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第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r
定
方
代数法：由
法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r，r，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r，r d＝|r－r| 0≤d<|r－r|
1 2 1 2 1 2
d> r＋r d＝r＋r |r－r|<d< r＋r
1 2 1 2 1 2 1 2
的关系 (r≠r) (r≠r)
1 2 1 2
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
――→一元二次方程
一．直线与圆的位置关系
例1．（1）直线 与圆 的位置关系是（ ）A．相交且过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.
【详解】圆心坐标为 ，半径 ，圆心到直线 的距离 ，
又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．
故选:D
（2）直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（ ）
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
【答案】C
【分析】方法一：求出直线过的定点，确定定点在圆内部，确定直线与圆相交；
方法二：求出圆的圆心和半径，从而利用点到直线距离公式确定圆心到直线距离，与半径比较得到直线与
圆相交.
【详解】方法一:直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，
该直线恒过定点(1，2).
因为 ，
所以点(1，2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交.
方法二:圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3.
圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为 ＝ ，
所以直线与圆相交.
故选：C
（3）已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B
【详解】因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1.
所以直线与圆相交．【复习指导】：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
（4）已知圆 上仅存在一个点到直线 的距离为1，则实数a的值为（ ）
A．-2 B． C．-1 D．0
【答案】D
【分析】写出圆的标准形式确定圆心和半径，求圆心到直线距离 并结合已知，判断 与半径的关系求实
数a.
【详解】由圆的标准方程为 ，则圆心为 ，半径为 且 ，
又 到 的距离 ，
所以要使圆上仅有一点到直线距离为1，只需 且 ，则 .
故选：D
（5）已知圆 与直线 相切，则（ ）
A． B．
C． ，或 D． ，或
【答案】A
【分析】由直线与圆相切，根据 即可求得，要注意斜率为0的情况.
【详解】将 化为标准形式为 ，所以圆心 ，半径 ，因为
与直线 相切， 当 时， 不合题意； 当 时，由 得，.
故选：A
二．圆的切线、弦长问题
命题点1 圆的切线问题
例2．（1）过点 作圆 的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】讨论直线斜率，由相切关系及点线距离公式求斜率，进而写出切线方程.
【详解】由圆心为 ，半径为 ，
斜率存在时，设切线为 ，则 ，可得 ，
所以 ，即 ，
斜率不存在时 ，显然不与圆相切；
综上，切线方程为 .
故选：C
（2）与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
【答案】B
【详解】设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，
直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1,0)到直线l的距离为半径2，即＝2，
所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确．
（3）从圆 外一点 向圆引切线，则此切线的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B【分析】利用勾股定理可求切线长.
【详解】
设切点为 ，圆心为 ，连接 ，则 ，
而 ，
故选：B .
（4）过点 作圆 的切线交坐标轴于点 、 ，则 _________.
【答案】
【分析】求出切线方程，可求得点 、 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】圆 的圆心为 ， ，
因为 ，则点 在圆 上，所以， ，
所以，直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，即 ，
直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
所以， ， ，因此， .
故答案为： .
（5）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出 的值，
求出 ，利用勾股定理可求得 .
【详解】设直线 的方程为 ，则点 ，由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .
故答案为： .
（6）已知过点 的直线与圆C： 相切，且与直线 垂直，则实数a的
值为___________.
【答案】
【分析】先根据直线与圆的相切关系求出过点 的直线的斜率，再根据垂直关系求出实数a的值.
【详解】当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，此时圆心 到直线 的距离为
，不相切，舍去
当斜率存在时，设直线为 ，则由 ，解得： ，又与直线 垂
直，所以 ，解得：
故答案为：
（7）已知圆 ．求满足下列条件的切线方程．
(i)过点 ；
(ii)过点 ．
【答案】(i)
(ii) 或【分析】(i)由题知点 在圆 ，且切线斜率存在，进而根据切线与直线 垂直求得切线
斜率，最后根据点斜式求解即可；
(ii)根据题意，分斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可.
【详解】(i)解：因为圆 的圆心为 ，半径为 ，点 在圆 上，
所以过点 的切线斜率存在，且其与直线 垂直，
因为 ，所以，所求切线的斜率为 ，
所以，所求切线方程为 ，即： .
