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第八章直线和圆、圆锥曲线
§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
【考情分析·探规律】
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
考点1 直线与圆的位置
关系及其应用
2023·全国新Ⅱ卷、2022·北京卷、
2022·天津卷
能根据给定直
线、圆的方程判断直线与
圆、圆与圆的位置关系；
能用直线和圆的方程解决
一些简单的数学问题与实
际问题。
考点2 圆中的切线问题
2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新Ⅰ
卷、2023·天津卷、2022·全国甲
卷、2021·全国新Ⅱ卷
考点3 直线、圆与其他
知识点综合
2024·天津卷、2023·全国甲卷、
2023·全国乙卷、2022·全国新Ⅱ
卷、2022·全国甲卷、2021·全国新
Ⅱ卷2021·全国乙卷、2021·全国甲
卷、
考点4 直线与圆中的最
值及范围问题
2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、
2023·全国乙卷、2022·全国新Ⅱ
卷、2021·北京卷、2021·全国新Ⅰ
卷
【知识梳理】
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l 的距离为
d.由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d<r
2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形
量的关系
外离
d > r 1＋
r 2
外切
d ＝
r 1＋
r 2
相交
| r 1－
r 2|< d < r 1＋
r 2
内切
d ＝
| r 1－
r 2|
内含
d <| r 1－
r 2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r 和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2
❑√r
2−d
2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m 与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点M，N，代入，消
去y，得关于x 的一元二次方程，则|MN|＝❑√1＋k
2·❑√( xM ＋xN )
2−4 xM xN.
【名师点拨】
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y
－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋
y0y＝r2.
2.设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
(1)若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与
C2的公共弦所在的直线方程.
(2)若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与
C2的公共切线所在的直线方程.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0 与圆x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件.( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，
A，B 四点共圆，且直线AB 的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
2.直线3x＋4y＝5 与圆x2＋y2＝16 的位置关系是( )
A.相交且直线经过圆心
B.相切
C.相离
D.相交且直线不经过圆心
3.直线2x－y＋1＝0 与圆x2＋y2＝2 交于A，B 两点，则弦AB 的长度为( )
A.4 ❑√2
5
B.6 ❑√5
5
C.2❑√2
5
D.3 ❑√5
5
4.圆C1：x2＋y2＝4 与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0 的位置关系是( )
A.外切
B.相交
C.外离
D.内切
【名师点拨】
1.牢记三个相关结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y
－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y
＝r2.
注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用
yy0替换，x 用x＋x0
2
替换，y 用y ＋y0
2
替换.
2.灵活应用两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
【必练核心题型】
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
【典例】1.(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结
论中正确的是( )
A.直线l 恒过定点(3，1)
B.直线l 与圆C 相切
C.直线l 与圆C 相交
D.直线l 与圆C 相离
命题点2 弦长问题
【典例】2.已知直线l：y＝kx＋3 与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4 交于A，B 两点，若|
AB|＝2❑√3，则k 等于( )
A.－3
4
B.3
4
C.1
2
D.－1
2
命题点3 切线问题
【典例】3.(多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，所得切线方程为(
)
A.x＝4
B.15x＋8y－36＝0
C.y＝－3
D.8x－15y－3＝0
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
【典例】4.已知P 是直线3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA，PB 是圆C：x2＋y2－2x－2y
＋1＝0 的两条切线，A，B 是切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .
【变式训练】
变式1.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4
＝0.则下列命题正确的有( )
A.直线l 恒过定点(3，1)
B.y 轴被圆C 截得的弦长为2❑√6
C.直线l 与圆C 恒相交
D.直线l 被圆C 截得弦长最短时，直线l 的方程为2x－y－5＝0
变式2.(多选)已知点P 在圆O：x2＋y2＝4 上，直线l：4x＋3y－12＝0 分别与x 轴、y
轴交于A，B 两点，则( )
A.过点B 作圆O 的切线，则点B 到切点的距离为2❑√3
B.满足⃗PA·⃗PB＝0 的点P 仅有1 个
C.点P 到直线l 距离的最大值为22
5
D.|⃗PA ＋⃗PB|的最小值是1
题型二 圆与圆的位置关系
【典例】1.(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12
＝0，a∈R.则下列选项正确的是( )
A.直线C1C2恒过定点(3，0)
B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q 分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝10
C.若圆C1和圆C2共有2 条公切线，则a<4
3
D.当a＝1
3时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为3 ❑√6
2
【变式训练】(多选)若圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0 与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0 交于A，
B 两点，则下列选项中正确的是( )
A.点(1，－1)在圆O2内
B.直线AB 的方程为x＋y－1＝0
C.圆O1上的点到直线AB 的距离的最大值为2＋❑√2
D.圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|>|AB|
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.两圆x2＋y2－2y＝0 与x2＋y2－4＝0 的位置关系是( )
A.相交
B.内切
C.外切
D.内含
2.直线y＝k(x－5)－2(k∈R)与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6 的位置关系为( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
3.过点E(a，－1)向圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2 作两条切线，切点分别为A，B，若
∠AEB＝π
3 ，则( )
A.a＝2 或a＝－1
B.a＝－2 或a＝1
C.a＝－3 或a＝1
D.a＝3 或a＝－1
4.在平面直角坐标系Oxy 中，直线l：ax＋by＝1 上有且仅有一点P，使|OP|＝2，则直
线l 被圆C：x2＋y2＝16 截得的弦长为( )
A.2
B.2❑√3
C.4
D.4❑√3
5.圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0 恒过的定点为( )
A.(－2，1)，(2，－1)
B.(－1，－2)，(2，1)
C.(－1，－2)，(1，2)
D.(－2，－1)，(2，1)
6.已知A，B 是圆C1：x2＋y2＝3 上的动点，且|AB|＝2❑√2.P 是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1
上的动点，则|⃗PA ＋⃗PB|的取值范围是( )
A.[8，12]
B.[6，10]
C.[10，14]
D.[6，14]
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知直线l：y＝kx－k，k∈R，圆C：x2＋y2＝4，则下列结论正确的有( )
A.直线l 过定点(1，0)
B.直线l 与圆C 恒相交
C.直线l 被圆C 截得的弦长最短为2❑√3
D.若直线l 被圆C 截得的弦长为❑√14，则k＝±1
8.已知动点M，N 分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1 和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3 上，动
点P 在x 轴上，则( )
A.圆C2的半径为3
B.圆C1和圆C2外离
C.|PM|＋|PN|的最小值为2❑√10
D.过点P 作圆C1的切线，则点P 到切点的最短距离为❑√3
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.若直线kx－y＋2k＝0(k∈Z)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4 有公共点，则k 的一个取值是
.
10.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，【典例】如x＝ty＋1 表示过点(1，0)
且斜率不为0 的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上
某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.若圆C1：x2
＋y2＝1 是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，则m，n 满足的关系式为
.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0 和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m 取何值时，两圆外切？(5 分)
(2)当m＝45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.(8 分)
12.(14 分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0 与圆C 交于A，B 两点.
(1)若|AB|＝3❑√2，求实数m 的值；(6 分)
(2)若点P 为直线l 所过定点，且|PB|＝2|AP|，求直线l 的方程.(8 分)
【尖子拔高训练】13 题6 分，14 题5 分，共11 分
13.(多选)(2024·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝－2＋❑√4−x
2，则( )
A.f(x)只有1 个零点
B.直线y＝2x－1 与曲线y＝f(x)有唯一公共点
C.f(x)恰有2 个零点
D.曲线y＝f(x)与圆x2＋(y－1)2＝1 外切
14.已知f(x)＝{
❑√1−x
2,−1≤x ≤1,
f ( x−2), x>1,
若直线y＝knx 与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，
则k1
2＋k2
2＋…＋kn
2＝ .
