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第 09 讲 函数模型及其应用(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高频考点一遍过............................................2
高频考点一：几类不同增长的函数模型...............................2
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）...7
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）. .13
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题........................18
第三部分：数学文化题...............................................25
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第一部分：知识点必背
1、常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ( 为常数， )
反比例函数模型 ( 为常数且 )二次函数模型 （ 均为常数， ）
指数函数模型 （ 均为常数， ， ， ）
对数函数模型 （ 为常数， ）
幂函数模型 （ 为常数， ）
分段函数
2、指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
在(0，＋∞)上的
单调递增 单调递增 单调递增
增减性
介于指数函数与
增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 对数函数之间,相
对平稳
随x的增大，图象与 轴接 随x的增大，图象与 轴接 随 n值变化而各
图象的变化
近平行 近平行 有不同
值的比较 存在一个 ，当 时，有第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：几类不同增长的函数模型
典型例题
例题1．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7
岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长）的中位数散点图，下列可近似刻画身
高 随年龄 变化规律的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A选项，由散点图知身高y随时间x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随
x增长越来越快，与图象不符合；D选项，对数函数模型在 时没有意义；B选项符合散点图中y随x增
长越来越慢，且在 时有意义，
故选：B．
例题2．（2023秋·四川内江·高一统考期末）今有一组实验数据如下：
12
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】从表中的数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快,
对应四个选项，A选项的对数型函数，其递增速度不断变慢，不符合，
选项B，随着t的增大，速度变小，不符合,
选项D是以一个恒定的幅度变化，其图象是条直线，不符合本题的变化规律,选项C，函数的二次型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意.
故选：C
例题3．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火
星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位： ， 是天文学中计量天体之间距离
的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）
存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
行星编号 1（金星） 2（地球） 3（火星） 4（ ） 5（木星） 6（土星）
离太阳的距离
(1)为了描述行星离太阳的距离 与行星编号 之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点
图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；
① ；② ；③ ．
(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误
差小于0.2的为吻合）
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．
【答案】(1)散点图见解析，模型②符合题意
(2) ，模型与数据吻合
(3)
【详解】（1）散点图如图所示：根据散点图可知，模型②符合题意；
（2）将 ， ， 分别代入 ，
得 ，解得 ， ，
所以
当 时， ，误差 ，吻合，
当 时， ，误差 ，吻合，
所以，模型与数据吻合；
（3）当 时， ，
即谷神星距太阳的距离为 .
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
－2 －1 0 1 2 3
0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则 ， 的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中 ， 为待定系数）（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题表中的数据描点如图所示．∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A不成立；
∵C是偶函数，∴ 的函数值应该相等，∴C不成立；
∵ 时， 无意义，∴D不成立；
对于B，当 时， ，当 时， ，经验证它与各数据比较接近.
故选：B.
2．（2023·高一课时练习）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量
的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 （单位：百万个）与培
养时间 （单位：时）的关系如下表，为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下四
种模型供选择，则最符合实际的函数模型为（ ）
2 3 4 5 6 8
3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据条件画出散点图，依题意，所选函数必须满足三个条件：①定义域包含 ；②是增函数；③随着自变量的增加，函数值
的增长速度变小．
因为函数 的定义域为 ，当 时无意义，故排除B；
函数 随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除C；
在 上随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除D．
函数 可以同时符合上述条件.
故选：A．
3．（2023·高一课时练习）今有一组实验数据如下：
x 2 3 4 5 6
y 1.5 2.01 2.98 5.02 8.98
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据表格中的数据，作出散点图，如图所示，
根据散点图可知，随着 的增大， 的值增大，并且增长速度越来越快，
结合选项：函数 增长速度越来越缓慢，不符合题意；
函数 增长速度越来越快，符合题意；
函数 ，增长速度不变，不符合题意；
而函数 ，当 时，可得 ；当 时，可得 ，
此时与真实数据误差较大，所以最接近的一个函数是 .
故选：B.
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）
典型例题
例题1．（2023秋·江西赣州·高一统考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水
实行“阶梯水价”，计费方法如下：
每户每月用水量 水价
不超过 的部分 2.5元
超过 但不超过 的部分 5元
超过 的部分 7.5元
若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设用户的用水量为 ，缴纳的水费为 元，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
令 ，解得 .则此户居民本月用水量为 .故选：A.
