文档文本内容
2.2 函数的单调性与奇偶性考点一 无参函数求单调区间
【例1-1】（2023云南丽江）下列函数中，定义域为 ，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项， 的定义域为 ，故排除A.
B选项， 的定义域为 ，故排除B.
C选项， 的定义域为 ，在 上有增有减，故排除C.
D选项， 的定义域为 ，令 ， 在 上单调递增，
在 上单调递增，所以 在 上单调递增.
故选：D
【例1-2】（2023春·江西）函数 的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，则 ，
令 ，解得 ，故函数 的单调递增区间为 .故答案为： .
【例1-3】（1）（2023·江西）函数 的单调增区间是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
（2）（2022·广东）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C． 和 D． 和（3）（2022秋·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）B（3）D
【解析】（1）由 ，
则 为偶函数， 的图像关于 轴对称.
当 时， ，对称轴为 ，所以 在 上递增，在 递减；
则当 时， 在 递增，在 递减，
则有 的递增区间为 .
故选：C
（2） 如图所示：
函数的单调递增区间是 和 ．故选：B.
（3）因为 ，所以 的增区间为 ，故选：D.【例1-4】（1）（2023·江西）函数 的单调减区间为______.
（2）（2024河南） 的单调增区间为
【答案】（1） （2）
【解析】函数 中， ，解得 或 ，即函数 的定义域为
，
在 上单调递减，在 上单调递增，而 在 单调递增，
于是得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的单调减区间为 .故答案为：
（2）由 ，得 或 ，则函数的定义域为 ，
令 ，则 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 在定义域内为减函数，
所以 在 上递增，在 上递减，所以 的单调增区间为 ，
【一隅三反】
1．（2024·北京）下列函数中，在 为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A不正确， 在每一个单调区间上增，在 不是增函数， 时函数不存在；B是对称轴
为 ，在 不是增函数；C在 为减函数，D求导得可 ，可知D正确
故选：D．
2（2021·4安徽）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】 ， 的单调递增区间是 .故选：B.
3.（2024广东茂名）已知 ，则函数 的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】 ，画出函数图象，结合图象得函数 的单调递增区间为
.故答案为： .
4．（2024上海）函数 的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 所以函数 的定义域为 ，
设 ，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
而 在 单调递增，由复合函数的单调性可知，函数 的单调增区间为 .
故填： ．
5（2023·云南·校联考二模）函数 的单调递增区间为____________．
【答案】 /
【解析】由题得函数定义域为 ，
所以 在 上单调递增，又 ，所以当 时， ，
故 的单调递增区间为 （或 ）．故答案为：6（2022·山东）函数 的单调减区间是_______．
【答案】
【解析】令 ，则
∵ ，∴ 在 上单调递减作出 的图象
由图象可以 在 上单调递减，在 上单调递增
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减故答案为： .
考点二 根据单调性求参数
【例2-1】（2023·广西）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A
【解析】 对称轴为 ，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以 .
故选：A
【例2-2】（2024福建三明·期中）函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，因为函数 在区间 上单调递减，所以根据复合函数的单调性可得，
函数 在区间 上单调递减，所以 ，解得 ，故选：C.【例2-3】（2023·陕西商洛·一模）已知函数 是定义在 上的增函数，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 是定义在 上的增函数，所以 ，解得 .
故选：B
【例2-4】（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，函数 在 上单调递减，不符合题意，所以 ，
由题可知 恒成立，即 .令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，由 ，
可得 ，即 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，不符合题意，故 的取值范围是 .故选：B
【一隅三反】
1．（2022·4浙江）设 ，则“ ”是“函数 在 为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由题意可得 为减函数，则 ，解得 .
因为 推不出 ， ，所以“ ”是“函数 在 为减函数”的必要不充分
条件，故选：B
2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数 在 上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 在 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数 在 上单调递减，
则 ，解得 .故选：A
3（2023秋·江西抚州）已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上是减函数，
当 时， 恒成立，
而函数 在区间 上不单调，因此 ，不符合题意，
当 时，函数 在 上单调递增，于是得函数 在区间 上单调递减，
因此 ，并且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
4．（2024内蒙古赤峰）已知 ，且 ，函数 在 上单调，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】因为函数 在 上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故 在R上单调递减，所以 ，解得： 故选：D.
