79.圆锥曲线焦点三角形的25 个常见结论
1．椭圆焦点三角形的主要结论
焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：
中，
2
1F
PF
（1）.
.
c
F
F
a
PF
PF
2
|
|,
2
|
|
|
|
2
1
2
1
（2）. 焦点三角形的周长为
.
2
2
c
a
L
（3）.
.
2
1
2
2
1
cos
1
2
|
||
|
PF
F
b
PF
PF
（4）. 焦点三角形的面积为：
.
2
tan
sin
|
||
|
2
1
2
1
2
2
1
2
1
PF
F
b
PF
F
PF
PF
S
①设
、
是椭圆
的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则
1F
2
F
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
当P 为短轴端点时，
最大.
1
2
F PF
②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最
1
2
大值为bc；
（5）. 假设焦点
的内切圆半径为
，则
.
2
1F
PF
r
r
c
a
S
)
(
（6）.焦半径公式:设
是椭圆上一点，那么
，
，进
)
,
(
0
0 y
x
P
0
1 |
|
ex
a
PF
0
2 |
|
ex
a
PF
一步，有
2
2
2
2
1
2
,
PF
PF
a
ex
b a
推导：根据两点间距离公式:
，由于
代入
2
0
2
0
1
)
(
|
|
y
c
x
PF
)
0
(,1
2
2
0
2
2
0
b
a
b
y
a
x
两点间距离公式可得
，整理化简即可得
. 同
)
1(
)
(
|
|
2
2
0
2
2
0
1
a
x
b
c
x
PF
0
1 |
|
ex
a
PF
理可证得
.
0
1 |
|
ex
a
PF
（7）.设
是椭圆上一点，那么
，由于
,故
)
,
(
0
0 y
x
P
2
0
2
2
2
2
1
x
e
c
b
PF
PF
]
,0
[
2
0
a
x
我们有
2
2
2
2
2
2
2
1
2
,
PF
PF
b
c
e x
b
c b
（8）若约定椭圆
，
分别为左、右焦点；顶点
在
1
2
2
2
2
b
y
a
x
)
0
(
b
a
2
1
F
F、
)
,
(
0
0 y
x
P
第一象限；
，则对于椭圆，离心率
2
1
2
1
1
2
),
(
,
PF
F
F
PF
F
PF
sin
sin
)
sin(
sin
sin
sin
2
2
a
c
a
c
e
本节中约定已知双曲线方程为
如图，顶点
在第一象
1
2
2
2
2
b
y
a
x
).
0
,0
(
b
a
)
,
(
0
0 y
x
P
限，
对于双曲线焦点三角形，有以下结
.
),
(
,
2
1
2
1
1
2
PF
F
F
PF
F
PF
论：
2．双曲线的焦点三角形
（1）.如图，
、
是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记
，则
1F
2
F
1
2
F PF
的面积
.
1
2
PF F
A
2
tan 2
b
S
（2）.如图，有
，
cos
1
2
2
2
1
n
PF
PF
c
n
y p
2
cot
2
（3）.离心率
.
sin
sin
)
sin(
sin
sin
sin
2
2
a
c
a
c
e
（4）.焦半径公式：如图，对于双曲线，
，对双曲线，其焦
a
ex
PF
a
ex
PF
0
2
0
1
,
半径的范围为
.
,
m
c
（5）.双曲线中，焦点三角形的内心
的轨迹方程为
.
I
)
0
,
(
y
b
y
b
a
x
证明：设内切圆与
的切点分别为
，则由切线长定理可得
1
2
1
2
,
,
PF PF F F
,
,
M N T
,因为
，
1
1
2
2
,
,
PM
PN
F M
FT
F N
F T
1
2
1
2
1
2
2
PF
PF
F M
F M
F N
F T
a
，所以
，所以点
的坐标为
，所以点
的横坐标为
1
2
1
2
2
F F
FT
F T
c
2
F T
c
a
T
( ,0)
a
I
定值a.
（6）.如图，过焦点
的弦
的长为，则
的周长为
.