例题2．（2023·高一课时练习）如图，点 在边长为1的正方形ABCD的边上运动，设点 是 边的中
点，点 沿 运动，设点 经过的路程为 ， 的面积为 ，则函数
的解析式为______．
【答案】
【详解】当 在 上时，即 ， ，
.
当 在 上时，即 ， ， ，
.
所以 .
当 在 上时，即 ， .
，即 .
.故答案为：
例题3．（2023秋·山东泰安·高一统考期末）近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限
制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而，这并
没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，华为为了进一步增加市
场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本
300万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本 万元，且 ．由市
场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出2023年的利润 （万元）关于年产量 （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)当2023年年产量为100千部时，企业获得最大利润，最大利润为9000万元
【详解】（1）
当 时，
，
当 时，
，
所以 .
（2）当 时，
，当 时， ；
当 时，
，
当且仅当 时等号成立，
所以当 时， ，
所以当2023年年产量为100千部时，企业获得最大利润，最大利润为9000万元．练透核心考点
1．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）如图，有一块矩形空地 ，要在这块空地上
开辟一个内接四边形 为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知
，且 ，设 ，绿地 面积为 ．
(1)写出 关于x的函数解析式，并求出 的定义域；
(2)当 为何值时，绿地面积 最大？并求出最大值．
【答案】(1) ，定义域为 ；
(2)答案见解析.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ， ，
，
所以
，
由题意 ，解得 ，所以 的定义域为 ；
（2）因为 的对称轴为 ，
若 ，则 在 单调递增，在 上单调递减，
所以 ；
若 ，则 在 单调递增，所以 ；综上，当 时， ， ；
当 时， ， .
2．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口
罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产 万箱，需另投入成本
万元，当产量不足60万箱时， ；当产量不小于60万箱时，
，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？
【答案】(1)
(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.
【详解】（1）当 时， ；
当 时， .
所以， ；
（2）当 时， ，
当 时，y取得最大值，最大值为850万元；
当 时， ，
当且仅当 时，即 时，y取得最大值，最大值为1300万元.
综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.
3．（2023·高一课时练习）如图， 是边长为2的正三角形，记 位于直线 （ ）左
侧的图形的面积为 ．(1)求函数 的解析式；
(2)画出函数 在区间 上的图象．
【答案】(1)
(2)作图见解析
【详解】（1）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
所以
（2）解：由（1）可得函数图象如下所示：
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）
典型例题例题1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度 （单位：升/小
时）与液体所处环境的温度 （单位： ）近似地满足函数关系 （ 为自然对数的底数， ，
为常数）.若该液体在 的蒸发速度是0.2升/小时，在 的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在
的蒸发速度为（ ）
A．0.5升/小时 B．0.6升/小时 C．0.7升/小时 D．0.8升/小时
【答案】D
【详解】由题意得 ，
两式相除得 ，所以 ，
当 时， ，
所以该液体在 的蒸发速度为0.8升/小时.
故选：D.
例题2．（2023·福建漳州·统考三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的
冷却模型.如果物体的初始温度是 ，环境温度是 ，则经过 物体的温度 将满足
，其中 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有 的物体，若放在 的空气中冷却，
经过 物体的温度为 ，则若使物体的温度为 ，需要冷却（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得： ，即 ， ，
，
由 得： ，即 ，解得： ，
若使物体的温度为 ，需要冷却 .
故选：C.
例题3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励
销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y（单
位：万元）随销售人员的销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金
不超过其销售利润的 ．现有三个奖励模型： ，请分别判断这三个模型是
否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据： ，当 时，
恒成立）
【答案】奖励模型 符合公司的要求，理由见解析
【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当 时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③ ．
对于 ，易知满足①，但当 时， ，不符合公司的要求；
对于 ，易知满足①，但当 时， ，不符合公司的要求；
对于 ，函数在 上单调递增，而且函数的最大值 ，因而满足①②，
因为当 时， 恒成立，所以当 时， ，满足③，故符合公
司的要求．
综上，奖励模型 符合公司的要求．
例题4．（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面
积为 ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为 ，三月底测得凤
眼莲的覆盖面积为 ，凤眼莲的覆盖面积 （单位： ）与月份 （单位：月）的关系有两个函数模
型 与 可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 倍以上的最小月份.（参考数据： ，
）.