(ii)解：因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以，当过点 的切线斜率不存在时，其方程为 ，满足题意；
当切线斜率存在时，设斜率为 ，则其方程为 ，即 ，
所以，圆心 到切线的距离为 ，解得 ，
所以，切线方程为 ，即： .
综上，所求切线方程为 或
【复习指导】：求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x，y)在圆上．
0 0
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y 或x＝x.
0 0
(2)点(x，y) 在圆外．
0 0
①设切线方程为y－y＝k(x－x)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
0 0
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
0
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
命题点2 弦长问题例3．（1）已知圆C的圆心在直线 上，且与直线 相切于点 ，则圆
C被直线 截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设圆心为 ，根据题意建立方程组解出圆心，半径，再求出圆心到直线的距离，利用弦心距、
半径、半弦长间的关系求解即可.
【详解】设圆心为 ，
则有 ，解得 ．
则圆心为 ，半径 ，
则圆心到直线 距离 ，
则弦长 ．
故选：D
（2）已知直线 与圆 相交于 两点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】求出圆心和半径，由垂径定理得到 ，从而求出 的面积.
【详解】圆 的方程为 ，故圆心坐标为 ，半径 ，点 到线段 的距离为 ，
故 ，
的面积 .
故选：B.
（3）（多选）已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．过原点的最短弦长为8
D．圆M被y轴截得的弦长为6
【答案】ABD
【详解】圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，
则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.过原点的最短弦长为6，选项C不正确．ABD
均正确．
（4）设直线 与圆 相交所得弦长为 ，则 _____
【答案】0
【分析】由圆的弦长公式可解.
【详解】依题意，圆心 到直线 的距离 ，
由圆的弦长公式： ，可得 ，解得 .
故答案为：0
（5）已知直线 ，直线 过点 且与直线 相互垂直，圆 ，若直
线 与圆C交于M，N两点，则 _________．
【答案】
【分析】根据题意求得直线 的方程为 ，以及圆C的圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由直线 ，可得斜率 ，
因为 且直线 过点 ，所以直线 的斜率为 ，
所以 的方程为 ，
又由圆 ，即 ，
可得圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
所以弦长 .
故答案为： .
【复习指导】：直线与圆相交时的弦长求法
几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦
代数法
长
设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x，y)，(x，y)，将直线方程代入圆的方程，
1 1 2 2
弦长公式法 消元后利用根与系数的关系得弦长
l＝|x－x|＝
1 2
（6）已知圆心在 轴正半轴上的圆 过原点 ，且与直线 相交所得的弦长为 ，则圆 的标准
方程为__________________.
【答案】
【分析】设 ，则圆 的半径 ，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理得到方程，求出
，即可得解.【详解】设 ，则圆 的半径 ，点 到直线 的距离 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 的标准方程为 .
故答案为：
【复习指导】：(1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
三．圆与圆的位置关系
命题点1 圆与圆的位置关系
例4．（1）圆 与圆 的交点坐标为（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案.
【详解】由 ,可得 ，即 ，
代入 ，解得 或 ，
故得 或 ,
所以两圆的交点坐标为 和 ,故选:C
（2）已知圆 与圆 外切，则实数 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据两圆相外切时，两圆圆心距等于半径和，即可得解.
【详解】圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径为1，
因为圆 与圆 外切，所以 ，所以 .
故选：B.
（3）已知圆 的圆心在直线 上，点 与 都在圆 上，圆 ，
则 与 的位置关系是___________.
【答案】相交
【分析】利用待定系数法求得圆 的标准方程，求出圆心距 ，与两圆的半径和、差比较即可得出结
论.
【详解】设圆 的标准方程为 ，
因为圆心 在直线 上，且该圆经过 与 两点，
列方程组 ，解得 ，
即圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ，
又圆 ，圆心 ，半径 ，
∴ ，又 ， ，而 ，∴ 与 的位置关系是相交.
故答案为：相交.
【复习指导】：判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关
系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．一般
不采用代数法．
（4）写出一个半径为1，且与圆 和圆 均外切的圆的方程__________．
【答案】 或 （填一个即可）
【分析】根据两圆外切满足的关系即可列方程求解.
【详解】设所求圆的圆心为 ，则由外切关系可得 ，
化简得 ，解得 或 ，故满足条件的圆的圆心为 或 ，
故答案为：
（5）已知曲线 ，圆 ，当曲线C与圆M有3个公共点时
______
【答案】4或5
【分析】由题可得 表示两条直线，利用点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系即得.