5（2023·四川南充·模拟预测）函数 在 上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 在 上是减函数，只需要 即可，
若 ，则 ，成立；
若 ，则 是二次函数，由二次函数的性质可得， 时 恒成立.
若 ，当 和 时， ，故不成立.
所以，当 时， ，而 是 的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递增，即 在 上恒成立，
显然 ，所以问题转化为 在 上恒成立，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ， ，所以 的最小值为： .故答案为： .
考点三 函数奇偶性的判断
【例3】（2024安徽合肥）判断下列各函数是否具有奇偶性(1) (2) (3) (4) ；
(5) (6)
【答案】(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)非奇非偶函数(4)奇函数(5)即是奇函数也是偶函数(6)非奇非偶函数
【解析】（1） 的定义域为 ，它关于原点对称.
，故 为奇函数.
（2） 的定义域为 不关于原点对称，故 既不是奇函数也不是偶函数.
（3）因为 ，所以 ，即函数 的定义域为 ，不关于原点对称，
故 既不是奇函数也不是偶函数.
（4）由 ，得 ，且 ，所以 的定义域为 ，关于原点对称，
所以 .又 ，所以 是奇函数.
（5）对于函数 ，因为 ，所以 ，
其定义域为 ，关于原点对称.因为对定义域内的每一个 ，都有 ，
所以 ， ，
所以 既是奇函数又是偶函数.
（6）因为 ，所以 ，所以 的定义域为 ，不关于原点对称，
所以 既不是奇函数也不是偶函数.
【一隅三反】
（2023·广东潮州）判断下列函数的奇偶性．(1) ； (2) ； (3) (4)
； (5) ． (6) ；
(7) ； (8) ．
【答案】(1)非奇非偶函数(2)奇函数(3)偶函数(4)既是奇函数又是偶函数(5)奇函数(6)奇函数
(7)既不是奇函数也不是偶函数(8)偶函数
【解析】（1）函数f(x)的定义域为 ，不关于原点对称，所以 是非奇非偶函数．
（2）f(x)的定义域为 ，关于原点对称． ，所以 为奇函数．
（3） 的定义域为 ，且关于原点对称，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，故 是偶函数．
（4）由 得x2=3，解得x=± ，即函数f(x)的定义域为 ，
从而f(x)= ＋ =0.因此f(－x)=－f(x)且f(－x)=f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(5)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)=log [－x＋ ]=log ( －x)=log ( ＋x)－1=－log ( ＋x)=－f(x)，故f(x)为奇函数．
2 2 2 2
（6） 的定义域为 .因为 ，所以 是奇函
数.
（7） 的定义域为 ，不关于原点对称，所 以 既不是奇函数也不是偶函数.
（8） 的定义域为 .
因为 ,且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 是偶函数.
考点四 根据奇偶性求参数
【例4-1】（2024·内蒙古包头·一模）已知 是奇函数，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】因为 ，则函数 的定义域为 ，
即 是定义在 上的奇函数，则 ，则 ，所以 .
经检验，当 时， 为奇函数，满足题意.
故选：D.
【例4-2】（2024·浙江·二模）若函数 为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【解析】 的定义域为 ， ，
由于 为偶函数，故 ，即 ，
故 ，解得 故选：A
【例4-3】（多选）（2024北京）设函数 是定义在区间 上的奇函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC【解析】根据题意，函数 是定义在区间 上的奇函数，
则 ，
即 ，则 ，
解可得 或 （舍），
即 ，则 ，解可得 ，
故 ，即 的取值范围为 ，故选：AC.
【一隅三反】
1．（2024·河南郑州·模拟预测）函数 是偶函数，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 是偶函数，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：D.