【答案】(1)选择模型 符合要求，解析式为
(2)
【详解】（1）函数 与 在 上都是增函数，
随着 的增加，函数 的值增加的越来越快，
而函数 的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，
因此选择模型 符合要求.
根据题意可知 时， 时， ，
，解得 .
故该函数模型的解析式为 ；
（2）当 时， ，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是 ，由 ，得 ，
，
，
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.
练透核心考点
1．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到
众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级 与其
对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式 ．若花同样的钱买到的1级果
比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（ ）（参考数
据： ）
A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克
【答案】A
【详解】由题意可知 ，解得 ，由 ，可得
．
故选：A.
2．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”源于《增
广贤文》，《增广贤文》是勉励人们专心学习的，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把式子
中的 看作是每天的“进步”率，一年后的值是 ；而把式子 中的 看作是每
天的“退步”率，一年后的值是 ．照此计算，大约经过多少天“进步”后的值是“退步”后的值的
10倍？ （ ）（参考数据： ， ）
A．100天 B．108天 C．115天 D．124天
【答案】C
【详解】假设经过 天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍，
则可得 ，
所以 ，所以 ，
即经过 天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍，
故选:C
3．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年
代，已知某放射性元素的半衰期约为1620年（即：每经过1620年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该元素的初始存量为 ，经检测生物中该元素现在的存量为 ，（参考数据： ）请推算
该生物距今大约___________年．
【答案】3780
【详解】设放射性元素的存量模型为 ，由已知 ，
所以 ， ， ，
设题中所求时间为 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ．
故答案为：3780.
4．（2023秋·山东济南·高一统考期末）La'eeb是2022年卡塔尔世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物具有非常
鲜明的民族特征，阿拉伯语意为“高超的球员”，某中国企业可以生产世界杯吉祥物La'eeb，根据市场调
查与预测，投资成本x（千万）与利润y（千万）的关系如下表
x（千万） … 2 … 4 … 12 …
y（千万） … 0.4 … 0.8 … 12.8 …
当投资成本x不高于12（千万）时，利润y（千万）与投资成本x（千万）的关系有两个函数模型
与 可供选择.
(1)当投资成本x不高于12（千万）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)当投资成本x高于12（千万）时，利润y（千万）与投资成本工（千万）满足关系
，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x（千
万）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）
（参考数据： ）
【答案】(1)最符合实际的函数模型为
(2)
【详解】（1）最符合实际的函数模型是 .
若选函数模型 ，
将点 与 代入得 ，解得 ，
所以 ，当 时， .
若选函数模型 ，
将点 与 代入得 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，
综上可得，最符合实际的函数模型为 .
（2）由题意可知：
利润y与投资成本x满足关系 ,
要获得不少于一个亿的利润，即 ,
当 时， ，即 ，即
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 .
当 时， ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
综上可得， ,
故要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x（千万）的范围是 .
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·甘肃庆阳·高一统考期末）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过
60℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T
（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间 （单位：分钟， ）的函数模型：① ；②
.根据所给的数据，下列结论中正确的是（ ）（参考数据： ，
）A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟
D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
【答案】AD
【详解】将 代入 ，得 ；
将 代入 ，得 .
故选择函数模型①.
由 ，可得 ，
故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分.
故选:AD.
例题2．（2023秋·福建南平·高一统考期末）某企业拟购买一批智能机器人生产 型电子元件，以提高
生产效率，降低生产成本.已知购买 台机器人的总成本 （万元）.
(1)要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？
(2)现将按（1）所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排 名工人操作这些机器人（每名工人可
以同时操作多台机器人）.已知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产 型电子元件的个数
与操作工人人数有关，且满足关系式： .问在引进机器人后，需要操作工人
的人数 为何值时，机器人日平均生产量达最大值，并求这个最大值.
【答案】(1)购买120台机器人；
(2)当 大于等于20时，机器人日平均生产量达最大值，且最大值为19200个.
【详解】（1）由总成本 ，
可得每台机器人的平均成本 .
因为 .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以要使所购机器人的平均成本最低，应购买120台机器人.（2）当 时，120台机器人的日平均生产量为 ，
所以当 时，120台机器人日平均生产量最大值为19200.
