专项训练26直线与圆锥曲线的位置关系（教师版）_二轮复习_2025年_2025年高考数学二轮复习讲义（新高考专用）_资料

关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2025 二轮复习专项训练26
直线与圆锥曲线的位置关系
[考情分析]　直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问
题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查，难度
为高档．
【练前疑难讲解】
一、弦长、面积问题
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，
或|AB|＝|y1－y2|.
二、中点弦问题
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
1．根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，
由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
2．点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐
标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和直线AB 的斜率有
关的式子，可以大大减少计算量．
三、圆锥曲线中二级结论的应用
1．椭圆焦点三角形面积为b2tan (α 为|F1F2|的对角)．
2．双曲线焦点三角形面积为(α 为|F1F2|的对角)．
3．抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l 过点F 且与抛物线交
于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α 为直线l 的倾斜角)．
(2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
(3)＋＝.
一、单选题
1．（22-23 高三上·湖北武汉·期末）已知A 是椭圆
：
的上顶点，点
，
是
上异于A 的两点，
是以A 为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的
有且仅有1 个，则椭圆
离心率的取值范围是（    ）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高二上·天津和平·期末）双曲线
的两个焦点分别是
，点
是双
曲线上一点且满足
，则
的面积为（    ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高二上·安徽淮北·期中）已知椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，过点
的直线交
于
、
两点， 若
的中点坐标为
，则
的方程为（    ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点
在抛物线
上，
过点
的直线交C 于P，Q 两点，则（    ）
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
5．（2023·云南昆明·模拟预测）在直角坐标系
中，已知抛物线
：
的
焦点为
，过点
的倾斜角为
的直线与
相交于
，
两点，且点
在第一象限，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的面积是
，则（    ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·广东深圳·二模）设抛物线C：
的焦点为F，过抛物线C 上不同的两点A，
B 分别作C 的切线，两条切线的交点为P，AB 的中点为Q，则（    ）
A．
轴
B．
C．
D．
三、填空题
7．（2022 高三·全国·专题练习）过椭圆
的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭
圆交于A，B 两点，则
      ．
8．（22-23 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知
，
为椭圆
：
的两个焦点，
P，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且
，则四边形
的面积为  
 
．
9．（23-24 高二上·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆
的一条弦所在的
直线方程是
，弦的中点坐标是
，则椭圆的离心率是        ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
 
 
 
 
答案
B
C
D
BCD
AC
AC
 
 
 
 
1．B
【分析】根据题意联立方程求点
的横坐标，由
结合弦长公式整理可得关于
3
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的方程
有且仅有一个解，分类讨论运算求解.
【详解】由题意可得：
，
∵直线
的斜率存在且不为0，设为
，则直线
，
联立方程
，消去y 得：
，解得
或
（舍
去），
即点B 的横坐标为
，
同理可得：点C 的横坐标为
，
由题意可得：
，即
，
整理得：
，
由题意结合椭圆的对称性可得：关于
的方程
有且
仅有一个解，则有：
当
是方程
的根，即
，则
，
若
，则
有且仅有一个解
，即
符合题意；
当
不是方程
的根，则
在
内无零点，
∵
，则
的对称轴
，
∴
，解得
；
4
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
综上所述：
，故椭圆
离心率
.
故选：B.
【点睛】易错点点睛：
在处理关于
的方程
有且仅有一个解的问题时，注
意到该方程一定有一解
，则需要讨论
是否为
的根.
2．C
【分析】设
，
，可得
，
中再利用余弦定理可得
，由面积公式即可求得答案.
【详解】
，所以
，
，
，
在双曲线上，设
，
，
①，
由
，在
中由余弦定理可得：
，
故
②，
由①②可得
，
直角
的面积
.
故选：C.
3．D
【分析】利用点差法可求得
，再由
可得出
、
的值，即可得出椭圆的标准
方程.
5
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：设
、
，若
轴，则
、
关于
轴对称，不合乎题意，
将
、
的坐标代入椭圆方程得
，两式相减得
，
可得
，
因为线段
的中点坐标为
，所以，
，
，
因为抛物线
的焦点为
，所以
，
又直线
过点
，因此
，所以，
，
整理得
，又
，解得
，
，
因此，椭圆
的方程为
，
故选：D.
4．BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公
式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点
的代入抛物线方程得
，所以抛物线方程为
，故准线方程为
，A 错误；
，所以直线
的方程为
，
联立
，可得
，解得
，故B 正确；
设过
的直线为，若直线与
轴重合，则直线与抛物线
只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为
，
，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
联立
，得
，
所以
，所以
或
，
，
又
，
，
所以
，故C 正确；
因为
，
，
所以
，而
，故D 正确.
故选：BCD
5．AC
【分析】根据
和点
到直线
的距离公式结合
的面积是
可得
，
；
由公式
，
可得
，
.
【详解】由题意得
，设直线：
即
，
则点
到直线
的距离是
，
所以
，得
，所以
，
，
，所以AC 正确，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：AC.
6．AC
【分析】设切线求交点根据两根之和判断A 选项；特殊值法判断B,C 选项；根据定义数形
结合判断D 选项.
【详解】对于A 选项：设
,
,
,
过点A 切线为：
①,
过点B 切线为:
②,
①
②得
化简可得
轴,A 选项正确.
设
过A 点的切线为
,过B 点的切线为
,交点为
 
