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1.5 复数
1
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2
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3
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考点一 复数的基本概念
【例1-1】（2024·黑龙江吉林·二模）复数
的虚部是（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以复数
的虚部为.选：C.
【例1-2】（2024 山东）已知复数
的实部为3，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．5
【答案】B
【解析】由题意得，
，则其实部为
，解得
.故选:B.
【一隅三反】
1．（2024·湖南·模拟预测）已知复数
，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】因为
，所以复数的实部与虚部之和
，故选:B.
2．（2024 内蒙古赤峰）复数
的虚部为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】B
【解析】由
，所以虚部为 2. 故选：B.
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，
为实数，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
4
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【解析】由题意
，所以
，解得
，所以
.故选：D.
考点二 复数的分类
【例2-1】（2024·四川泸州·二模）已知
为纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，因为为纯虚数，所以
，则
.
故选：A.
【例2-2】（2024·全国·一模）若复数
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】依题意，
，
于是
，解得
，所以
.故选：C
【一隅三反】
1．（2024·江苏扬州）已知复数
是纯虚数，则m=（ ）
A．1
B．1 或-4
C．4
D．4 或6
【答案】A
【解析】因为复数
是纯虚数，所以
，解得
.
故选：A.
2（2023·辽宁·校联考二模）已知
，
为纯虚数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
5
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【解析】因为
为纯虚数，所以
，且
，
所以
.故选：B.
3．（2024·山西·模拟预测）已知
为实数，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】由
，
为实数，
，解得
．故选：B．
4．（2024·山西运城）已知为虚数单位，若
为实数，则实数
（ ）
A．
B．4
C．2
D．
【答案】B
【解析】
，
要使
为实数，需满足
，所以
.故选：B.
考点三 复数的几何意义
【例3-1】（2024·辽宁·一模）
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】
，在复平面内对应的点为
，在第四象限.故选：D.
【例3-2】（2024·广东广州·一模）已知复数满足
，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】令
，由
，得
，
6
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点
在以
为圆心，1 为半径的圆上，位于第四象限，故选：D
【例3-3】（2024·河北衡水）已知复数
，
，若在复平面上对应的点在第三象限，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
则
，解得
，
因为复数在复平面上对应的点在第三象限，则
，解得
，
因此，
.故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知：
，所以
.故选：B.
2．（2024·河南南阳·一模）已知复数满足
，复数的共轭复数为
，则
在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
7
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所以
，所以
，
所以
在复平面内对应的点的坐标为
，位于第三象限.
故选:C.
3．（2024·甘肃·一模）若复数
在复平面内对应的点位于第二象限，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，对应的点为
，在第二象限，故
，解得
，
故选：A.
4．（2024·全国·一模）若
，则在复平面内复数z 对应的点不可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】若
，则
，
复平面内复数z 对应的点在第一象限，
，不等式无解；
复平面内复数z 对应的点在第二象限，
，解得
；
复平面内复数z 对应的点在第三象限，
，解得
；
复平面内复数z 对应的点在第四象限，
，解得
；
所以复平面内复数z 对应的点不可能在第一象限.
故选：A
8
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考点四 复数的模长
【例4-1】（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】
，
.故选：A
【例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知
，则z 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
，则
，所以
解得
所以
．故选：A．
【一隅三反】
1．（2024·天津南开·一模）i 是虚数单位，复数
，则的虚部为
【答案】
【解析】
.所以复数的虚部为
.故答案为：
.
2．（2023·山西·高三校联考阶段练习）复数z 满足
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】∵
，∴
.故选：A
3．（2024 东北师大附中校联考模拟预测）已知复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【解析】设
，
，
所以
，所以
，解得：
，
所以
.故选：C
4．（2023·广东梅州·统考二模）已知复数
，
，且
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】复数
，
，则
，
依题意，
，解得
，即
，所以
.故选：C
考点五 复数与方程
【例5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知
是关于
的实系数一元二次方程
的一个根，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】因为
是关于
的实系数一元二次方程
的一个根，
所以
，整理得到:
即
，故选：D.
【例5-2】（2024·安徽芜湖·二模）已知复数
且
有实数根b，则
=
（ ）
A．
B．12
C．
D．20
【答案】D
【解析】由题意知
为
的实数根，
则
，即
，
则
，解得
，所以
，所以
，故D 正确.故选：D.