【详解】由 ，得 ，
则 表示两条直线，其方程分别为 与 ，
因为 可知圆心 ，
∴直线 与圆 相交，又 到直线 的距离 ，
所以当 时，直线 与圆 相切， 与圆 有3个公共点；
当直线 与圆 相交，且其中一个交点为原点时， ，符合题意；
综上， 或 .
故答案为：4或5.
命题点2 圆的公共弦
例5．（1）已知圆 与圆 的公共弦长为2，则m的值为
（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.
【详解】联立 和 ,
得 ，由题得两圆公共弦长 ，
圆 的圆心为 ，半径 为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，
平方后整理得,
，
所以 或 （舍去）；
故选：A.
（2）圆 ： 与圆 ： 的公共弦长为________.【答案】
【分析】首先求出两圆公共弦方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离即可得出弦长.
【详解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为 ，
圆 的标准方程为 ，其圆心 ，半径 ；
圆心 到公共弦 的距离
所以公共弦长为 .
故答案为：
【复习指导】：公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定
理求解．
（3）圆 与圆 的公共弦所在直线方程为___________.
【答案】
【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，则两圆相交，
故将两圆方程相减可得： ，即 ，
即圆 与圆 的公共弦所在直线方程为 ，
故答案为：
【复习指导】：两圆的公共弦问题：
若圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0与圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程
1 1 1 1 2 2 2 2
为(D－D)x＋(E－E)y＋F－F＝0.
1 2 1 2 1 2
即若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．（4）已知圆 与圆 的公共弦经过点M，则 __________．
【答案】
【分析】根据两圆的方程可得公共弦方程，然后根据点M在直线上即得.
【详解】因为圆 的圆心 ，圆 ，
所以两圆的公共弦所在的直线的方程为 ，即 ，
所以 ，所以 ．
故答案为； .
命题点2 圆的公切线
例6．（1）圆 与圆 的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为5；
圆 的圆心坐标为 ，半径为3，
所以两圆的圆心距为 ，
因为 ，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条.
故选：B.
（2）（多选）已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，两圆的公切线过点B．若 ，两圆的相交弦长为
C．若两圆的一个交点为 ，分别过点 的两圆的切线相互垂直，则
D．若 时，两圆的位置关系为内含
【答案】AD
【分析】当 时，根据两圆半径比可确定Q的位置，可判断A；由两圆方程作差可得公共弦所在直线方
程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断C；通过
圆心距与半径差的大小关系可判断D.
【详解】当 时，两圆公切线分别与 ， 切于点 ， ，交 轴于点 ，
，故 ，故A正确；
当 时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，相交弦直线方程为 ，相交弦长为
，故B错误；
若 ，则 ，故C错误；
当 时， ，故两圆关系是内含，D正确.
故选AD．
（3）已知圆 与圆 恰有两条公切线，则实数 的取值范围
________．【答案】
【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果.
【详解】由 ，即 ，
可知圆 的圆心为 ，半径为 ；
因为圆 与圆 恰有两条公切线，所以圆 与圆 相交，
则 ，∵ ，
解得： ，即 的取值范围是 .
故答案为： .
（4）写出与圆 和 都相切的一条直线方程____________．
【答案】 或 中任何一个答案均可
【分析】先判断两圆的位置关系，可知公切线斜率存在，方程可设为 ，根据圆心到直线的距离等
于半径列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在 轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为 ，即 ，
则有 ，解得 或 或 或所以公切线方程为 或 .
故答案为： .（答案不唯一，写其它三条均可）
1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关
系即可.
【详解】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为 ，半径
圆心 到直线2x+y+1＝0的距离
由 ，可得圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
2．当圆 截直线 所得的弦最长时，则m的值为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】C
【分析】由题意只需直线过圆心，所截得的弦为直径最长，将圆心坐标代入方程求参数即可.
【详解】要使直线与圆所得弦最长，则直线必过圆心 ，
所以 ，可得 .
故选：C
3．若直线 与圆 相离，则过点 的直线与圆 的位置关系是（ ）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【分析】根据题意，求出圆心 到直线 的距离大于半径，得到 ，故点 在圆
内，进而判断结果.
【详解】因为直线 与圆 相离，
所以圆心 到直线 的距离大于半径，
即 ，所以 ，故点 在圆内，
所以过点 的直线与圆 相交，
故选：C.