2．（2024·宁夏银川·一模）“ ”是“函数 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数 为偶函数，且 为奇函数，
可知 为奇函数，则 ，
即 ，整理得 ，
因为 ，可得 ，即函数 为偶函数，等价于 ，
显然 是 的真子集，
所以“ ”是“函数 为偶函数”充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024甘肃兰州）设函数 是定义在 上的奇函数，且 ．则函数 的解析式
为 ．
【答案】
【解析】由奇函数的性质可知， ，即 ，又 ，得 ，
所以 .故答案为：
4.（2024长沙市）函数 是定义在 上的奇函数．若 ，则
的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】函数 是定义在 上的奇函数，则 ，解得
．又 ，则 ，所以 ．故选：A
考点五 根据奇偶性求解析式
【例5-1】（2024上海）已知函数 为奇函数，当 时， ，当 时，
的表达式为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ， ，又 为奇函数， ，
即当 时， .故选：B.
【例5-2】（2024黑龙江哈尔滨）已知 为奇函数， 为偶函数，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， 为奇函数， 为偶函数，则 ，
所以 ，即 ，解得 .故选：B
【一隅三反】
1．（2024上海杨浦）已知奇函数 在区间 上的解析式为 ，则 在区间
上的解析式 ．
【答案】
【解析】依题意，当 时， ，故 在区间 上的解析式
.故答案为：
2．（2024云南昆明·阶段练习） 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则 时，
．
【答案】
【解析】当 时， ，则 ，因为 为定义在 上的奇函数，
所以 ．故答案为：3．（2024山东潍坊·期中）已知 ， 是分别定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，
则 .
【答案】
【解析】 和已知条件相加得
故 故 答案为：
4．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则当
时， ．
【答案】
【解析】当 ，又因为 为 上的奇函数，
所以 ，解得 ，
又 ，所以当 ．故答案为： .
考点六 函数性质应用之比较大小
【例6-1】（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，得到 ，又 ，函数 是减函数，
所以 ，又 ，得到 ，所以 ，故选：A.
【例6-2】（2023·四川成都·二模）已知函数 ，若 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】根据题意，函数 ，其导数函数 ，
因为 ，所以 在 上恒成立，
则 在 上为增函数； ，
所以 为奇函数，所以 ，
又由 ，则 ；
故选：D．
【例6-3】（2024·云南贵州·二模）已知 ，则 的大关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
当 时， ， 在 上递增；
当 时， ， 在 上递减,
故 .
则 ，即 ；
由 可知 ，故 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，且对 ，满足 ，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得， 是单调递增函数， ，
.故选：B.
2．（2024陕西渭南·期末）已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于函数 在R上均为增函数，
故 在R上单调递增，
由于 ，
故 ，故 ，即 ，
故选：D
3．（2024·北京·模拟预测）函数 ，记 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】注意到 定义域为全体实数，且 ，
所以 是 上的偶函数，从而 ，因为 在 上单调递增，所以 关于 在 上单调递减，
而 ，所以 .选：B.
4．（2022·全国·模拟预测）设 是定义域为 的偶函数，且 在 上单调递减，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ 是定义域为 的偶函数，∴ ，
∵ ， 在 上单调递减，∴ ，
∴ .故选：C.
5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，若 ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 的定义域为 ，
又 ，
所以 是偶函数，又 ，
令 ，则 恒成立，
所以当 时， ，即 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
构造函数 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：B.
考点七 函数性质之解不等式
【例7-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：函数 的定义域为R，函数 分别是R上的增函数和减函数，
因此函数 是R上的增函数，由 ，得 ，解得 ，
所以原不等式的解集是 .
故选：A
解法二：特值当 时， ，排除B，D，当 时， ，排除C，
对A：当 时， ，因为函数 是R上的增函数，所以 ，故A成立.故选A．
【例7-2】（2024江西·阶段练习）已知函数 ，则满足不等式 的 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 的定义域为 ，
又 ，故 为偶函数，
而当 时，易知 单调递增，
而对于 ， 在 上恒成立，
所以 在 上也单调递增，
故 在 上单调递增，
则由 ，得 ，解得 或 .
故选：D.
【例7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在 上的函数 ，满足不等式
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，原函数化为 ，
令 ，显然 ，
即函数 是奇函数，又函数 都是 上的增函数，
因此函数 是 上的增函数，不等式 ，
则 ，于是 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·北京延庆·一模）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 单调递增，且 ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，且 ，
所以由 可得 ，
故选：A
2．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数 ，若 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 的定义域为R，且 ，所以函数 为奇函数；
由随着 的增大， 越来越大， 越来越小，所以 越来越大，
所以函数 在 上单调递增.