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【一隅三反】
1.（2023·福建·统考模拟预测）已知z 是方程x2-2x+2=0 的一个根，则|
|=（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】因为方程x2-2x+2=0 是实系数方程，且
，
所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，
即
，即
，
故选：B
2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数z 是方程
的一个根，且复数z 在复平面内对应的点位于
第三象限，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】复数范围内方程
的根为
，
因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以
，则
．
故选：D.
3．（2024·云南·模拟预测）若
是一元二次方程
的根，则该方程的两根之和为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】设
的另一个根是，易知与
一定是共轭复数，故
，故
.
故选：A
4．（2024·全国·模拟预测）设
为实数，且
，虚数
为方程
的一个根，则
的值为
.
【答案】1
【解析】由题意可知虚数
为方程
的一个根，
也为方程的一个根，
所以
，
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设
，则
，
，
所以
，
故答案为：.
考点六 复数模长相关轨迹
【例6-1】（2024 湖南·阶段练习）设复数z 满足
，z 在复平面内对应的点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为z 在复平面内对应的点为
，所以
，则
，
又
，所以
，即
.故选：C．
【例6-2】．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足
（为虚数单位），则
的最小值为
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【解析】设
，在复平面内对应的点
的坐标为
，
由
，得
，即
，
因此点
在圆
上运动，圆心
的坐标为
，半径
，
又
，
于是
可以看成是点
到点
的距离，显然此点在圆
外，
所以
.
故选：D
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【例6-3】（2024 浙江·期末）已知复数满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】复数满足
，
则复数z 对应的点的轨迹为以
为焦点，长轴长
的椭圆，
则椭圆短半轴长为
，椭圆方程为
，
表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时，
取值大值2；
当点位于椭圆短轴上的顶点时，
取值小值
；
故
的取值范围为
，
故选：D
【一隅三反】
1．（2024 江苏无锡·期中）是虚数单位，若复数满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在复平面内，若复数满足
，则复数对应的点
的轨迹是以
为圆心，半径为2 的圆，
几何意义是点
到原点的距离，
，所以
的取值范围是
.故选：A.
2．（2023·安徽安庆·一模）设复数z 满足条件|z|＝1，那么
取最大值时的复数z 为（ ）
A．
+
i
B．
+
i
C．
i
D．
i
【答案】A
【解析】复数满足条件
，它是复平面上的单位圆，那么
表示单位圆上的点到
的距离，
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要使此距离取最大值的复数，就是
和
连线和单位圆在第一象限的交点
．
点
到原点距离是2．单位圆半径是1，又
，所以
．
故对应的复数为
．
故选：A
3．（2024 江苏泰州）若复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】令
，
为实数
由
，
所以
，
因此当
时，
取最小值
，
故选：B
4．（2023·江苏扬州·模拟预测）复数
（
为虚数单位）在复平面内对应点
，则下列为
真命题的是（ ）．
A．若
，则点
在圆上
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B．若
，则点
在椭圆上
C．若
，则点
在双曲线上
D．若
，则点
在抛物线上
【答案】D
【解析】
表示点
与
之间的距离，
表示点
与
之间的距离，记
，
，
对于A，
，表示点
到
、
距离相等，则点
在线段
的中垂线上，故A 错误；
或由
，整理得
，所以点
在
，故A 错误；
对于B，由
得
，这不符合椭圆定义，故B 错误；
对于C，若
，
，这不符合双曲线定义，故C 错误；
对于D，若
，则
，整理得
，为抛物线，故D 正确.
故选：D.
考点七 复数运算及性质
【例7-1】（2024·广东江门·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．
，
B．
C．若
，
，则
的最小值为1
D．若
是关于x 的方程
的根，则
【答案】ACD
【解析】对于A，
，设复数
，则
，
，
故
，A 正确；
对于B，由于
，故
，B 错误；
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对于C，
，设
，由于
，则
，
故
，
由
，得
，则
，
故当
时，
的最小值为1，C 正确；
对于D，
是关于x 的方程
的根，
故
，即
，
故
，D 正确，
故选：ACD
【例7-2】（2024·广东韶关·二模）（多选）已知复数
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
是非零复数，且
，则
D．若
是非零复数，则
【答案】BC
【解析】对于A 项，若
，
，显然满足
，但
，故A 项错误；
对于B 项，设
，则
，
，故
而
，
故B 项正确；
对于C 项，由
可得：
，因
是非零复数，故
，即
，故C 项正
确；
对于D 项，当
时，
是非零复数，但
，故D 项错误.
