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进阶2 参数半分离与主元变换
题型一 参数半分离
例1 若不等式aln x－x＋1≤0 恒成立，求实数a 的取值范围.
解 ∵不等式aln x－x＋1≤0 恒成立，
∴aln x≤x－1 恒成立，x>0，
当a≤0 时，显然不恒成立，
当a>0 时，原不等式等价于ln x≤1
a(x－1)恒成立，
由于y＝ln x 在x＝1 处的切线方程为y＝x－1，
∴要使ln x≤1
a(x－1)恒成立，
只需1
a＝1，即a＝1，
∴a 的取值范围为{1}.
思维升华 在半分离时，要调节参数a 与x 的位置，使f(x)与g(x)的作图更方便，一般分为一条动直线与一
条曲线.
跟踪训练1 设函数f(x)＝{
2ln x，x>0，
- x
2-2 x，x ≤0，若不等式f(x)≤ax＋2 对任意x∈R 恒成立，则实数a 的取
值范围为 .
答案 [
2
e
2 ，-2＋2√2]
解析 作出函数f(x)的图象，如图，
直线y＝ax＋2 恒过定点(0，2)，由图可知a>0，
当直线y＝ax＋2 与y＝－x2－2x 相切时，
联立{
y ＝ax＋2，
y ＝- x
2-2 x 可得x2＋(a＋2)x＋2＝0，
令Δ＝(a＋2)2－8＝0，
解得a＝－2＋2√2或a＝－2－2√2(舍去)；
当直线y＝ax＋2 与曲线y＝2ln x 相切时，
设切点P(x0，2ln x0)，
则曲线在点P 处的切线方程为y－2ln x0＝2
x0
(x－x0)，
又切线过点(0，2)，
解得x0＝e2，此时a＝2
x0
＝2
e
2 ，
所以a 的取值范围为[
2
e
2 ，-2＋2√2].
题型二 主元变换
例2 已知不等式ln x－1
2x2＋bx＋c≤0 对任意的x∈(0，＋∞)，b∈(0，3
2)恒成立，求c 的取值范围.
解 令f(b)＝x·b＋ln x－1
2x2＋c，b∈(0，3
2)，
由于x>0，所以函数f(b)在(0，3
2)上单调递增，
所以f(b)<f (
3
2)＝3
2x＋ln x－1
2x2＋c≤0.
即c≤1
2x2－3
2x－ln x，x∈(0，＋∞)，
令g(x)＝1
2x2－3
2x－ln x，
则g'(x)＝x－3
2 - 1
x ＝2 x
2-3 x -2
2 x
＝(2 x＋1)( x -2)
2 x
，
当0<x<2 时，g'(x)<0，当x>2 时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以c≤g(x)min＝g(2)＝－1－ln 2，
所以c 的取值范围为(－∞，－1－ln 2].
思维升华 一些导数大题经常会含有多个变量，主要解题思路是以x 为主元进行求解，但有时解题过程较
为复杂，此时，有的题目就可以以其他变量为主元进行求解.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax＋bx－1－2ln x，对任意a∈[1，3]和任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥2bx－3 恒
成立，求实数b 的取值范围.
解 由题知对任意a∈[1，3]，x∈(0，＋∞)，2ax＋bx－1－2ln x≥2bx－3 恒成立，
即2x·a－bx－2ln x＋2≥0 恒成立，
令g(a)＝2x·a－bx－2ln x＋2，a∈[1，3]，
则g(1)≥0，
即2x－bx－2ln x＋2≥0，
所以b≤2－2ln x
x
＋2
x 恒成立，
令h(x)＝2－2ln x
x
＋2
x ，x∈(0，＋∞)，
则h'(x)＝－2·2- ln x
x
2
，
当0<x<e2时，h'(x)<0，
当x>e2时，h'(x)>0，
所以h(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(e2)＝2－2
e
2 ，
所以b≤2－2
e
2 ，
故b 的取值范围为(-∞，2- 2
e
2].
课时精练
[分值：34 分]
1.(17 分)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R，其中e 为自然对数的底数).
(1)若f(x)在定义域内有唯一零点，求a 的取值范围；(7 分)
(2)若f(x)≤x2ex对x∈[0，＋∞)恒成立，求a 的取值范围.(10 分)
解 (1)f'(x)＝ex－a.
①当a≤0 时，f'(x)>0，
所以f(x)在R 上单调递增.