2
F
AB
t
1
ABF
t
m
2
4
3.焦点四边形
如图，直线
)
0
(
k
kx
y
与椭圆
)
)(
0
(1
:
2
2
2
2
凌晨
b
a
b
y
a
x
E
交于
N
M ,
两点，E
的左右焦点记为
2
1, F
F
，则
2
1NF
MF
称为椭圆的焦点四边形.
性质1：
2
1NF
MF
为平行四边形.
性质2：
)
(
//
;
//
1
2
2
1
凌晨
NF
MF
NF
MF
.
性质3：任意两邻边之和为
，▱
2
1NF
MF
周长恒为a
4
.（公众号：凌晨讲数学）
a
2
性质4：
bc
y
y
F
F
S
N
M
NF
MF
2
2
1
2
1
2
1
四边形
.等号成立当且仅当
不存在.
k
性质5：当且仅当
不存在时，
2
1
2
1
NF
F
MF
F
取最大张角.此时，
k
N
MF
N
MF
2
1
取最小值.
性质6：由平行四边形性质可得：
)
(
2
)
(
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
NF
NF
MF
MF
F
F
MN
性质7：由余弦定理：
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
cos
cos
NF
MF
MN
NF
MF
N
MF
N
MF
1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
)
(
NF
MF
b
NF
MF
MF
MF
F
F
.由均值不等式：
2
1
1
4a
NF
MF
.则当且仅当
2
1
NF
MF
时.
1
2
2
1
cos
2
2
2
1
e
a
b
N
MF
.
性质8：若四边形
2
1NF
MF
为矩形，则
c
F
F
MN
2
2
1
.由矩形性质可知，对平面内任意
一点
，有
2
2
2
1
2
2
PF
PF
PN
PM
.（公众号：凌晨讲数学）
P
性质9：设
N
M ,
的坐标分别为
)
,
(
),
,
(
N
N
M
M
y
x
y
x
，则
N
M
ex
a
NF
ex
a
MF
1
1
,
，
N
M
ex
a
NF
ex
a
MF
2
2
,
.
性质10.如图，直线
与双曲线
交于
两点，
)
0
(
k
kx
y
)
0
(1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
C
B
A,
C
的左右焦点记为
，则
为平行四边形.
F
F ,'
BF
AF '
4．椭圆与双曲线共焦点
结论1：已知具有公共焦点
的椭圆与双曲线的离心率分别为
是它们的一个交
2
1, F
F
P
e
e
,
,
2
1
点，且
，则有
.
2
2
1
PF
F
1
)
cos
(
)
sin
(
2
2
2
1
e
e
证明： 依题意，在
中，由余弦定理得
2
1PF
F
2
cos
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
PF
PF
PF
PF
F
F
)
sin
(cos
2
2
2
2
1
2
2
2
1
PF
PF
PF
PF
，
2
2
1
2
2
2
1
2
cos
sin
PF
PF
PF
PF
所以
，即
.