4．直线 和圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断.
【详解】由 ，得 ，
所以圆心为 ，半径为 .
因为圆心 到直线 的距离为
，
所以直线 和圆 相交.
故选：A
5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为 ，写出圆的标准方
程，利用点 在圆上，求得实数 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距
离.
【详解】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心 到直线 的距离均为 ；
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．已知直线 与圆 交于 两个不同点，则当弦 最短时，圆
与圆 的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交【答案】D
【分析】由直线 过定点 且定点在圆 内，当弦 最短时直线 垂直 ，根据
斜率乘积为 求出 ，进而求出圆 的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.
【详解】易知直线 过定点 ，弦 最短时直线 垂直 ，
又 ，所以 ，解得 ，
此时圆 的方程是 .
两圆圆心之间的距离 ，
又 ，所以这两圆相交.
故选：D.
7．已知点 在圆 上运动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 看作时圆上的点 到点 的直线的斜率的最小值即可求解.
【详解】 看作圆上的点 到点 的直线的斜率的相反数.
当经过点 的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为 ，所以圆心到切线的距离等于半径，故 ，解得 故当
时，切线斜率最小，此时 最大，最大值为 ，
故选：C8．已知直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直线 经过点 ，且 与圆 相切可知 ，再使用点斜式即可.
【详解】直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 ,
故直线 的方程为 ，即 .
故选：A.
9．过直线 上的点作圆 的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要切线长最小，就要直线上的点到圆心的距离最小，则此最小值为圆心到直线的距离，利用点到
直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出切线长的最小值.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，因为圆心 到直线 的距离 ，
所以切线长最小值为 .
故选：B
10．已知直线 及圆 ，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A
为切点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由切线长公式可得 ，据此可得当 取得最小值时，
取得最小值，又由 的最小值即点C到直线l的距离，计算可得答案.
【详解】根据题意，圆 的圆心C(-1，-2)，半径r= 2，
过直线 上任意一点P向圆引切线PA，切点为A
则 ，
当 取得最小值时， 取得最小值，
又由 的最小值即点C到直线l的距离 ，
取得最小值为 .
故选：A
11．若直线 与圆 相切，则 的值是（ ）A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12
【答案】C
【分析】解方程 即得解.
【详解】解：由题得圆的圆心坐标为 半径为1，
所以 或 .
故选：C
12．一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线
的斜率为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】求出点 关于 轴的对称点，由对称点作圆的切线，即为反射光线所在直线，求出切线斜率
即得．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 关于y轴的对称点 ，
易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，则反射光线所在直线的方程为 ，即
，
由反射光线与圆 相切，可得 ，整理得 ，解得
或 ．
故选：D．
13．若曲线y＝ 与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）A． B． C．(1，＋∞) D．(1，3]
【答案】A
【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.
【详解】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝ 的图象为以(0，0)为圆心，2为半径
的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即 ＝2，解
得k＝ ；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝ ，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k
的取值范围为 .
故选：A.
14．若直线 与圆 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解.
【详解】由题得圆的圆心坐标为（0,0），所以 .
故选C
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
15．过圆 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，若 ，则
实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取圆 上任意一点P，过P作圆 的两条切线 ， ，根据题中条
件，求出 ，进而可求出结果.
【详解】取圆 上任意一点P，
过P作圆 的两条切线 ， ，
当 时， 且 ， ；
则 ，所以实数 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查求由直线与圆相切求参数，属于基础题型.
16．已知 为圆 内一定点，过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】当OP和直线垂直时，弦最短，计算斜率得的直线方程.
【详解】由题意可得，当OP和直线垂直时，弦最短，
直线的斜率为 ．
故满足条件的直线方程为 ，即 ．
故选：C.
17．已知圆 与圆 只有一个公共点，则 （ ）
A．1 B．4 C．9 D．1或9
【答案】D
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意两圆相内切，则圆心距等于半径之差
的绝对值，即可得到方程，解得即可.
【详解】圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
圆 ，圆心 ，半径为 ，
所以
因为两圆只有一个公共点，所以两圆相外切或相内切，
显然两圆不能相外切，
所以 ，即 ，解得 或 .
