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进阶2 参数半分离与主元变换
题型一 参数半分离
例1 若不等式aln x-x+1≤0 恒成立，求实数a 的取值范围.
思维升华 在半分离时，要调节参数a 与x 的位置，使f(x)与g(x)的作图更方便，一般分为一条动直线与一
条曲线.
跟踪训练1 设函数f(x)={
2ln x，x>0，
- x
2-2 x，x ≤0，若不等式f(x)≤ax+2 对任意x∈R 恒成立，则实数a 的取值
范围为 .
题型二 主元变换
例2 已知不等式ln x-1
2x2+bx+c≤0 对任意的x∈(0，+∞)，b∈(0，3
2)恒成立，求c 的取值范围.
思维升华 一些导数大题经常会含有多个变量，主要解题思路是以x 为主元进行求解，但有时解题过程较
为复杂，此时，有的题目就可以以其他变量为主元进行求解.
跟踪训练2 已知函数f(x)=2ax+bx-1-2ln x，对任意a∈[1，3]和任意x∈(0，+∞)，f(x)≥2bx-3 恒成立，
求实数b 的取值范围.
答案精析
例1 解 ∵不等式aln x-x+1≤0 恒成立，
∴aln x≤x-1 恒成立，x>0，
当a≤0 时，显然不恒成立，
当a>0 时，原不等式等价于ln x≤1
a(x-1)恒成立，
由于y=ln x 在x=1 处的切线方程为y=x-1，
∴要使ln x≤1
a(x-1)恒成立，
只需1
a=1，即a=1，
∴a 的取值范围为{1}.
跟踪训练1 [
2
e
2 ，-2+2√2]
解析 作出函数f(x)的图象，如图，
直线y=ax+2 恒过定点(0，2)，由图可知a>0，
当直线y=ax+2 与y=-x2-2x 相切时，
联立{
y =ax +2，
y =- x
2-2 x可得x2+(a+2)x+2=0，
令Δ=(a+2)2-8=0，
解得a=-2+2√2或a=-2-2√2(舍去)；
当直线y=ax+2 与曲线y=2ln x 相切时，
设切点P(x0，2ln x0)，
则曲线在点P 处的切线方程为y-2ln x0= 2
x0
(x-x0)，
又切线过点(0，2)，
解得x0=e2，此时a= 2
x0
= 2
e
2，所以a 的取值范围为[
2
e
2 ，-2+2√2].
例2 解 令f(b)=x·b+ln x-1
2x2+c，b∈(0，3
2)，
由于x>0，所以函数f(b)在(0，3
2)上单调递增，
所以f(b)<f (
3
2)=3
2x+ln x-1
2x2+c≤0.
即c≤1
2x2-3
2x-ln x，x∈(0，+∞)，
令g(x)=1
2x2-3
2x-ln x，
则g'(x)=x-3
2-1
x
=2 x
2-3 x -2
2 x
=(2 x +1)( x -2)
2 x
，
当0<x<2 时，g'(x)<0，当x>2 时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，
所以c≤g(x)min=g(2)=-1-ln 2，
所以c 的取值范围为(-∞，-1-ln 2].
跟踪训练2 解 由题知对任意a∈[1，3]，x∈(0，+∞)，2ax+bx-1-2ln x≥2bx-3 恒成立，
即2x·a-bx-2ln x+2≥0 恒成立，
令g(a)=2x·a-bx-2ln x+2，a∈[1，3]，
则g(1)≥0，
即2x-bx-2ln x+2≥0，
所以b≤2-2ln x
x
+2
x 恒成立，
令h(x)=2-2ln x
x
+2
x ，x∈(0，+∞)，
则h'(x)=-2·2- ln x
x
2
，
当0<x<e2时，h'(x)<0，
当x>e2时，h'(x)>0，
所以h(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，+∞)上单调递增，
所以h(x)min=h(e2)=2- 2
e
2，
所以b≤2- 2
e
2，
故b 的取值范围为(-∞，2- 2
e
2].
