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2025 二轮复习专项训练14
解三角形
[考情分析] 解三角形是高考考查的热点，三角恒等变换单独考查的题目较少，多以解三
角形为背景，在用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角恒等变换进行化简，综合性
较强，难度中等．
【练前疑难讲解】
一、正弦定理、余弦定理
1．正弦定理及其变形
在△ABC 中，＝＝＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c
＝sin A∶sin B∶sin C 等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
二、解三角形在实际生活中的应用
求实际问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；
若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理．
三、正弦定理、余弦定理的综合应用
以三角恒等变换、正弦定理、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、基本不等式、
平面几何等交汇命题．
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）在
中,内角
所对的边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·贵州遵义·三模）在
中，角
的对边分别为
，D 为
的中点，
已知
，
，且
，则
的面积为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·福建厦门·二模）如图1，扇形
的弧长为
，半径为
，线段
上有一
动点
，弧
上一点
是弧的三等分点，现将该扇形卷成以
为顶点的圆锥，使得
和
重合，则在图2 的圆锥中（ ）
A．圆锥的体积为
B．当
为
中点时，线段
在底面的投影长为
C．存在
，使得
D．
4．（2024·浙江·三模）已知
的内角
的对边分别为
，且
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
有两解
C．当
时，
为直角三角形
D．若
为锐角三角形，则
的取值范围是
三、填空题
5．（2024 高三·江苏·专题练习）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
2
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已知
，则
= ；若
，则
面积的最大值为 ．
6．（2023·山东青岛·一模）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如
图所示的四边形
区域建一处湿地公园．已知
，
，
，
，
千米，则
千米．
四、解答题
7．（2023·全国·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
8．（23-24 高三上·山东枣庄·期末）在
中，角
所对的边分别为
.若
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·湖北黄石·三模）若
的三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．6
2．（2024·江西赣州·一模）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖北黄冈·一模）已知
的内角
所对的边分别为
，
，
3
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下面可使得
有两组解的
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
的面积为
，则
（ ）
A．
B．4
C．2
D．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形ABCD 是菱形，
，点E 为AB 的
中点，把
沿DE 折起，使点A 到达点P 的位置，且平面
平面BCDE，则异面
直线PD 与BC 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高一下·安徽宿州·期中）在
中，内角
的对边分别为
若满足
，则该三角形为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．不能确定
7．（2022·全国·模拟预测）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定
节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放
的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在
圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙
是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即
∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏
4
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至线之间的距离（即DB 的长）为a，则表高（即AC 的长）为（注：
）
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形
中，
，
记
与
的面积分别为
，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
二、多选题
9．（2023·河北秦皇岛·二模）平面直角坐标系中，
的三个顶点的坐标分别是
A (0,2),B (1,0),C (4,1)，则（ ）
A．sin A <sinC
B．
锐角三角形
C．
的面积为
D．
的外接圆半径大于2
5
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10．（2024·重庆·三模）在
中，角
的对边为
若
，则
的面积可以是（ ）
A．
B．3
C．
D．
11．（2024·广西南宁·三模）锐角三角形
中，角
，
，
所对应的边分别是
，
，
，下列结论一定成立的有（ ）.
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
三、填空题
12．（2024·山东泰安·一模）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，则
．
13．（2021·全国·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为
，
，
，则
．
14．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，
书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识
测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD 与地面垂直，
小李先在地面上选取点A，B，测得
，在点A 处测得点C，D 的仰角分别为
，
，在点B 处测得点D 的仰角为
，则塔高CD 为 m．
四、解答题
15．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，角
的平分线交边
于点
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积.
6
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16．（2024·贵州黔东南·二模）在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积.
17．（2023·湖南·模拟预测）
的内角A，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长.
18．（2022·江苏南京·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
，
是边
上的一点，且
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
.
