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进阶篇 导数中的零点问题
导数在研究函数的单调性、极值和最值方面有着重要的作用，而这些问题的解决都离不开一个基本要点，
即函数的零点.比如，导函数的零点既可能是原函数单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点，或是最
值点.可以说，抓住了函数的零点，也就抓住了导数问题的要点.
零点问题主要有如下四类：
①零点的个数问题；②零点的范围问题；③隐零点问题；④分段函数零点问题.
进阶1 零点个数问题
题型一 利用导数研究零点个数
例1 (2024·北京模拟)已知函数f(x)=axln x-1
2x2+(1-a)x.
(1)当a<0 时，求f(x)的极值；
(2)当1
2≤a≤1 时，判断f(x)的零点个数，并说明理由.
思维升华 解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种：
(1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解.
(2)转化为函数f(x)的图象与x 轴交点个数的问题.
(3)将f(x)=0 进行参变分离，转化为a=g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”.
跟踪训练1 已知函数f(x)=ex-a(x+1)，a∈R.
(1)若f(x)在[0，1]上不单调，求a 的取值范围；
(2)当a>0 时，试讨论函数f(x)的零点个数.
题型二 利用函数零点个数求参数范围
例2 (2024·长沙模拟)已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)若a=1，证明：当x≥0 时，f(x)≥1；
(2)若f(x)在(0，+∞)内有两个零点，求a 的取值范围.
思维升华 (1)分离参数法：分离之后函数无参数，则可得到函数的图象，然后上下移动参数的值，观察直
线与函数图象交点个数即可.
(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线
的含参函数，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围.
(3)直接构造法：直接研究函数f(x)，对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用函数零点存在定理，判
断零点个数，从而求出参数的取值范围.
跟踪训练2 已知函数f(x)=ln x+ax+2.
(1)若函数f(x)在x=1 处取得极值，求a 的值；
(2)若函数f(x)在定义域内存在两个零点，求a 的取值范围.
答案精析
例1 解 (1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
且f'(x)=aln x+a-x+1-a
=aln x-x+1，
令g(x)=f'(x)=aln x-x+1，
则g'(x)=a
x -1=a- x
x
，
因为a<0，所以g'(x)<0 恒成立，
所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，
即f'(x)在(0，+∞)上单调递减，
又f'(1)=0，
所以当0<x<1 时，f'(x)>0，
当x>1 时，f'(x)<0，
则f(x)在(0，1)上单调递增，
在(1，+∞)上单调递减，
所以f(x)在x=1 处取得极大值为1
2-a，无极小值.
(2)令f(x)=0，
即axln x-1
2x2+(1-a)x=0，
因为x>0，
所以aln x-1
2x+1-a=0，
令F(x)=aln x-1
2x+1-a，
所以判断f(x)的零点个数，即判断F(x)的零点个数，
又F'(x)=a
x -1
2=2a- x
2 x
，1
2≤a≤1，
所以当0<x<2a 时，F'(x)>0，当x>2a 时，F'(x)<0，
所以F(x)在(0，2a)上单调递增，在(2a，+∞)上单调递减，
所以F(x)max=F(2a)=aln(2a)-2a+1，1≤2a≤2，
令H(x)= x
2ln x-x+1，x∈[1，2]，
则H'(x)=1
2ln x-1
2，
因为x∈[1，2]，所以H'(x)≤1
2ln 2-1
2=1
2(ln 2-1)<0，
所以H(x)在[1，2]上单调递减，
所以H(x)≤H(1)=0，
所以F(2a)≤0，当且仅当a=1
2时等号成立，
所以当a=1
2时，F(x)有一个零点，即f(x)有一个零点，
当1
2<a≤1 时，F(x)无零点，
即f(x)无零点，
综上可得，当a=1
2时，f(x)有一个零点，当1
2<a≤1 时，f(x)无零点.
跟踪训练1 解 (1)函数f(x)=ex-a(x+1)，
则f'(x)=ex-a，
∵f(x)在[0，1]上不单调，
故函数f(x)在(0，1)上存在极值，
∴f'(x)在(0，1)上存在变号零点，
即ex-a=0 在(0，1)上有解，
即直线y=a 与曲线y=ex的图象在(0，1)上有交点，令h(x)=ex，
当x∈(0，1)时，h(x)∈(1，e)，
∴a 的取值范围为(1，e).
(2)f(x)=0 等价于1
a= x +1
e
x ，
故f(x)=0 的零点个数即为直线y=1
a与曲线y= x +1
e
x 的图象的交点个数，
令g(x)= x +1
e
x ，则g'(x)=- x
e
x ，
令g'(x)>0，得x<0，
令g'(x)<0，得x>0，
故g(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，
∵g(0)=1，当x→-∞时，g(x)→-∞，当x→+∞时，g(x)→0，
函数g(x)的图象如图所示，
∴当0<1
a<1，即a>1 时，f(x)有两个零点；
当1
a=1，
即a=1 时，f(x)有一个零点；
当1
a>1，
即0<a<1 时，f(x)无零点.
例2 (1)证明 当a=1 时，
f(x)=ex-x2，
则f'(x)=ex-2x，
令h(x)=ex-2x，则h'(x)=ex-2，
由h'(x)=0，得到x=ln 2，
当x∈(-∞，ln 2)时，h'(x)<0，当x∈(ln 2，+∞)，h'(x)>0，
所以h(x)≥h(ln 2)=2-2ln 2>0，即f'(x)>0 恒成立，
所以f(x)=ex-x2在区间[0，+∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)=e0=1，命题得证.
(2)解 因为f(x)=ex-ax2，
令f(x)=0，得ex=ax2，
又x∈(0，+∞)，所以e
x
x
2=a，
令g(x)=e
x
x
2，x∈(0，+∞)，
则g'(x)=e
x( x -2)
x
3
，
当x∈(0，2)时，g'(x)<0，
当x∈(2，+∞)时，g'(x)>0，
所以g(x)≥g(2)=e
2
4 ，
又当x→0 时，g(x)→+∞，
当x→+∞时，g(x)→+∞，
又f(x)在(0，+∞)内有两个零点，
所以a>e
2
4 ，
即a 的取值范围为(
e
2
4 ，+∞).
跟踪训练2 解 (1)因为f(x)=ln x+ax+2(x>0)，
则f'(x)=1
x +a=ax +1
x
，
因为函数f(x)在x=1 处取得极值，
所以f'(1)=1+a=0，解得a=-1，
当a=-1 时，可得f'(x)=1- x
x
，
当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=1 时，函数f(x)取得极大值，符合题意，故a=-1.
(2)由f'(x)=ax +1
x
，其中x>0，
当a≥0 时，可得f'(x)>0，f(x)单调递增，
此时函数f(x)至多有一个零点，不符合题意；
当a<0 时，令f'(x)=0，解得x=-1
a，
当x∈(0，- 1
a)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(- 1
a ，+∞)时，
f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=-1
a时，f(x)取得极大值，也是最大值，
最大值为f (- 1
a)=ln(- 1
a)+a·(- 1
a)+2=1-ln(-a)，
又当x→0 时，f(x)→-∞；当x→+∞时，f(x)→-∞，
所以要使得函数f(x)有两个零点，则满足f (- 1
a)>0，
即1-ln(-a)>0，解得-e<a<0，
所以实数a 的取值范围是(-e，0).