1
)
(
cos
)
(
sin
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
F
F
PF
PF
F
F
PF
PF
1
)
cos
(
)
sin
(
2
2
2
1
e
e
二．典例分析
例1．（2021 全国乙卷）已知
是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
1
2
,
F F
，则C 的离心率为（ ）
1
2
1
2
60 ,
3
F PF
PF
PF
A．
B．
C．
D．
7
2
13
2
7
13
解析：因为
，由双曲线的定义可得
，
2
1
3
PF
PF
1
2
2
2
2
PF
PF
PF
a
所以
，
；因为
,由余弦定理可得
2
PF
a
1
3
PF
a
1
2
60
F PF
，整理可得
，所以
，即
.故选：
2
2
2
4
9
2 3
cos60
c
a
a
a
a
2
2
4
7
c
a
2
2
2
7
4
a
c
e
7
2
e
A
例2．（2021 新高考1 卷）已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，
1F
2
F
C
2
2
1
9
4
x
y
M
C
则
的最大值为（ ）
1
2
MF
MF
A．13
B．12
C．9
D．6
解析：由题，
，则
，所以
2
2
9,
4
a
b
1
2
2
6
MF
MF
a
2
1
2
1
2
9
2
MF
MF
MF
MF
（当且仅当
时，等号成立）．故选：C．
1
2
3
MF
MF
例3．（2023 新高考1 卷）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
2
2
:
1
3
x
C
y
1F
2
F
与C 交于A，B 两点，若
面积是
面积的2 倍，则
（ ）．
y
x
m
1F AB
△
2
F AB
△
m
A．
B．
C．
D．
2
3
2
3
2
3
2
3
解析：将直线
与椭圆联立
，消去
可得
，
y
x
m
2
2
1
3
y
x
m
x
y
y
2
2
4
6
3
3
0
x
mx
m
因为直线与椭圆相交于
点，则
，解得
，
,
A B
2
2
36
0
4 4 3
3
m
m
2
2
m
设
到
的距离
到
距离
，易知
，
1F
AB
1
2
,
d F
AB
2
d
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
则
，
，
，解得
或
1
|
2
|
2
m
d
2
|
2
|
2
m
d
1
2
|
2
|
|
2
|
2
2
|
2
|
|
2
|
2
F AB
F AB
m
S
m
S
m
m
A
A
2
3
m
（舍去），故选：C.
3 2
例4．（2023 全国甲卷）设O 为坐标原点，
为椭圆
的两个焦点，点 P
1
2
,
F F
2
2
:
1
9
6
x
y
C
在C 上，
，则
（ ）
1
2
3
cos
5
F PF
|
|
OP
A．
B．
C．
D．
13
5
30
2
14
5
35
2
解析：设
，所以
，
1
2
π
2 ,0
2
F PF
1 2
2
2
1
2
tan
tan
2
PF F
F PF
S
b
b
A
由
，解得：
，由椭圆方程可知，
2
2
2
1
2
2
2
2
cos
sin
1
tan
3
cos
cos2
cos
+sin
1
tan
5
F PF
1
tan
2
，所以，
，解得：
2
2
2
2
2
9,
6,
3
a
b
c
a
b
1 2
1
2
1
1
1
2 3
6
2
2
2
PF F
p
p
S
F F
y
y
A
，
2
3
p
y
即
，因此
．故选：B．
2
3
9
9
1
6
2
px
2
2
9
30
3
2
2
p
p
OP
x
y
例5．（2021 全国甲卷）已知
为椭圆C：
的两个焦点，P，Q 为C 上关于
1
2
,
F F
2
2
1
16
4
x
y
坐标原点对称的两点，且
，则四边形
的面积为________．
1
2
PQ
F F
1
2
PFQF
解析：因为
为
上关于坐标原点对称的两点，且
，所以四边形
为
,
P Q
C
1
2
|
| |
|
PQ
F F
1
2
PFQF
矩形，设
，则
，
1
2
|
|
,|
|
PF
m PF
n
2
2
8,
48
m
n
m
n
所以
，
，即四边形
面积等于.
2
2
2
64
(
)
2
48
2
m
n
m
mn
n
mn
8
mn
1
2
PFQF
8
故答案为：.
8
例6．（2023 新高考1 卷）已知双曲线
的左、右焦点分别为
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
1
2
,
F F
．点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为________．
A
C
B
y
1
1
2
2
2
,
3
F A
F B F A
F B
C
解析：依题意，设
，则
，在
中，
2
2
AF
m
2
1
1
3
,
2
2
BF
m
BF
AF
a
m
1
Rt ABF
A
，则
，故
或
（舍去），
2
2
2
9
(2
2 )
25
m
a
m
m
(
3 )(
)
0
a
m a
m
a
m
3
a
m
所以
，
，则
，故
，
1
2
4 ,
2
AF
a AF
a
2
1
3
BF
BF
a
5
AB
a
1
1
2
4
4
cos
5
5
AF
a
F AF
AB
a
所以在
中，
，整理得
，故
.