故选：D
18．已知圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 在圆 内B．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
C．直线 与圆 相离
D．圆 关于 对称
【答案】B
【分析】由点与圆的位置关系判断A；由两圆外切，结合圆与圆的位置关系判断B；由距离公式判断C；由
圆心 不在直线 上判断D.
【详解】圆 可化为 ，圆心为 ，半径为 .
对于A：因为 ，所以点 在圆 外，故A错误；
对于B：若圆 与圆 恰有三条公切线，则两圆外切，
圆 可化为 ，圆心为 ，
半径为 ，因为 ，所以 ，
解得 ，故B正确；
对于C： 到直线 的距离为 ，则直线
与圆 相切，故C错误；
对于D：显然圆心 不在直线 上，则圆 不关于
对称，故D错误；
故选：B
19．已知圆 和圆 ，其中 ，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可
以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.
【详解】由 且半径 ， 且半径 ，结合a大于0，
所以 时，两圆相交，则 ，
由选项可得A选项为 的充要条件；
B、D选项为 的必要不充分条件；
C选项为 的充分不必要条件；
故选：C
20．已知圆 与圆 交于A，B两点，则四边形 的面积为（ ）
A．12 B．6 C．24 D．
【答案】A
【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由 和 可知 ，则四边形 的面
积 ，计算即可.
【详解】圆 ，圆心坐标为 ，半径 ，
圆 化成标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径 ，
圆 与圆 都过点 ，则 ，如图所示，
又 ，∴ ，由对称性可知， ，
， ，则四边形 的面积 .
故选：A21．圆 与圆 只有一个公共点，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或6
【答案】D
【分析】化圆的标准式写出圆心和半径，根据已知有两圆外切或内切，进而求出两种情况下对应的半径r
即可.
【详解】由题设 ，则 且半径 ；
，则 且半径 ；
所以 ，又两圆只有一个公共点，故两圆外切或内切，
当两圆外切时， ，则 ；
当两圆内切时， ，则 或 （舍）；
所以 或 .
故选：D
22．在平面直角坐标系中，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ．则直
线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出以 、 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦 所在直线的方程．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为2，
以 、 为直径,则 的中点坐标为 ， ，
以 为圆心， 为直径的圆的方程为 ，因为过点 圆 的两条切线切点分别为A，B，
所以 是两圆的公共弦，
将两圆的方程相减可得公共弦 所在直线的方程为： .
故选：A．
23．若圆 与圆 的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将两圆方程相减得到直线 的方程为 ，然后再根据公共弦 的长为 即可
求解.
【详解】将两圆方程相减可得直线 的方程为 ，
即 ，
因为圆 的圆心为 ，半径为 ，且公共弦 的长为 ，
则 到直线 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，
故选：D.
24．圆 与圆 的公共弦长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据两圆方程确定公共弦直线方程，再根据直线与圆相交弦公式即可得公共弦长.【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
所以 ，易知两圆相交，
两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为： 即 ，
则圆心 到直线的距离 ，
故公共弦长为 .
故选：C.
25．（多选）已知直线 与圆 ，则（ ）
A．直线 与圆 一定相交 B．直线 过定点
C．圆心 到直线 距离的最大值是 D．使得圆心 到直线 的距离为2的直线 有2条
【答案】AB
【分析】把直线方程化为 ，令 求解可得直线 过定点 可判断
B；判断点 在圆 内，从而可判断A；对于C，可知当 时，圆心 到直线 距离最大，求解可判断
C；根据点线距离公式可求得 ，从而可判断D.
【详解】 可化为 ，
对于B，令 ，解得 ，则直线 过定点 ，B正确；
可化为 ，所以圆心 的坐标为 ，半径为3.
