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§2.4 函数的周期性和对称性
课标要求 1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.3.
会依据函数的性质进行简单的应用.
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D
都有x+T∈D，且f ( x + T )=
f ( x ) ，那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
f(x)的最小正周期.
2.函数的对称性
(1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a 对称；
(2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点( a ，
0)
对称.
(3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x = a ；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称
中心为( a ，
0)
.
3.两个函数图象的对称
(1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y 轴
对称；
(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x 轴
对称；
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T 是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.( √ )
(2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称.( √ )
(3)若函数y=f(x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=-1 对称.( × )
(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2 对称.( √ )
2.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2 024.5)等于( )
A.17
16
B.5
4
C.2
D.1
答案 B
解析 由f(x+2)=f(x)可知，函数f(x)的一个周期为2，
当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，
∴f(2 024.5)=f (2 024 + 1
2)=f (
1
2)=1
4 +1=5
4 .
3.已知定义在R 上的函数f(x)在(-∞，2)上单调递增，且f(x+2)=f(2-x)对任意x∈R 恒成立，则( )
A.f(-1)<f(3)
B.f(0)>f(3)
C.f(-1)=f(3)
D.f(0)=f(3)
答案 A
解析 因为f(x+2)=f(2-x)，
所以f(x)的图象关于直线x=2 对称，
所以f(3)=f(1)，
由于f(x)在(-∞，2)上单调递增，
所以f(-1)<f(1)=f(3)，f(0)<f(1)=f(3).
4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点 .
答案 (-1，2)
解析 y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称，y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，
则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1，2).
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对于f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则2|a|是f(x)的一个周期；
(2)若f(x+a)=
1
f ( x)，则2|a|是f(x)的一个周期；
(3)若f(x+a)=-
1
f ( x)，则2|a|是f(x)的一个周期.
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a 和x=b 对称，则函数f(x)的一个周期为2|a-b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为2|a-b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a 和点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为4|a-b|.
题型一 函数的周期性
例1 (1)已知函数f(x)满足f(2+x)=-f(x)，当2≤x≤3 时，f(x)=x2-x，则f(2 026)等于( )
A.0
B.2
C.6
D.20
答案 B
解析 因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
所以f(x)的一个周期为4，
所以f(2 026)=f(506×4+2)=f(2)=22-2=2.
(2)已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于y 轴对称，且f(x-1)=f(x+2)，又f(-1)=1，f(0)=-2，则
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)的值是( )
A.2 024
B.2 023
C.1
D.0
答案 D
解析 因为f(x-1)=f(x+2)，
所以f(x)=f(x+3)，
所以f(x)的一个周期为3，
由f(-1)=1，得f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1，
由f(0)=-2，得f(3)=f(0+3)=f(0)=-2，
因为函数f(x)的图象关于y 轴对称，且定义域为R，所以f(x)为偶函数，
故f(1)=f(-1)=1，
则f(1)+f(2)+f(3)=0.
故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=675×0=0.
思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而
解决问题.
跟踪训练1 (多选)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列
结论正确的是( )
A.f(x+6)=f(x)
B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6
C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)
D.函数f(x)的图象关于点(-6，0)对称
答案 ACD
解析 因为f(x-3)=-f(x)，所以f(x)=-f(x+3)，则f(x-3)=f(x+3)，所以f(x+6)=f(x)，故A 正确；
当x∈[-6，-3]时，x+6∈[0，3]，f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(x+6)=x2+9x+18，故B 不正确；
由f(x+6)=f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 023)=f(1+337×6)=f(1)=-2，f(2 025)=f(3+337×6)=f(3)=0，
f(2 024)=f(2+337×6)=f(2)=-2，所以f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)，故C 正确；
因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点(0，0)对称，又函数f(x)的一个周期为6，故f(x)的图象关
于点(-6，0)对称，故D 正确.
题型二 函数的对称性
命题点1 自对称中的轴对称
例2 (多选)设f(x)是R 上的奇函数，且对∀x∈R，都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下
列说法正确的是( )
A.f(x)在[3，5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1，最小值是0
C.直线x=1 是函数f(x)的一条对称轴
D.f(x)的一个周期为4
答案 ACD
解析 因为f(2-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=1 对称，故C 正确；
又因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以f(2-x)=f(x)=-f(-x)，即f(2-x)+f(-x)=0，从而f(2+x)+f(x)=0，
所以f(4+x)+f(x+2)=0，所以f(4+x)=f(x)，所以f(x)的一个周期为4，故D 正确；
又因为当x∈[0，1]时，f(x)=x2单调递增，所以f(x)在[-1，0]上也单调递增，从而f(x)在[-1，1]上单调递增，
又因为f(x)的一个周期为4，所以f(x)在[3，5]上单调递增，故A 正确；
因为f(x)在[-1，1]上单调递增，且f(x)的图象关于直线x=1 对称，所以f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在
[-1，3]上的最大值为f(1)=1，最小值为f(-1)=-f(1)=-1，故B 错误.