1
2
AF F
△
2
2
2
1
2
16
4
4
4
cos
2 4
2
5
a
a
c
F AF
a
a
2
2
5
9
c
a
3 5
5
c
e
a
例7．（2022 新高考1 卷）已知椭圆
，C 的上顶点为A，两个焦点
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
为
，
，离心率为
．过
且垂直于
的直线与C 交于D，E 两点，
，则
1F
2
F
1
2
1F
2
AF
|
| 6
DE
的周长是____________．
ADE
V
解析：∵椭圆的离心率为
，∴
，∴
，∴椭圆的方程为
1
2
c
e
a
2
a
c
2
2
2
2
3
b
a
c
c
，不妨设左焦点为
，右焦点为
，如图所示，∵
2
2
2
2
2
2
2
1
3
4
12
0
4
3
x
y
x
y
c
c
c
，即
1F
2
F
，∴
，∴
为正三角形，∵过
且垂直于
的直
2
2
2
AF
a
OF
c
a
c
，
，
2
3
AF O
1
2
AF F
△
1F
2
AF
线与C 交于D，E 两点，
为线段
的垂直平分线，∴直线
的斜率为
，斜率倒
DE
2
AF
DE
3
3
数为
， 直线
的方程：
，代入椭圆方程
，整理化简得到：
3
DE
3
x
y
c
2
2
2
3
4
12
0
x
y
c
，判别式
，
2
2
13
6 3
9
0
y
cy
c
2
2
2
2
6 3
4 13 9
6
16
c
c
c
∴
，∴
， 得
，
2
1
2
Δ
1
3
2
2 6 4
6
13
13
c
DE
y
y
13
8
c
13
2
4
a
c
∵
为线段
的垂直平分线，根据对称性，
，∴
的周长等于
DE
2
AF
2
2
AD
DF
AE
EF
，
ADE
V
的周长，利用椭圆的定义得到
周长为
2
F DE
△
2
F DE
△
.
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
4
13
DF
EF
DE
DF
EF
DF
EF
DF
DF
EF
EF
a
a
a
故答案为：13.
例8.（2024 年新高考1 卷）设双曲线
的左右焦点分别为
，
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
1
2
F
F
、
过
作平行于
轴的直线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为
2
F
y
1
|
| 13,|
| 10
F A
AB
____________．
解析：由题可知
三点横坐标相等，设
在第一象限，将
代入
，得
2
, ,
A B F
A
x
c
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，即
，故
，
，又
2
b
y
a
2
2
,
,
,
b
b
A c
B c
a
a
2
2
10
b
AB
a
2
2
5
b
AF
a
1
2
2
AF
AF
a
，得
，解得
，代入
得
，故
1
2
2
2
5
13
AF
AF
a
a
4
a
2
5
b
a
2
20
b
2
2
2
36,
c
a
b
，即
，所以
.故答案为：
6
c
6
3
4
2
c
e
a
3
2
下面是一些优质的模拟试题
例8．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，直线
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
1
2
(
,0),
( ,0)
F
c
F c
与椭圆
相交于
两点．有下列结论：
(
0)
y
kx k
C
,
A B
①四边形
为平行四边形；
1
2
AF BF
②若
轴，垂足为
，则直线
的斜率为
；
AE
x
E
BE
1
2 k
③若
（
为坐标原点），则四边形
的面积为
；
|
|
OA
c
O
1
2
AF BF
2
b
④若
，则椭圆的离心率可以是
．
1
2
2
AF
AF
2
3
其中错误结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：对于①中，如图（1）所示，根据椭圆的对称性，可得
为
的中点，且
也是
O
1
2
F F
O
的中点，所以
与
互相平分，四边形
为平行四边形，所以①正确；
AB
1
2
F F
AB
1
2
AF BF
对于②中，如图（2）所示，设
，则
，不妨设
，
1
1
( ,
)
A x y
1
1
(
,
)
B
x
y
1 > 0
x
联立方程组
，可得
，则
，
2
2
2
2
1
y
kx
x
y
a
b
2
2
2
2
2
2
a b
x
b
k a
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
,
a b
a b
x
x
b
k a