对于A， ，则点 在圆 内，从而直线 与圆 一定相交，故A正确；
对于C，设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，则C错误；对于D，因为圆心 到直线 的距离为2，所以 ，解得 ，
所以使得圆心 到直线 的距离为2的直线 有且仅有1条，则D错误．
故选：AB
26．（多选）已知 ，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点 在圆C的内部
C．直线 与圆C相切 D．圆 与圆C相交
【答案】ACD
【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可
【详解】由 ，得 ，则圆心 ，半径 ，
所以A正确，
对于B，因为点 到圆心的距离为 ，所以点 在圆C的外部，所
以B错误，
对于C，因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ， ，
所以圆 与圆C相交，所以D正确，
故选：ACD
27．（多选）已知圆 与直线 ，则（ ）
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交所截的最短弦长为 D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【分析】求出直线经过的定点 ，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识
可知当直线与过定点 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案．
【详解】由题意，圆 的圆心 ，半径 ，
直线 变形得 ，得直线过定点 ，
∵ ，
∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；
由平面几何知识可知，当直线与过定点 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，
此时弦长为 ，故C对；
故选：AC．
28．（多选）已知圆 ，直线 ，点 在直线 上运动，直线 分别于圆
切于点 .则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 的面积最小值为
B． 最短时，弦 长为
C． 最短时，弦 直线方程为
D．直线 过定点
【答案】ABD
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离 和半径 之间关系，即切线长
可知当 时， 最小，可确定四边形面积最小值，同时利用面积桥可求得 ，由此可知AB正确；设 ，可知 方程为： ，由 可求得 点坐标，由此可
得 方程，知C正确；将 代入 方程，根据直线过定点的求法可知D正确.
【详解】由圆的方程知：圆心 ，半径 ，
对于AB，四边形 的面积 ，
则当 最短时，四边形 的面积最小，
点 到直线 的距离 ， ，
此时 ，A正确；
又 ， 此时 ，B正确；
对于C，设 ， ， ，
则过 作圆的切线，切线方程为： ；过 作圆的切线，切线方程为：
，
又 为两切线交点， ，
则 两点坐标满足方程： ，即 方程为： ；当 最小时， ， 直线 方程为： ，
由 得： ，即 ，
方程为： ，即 ，C错误；
对于D，由C知： 方程为： ；
又 ，即 ，
方程可整理为： ，
由 得： ， 过定点 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：过圆 上一点 作圆的切线，则切线方程为：
；过圆 外一点 作圆的两条切线，切点弦所
在直线方程为： .
29．过直线 上动点P作圆 的一条切线，切点为A，若使得 的点P
有两个，则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【分析】将使得 的点P有两个，转换为圆心 到直线 的距离的不等关系式求解即可
【详解】由题，使得 的点P有两个，即使得 的点P有两个，即圆心到直线的距离小于半径.又圆心 到直线 的距离 ，故 ，即 ，
即
故答案为：
30．直线 与圆 交于A、B两点，且 ，则实数
_______．
【答案】 或5
【分析】设AB中点为D，则CD⊥AB，且DB=DA，根据 化简即可求得圆心
C到直线l的距离 ，再根据点到直线的距离公式即可求出m的值．
【详解】 ，则圆心 ，半径 ，
设AB中点为D，则CD⊥AB，且DB=DA，
则
，
即 ，
∴ 或5．
故答案为： 或5．
31．已知直线 ： 与圆 ： 相交于 两点，若 ，则 的值为
________．
【答案】
【分析】利用垂径定理得 到直线 的距离为1，再利用点到直线距离公式解得答案.【详解】由题意 ， ，利用等腰直角三角形的性质，知 ，又因为 ，
根据垂径定理， 到直线 的距离 ，解得 .
故答案为： .
32．过点 且与圆 相切的直线的方程是______．
【答案】 或
【分析】当直线斜率不存在时，可得直线 ，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，
设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离 ，即可求得k值，综合即
可得答案.
【详解】当直线l的斜率不存在时，因为过点 ，
所以直线 ，
此时圆心 到直线 的距离为1=r，
此时直线 与圆 相切，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
所以 ，即 ，
因为直线l与圆相切，
所以圆心到直线的距离 ，解得 ，
所以直线l的方程为 .
综上：直线的方程为 或
故答案为： 或33．从圆 外一点 向圆引切线，则此切线的长为______．
【答案】2
【分析】作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.
【详解】将圆化为标准方程： ，则圆心 ，半径1，
如图，设 ， ，切线长 ．
故答案为：2
34．已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则 的取值范围是________．
【答案】
【分析】直线 过定点 ，曲线 表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分．
画出图形，结合图形可得所求的范围．
【详解】由题意得，直线 过定点 ，曲线 表示圆心为原点，半径为2的圆的
上半部分（包括与 轴的交点），画出图形如下图所示．当直线 ，即直线 与圆相切时，
则有 ，解得 ， ．
结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为 ．
【点睛】解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图象）
求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题．
35．已知圆 与直线 相切，则 ___________.