命题点2 自对称中的中心对称
例3 (多选)下列说法中，正确的是( )
A.函数f(x)=2 x -1
x +2 的图象关于点(-2，2)对称
B.若函数f(x)为奇函数，则函数y=f(x-1)+1 的图象关于点(-1，1)对称
C.若函数f(x)满足f(4-x)=-f(x)，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称
D.若函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(-1，0)对称
答案 ACD
解析 对于A，f(x)=2 x -1
x +2 =2( x +2)-5
x +2
=2- 5
x +2，其图象可以由y=-5
x 的图象向左平移2 个单位长度，再向
上平移2 个单位长度得到，且y=-5
x 的图象关于原点对称，故f(x)=2 x -1
x +2 的图象关于点(-2，2)对称，A 正确；
对于B，函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，将函数f(x)的图象向右平移1 个单位长度，
再向上平移1 个单位长度得到函数y=f(x-1)+1 的图象，其图象关于点(1，1)对称，B 错误；
对于C，函数f(x)满足f(4-x)=-f(x)，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，C 正确；
对于D，因为f(2x-1)为奇函数，所以f(2x-1)=-f(-2x-1)，所以f(x-1)=-f(-x-1)，所以f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)
的图象关于点(-1，0)对称，D 正确.
命题点3 互对称问题
例4 已知函数y=f(x)是定义域为R 的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象( )
A.关于直线x=1 对称
B.关于直线x=3 对称
C.关于直线y=3 对称
D.关于点(3，0)对称
答案 A
解析 设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，
所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上，
而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1 对称，
所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1 对称.
思维升华 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x)；
若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b
2
对称.
(2)函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x)；若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-
x)=c，则y=f(x)的图象关于点(
a+b
2
，c
2)成中心对称.
跟踪训练2 (1)(多选)下列结论正确的是( )
A.函数f(x)满足f(x-6)+f(-x)=0，则函数f(x)的图象关于直线x=-3 对称
B.函数f(x)=cos xsin 2x 的图象关于直线x=π
2 对称
C.函数f(x)=esin x-ecos x的图象关于点(
π
4 ，0)中心对称
D.函数y=3x与y=32-x的图象关于直线x=1 对称
答案 BCD
解析 对于A，由f(x-6)+f(-x)=0 可得，f(x-6)=-f(-x)，所以函数f(x)的图象关于点(-3，0)对称，故A 错误；对
于B，f(π-x)=cos(π-x)sin(2π-2x)=cos xsin 2x=f(x)，故B 正确；对于C，f (
π
2 - x)=e
sin(
π
2 - x)-e
cos(
π
2 - x)=ecos x-esin
x=-f(x)，故C 正确；对于D，函数y=3x与y=3-x的图象关于直线x=0 对称，把函数y=3-x的图象向右平移2 个
单位长度，得到函数y=32-x的图象，故函数y=3x与y=32-x的图象关于直线x=1 对称，D 正确.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)为偶函数，f(x)在[2，+∞)上单调递减，则不等式f(-
x2)>f(-1)的解集为 .
答案 (-1，1)
解析 ∵f(x+2)是偶函数，
∴f(x+2)的图象关于直线x=0 对称，
∴f(x)的图象关于直线x=2 对称，
又f(x)在[2，+∞)上单调递减，
∴f(x)在(-∞，2]上单调递增.
又-x2，-1∈(-∞，2]，f(-x2)>f(-1)，
∴-x2>-1，即x2<1，∴-1<x<1，
∴原不等式的解集为(-1，1).
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2 026)等于( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案 B
解析 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，
所以f(0)=0，
又f(x+2)=f(x)，
所以2 是f(x)的一个周期，
所以f(2 026)=f(0)=0.
2.函数y=-ex与y=e-x的图象( )
A.关于x 轴对称
B.关于y 轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x 对称
答案 C
解析 根据两函数图象即可判断出其图象关于原点对称.
3.已知定义域为R 的函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且当x≥1 时，f(x)=x2+mx+n，若f(-1)=-7，则3m+n
等于( )
A.7
B.2
C.-2
D.-1
2
答案 C
解析 因为定义域为R 的函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且当x≥1 时，f(x)=x2+mx+n，
若f(-1)=-7，则f(3)=-f(-1)=7.
故f(3)=32+3m+n=7，即3m+n=-2.