b
k a
可得
，即
2
2
1
1
2
2
2
a b
y
kx
k
b
k a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
,0), (
,
)
a b
a b
a b
E
B
k
b
k a
b
k a
b
k a
所以直线
的斜率为
，所以②正确；
BE
2
2
1
0
2
BE
y
k
k
x
x
对于③中，如图（3）所示，不妨设点
位于第一象限，因为
，所以
A
1
2
OA
OF
OF
c
三点共圆，所以
，可得
，又由椭圆的定义得
1
2
,
,
A F F
1
2
AF
AF
2
2
2
2
1
2
1
2
4
AF
AF
F F
c
，所以
，可得
，
1
2
2
AF
AF
a
2
2
2
1
1
2
2
2
4
AF
AF AF
AF
a
2
2
2
1
2
2
2
2
AF AF
a
c
b
所以
的面积为
，所以
的面积为
，所以③错误；
1
2
AF F
△
1 2
2
1
2
1
2
AF F
S
AF AF
b
A
1
2
AF BF
2
2b
对于④中，设
，可得
，可得
，
1
1
( ,
)
A x y
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
2
2
2
2
1
1
2
(
)
b
a
x
y
a
又由
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
b a
x
cx
a
AF
x
c
y
x
c
a
a
可得
，同理可得
，要使得
，则满足
2
1
1
1
cx
a
AF
a
ex
a
2
1
AF
a
ex
1
2
2
AF
AF
，即
，因为
，所以
，解得
，
1
1
2(
)
a
ex
a
ex
1
3
a
x
e
1x
a
3
a
a
e
1
3
e
又因为
，所以
，所以离心率可能为
，所以④正确.故选：A.
0
1
e
1
1
3
e
2
3
例9．（2014 年湖北卷）已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是他们的一个公共点，
1
2
,
F F
P
且
,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
1
2
3
F PF
A．
B．
C．3
D．2
4 3
3
2 3
3
解析：设椭圆的长半轴为
，双曲线的实半轴为
，半焦距为，由椭圆和双曲线
a
1
1
,
a
a
a
＞
c
的定义可知，设
，椭圆和双曲线的离心率分别为
1
1
2
2
1
2
2
PF
r PF
r F F
c
，
，
，
1
2
e
e
，
由余弦定理可得
，①
1
2
,
3
F PF
2
2
2
1
2
1 2
4
2
3
c
r
r
rr cos
（）（）
在椭圆中，①化简为即
即
2
2
1 2
4
4
3
c
a
rr
，
1 2
2
2
1
3
1
1
4
rr
c
e
＝
，②
在双曲线中，①化简为即
即
③
2
2
1 2
4
4
c
a
rr
，
1 2
2
2
2
1
1
4
rr
c
e
＝
，
联立②③得，
由柯西不等式得
即（
2
2
1
2
4
3
1
e
e
，
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
3
1
3
3
3
1
e
e
e
e
，
即
，当且仅当
时取等号，故选A
2
1
2
1
1
4
4
3
e
e
，
1
2
1
1
16
4 3
3
3
e
e
1
2
3
3
3
e
e
＝
，＝
例10.（2019 全国1 卷）已知椭圆C 的焦点为
，过F2 的直线与C 交于
1
2
( 1,0)
(1,0)
F
F
，
A，B 两点.若
，
，则C 的方程为
2
2
|
|
2|
|
AF
F B
1
|
|
|
AB
BF
|
A．
B．
C．
D．
2
2
1
2
x
y
2
2
1
3
2
x
y
2
2
1
4
3
x
y
2
2
1
5
4
x
y
解：如图所示：
设
，由
，代入焦半径
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
|
|
3
|
|
|
|
|
||,
|
2
|
|
2
1
1
2
2
BF
BF
BF
AB
B
F
AF
公
式
到
可
得
：
.再
由
|
|
3
|
|
2
1
BF
BF
)1
.(
2
1
)
(
3
2
2
2
2
a
x
ex
a
ex
a
|
|
3
|
|
2
2
BF
AF
.结合（1），（2）式可得，
，故
)
2
.(
2
)
(
2
2
1
2
2
1
a
x
x
ex
a
ex
a
0
1
x
，
，这样在三角形
与三角形
中分别使
a
AF
AF
|
|
|
|
2
1
2
|
|,
2
3
|
|
2
1
a
BF
a
BF
1
ABF
2
1F
AF
用余弦定理可得:
.