故选：BC.
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模）（多选）已知复数
是的共轭复数，则（ ）
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A．
B．的虚部是
C．在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数
是方程
的一个根
【答案】AC
【解析】由题意可知
，所以
，故A 正确；
易知的虚部是，故B 错误；
在复平面内对应的点为
，位于第二象限，故C 正确；
对于
，
显然
不符合题意，故D 错误.
故选：AC
2．（2024·云南·一模）（多选）已知
、
都是复数，下列正确的是（ ）
A．若
，则
B．
C．若
，则
D．
【答案】BD
【解析】对于A：令
、
，则
，显然不满足
，故A 错误；
对于C：令
、
，则
，
，
所以
，但是
，故C 错误；
设
，
，
所以
，
则
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，
又
，
所以
，故B 正确；
，又
，
所以
，故D 正确.
故选：BD
3．（2024·吉林白山·二模）（多选）已知
为复数，则（ ）
A．若
，则
为实数
B．
C．若
，则
D．若
，则复数
在复平面内所对应的点位于坐标轴上
【答案】ABD
【解析】设
，故
为实数，故A 正确；
，故B 正确；
令
，故
，但
，故C 错误；
若
，则
，故
，即
或
，故D 正确.
故选：ABD
一．单选题
1．（2024·河南信阳·一模）若
，则z 的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．1
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【答案】C
【解析】依题意
，得
，
，
则复数z 的虚部为：
，故选：C．
2．（2024·宁夏银川·一模）已知复数
表示纯虚数，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．2
【答案】B
【解析】因为
，若复数表示纯虚数，则
，解得
.
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）复数满足
，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．的实部为
D．的虚部为
【答案】C
【解析】因为
，故
，则
，A 错误；
在复平面内对应的点为
，位于第一象限，B 错误；的实部为
，C 正确；
的虚部为
，D 错误，故选：C．
4．（2024·内蒙古包头·一模）设复数满足
，
，复数所对应的点位于第四象限,则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，所以
，
又
，复数所对应的点位于第四象限，所以
，解得
，从而
.故选：B.
5．（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足
（为虚数单位），则对应的点在（ ）
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A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】设
，由
得
，即
，
即对应的点为
，在第二象限，故选：B
6．（2024·四川南充·二模）若复数
，且z 和
在复平面内所对应的点分别为P，Q，O 为坐标原点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
所以z 和
在复平面内所对应的点分别为
,
,故
,
,
.故选：D.
7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，所以
，
表示以
为圆心，半径为的圆，则
，
表示
与
之间的距离，即
与
圆上任意一点的距离，
因
，所以
在
圆外，所以
.
故选：D
8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设
，
为复数，则下列命题正确的是（ ）
20
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A．若
，则
B．若
，则
且
C．若
，则
D．若
，且
，则在复平面对应的点在一条直线上
【答案】D
【解析】设
、
，
、
、、
，
对A：若
，则有
，
即
且
，故A 错误；
对B：取
、
，亦有
，故B 错误；
对C：取
，
，则有
，
，故C 错误；
对D：设
，
、
，若
，
则有
，
即有
，
整理得
，
由
，故
与
不能同时成立，
故在复平面对应的点在直线
上，
故D 正确.
故选：D.
二．多选题
9．（2024·辽宁·一模）已知满足
，则（ ）
A．
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B．复平面内
对应的点在第一象限
C．
D．的实部与虚部之积为
【答案】ACD
【解析】设
，
则由已知得
，即
，
所以
解得
所以
，则
，故A 项正确，B 项错误；
，的实部为
，虚部为1，
所以的实部与虚部之积为
，故C，D 项正确.
故选：ACD
10．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数
满足：
(其中为虚数单位)，则下列说法正确
的有( )
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】BC
【解析】设
，则
，即
，
它表示以原点为圆心，半径为1 的圆；
设
，则由
，得
，
即
，它表示一条直线；
对于选项A：
，故选项A 错误；
对于选项B：
，故选项B 正确；
对于选项C 和D：
表示圆
上点与直线
上点的连线段的长度，
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该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为
；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷
远）；
故选：BC．
11．（2024·江苏·一模）已知复数
，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
或
D．若
，则
【答案】AC
【解析】选项A，
，则
，故A 正确；
选项B，令
，满足条件
，但
，且均不为，故B 错误；
选项C，下面先证明命题“若
，则
，或
”成立.