又f(－1)＝1
e －1＋a<0，f(1)＝e－a－1>0，
由函数零点存在定理可知，函数f(x)在R 上有唯一零点，
故a≤0 符合题意.
②当a>0 时，令f'(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(ln a，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f(ln a)＝eln a－aln a－1＝a－aln a－1.
设g(a)＝a－aln a－1(a>0)，
则g'(a)＝1－(ln a＋1)＝－ln a，
当0<a<1 时，g'(a)>0，g(a)单调递增；
当a>1 时，g'(a)<0，g(a)单调递减，
所以g(a)max＝g(1)＝0，
故a＝1.
综上，实数a 的取值范围为{a|a≤0 或a＝1}.
(2)方法一 f(x)≤x2ex对x∈[0，＋∞)恒成立，
即(1－x2)ex≤ax＋1 对x∈[0，＋∞)恒成立，
即函数h(x)＝(1－x2)ex的图象恒在直线y＝ax＋1 的下方，
而h'(x)＝(1－x2－2x)ex，h″(x)＝(－x2－4x－1)ex<0(x≥0)，
所以函数h(x)是上凸函数，且在点(0，1)处的切线斜率k＝h'(0)＝1，
直线y＝ax＋1 过定点(0，1)，斜率为a，
故a≥1，即a 的取值范围为[1，＋∞).
方法二 f(x)≤x2ex对x∈[0，＋∞)恒成立，
即(1－x2)ex≤ax＋1 对x∈[0，＋∞)恒成立，
记h(x)＝(1－x2)ex＝(1＋x)(1－x)ex.
①当a≥1 时，设函数m(x)＝(1－x)ex，
则m'(x)＝－xex≤0，
因此m(x)在[0，＋∞)上单调递减.
又m(0)＝1，故m(x)≤1，
所以h(x)＝(1＋x)·m(x)≤1＋x≤ax＋1，
故f(x)≥x2ex对x∈[0，＋∞)恒成立.
②当a<1 时，设函数n(x)＝ex－x－1，
则n'(x)＝ex－1≥0，
所以n(x)在[0，＋∞)上单调递增，且n(0)＝0，
故ex≥x＋1.
当0<x<1 时，h(x)>(1－x)(1＋x)2，
则(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，
(ⅰ)当0<a<1 时，取x0＝-1＋√5- 4 a
2
，
则x0∈(0，1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，
所以h(x0)>ax0＋1，
故0<a<1 不符合题意.
(ⅱ)当a≤0 时，取x0＝√5-1
2
，
则x0∈(0，1)，h(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1，
故a≤0 不符合题意.
综上，a 的取值范围为[1，＋∞).
2.(17 分)设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数；(7 分)
(2)证明：当a>0 时，f(x)≥2a＋aln2
a.(10 分)
(1)解 f(x)＝e2x－aln x 的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2e2x－a
x .
①当a≤0 时，f'(x)>0 恒成立，
故f'(x)没有零点.
②当a>0 时，因为y＝e2x单调递增，y＝－a
x 单调递增，
所以f'(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又f'(a)>0，当b 满足0<b<a
4 且b<1
4 时，
f'(b)＝2e2b－a
b<2e2b－4<2√e－4<0，
故由函数零点存在定理可知，f'(x)存在唯一零点.
综上所述，当a≤0 时，f'(x)没有零点；
当a>0 时，f'(x)存在唯一的零点.
(2)证明 方法一 由(1)可设导函数f'(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，
当x∈(0，x0)时，f'(x)<0；
当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0，
故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).
由于2e
2 x0- a
x0
＝0，
所以f(x0)＝a
2 x0
＋2ax0＋aln2
a≥2a＋aln2
a ，
故当a>0 时，f(x)≥2a＋aln2
a.
方法二 令g(a)＝2a＋aln2
a－e2x＋aln x，
求导得g'(a)＝2＋ln2
a－1＋ln x
＝1＋ln 2＋ln x－ln a，
令g'(a)>0，得a<2ex；
令g'(a)<0，得a>2ex，
所以函数g(a)在(0，2ex)上单调递增，在(2ex，＋∞)上单调递减，
所以g(a)max＝g(2ex)
＝4ex＋2exln 1
e x ＋2exln x－e2x＝2ex－e2x.
再令h(x)＝2ex－e2x，h'(x)＝2e－2e2x，
所以h(x)在(0，1
2)上单调递增，在(
1
2 ，＋∞)上单调递减，
h(x)max＝h(
1
2)＝0，
所以g(a)max≤0，得证.