2
2
2
3 ,
3 1
2
a
b
a
c
三．习题演练
1．已知
，
是椭圆
的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且
1F
2
F
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
，若
的面积为
，则
（ ）
1
2
2π
3
F PF
1
2
PF F
△
9 3
b
A．9
B．3
C．4
D．8
解析：由焦点三角形面积公式得
，故选：B
1
2
2
π
tan
tan
9 3
3
2
3
F PF
S
b
b
b
A
2．已知椭圆
，其左､右焦点分别为
，
，离心率为
，点P 为
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
1F
2
F
1
2
该椭圆上一点，且满足
，若
的内切圆的面积为
，则该椭圆的方程为
1
2
π
3
F PF
1
2
F PF
△
π
（ ）
A．
B．
C．
D．
2
2
1
12
9
x
y
2
2
1
16
12
x
y
2
2
1
24
18
x
y
2
2
1
32
24
x
y
解析：所以
，
1
2
2
1
2
1
π
3
sin
2
3
4
F PF
S
PF
PF
a
△
而
，所以可得
，解
1
2
1
2
1
2
1
1
3
(2
2 )
2
2
2
F PF
S
PF
PF
F F
r
a
c
r
a
c
a
△
2
3
3
4
2
a
a
得
，
，由
，得
，所以该椭圆的方程为
．故选：
2 3
a
3
c
2
2
2
a
b
c
3
b
2
2
1
12
9
x
y
A．
3．设
、
分别为具有公共焦点
与
的椭圆和双曲线的离心率，
为两曲线的一个公
1e
2e
1F
2
F
P
共点，且满足
，则
的值为（ ）
1
2
0
PF PF
2
2
1
2
1
1
e
e
A．
B．
C．
D．
2
3
2
4
5
2
解析：设椭圆的长半轴长为
，双曲线的实半轴长为
，不妨设
，
1a
2a
1
2
PF
PF
由椭圆和双曲线的定义可得
，所以，
，
1
2
1
1
2
2
2
2
PF
PF
a
PF
PF
a
1
1
2
2
1
2
PF
a
a
PF
a
a
设
，因为
，则
，由勾股定理得
，
c
F
F
2
|
|
2
1
1
2
0
PF PF
1
2
PF
PF
2
2
2
1
2
1
2
PF
PF
F F
即
，整理得
，故
. 故选：A.