4.(2024·茂名模拟)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R 上的奇函数，若f(-1)=-2，则f(2 025)等于( )
A.-2
B.-1
C.0
D.2
答案 D
解析 因为y=f(x-2)为奇函数，
f(x-2)=-f(-x-2)，
所以y=f(x)的图象关于点(-2，0)对称，
即f(-x)+f(x-4)=0，
又y=f(x)的图象关于原点对称，
则f(-x)=-f(x)，
有f(x)=f(x-4)⇒f(x+4)=f(x)，
所以y=f(x)的一个周期为4，
故f(2 025)=f(1+2 024)=f(1)=-f(-1)=2.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.设函数f(x)=2x-1+21-x，则下列说法错误的是( )
A.f(x)在(0，+∞)上单调递增
B.f(x)为奇函数
C.f(x)的图象关于直线x=1 对称
D.f(x)的图象关于点(1，0)对称
答案 ABD
解析 ∵f(x)=2x-1+21-x，
∴f(2-x)=21-x+2x-1=f(x)，
即f(2-x)=f(x)，即f(x)的图象关于直线x=1 对称，故C 正确，A，D 错误；
∵f(x)=2x-1+21-x的定义域为R，但f(0)=1
2+2≠0，
∴f(x)不是奇函数，故B 错误.
6.(2025·重庆八中模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，下列叙述正确的是(
)
A.f(1)=0
B.f(x)的图象关于直线x=1 对称
C.f(x)的图象关于直线x=2 对称
D.f(3)=0
答案 ACD
解析 因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)=-f(-x+1)，则可推出f(x)的图象关于点(1，0)对称，即f(1)=0，故A
正确，B 错误；因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2)，则f(x)的图象关于直线x=2 对称，故C 正确；由
f(1)=0 且f(x)的图象关于直线x=2 对称知，f(3)=f(1)=0，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.已知函数f(x)=x2+mx，若∀x∈R，f(1-x)=f(1+x)，则m= .
答案 -2
解析 因为∀x∈R，f(1-x)=f(1+x)，
函数f(x)的对称轴为直线x=1，
而由f(x)=x2+mx=(x + m
2)
2
-m
2
4 可知其对称轴为直线x=-m
2 ，故-m
2 =1，解得m=-2.
8.与函数y=ex的图象关于直线x=1 对称的图象的函数解析式为 .
答案 y=e2-x
解析 f(x)=ex的图象关于直线x=1 对称的图象的函数是f(2-x)=e2-x，即y=e2-x.
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2 对称.
(1)证明：f(x)是周期函数；(6 分)
(2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(7 分)
(1)证明 因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2 对称，所以f(x+2)=f(2-x)，
即有f(-x)=f(x+4)，
又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，
有f(-x)=f(x)，
所以f(x+4)=f(-x)=f(x)，
即f(x)是一个周期为4 的周期函数.
(2)解 当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，
又f(x)是一个周期为4 的周期函数，
当x∈[2，6]时，x-4∈[-2，2]，
所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1，
所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6].
10.(15 分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b 为奇函数.
(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9 分)
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y 轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一
个推广结论.(6 分)
解 (1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b，
则g(x)为奇函数，故g(-x)=-g(x)，
故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，
即f(-x+a)+f(x+a)=2b，
即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b.
整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0，
故{
3a-3=0，
a
3-3a
2-b=0，解得{
a=1，
b=-2，
所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1，-2).
(2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a 成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.
每小题5 分，共10 分
11.已知函数f(x)满足f(1+x)=-f(1-x)，函数g(x)= 1
x -1，且函数f(x)与g(x)的图象恰好有2 026 个不同的交点，
分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列说法中错误的是( )
A.f(x)的图象关于点(1，0)对称
B.g(x)的图象关于点(1，0)对称
C.x1+x2+…+x2 026=2 026
D.y1+y2+…+y2 026=2 026
答案 D
解析 函数f(x)满足f(1+x)=-f(1-x)，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，A 选项正确；
函数g(x)= 1
x -1，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，函数g(x)的图象也关于点(1，0)对称，B
选项正确；
所以函数f(x)与g(x)的图象的交点关于点(1，0)对称，不妨设x1<x2<…<x2 026，
则有x1+x2 026=x2+x2 025=…=x1 013+x1 014=2，
y1+y2 026=y2+y2 025=…=y1 013+y1 014=0，
所以x1+x2+…+x2 026=2 026，C 选项正确；
y1+y2+…+y2 026=0，D 选项错误.
12.(2025·八省联考)已知曲线C：y＝x3－2
x ，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C 交于M，N 两点，l2和
C 交于P，Q 两点.若△OPM 的面积为√2，则△MNQ 的面积为 .
答案 2√2
解析 因为函数y＝x3－2
x 为奇函数，所以曲线C 的图象关于原点对称，又两条直线l1和l2均过坐标原点
O，则P，Q 关于原点对称，M，N 关于原点对称，
则四边形PNQM 为平行四边形.又S△OPM＝√2，则S△MNQ＝2√2.