.
故选：C3．（2024广东茂名）已知函数 的定义域为 的奇函数， ，对任意两个不等的正实数 都有
，则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】不妨设 ，则 等价于 ，
所以 在 上单调递增，
又函数 为奇函数，所以 在 上单调递增，
，作出 的图象如下：
结合 的图象得不等式 或
或 ，
故答案为： .
4（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若 成立，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】记 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
因为
，
所以 为偶函数.
所以 ，
又 在 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 .
故选：C
5．（2024·四川南充·二模）设函数 ，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
设 ，又易知 ， 为 上的奇函数，
又 ， 在 上单调递增，
又 ， ， ， ，又 为 上的
奇函数， ，又 在 上单调递增， ， ，
故满足 的 的取值范围是 ．故选：C．一．单选题
1．（2023·海南海口·模拟预测）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
【答案】B
【解析】 ，
则由二次函数的性质知，当 时， 的单调递减区间为 ；
当 ， 的单调递减区间为 ，
故 的单调递减区间是 和 .
故选：B
2．（2024·广东·一模）已知 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 的定义域为 ，且 ，所以 为偶函数，
又当 时， 单调递增，且 ，所以由 可得 ，即 ，
解得 ，故选：B
3．（2024·四川攀枝花·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】易知 在 上单调递增，则 ，即 ，
而由 单调递增，得 ，即 ，
又 单调递增，故 则 .
故选：A
4．（2023·全国·模拟预测）“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：
要满足函数 在区间 上单调递增，
需要 ，
因为 ，所以“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的必要不充分条件．
故选：B．
5．（2024吉林·阶段练习）已知函数 ( 且 )是R上的单调函数，则a的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ( 且 )是R上的单调函数，
若 是R上的单调递增函数，则 ，解得 ；
若 是R上的单调递减函数，则 ，
解得 ；
综上，a的取值范围是 .
故选：B.
6．（2024·广东广州·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】观察图象可知函数为偶函数，
对于A， ，为奇函数，排除；
对于B， ，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为 ，不是R，舍去，故D正确.
故选：D
7．（2024重庆开州·期中）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， .若函数 在区
间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为是 定义在R上的奇函数，
所以 ，
因为当 时， ，
所以当 时， ， ，
所以由二次函数的单调性可知 的最大的单调递增区间为 ，
若函数 在区间 上单调递增，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
8．（2024安徽）已知函数 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数 ，
设 ，
则不等式 ，可化为 ，
即 ，
又由函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以 为奇函数，
又由函数 为 上的增函数， 为 上的减函数，
所以函数 为 上的增函数，所以不等式 ，即为 ，
可得 ，解得 ，即不等式的解集为 .
故选：A.
二．多选题
9．（2024安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，函数 的定义域为 ，显然该函数在定义域上不单调，A不是；
对于B，函数 的定义域为R， 都是奇函数，也都是增函数，
因此 在R是奇函数，又是增函数，B是；
对于C，函数 的定义域为R， ，即函数 是偶函数，C不是；
对于D，函数 的定义域为R， ，
即函数 是奇函数，且当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，因此函数 在R上单调递增，D是.
故选：BD
10．（2024·江西·一模）已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成
立，则实数a的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】BCD
【解析】因为 ，
所以 ，
即函数 的图象关于直线 对称.当 时， 为增函数；
令 ，则 ，
时， ， ，所以 ，所以 为增函数，
所以当 时， 为增函数.
由对称性可知，当 时， 为减函数.
因为 恒成立，所以 恒成立，
即 ，解得 .
故选：BCD.
11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数 的定义域为 ，且 ，
则（ ）
A． B． 或
C． 是 上的增函数 D． 是 上的增函数
【答案】AC
【解析】在 中，
令 ，得 ，即 ．
因为函数 为非常数函数，所以 ，A正确．
令 ，则 ．
令 ，则 ，①
令 ，则 ，②
由①②，解得 ，从而 ，B错误．
令 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以C正确，D错误．故选：AC
三．填空题
12．（2024安徽）函数 是偶函数，则 .