当 时，120台机器人日平均生产量为 .
所以120台机器人的日平均产量的最大值为19200个.
所以当 大于等于20时，机器人日平均生产量达最大值，且最大值为19200个.
例题3．（2023秋·广东·高一统考期末）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售
人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利
润 （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖
励模型： ， ， ．（参考数据： ）
(1)试判断哪个函数模型能符合公司要求，并说明理由．
(2)基于（1）所得的符合公司要求的模型，当利润为多少时，奖金与利润之比最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，符合公司要求的模型只需满足：当 ， 时，①函数为增函数；②函数的
最大值不超过5；③
对于 ，易知满足①；但当 时， ，不满足公司的要求,
对于 ，易知满足①，当 时， ，不满足公司的要求,
对于 ，易知满足①，当 ， 时， ， 满足②
又 ， 时， 由此可知满足③
综上所述，只有奖励模型： 能完全符合公司的要求.
（2）由（1）知：符合要求的函数为 ，故 ，当 ， 时，
单调递减，故当 时，取最大值为 ，
例题4．（2023秋·重庆铜梁·高一校联考期末）北京 冬奥会已于 月 日开幕，“冬奥热”在国民
中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外
深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以 天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩
的日销售单价 （元/套）与时间 （被调查的一个月内的第 天）的函数关系近似满足（常数 ），冰墩墩的日销量 （套）与时间 的部分数据如表所示：
（套）
已知第 天该商品日销售收入为 元，现有以下三种函数模型供选择：
① ，② ，③
(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；
(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入 （ ， ）在哪天达到最低．
【答案】(1)模型③最合适，理由见解析；
(2)第 天达到最低.
【详解】（1）模型③最合适，理由如下：
对于模型① ，为指数型函数模型，表格中 对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合
适；
对于模型② ，为二次函数模型，其图象关于直线 对称，有 ，与表
中数据不符，故模型②不合适；
对于模型③ ，幂函数型增长模型满足表格中 对应数据较慢的递增速度，将表中数
据 ， 代入模型③，有
，解得 ，
∴ ，
经验证 ， 均满足表中数据，
因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.
（2）∵第 天冰墩墩的日销售单价 （元/套），
∴第 天的日销售收入为 （元），
∴ ，
∴ ，
由（1）所选模型③，当 且 时，（元）
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴在第 天时，该商品的日销售收入 达到最低 元.
练透核心考点
1．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如
期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此
良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收
入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：
x（万元） 2 3 5
y（万元）
(1)根据表中数据，分别用模型 （ 且 ）与 建立y关于x的函数解
析式；
(2)已知当 时， ，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：
）
【答案】(1) ，
(2)选用模型 更合理，理由见解析
【详解】（1）若选用 ，
则依题意可得 ，解得 ， ， ，
则 ．若选用 ，则依题意可得 ，解得 ， ， ，则 ．
（2）对于函数 ，当 时， （万元）；
对于函数 ，当 时， （万元）；
因 ，所以选用模型 更合理．
2．（2023秋·河南郑州·高一统考期末）近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志
着中国在该领域已逐步达到世界一流水平.设火箭推进剂的质量为M（单位：t），去除推进剂后的火箭有
效载荷质量为m（单位：t），火箭的飞行速度为v（单位： ），初始速度为 （单位： ），已
知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式： ，其中 是火箭发动机喷流相对火箭的速度.假设
， .
（参考数据： ， ）.
(1)若 ，当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7 ）时，求相应的M；（精确到小数点后一
位）
(2)如果希望火箭飞行速度达到16.7 ，但火箭起飞质量的最大值为2000t，请问 的最小值为多少？
（精确到小数点后一位）
【答案】(1) t
(2)
【详解】（1）由题意可得： ，
令 ，则 （t），
故当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7 ）时，相应的 为 t.
（2）由题意可得： ，
令 ，则 ，
∴ ，故 的最小值为 .
3．（2023秋·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考期末）我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形
式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方
向垂直的单位面积上的能量称为声强 ．但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝 ）来度
量．为了描述声强级 与声强 之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据：
组别 1 2 3 4 5 6 7
声强 ①
声强级 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ②
现有以下三种函数模型供选择： ， ， ．
(1)试根据第1—5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求
出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值；
【答案】(1)
(2)①： ；②：
【详解】（1）由于 的量级为 量级，而 的量级为 量级，
所以 与 的关系更接近于对数函数，从而符合实际的函数模型 ，
根据 可得 ；
根据 可得 ，
联立解得 ， ，
故解析式为：
（2）令 ，
有 ，从而 ，
所以①处的数据的值为 ；
当 时，
所以②处的数据的值为 .