19．（2022 高一下·四川成都·竞赛）如图，在△ABC 中，AC⊥BC．延长BA 到D，使得AD
＝2，且
．
(1)若
，求△DBC 的面积；
(2)当
时，求△ACD 面积的取值范围．
20．（21-22 高二下·山西·期中）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；
7
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(2)若
，
，求
的取值范围．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·广东韶关·二模）在
中，
．若
的最长边的长为
．则最短边的长为（ ）
A．
B．
C．2
D．
2．（2024·湖北·模拟预测）在
中，已知
，
，
，若存在两个这
样的三角形
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·安徽·二模）已知
的内角A，
，
对边分别为
，
，，满足
，若
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·湖北·一模）如图，在
中，
是
边上靠近
点的三等分点，
是
边上的动点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高一下·福建厦门·期末）一个人骑自行车由
地出发向正东方向骑行了
到
达
地，然后由
地向南偏东
方向骑行了
到达
地，再从
地向北偏东
方向骑
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行了
到达
地，则
两地的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.
某同学为测量钟楼的高度
，在钟楼的正西方向找到一座建筑物
，高为
米，在地面
上点
处（
三点共线）测得建筑物顶部
，钟楼顶部
的仰角分别为
和
，在
处测得钟楼顶部
的仰角为
，则钟楼的高度为（ ）米.
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（23-24 高一下·山东泰安·阶段练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，
c，下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，
，则
有两解
B．若
，
，则
的面积最大值为
C．若
，
，
，则
外接圆半径为
D．若
，则
一定是等腰三角形
8．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，设单位圆与
轴的正半轴相交于点
，以
轴非负半轴为始边作锐角
，
，
，它们的终边分别与单位圆相交于点
，
，
，
则下列说法正确的是（ ）
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A．
的长度为
B．扇形O A1 P1的面积为
C．当
与
重合时，|A P1|=2sin β
D．当
时，四边形OA A1 P1面积的最大值为
9．（2024·广东·一模）嘌呤是一种杂环有机化合物，它在能量的供应、代谢的调节等方面
都有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们
的边长均为1），其平面图形如图所示，则（ ）
A．
B．O 到AC 的距离是
C．O 是
的内切圆的圆心
D．
三、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）在
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，若
，则
的值为 .
11．（2024·广东东莞·模拟预测）在
中，A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
10
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，
，则
的值为 ．
12．（23-24 高三上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面凸四边形
中，
，
，
，
，
为钝角，则对角线
的最大值为 .
四、解答题
13．（2024·辽宁·一模）已知在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，其中
.
(1)求A；
(2)已知直线
为
的平分线，且与BC 交于点M，若
求
的周长.
14．（2024·贵州贵阳·一模）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的最大值.
15．（2024·广东梅州·二模）在
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，
，
，
(1)求A 的大小：
(2)点D 在BC 上，
（Ⅰ）当
，且
时，求AC 的长；
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（Ⅱ）当
，且
时，求
的面积
．
16．（2024·江苏盐城·模拟预测）在
中，已知角
，
，
所对的边分别为
，
，
，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
17．（2024·云南·二模）
中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，B 是
与
的等
差中项.
(1)若
，判断
的形状;
(2)若
是锐角三角形，求
的取值范围.
18．（2024·广东·模拟预测）在
中，角
的对边分别是
，且
．
(1)证明：
．
(2)若
是锐角三角形，求
的取值范围．
19．（2024·河北衡水·一模）在
中，内角
所对的边分别是
，三角形面积
为，若
为
边上一点，满足
，且
.
(1)求角
；
(2)求
的取值范围.
20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知
的内角
的对边分别为
的
12
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面积为
．
(1)求
；
(2)若
，且
的周长为5，设
为边BC 中点，求AD.
21．（2024·山西·一模）
中角
所对的边分别为
，其面积为，且
.
(1)求
；
(2)已知
，求的取值范围.
22．（2024·北京·三模）已知函数
的最小正周期
为
.
(1)求
的值；
(2)在锐角中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.c 为在上的最大值，再从条件①、条件
②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：
的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
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