CB M
1
1
BB CC
；
2 22
11
（3）由
，平面
的法向量为
，则有
1
0,0,2
BB
1
CB M
1,3,1
m
1
2
2 11
11
1 9 1
BB m
m
，
即点
到平面
的距离为
.
B
1
CB M
2 11
11
2．如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等
腰梯形，
，
，
，
为
/ /
,
/ /
EF
AD BC
AD
4,
2
AD
AB
BC
EF
10,
2 3
ED
FB
M
AD
的中点．
(1)证明：
平面
；
/ /
BM
CDE
(2)求二面角
的正弦值．
F
BM
E
【详解】（1）因为
为
的中点，所以
，四
//
,
2,
4,
BC AD EF
AD
M
AD
//
,
BC MD BC
MD
边形
为平行四边形，所以
，又因为
平面
，
平面
，
BCDM
//
BM CD
BM
CDE
CD
CDE
所以
平面
；
//
BM
CDE
（2）如图所示，作
交
于
，连接
，因为四边形
为等腰梯形，
BO
AD
AD
O
OF
ABCD
，所以
，结合（1）
为平行四边形，可得
//
,
4,
BC AD AD
2
AB
BC
2
CD
BCDM
，又
，所以
为等边三角形，
为
中点，所以
，
2
BM
CD
2
AM
ABM
A
O
AM
3
OB
又因为四边形
为等腰梯形，
为
中点，所以
，
ADEF
M
AD
,
//
EF
MD EF MD
四边形
为平行四边形，
，所以
为等腰三角形，
与
EFMD
FM
ED
AF
AFM
△
ABM
A
底边上中点
重合，
，
，因为
，
AFM
△
O
OF
AM
2
2
3
OF
AF
AO
2
2
2
OB
OF
BF
所以
，所以
互相垂直，以
方向为
轴，
方向为
轴，
方向
OB
OF
,
,
OB OD OF
OB
x
OD
y
OF
为
轴，建立
空间直角坐标系，
，
，
z
O
xyz
0,0,3
F
3,0,0 ,
0,1,0 ,
0,2,3
B
M
E
，
，设平面
的法向量为
3,1,0 ,
3,0,3
BM
BF
3,2,3
BE
BFM
m = (x1,y1,z1)
，
平面
的法向量为
，则
，即
，令
，得
EMB
n = (x2,y2,z2)
0
0
m BM
m BF
1
1
1
1
3
0
3
3
0
x
y
x
z
1
3
x
，即
，则
，即
，令
，得
1
1
3,
1
y
z
m = ( 3,3,1)
0
0
n BM
n BE
2
2
2
2
2
3
0
3
2
3
0
x
y
x
y
z
2
3
x
，即
，
，则
，
2
2
3,
1
y
z
3,3, 1
n
11
11
cos
,
13
13
13
m n
m n
m
n
4 3
sin
,
13
m n
故二面角
的正弦值为
.
F
BM
E
4 3
13
3．如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
8
AB
3
CD
5 3
AD
90
ADC
30
BAD
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
2
5
AE
AD
1
2
AF
AB
AEF
△
PEF
!
4 3
PC
(1)证明：
；
EF
PD
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
【详解】（1）由
，得
，又
，
2
1
8,
5 3,
,
5
2
AB
AD
AE
AD AF
AB
2 3,
4
AE
AF
30
BAD
在
中，由余弦定理得
,
AEF
△
2
2
3
2
cos
16 12
2 4 2 3
2
2
EF
AE
AF
AE AF
BAD
所以
，则
，即
，所以
，又
2
2
2
AE
EF
AF
AE
EF
EF
AD
,
EF
PE EF
DE
平面
，所以
平面
，又
平面
，
,
PE
DE
E PE
DE
、
PDE
EF
PDE
PD
PDE
故
；
EF
PD
（2）连接
，由
，则
，在
中，
CE
90 ,
3 3,
3
ADC
ED
CD
2
2
2
36
CE
ED
CD
PEC
A
，得
，所以
，由（1）知
，又
4 3,
2 3,
6
PC
PE
EC
2
2
2
EC
PE
PC
PE
EC
PE
EF
平面
，所以
平面
，又
平面
，
,
EC
EF
E EC
EF
、
ABCD
PE
ABCD
ED
ABCD
所以
，则
两两垂直，建立如图空间直角坐标系
，则
PE
ED
,
,
PE EF ED
E
xyz
，由
是
的中点，得
(0,0,0), (0,0,2 3),
(0,3 3,0),
(3,3 3,0),
(2,0,0), (0, 2 3,0)
E
P
D
C
F
A
F
AB
(4,2 3,0)
B
，
所以
，设平面
和平面
(3,3 3, 2 3),
(0,3 3, 2 3),
(4,2 3, 2 3),
(2,0, 2 3)
PC
PD
PB
PF
PCD
的一个法向量分别为
，则
PBF
1
1
1
2
2
2
( ,
,
),
(
,
,
)
n
x y z
m
x
y
z
1
1
1
1
1
3
3 3
2 3
0
3 3
2 3
0
n PC
x
y
z
n PD
y
z
，
，令
，得
，
2
2
2
2
2
4
2 3
2 3
0
2
2 3
0
m PB
x
y
z
m PF
x
z
1
2
2,
3
y
x
1
1
2
2
0,
3,
1,
1
x
z
y
z
所以
，所以
，设平面
和平面
(0,2,3),
( 3, 1,1)
n
m
1
65
cos
,
65
5
13
m n
m n
m n
PCD
所成角为
，则
，即平面
和平面
所成角的正弦值为
PBF
2
8 65
sin
1 cos
65
PCD
PBF
.
8 65
65
4．如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC
A
BCD
DA
DB
DC
BD
CD
60
ADB
ADC
的中点．
(1)证明：
；
BC
DA
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
EF
DA
D
AB
F
【详解】（1）连接
，因为E 为BC 中点，
，所以
①，因为
,
AE DE
DB
DC
DE
BC
，
，所以
与
均为等边三角形，
DA
DB
DC
60
ADB
ADC
ACD
A
ABD
△
，从而
②，由①②，
，
平面
，所以，
AC
AB
AE
BC
AE
DE
E
,
AE DE
ADE
平面
，而
平面
，所以
．
BC
ADE
AD
ADE
BC
DA
（2）不妨设
，
，
．
2
DA
DB
DC
BD
CD
2 2,
2
BC
DE
AE
，
，又
，
平面
2
2
2
4
AE
DE
AD
AE
DE
,
AE
BC DE
BC
E
,
DE BC
BCD
平面
．以点
为原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐
AE
BCD
E
,
,
ED EB EA
, ,
x y z
标系，如图所示：
设
，设平面
与平面
的一个法向量分别
( 2,0,0), (0,0, 2), (0, 2,0),
(0,0,0)
D
A
B
E
DAB
ABF
为
，二面角
平面角为
,而
，因
1
1
1
1
2
2
2
2
,
,
,
,
,
n
x y z
n
x
y
z
D
AB
F
0, 2,
2
AB
为
，所以
，即有
，
2,0, 2
EF
DA
2,0, 2
F
2,0,0
AF
，取
，所以
；
，取
，所以
1
1
1
1
2
2
0
2
2
0
x
z
y
z
1
1
x
1
(1,1,1)
n
2
2
2
2
2
0
2
0
y
z
x
2
1
y
，
2
(0,1,1)
n
所以，
，从而
．所以二面角
的
1
2
1
2
2
6
cos
3
3
2
n n
n n
6
3
sin
1
9
3
D
AB
F
正弦值为
．
3
3