4．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新
冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验
用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数
为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x
（单位：月）的关系有两个函数模型 与 可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：
， ）
【答案】(1)选择模型 符合要求；该函数模型的解析式为 ， ，
；
(2)六月份.
【详解】（1）函数 与 在 上都是增函数，
随着 的增加，函数 的值增加的越来越快，
而函数 的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，
因此选择模型 符合要求．
根据题意可知 时， ； 时， ，
∴ ，解得 ．
故该函数模型的解析式为 ， ， ；
（2）当 时， ，元旦治愈效果的普姆克系数是 ，
由 ，得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．
第三部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出
发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的
学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习
率衰减到0.05以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： ，
）
A．11 B．22 C．227 D．481
【答案】D
【详解】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，
由 得 ，
，
， ，
，
所以所需的训练迭代轮数至少为 轮.
故选：D
2．（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考阶段练习）冈珀茨模型 是由冈珀茨（Gompertz）提出的，
可作为动物种群数量变化的模型，也可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种 年后的种群数量 近似
满足冈珀茨模型 （ ，当 时表示2022年初的种群数量），经过 年后 ，当
该物种的种群数量不足2022年初种群数量的 时，即将有濒临灭绝的危险，则 的最小值为（参考数
据： ）（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【详解】根据题意得 时2022年初种群数量为 ，
所以 ，
化简得 ，则 ，
又因为 ，所以 的最小值为13.
故选：D.3．（2022·江苏连云港·模拟预测）建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或
窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为 ， ，…，
（单位：m2），其相应的透射系数分别为 ， ，…， ，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数
的平均值 确定： ，于是组合墙的实际隔声量（单位：dB）为 ．已知某墙
的透射系数为 ，面积为20 m2，在墙上有一门，其透射系数为 ，面积为 ，则组合墙的平均隔声
量约为_______dB．（注： ）
【答案】
【详解】由题意得：组合墙的透射系数的平均值： ，
故组合墙的平均隔声量为
设 ，则 ，
由于 ，故 ，
故 ，
所以 ，
故答案为：
4．（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经
济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.我市“运河五
号”的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），
每件的销售价格 （单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足 ，日销售量
（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
(1)根据上表中的数据研究发现，函㪚模型 适合描述日销售量 与时间 的变化
关系，求出该函数的解析式；
(2)设该工艺品的日销售收入为 （单位：元），求 的最小值.
【答案】(1) ，
(2) 元【详解】（1）根据表格数据可知， ，
，解得 ，
所以 ， .
（2） ，
即 ， ，
当 时， ，
当且仅当 时等号成立，
当 时， 单调递减，
最小值为 ，
，所以 的最小值为 元.
5．（2022秋·江苏苏州·高一统考阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家
种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.
毫州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动
了毫州医药的发展，到明､清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.毫州建有全球规
模最大､设施最好､档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及
价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：
该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价 （单位：元/千克）与
第 天（ ）的函数关系满足 （ 为正常数）.该中药材的日销售量
（单位：千克）与 的部分数据如下表所示：
4 10 20 30
149 155 165 155
已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价 日销售量）(1)求 的值；
(2)给出以下四种函数模型：① ，② ，③ ，④
，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的
日销售量 与 的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入 （单位：元）的最小值.
【答案】(1)
(2)③， ，最小值为3125元
【详解】（1）由 时， ，得 ；
（2）因为数据有增有减，①④不合符题意，
将二三组数据代入②类函数解析式可得：
，解得： ，
即得②类函数解析式为 .
将二三组数据代入③类函数解析式可得：
，解得： ，
即得③类函数解析式为 ，
将第一组数据代入 ，
可知： ，
将第一组数据代入 ，
可知： ，
因此 最合适.
当 时
，
当且仅当 时，等号成立
当 时函数 在 上单调递减，
所以 ，当且仅当 时，等号成立
综上可知，当 或 日销售收入最小值为3125元.
