文档文本内容
第 01 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................2
高频考点一：分类加法计数原理的应用...............................2
高频考点二：分步乘法计数原理.....................................3
高频考点三：两个计数原理与数字有关的问题.........................5
高频考点四：两个计数原理与几何有关的问题.........................6
高频考点五：两个计数原理中涂色问题...............................7
第四部分：数学文化题................................................9
第一部分：知识点必背
知识点一：分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法，
那么完成这件事共有 种不同的方法.
知识点二：分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法.
知识点三：分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广
（1）完成一件事有 类不同方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方
法,
……,在第 类方案中有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
（2）完成一件事需要 个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法,……,做第 步
有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.第二部分：高考真题回归
1．（2023·全国·甲卷理）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从
这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分类加法计数原理的应用
典型例题
例题1．（2023·高二单元测试）如图所示，在 间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，
则电路不通,今发现 之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）
A．9种 B．11种 C．13种 D．15种
例题2．（2023春·江苏常州·高二统考期中）我们把各位数字之和为6的四位数称为“四位合六数”（如
1203、1005均是四位合六数），则在“四位合六数”中首位为1的不同的“四位合六数”共有 个．
例题3．（2023·全国·高二随堂练习）某人需要在一天的上午乘车从A地到B地再转车赶到C地，现已知A
地至B地以及B地至C地的汽车时刻表如下：
从A地到B地的汽车时刻表 从B地到C地的汽车时刻表
车 车
发车 到站 发车 到站
次 次
1 6:30 8:00 1 7:20 8:40
2 7:30 9:00 2 8:20 9:40
3 8:30 10:00 3 9:20 10:40
4 9:30 11:00 4 10:20 11:40
问此人在这天从A地到达C地有多少种不同的乘车方案？
例题4．（2023秋·高二课时练习）用1、2、3、4、5这五个数字可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数？
练透核心考点
1．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期末）从0，1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的
数分别记为A，B，则方程 所表示的不同直线共有 条．
2．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第二十一中学校考阶段练习）如图，从 有 种不同的走
法.
3．（2023·全国·高二随堂练习）有三个袋子，第一个袋子装有标号1～20的红色小球20个，第二个袋子装
有标号1～15的白色小球15个，第三个袋子装有标号1～8的蓝色小球8个．
(1)从三个袋子中取一个小球，共有多少种不同的取法？
(2)从每个袋子中各取一个小球，共有多少种不同的取法？
4．（2023·全国·高二随堂练习）一项工作可以用两种方法完成．有5人只会用第一种方法完成，另有4人
只会用第二种方法完成．从中选出1人来完成这项工作，共有多少种不同的选法？
高频考点二：分步乘法计数原理
典型例题
例题1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）甲、乙、丙、丁四位同学决定
去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三讷河市第一中学校联考开学考试）将编号为1、2、3、4、5、6的
小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A．90 B．135 C．270 D．360
例题3．（2023秋·高二课时练习）某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某
人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中
选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花 元．
例题4．（2023秋·高二课时练习）在300和800之间，有多少个没有重复数字的奇数？
练透核心考点
1．（2023春·新疆伊犁·高二统考期中）若3名学生报名参加天文､计算机､文学､美术这4个兴趣小组，每
人选1组，则不同的报名方式有（ ）
A．12种 B．24种 C．64种 D．81种
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考开学考试）电影票每张50元，如果有6个人排队买票，其中3
个人各持有50元面值的人民币一张，另外3个人各持有100元面值的人民币一张，而票房没有预备找零，
将这6个人排成一列顺序购票且无需因为等待找零耽误时间的排队方案种数有 .
3．（2023·全国·高二随堂练习）某校确定的优秀毕业生候选人中，一班有3人，二班有5人，三班有2
人．
(1)从三个班中评选出一名优秀毕业生，有多少种不同的选法？
(2)从三个班中各评选出一名优秀毕业生，有多少种不同的选法？
4．（2023秋·高二课时练习）一个三层的书架上共放有9本书，其中第一层放有4本不同的语文书，第二
层放有3本不同的数学书，第三层放有2本不同的外语书．若从书架的第一、二、三层各取1本书，共有
多少种不同的取法？
高频考点三：两个计数原理与数字有关的问题
典型例题
例题1．（2023春·河南周口·高二校联考期中）360的不同正因数的个数为（ ）A．24 B．36 C．48 D．42
例题2．（2023·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6，7这七个数中任取两个数相加，可得不同和的
个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．21
例题3．（2023秋·高二课时练习）从0､1､2､3､4､5六个数字中任取四个数字，可以组成多少个没有重复数
字、且为奇数的四位数？
4．（2023秋·高二课时练习）正整数 有多少个不同的正约数？
练透核心考点
1．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）．
A．42个 B．48个 C．54个 D．120个
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，
121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，
121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
A．四位回文数有90个
B．四位回文数有45个
C． （ ）位回文数有 个
D． （ ）位回文数有 个
3．（2023春·山东菏泽·高二校考阶段练习）在3000和7000间有 个没有重复数字的5的倍数．
高频考点四：两个计数原理与几何有关的问题
典型例题
例题1．（2023秋·四川成都·高三统考开学考试）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它
的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，
且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及
第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（ ）A．72 B．108
C．144 D．196
例题2．（2023·全国·高三专题练习）图是一个 的方格（其中心的方格线已被划去）．一只青蛙停在
格处，从某一时刻起，青蛙每隔一秒钟就跳到与它所在方格有公共边的另一方格内，直至跳到 格才停
下．若青蛙经过每一个方格不超过一次，则青蛙的跳法总数为 ．
练透核心考点
1．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为
界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，
互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模
型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（
）
A．16 B．20 C．24 D．28
2．（2023·江苏·高二专题练习）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克
教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都
会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.已知经典三阶魔方（如图）自由转动之后的色块组合约有
4.3×1019种，现将下图已还原的魔方按5步打乱，且每一步互相独立，则共有（ ）种打乱方式.A． B． C．185 D．195
高频考点五：两个计数原理中涂色问题
典型例题
例题1．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不
同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
例题2．（2023秋·高二课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两
个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（ ）
A．240 B．300
C．420 D．480
例题3．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示
的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置
相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种
例题4．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在
为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域
只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．120 B．420 C．300 D．以上都不对
练透核心考点
1．（多选）（2023春·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）如图，用 种不同的颜色把图中 四块区域
涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ）
A．
B．当 时，若 同色，共有48种涂法
C．当 时，若 不同色，共有48种涂法
D．当 时，总的涂色方法有420种
2．（2023春·广东·高二校联考期中）用5种不同的颜色给如图标有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只
涂一种颜色，且相邻（有公共边）两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有 .
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相
邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种.4．（2023·全国·高二随堂练习）如图是某校的主要设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了
便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？
第四部分：数学文化题
1．（2023春·广东韶关·高二校考期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二
种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学
喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为
礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A．90种 B．80种 C．60种 D．50种
2．（2023春·陕西榆林·高二校考期中）如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有 ， ， ，
， 五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
3．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动
人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，
8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称
的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有
（ ）A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种
4．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的
形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色
方法种数有 .