【答案】
【解析】因为 是偶函数，
可得 ，所以 .
故答案为： .
13．（2024·青海·一模）已知函数 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】 的定义域为 ， ，
为定义在 上的奇函数；
与 均为 上的增函数， 为 上的减函数，
为定义在 上的增函数；
由 得： ，
，解得： ， 的解集为 .
故答案为： .
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为 ．
【答案】【解析】设函数 ，则 ， ，
，
所以 ，
化简得 ．
因为 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
，
所以 为奇函数，
当 时，函数 单调递增，又函数 在其定义域上单调递增，所以
单调递增，又函数 单调递增，故函数 单调递增，又 为奇函数，
所以 在 上单调递增，
故 ，得 ，
解得: ，即原不等式的解集为 ．
故答案为： .
四．解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为R的函数f(x)＝ 是奇函数．
(1)求实数a，b的值；
(2)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围
【答案】(1)a＝2，b＝1
(2)证明见解析(3)(－∞，－ )
【解析】(1) 解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，
即b＝1，所以f(x)＝ .
由f(1)＝－f(－1)，知 ＝－ ，解得a＝2.
经检验a＝2，b＝1符合题意．
(2) 证明：由(1)知f(x)＝ ＝－ ＋ ，
设任意x，x∈(－∞，＋∞)，且x＜x，
1 2 1 2
则f(x)－f(x)＝ .
2 1
因为y＝2x在(－∞，＋∞)上为增函数，所以2x－2x＜0，
1 2
所以f(x)－f(x)＜0，即f(x)＞f(x)，
2 1 1 2
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3) 解：因为f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，且是奇函数，
f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，
所以 f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，
所以3t2－2t－k＞0对任意的t∈R恒成立，
所以Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－ .
故实数k的取值范围是(－∞，－ ).
16．（2024河南周口·期末）已知函数 是定义在 上的函数， 恒成立，且
.
(1)确定函数 的解析式，并用定义研究 在 上的单调性；
(2)解不等式 .
【答案】(1) ，函数 在 上是增函数(2)
【解析】（1）根据题意， 是 上的奇函数，故 ，
又 ，故 ，则 ，
时， ，所以 为奇函数，
故 .
在 上是增函数，理由如下，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，且 ，则 ，
则 ，即 ，
所以函数 在 上是增函数；
（2） 等价于 ，
又 在 是单调增函数，故可得 ，
解得 ，即不等式 的解集为 .
17．（2024湖北·开学考试）已知函数 为偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)解关于 的不等式 ；
(3)设 ，若函数 与 图象有 个公共点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】（1）函数的定义域为 ，
因为函数 为偶函数．
所以 ，
即 ，
所以
，
所以 ；
（2）因为 ，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 上单调递增，又函数 为偶函数，
所以函数 在 上单调递减；
因为 ，所以 ，
解得 或 ，
所以不等式的解集为
（3）因为函数 与 图象有 个公共点，
所以方程 有两个不同的根，
方程即为 ，
可化为 ，则有 ， ，
设 ，则 ，
即 ，
又 在 上单调递增，
所以方程 有两个不等的正根；
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ．
18．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 时，
．
(1)求 时，函数 的解析式；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设 ，则 ，
时， ．
，
是定义在R上的奇函数，
，
故 ， ；（2） 等价于 ，
时， 单调递减，
又 为定义在R上的奇函数，故 在R上为减函数，
所以 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
只需 ，
， ，
，
，即实数 的取值范围是 ．
19．（2024河北石家庄·阶段练习）已知函数 定义域为R，且对任意的x， ，都有
，且当 时， ，其中 ．
(1)证明： 是奇函数；
(2)不等式 对所有的 均成立，求实数m的范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）函数 定义域为R，
令 ，有 ，可得 ，
令 ，有 ，即 ，
所以 是奇函数；
（2）由（1）知 是奇函数，任取 ，且 ，
则 ，因为 时， ，
所以 ，
即 ，所以 在 上单调递减，
所以由 对所有的 均成立，
可得 ，即
对所有的 均成立，
即 对所有的 均成立，
，
因为 在 上都为增函数，
所以 在 上为增函数，
可得 ，
所以 .