2
2
2
1
2
1
2
4
a
a
a
a
c
2
2
2
1
2
2
a
a
c
2
2
1
2
1
1
2
e
e
4.（2025 浙江绍兴高三二模）已知双曲线
的左焦点为
，点
在
的右支
2
2
Γ :
1
3
y
x
F
,
A B
Γ
上，且
，则
的最小值为（ ）
6
AB
FA
FB
A．4
B．6
C．10
D．14
解析：对于双曲线
，根据双曲线的标准方程
（
），可得
2
2
1
3
y
x
2
2
2
2
1
x
y
a
b
0
>0,
a
b
，
．则
． 设双曲线的右焦点为
，由双曲线的定义可知，点
在双曲线
2
1
a
2
3
b
1
a
2
F
A
的右支上，则
，即
；同理，点
在双曲线的右支上，则
2
|
|
|
| 2
2
FA
F A
a
2
|
| |
| 2
FA
F A
B
，即
．所以
2
|
|
|
| 2
2
FB
F B
a
2
|
| |
| 2
FB
F B
． 根据三角形三边关系，
2
2
2
2
|
|
|
| (|
| 2)
(|
| 2) |
|
|
| 4
FA
FB
F A
F B
F A
F B
，当且仅当
，
，
三点共线时，等号成立．
2
2
F A
F B
AB
A
B
2
F
又
，则
，即
．所以
的
|
| 6
AB
2
2
4
4
6
4
10
F A
F B
AB
10
FA
FB
|
|
|
|
FA
FB
最小值为10． 故选：C．
5．（2025 广东广州高三二模）已知椭圆
的左，右焦点分别为
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
，过
的直线与
相交于
两点，且
，则
的离心率为（ ）
1
2
,
F F
2
F
C
,
A B
1
1
,
AF
AB
BF
a
C
A．
B．
C．
D．
1
6
1
3
6
6
3
3
解析：由题意作出图形如图所示：
设
，又
，所以
，
2
AF
m
1
2
2
AF
AF
a
1
2
2
2
AF
a
AF
a
m
又
，
，所以
，所以
，又因为
，所以
1
2
2
BF
BF
a
1
BF
a
2
BF
a
AB
a
m
1
AF
AB
，解得
，所以
，
2
a
m
a
m
1
2
m
a
1
1
3
2
2
2
AF
a
a
a
在
中，由余弦定理可得
，在
中，由余
1
2
AF F
△
2
2
2
2
1
1
3
2
2
2
cos
1
2 2
2
c
a
a
AF F
c
a
1
2
BF F
△
弦定理可得
，因为
，所以
2
2
2
2
1
2
cos
2 2
c
a
a
BF F
c
a
2
1
2
1
cos
cos
0
AF F
BF F
，整理得
，所以
，解得
2
2
2
2
2
2
1
3
2
2
2
2
0
1
2 2
2 2
2
c
a
a
c
a
a
c
a
c
a
2
2
12
4
0
c
a
2
2
1
3
c
a
.故选：D.
3
3
c
e
a
6．（2025 广东高三一模）已知
是椭圆
的两个焦点，
为
上一点，且
1
2
,
F F
C
P
C
，则
的离心率为（ ）
1
2
1
2
120 ,
3
F PF
PF
PF
C
A．
B．
C．
D．
13
4
13
8
7
4
7
8
解析：因为
，由椭圆的定义可得
，所以
，
1
2
3
PF
PF
1
2
2
4
2
PF
PF
PF
a
2
2
a
PF
，
1
3
2
a
PF
因为
,由余弦定理可得
1
2
120
F PF
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
F F
PF
PF
PF PF
F PF
所以
，整理可得
，所以
，即
.
2
2
2
9
1
3
1
4
2
4
4
2
2
2
a
a
c
a
a
2
2
13
4
4
a
c
2
2
2
13
16
c
e
a
13
4
e
故选：A.
7．（2025 山东济南高三一模）已知
，
分别是椭圆
：
的左、右焦点，
1F
2
F
C
2
2
1
4
3
x
y
O
为坐标原点，
为
上异于左、右顶点的一点，
是线段
的中点，则（ ）
P
C
H
2
PF
A．
B．
2
2
OH
HF
1
OH
C．
内切圆半径的最大值为
D．
外接圆半径的最小值为1
2
OHF
A
3
6
1
2
HF F
A
解析
对于A，
，故A 正确；
2
1
2
1
1
2
2
2
2
OH
HF
PF
PF
a
a
对于B，由三角形中位线得
，因为当点
在第二三象限时，
，此时
1
1
2
OH
PF
P
1
2
PF
，故B 错误；
1
OH
对于C，因为
，
，
2
2
3
OH
HF
OF
1 2
2 tan
3tan
2
2
PF F
S
b
A
当点
在上顶点时，
最大，所以
，所以
，
P
π
0
3
3
0
tan 2
3
所以
，所以由三角形相似可得
，
1 2
0
3
PF F
S
△
2
3
0
4
OHF
S
A
设内切圆半径为，又
r
2
2
2
2
2
1
1
1
1
3
2
2
2
2
2
OHF
S
OH r
HF
r
OF
r
r OH
HF
OF
r
A
，
所以
内切圆半径的最大值为
，故C 正确；
2
OHF
A
3
2
3
4
3
6
对于D，设
的外接圆半径为
，则由正弦定理可得
1
2
HF F
A
R
，故D 正确.故选：ACD
1
2
1
2
1
2
2
2
1
sin
sin
F F
R
R
F HF
F HF
8．（2025 辽宁沈阳高三一模）已知
分别是椭圆
的左、右焦点．点
为
1
2
,
F F
2
2
:
1
4
x
C
y
B
短轴的一个端点，点
是
上的任意一点，则下列结论成立的是（ ）
M
C
A．
B．
1
2
1
4
MF
MF
1
2
0
3
MF MF
C．
D．
0
2
MB
1
2
7
4 3
7
4 3
MF
MF
解析：对椭圆
，易得
，
，
，因为
为短轴的一个端点，不妨
2
2
:
1
4
x
C
y
2
a
1
b
3
c
B
设
.设
为椭圆上一点.