【答案】
【分析】根据圆的一般方程求出圆心和半径，则根据圆心到切线的距离等于半径即可列式求解.
【详解】 ，
圆的圆心为(2，－2)，半径r＝1，
∵圆和直线相切，∴ .
故答案为： .
36．已知直线 与圆 交于 ， 两点，则 ______.
【答案】
【分析】首先求出圆的圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，再计算弦长即可.
【详解】圆 ，即为 ，
圆心 ，半径 .圆心到直线的距离 ，
所以 .
故答案为： .
37．已知抛物线 ，圆 ，直线 与 交于A，B两点，与 交于
M，N两点，若 ，则 ______．
【答案】
【分析】联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式结合弦长求出直线斜率，再利用垂径定理求出弦长即可.
【详解】设 ，由 得 ，
所以 ，所以 ，
解得 ，所以直线 或 ，
圆心 到直线 的距离 ，
（圆心 到直线 的距离 ）
由圆的弦长公式： ，可得 .
故答案为：
38．直线 经过点 ，与圆 相交截得的弦长为 ，则直线 的方程为
________．
【答案】 或
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.
【详解】圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
因为直线与圆相交截得的弦长为 ，
所以圆心到直线的距离 ，
若直线的斜率不存在，此时直线方程为 ，满足圆心 到直线 的距离为 ，符合题意；
若直线的斜率存在，设斜率为 ，则直线方程为 ，即 ，
则 ，解得 ，所以直线方程为 ，即 ，
综上可得直线方程为 或 .
故答案为： 或
39．已知直线 与圆 相交于A、B两点．若 为直角三角形，则 的值为
________．
【答案】
【分析】由 为直角三角形，可得 ，从而可得 的值.
【详解】根据题意，圆 即 ，
若 为直角三角形，即为等腰直角三角形，
所以有圆心 到直线的距离为： ，解得： ．
故答案为：
40．已知圆 与圆 外切，此时直线 被圆 所截的弦长
为__________．【答案】
【分析】根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得 ，接着计算 到直线的距离，最后根据圆的弦
长公式计算可得结果.
【详解】由题意可得： ，
即圆 的圆心为 ，半径为 ，
即圆心到直线 的距离为 ，
故所截弦长为 ．
故答案为：
41．圆 ： 和圆 ： 交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是
______.
【答案】
【分析】由两圆的方程得两圆心坐标，两圆心所在直线的方程即为所求直线方程，
【详解】圆 方程为 ，圆 方程为 ，
则圆心分别为 ， ，两圆相交于 两点，则线段AB的垂直平分线即为直线 ，
，则直线 的方程为 ，即 ，
故答案为：
42．已知圆 和圆 外切，则实数 的值为______．
【答案】12
【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆外切，圆心距等于半径之和，列方程解实数
的值.
【详解】圆 化为标准方程为 ，圆心 ，半径 ，圆 化为标准方程为 ，圆心 ，半径 ，
由两圆外切，有 ，即 ，解得 .
故答案为：12
43．已知圆 ，圆 .
(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
(2)若过点 的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
【答案】(1)圆C与圆M相交，理由见解析
(2) 或
【分析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；
（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为 ，当直线l的斜率存在时，设其方程为 ，
利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.
【详解】（1）把圆M的方程化成标准方程，得 ，
圆心为 ，半径 .
圆C的圆心为 ，半径 ，
因为 ，
所以圆C与圆M相交，
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 到圆心C距离为2，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设其方程为 ，
由题意得 ，解得 ，
故直线l的方程为 .综上，直线l的方程为 或 .
44．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【答案】（1） ；（2）2．
【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由 ，解得： ．
故当 ，过点A（0，1）的直线与圆C： 相交于M，N两点．
（2）设M ；N ，
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程 ，
可得 ，
∴ ，
∴ ，
由 ，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算
45．已知圆 经过 和 两点，且圆心在直线 上．(1)求圆 的方程；
(2)从点 向圆C作切线，求切线方程．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与
圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）由题可知 ,所以线段 的中垂线的斜率等于1，
又因为 的中点为 ，
所以线段 的中垂线的直线方程为 ，
即 ，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于 ,所以圆 的方程为 .
（2）设圆 的半径为 ，则 ，
若直线的斜率不存在，因为直线过点 ，
所以直线方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离 ，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为 ，
则切线方程为 ，即 ，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 .所以切线方程为 或 .