证明：设
，
，
若
，则有
，
故有
，即
，两式相乘变形得，
，
则有
，或
，或
，
①当
时，
，即
；
②当
，且
时，则
，
又因为
不同时为，所以
，即
；
③当
，且
时，则
，同理可得
，故
；
综上所述，命题“若
，则
，或
”成立.
下面我们应用刚证明的结论推证选项C，
，
，
，或
，即
或
，故C 正确；
23
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选项D，令
，
则
，
但
，
不为，故D 错误.
故选：
.
三．填空题
12．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数
，则的虚部为 .
【答案】
【解析】
，
则的虚部为
.
故答案为：
.
13．（2023·全国·高三专题练习）
____________
【答案】
/
【解析】
，
，
.
故答案为：
14．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数
，
满足
，
，则
的最大值为
.
【答案】
/
24
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【解析】令复数
，
，
，则
，
所以
，所以
，
，即
.
又因为
，即在复平面内，复数
所对应的点的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆.
又点
到点
的距离为
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
四．解答题
15．（2024 河南商丘）已知复数z 满足
，
的虚部是2，z 对应的点A 在第一象限，
(1)求z 的值；
(2)若
在复平面上对应点分别为A，B，C，求cos∠ABC.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
，
，则
，
由题意得
，
故
，
因为z 对应的点A 在第一象限，所以
，
解得
，故
；
（2）由（1）知
，
，
，
对应的复数为
，
对应的复数为
，
因为
，且
的辐角为
，
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所以
16（2024 湖北）已知复数满足
，且复数在复平面内的对应点为
．
(1)确定点
的集合构成图形的形状；
(2)求
的最大值和最小值．
【答案】(1)点
的集合是以点
为圆心，2 为半径的圆
(2)最大值为7，最小值为3
【解析】（1）设复数
在复平面内的对应点为
，
则
，
故点
的集合是以点
为圆心，2 为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数
在复平面内的对应点为
，则
,如下图所示，
，
则
的最大值即
的最大值是
；
的最小值即
的最小值是
．
17．（2024·上海嘉定）设复数
，其中xnyn∈R，n∈N*，i 为虚数单位，
，z1=3+4i，复
数zn 在复平面上对应的点为Zn.
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（1）求复数z2，z3，z4的值；
（2）是否存在正整数n 使得
？若存在，求出所有满足条件的
；若不存在，请说明理由；
（3）求数列
的前
项之和.
【答案】（1）z2=
1+7
﹣
i，z3=
8+6
﹣
i，z4=
14
2
﹣
﹣i；（2）存在，n=4k+1，k∈N；（3）1+2102
【解析】（1）z2=（1+i）（3+4i）=
1+7
﹣
i，
，
.
（2）若
，则存在实数λ，使得
，故
，
即（xn，yn）=λ（x1，y1），
又zn+1=（1+i）zn，故
，即
为实数，
，
，故n
1
﹣为4 的倍数，即n
1=4
﹣
k，n=4k+1，k∈N；
（3）因为
，故xn+4=
4
﹣xn，yn+4=
4
﹣yn，所以xn+4yn+4=16xnyn，
又x1y1=12，x2y2=
7
﹣，x3y3=
48
﹣
，x4y4=28，
x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100
=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）
=
，
而
，
，
所以数列{xnyn}的前102 项之和为1
2
﹣
100+12×2100
7×2
﹣
100=1+2102.
18．（2024 山西）已知复数
，
，为虚数单位，
.
（1）若
为实数，求
的值；
（2）若复数
、
对应的向量分别是
、
，存在
使等式
成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）
，
因为
为实数，所以
，所以
，又因为
，所以
；
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（2）因为
，
，
所以
，
又因为存在
使等式
成立，
所以
在
上有解，
所以
在
上有解，又因为
，所以
，
所以
，解得
.
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列
，我们称
（规定
）为无穷数列
的指数型母函数．无穷数列1，
1，…，1，…的指数型母函数记为
，它具有性质
．
(1)证明：
；
(2)记
．证明：
（其中i 为虚数单位）；
(3)以函数
为指数型母函数生成数列
，
．其中
称为伯努利数．证明：
．且
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）令
，则
．
由
，令
，则
．
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因为
，故
．
（2）证明：因为
，
，
，
，
，
所以
（3）证明：令
，则有
，
因此
故
且
，即
．
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