0,1
B
,
M x y
对A 选项：因为
，所以
，且
.
1
2
4
MF
MF
2
1
4
MF
MF
1
2
3
2
3
MF
所以
.
1
2
1
1
4
MF
MF
MF
MF
2
1
1
4
MF
MF
2
1
2
4
MF
所以当
时，
取得最小值1，；当
时，
取得最大
1
2
3
MF
1
2
MF
MF
1
2
MF
1
2
MF
MF
值4.所以
.故A 正确；
1
2
1
4
MF
MF
对B 选项：当
点与
点重合时，
，
，
M
B
1
3, 1
MF
2
3, 1
MF
，所以
不正确，故B 错误；
1
2
3 1
2
MF MF
1
2
0
3
MF MF
对C 选项：显然
，因为
，所以当
，
，
三点共线时，
，
0
MB
1
2
BF
a
B
1F
M
2
BM
所以
错误，故C 错误；
0
2
MB
对D 选项：设
，又
，所以
，
.
1
2
MF
t
MF
1
2
4
MF
MF
1
4
1
t
MF
t
2
4
1
MF
t
又
.
1
2
1
2
2 3
MF
MF
F F
4
4
2 3
1
1
t
t
t
7
4 3
t
又
.所以
2
1
1
2
2 3
MF
MF
F F
4
4
2 3
1
1
t
t
t
7
4 3
t
成立，故D 正确.故选：AD
1
2
7
4 3
7
4 3
MF
MF
9．（2025 广东高三一模）
分别为双曲线
的左、右焦点，
两点在双曲
1
2
,
F F
2
2
1
3
y
x
,
A C
线上且关于原点对称（点
在第一象限），直线
与双曲线的另一个交点为点
，若
A
2
CF
B
，则
的面积为____________．
1
2
6
AF
BF
ABC
V
解析：如图，由双曲线的对称性可知
，故
，
1
2
AF
CF
1
2
2
2 =
6
AF
BF
CF
BF
BC
设直线
的方程为
，
，由
得
BC
2
0
x
my
m
1
1
2
2
,
,
,
C x y
B x
y
2
2
2
1
3
x
my
y
x
，由题意
，
，
2
2
3
1
12
9
0
m
y
my
2
3
1
0
m
1
2
1
2
2
2
12
9
,
3
1
3
1
m
y
y
y y
m
m
，
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
12
9
1
4
1
4
6
3
1
3
1
m
BC
m
y
y
y y
m
m
m
整理得
，由
得
，故直线
的方程为
，即
，则
2
2
2
2
1
1
3
1
m
m
0
m
1
m
BC
2
x
y
2
0
x
y
，由题意
，点
到直线
的距离为
，
1
1
2
x
y
1
1
,
A
x
y
A
BC
1
1
2
4
2 2
2
2
x
y
d
则
，故答案为：
1
1
6 2 2
6 2
2
2
ABC
S
BC
d
A
6 2