46．已知圆C： ．
(1)若点 ，求过点 的圆 的切线方程；
(2)若点 为圆 的弦 的中点，求直线 的方程．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）求出圆 的圆心与半径，分过点 的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距
离等于半径，即可求出切线方程；
（2）根据圆心与弦中点的连线垂直线，可求出直线 的斜率，进而求出结果.
【详解】（1）解：由题意知圆心的坐标为 ，半径 ，
当过点 的直线的斜率不存在时，方程为 ．
由圆心 到直线 的距离 知，此时，直线与圆相切．
当过点 的直线的斜率存在时，设方程为 ，
即 ．由题意知 ，
解得 ，∴方程为 ．
故过点 的圆 的切线方程为 或 ．
（2）解：∵圆心 ， ，即 ，
又 ，
∴ ，则 .
47．已知圆C： ，直线l： .(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|= 时，求直线l的方程.
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）由题设可得圆心为 ，半径 ，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方
程求参数a的值即可.
（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.
【详解】（1）由圆 ： ，可得 ，
其圆心为 ，半径 ，
若直线 与圆 相切，则圆心 到直线 距离 ，即 ，可得： .
（2）由（1）知：圆心到直线的距离 ，
因为 ，即 ，解得： ，
所以 ，整理得： ，解得： 或 ，
则直线 为 或 .
48．已知半径小于6的圆 过点 ，且圆 与两坐标轴均相切．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若圆 与直线 交于 两点，__________，求 的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①： ；条件②： ．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆 ，由圆 过点 代入方程，再根据圆 与两坐标
轴均相切得出 ， ，且 ，解出 ，即可得出圆 的方程；
（2）选①：过点 作 于点 ，由 得出 ，则 ，得出圆心
到直线 的距离 ，由点到直线距离公式列出方程求解即可；选②：在 中，由余弦定理得出
，则 ，过点 作 于点 ，得出 ，则圆心 到直线 的距
离 ，由点到直线距离公式列出方程求解即可．
【详解】（1）设圆 ，
因为圆 过点 ，
所以 ，
又因为圆 两坐标轴均相切，
所以得 ， 且 ，
则 ，解得 或 ，
因为圆 的半径小于6，
所以 ，即 ，
所以 ．
（2）如果选择条件①：
由 ， ，得 ，过点 作 于点 ，则 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
则 ，解得 ；
如果选择条件②： ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
过点 作 于点 ，则 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
则 ，解得 ．
49．已知点 在圆 上．
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；
(2)过点 ，斜率为 的直线 与圆 相交于 两点，求弦 的长．
【答案】(1)圆心坐标为 ，半径长为 ；(2)
【分析】（1）先根据点在圆上求出参数 ，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；（2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解.
【详解】（1）因为点 在圆 上，
所以 ，解得 ，
所以该圆的标准方程为 ，
所以该圆的圆心坐标为 ，半径长为 ；
（2）直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以 .
50．过圆 外一点P（4，2）向圆引切线．
(1)求过点P的圆的切线方程；
(2)若过点P的直线截圆所得的弦长为 ，求该直线的方程；
(3)若过P点引圆的两条切线，切点分别为 、 ，求过切点 、 的直线方程．
【答案】(1)x＝4或
(2)y＝2或
(3)
【分析】（1）分 不存在和 存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可；
（2）由弦长可得，圆心到直线距离等于 ，结合圆心到直线距离公式，可得解；
（3）由题意 四点共圆，且PO为直径，写出圆的方程，过切点 、 的直线即为圆
与圆 的交线，求解即可.（1）
当切线斜率不存在时，过点P（4，2）的直线为x＝4，圆心到直线距离等于半径，故x＝4为切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ．由 ，即
解得： ，此时切线方程为 ．
∴过点P的圆的切线方程为x＝4或 ；
（2）
由（1）知，所求切线斜率存在，设直线方程为 ．
∵r＝4，且弦长为 ，∴圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得k＝0或 ．
∴所求直线方程为y＝2或 ；
（3）由题意，
故 四点共圆，且PO为直径
∵P（4，2），
∴以PO为直径的圆圆心为 ，半径 ，
故圆的方程为 ，
由于 也在圆 上，
故过切点 、 的直线为圆 与圆 的公共弦
两圆方程作差可得过 、 的直线方程为 ．