AB 的中点为
，所以
不垂直
,B 选项错误；
,所以
,D 选项错误;
8
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
作抛物线准线的垂线
 ,连接
则 
显然 
,所以 
又因为由抛物线定义,得
,故知 
是线段 
 的中垂线,得到
则
同理可证：
,
，
所以
，即
,
所以
 ,即
.
故选:AC.
7．
/
【分析】设
，
，利用“设而不求法”求弦长即可.
【详解】∵椭圆方程为
，∴焦点分别为
，
，
∵直线AB 过左焦点
的倾斜角为60°，∴直线AB 的方程为
，将AB 方程与椭
9
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
圆方程联立消去y，得
．设
，
，可得
，
，
∴
，因此，
．
故答案为:
．
8．18
【分析】判断满足条件的点
存在，再借助对称的性质确定四边形形状，利用椭圆定义
求解作答.
【详解】椭圆
：
的长短半轴长
，半焦距
，
于是椭圆
上存在点到原点距离等于椭圆半焦距c，
由P，Q 为
上关于坐标原点对称的两点，得四边形
为平行四边形，
  
又
，则
为矩形，即有
，
而
，所以四边形
的面积
.
故答案为：18
9．
【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.
【详解】设直线与椭圆交于
两点，其中
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
将
两点代入椭圆可得
，两式作差可得
，
即
，又
中点坐标是
，
所以
，所以
，
令
，则
，所以
，
所以
，
故答案为：
【基础保分训练】
一、单选题
1．（21-22 高二下·海南·期中）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
且斜率为1 的直线交椭圆
于A、
两点，则
等于（    ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三下·海南海口·期中）已知
，
为椭圆
的两个焦点，P 为椭圆上
一点且
，则
的面积为（    ）
A．
B．
C．4
D．
3．（2023·浙江宁波·二模）设椭圆
的右焦点为
，点
在
椭圆外，P，Q 在椭圆上，且P 是线段AQ 的中点．若直线PQ，PF 的斜率之积为
，则
椭圆的离心率为（    ）
11
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2023·云南·二模）已知椭圆
，
为C 的左、右焦点，P 为C 上一点，
且
，若
交C 点于点Q，则（    ）
A．
周长为8
B．
C．
面积为
D．
5．（2022·全国·模拟预测）双曲线
的左，右焦点分别为
，
，点P 在C 上.
若
是直角三角形，则
的面积为（    ）
A．
B．
C．4
D．2
6．（23-24 高二上·江苏·阶段练习）设椭圆的方程为
，斜率为k 的直线不经过原
点O，而且与椭圆相交于A，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论不正确的是（    ）
A．直线AB 与OM 垂直
B．若点M 坐标为
，则直线方程为
C．若直线方程为
，则点M 坐标为
D．若直线方程为
，则
三、填空题
7．（23-24 高三上·湖北·开学考试）已知圆
，直线
12
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，当圆
被直线截得的弦长最短时，直线的方程为  
 
.
8．（2023 高三·全国·专题练习）已知
是椭圆
上的点，
分别是椭圆的左、
右焦点，若
，则
的面积为 
9．（22-23 高二下·陕西榆林·期末）已知
为双曲线
上两点，且线段
的中点
坐标为
，则直线
的斜率为          .
四、解答题
10．（23-24 高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：
（
，
）的长轴为
，短轴长为4．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线l：
与椭圆C 交于不同两点A、B，且
，求直线
的方程．
11．（24-25 高二上·北京·阶段练习）已知椭圆
长轴长为4，且椭圆
的离心率
，其左右焦点分别为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设斜率为
且过
的直线与椭圆
交于
两点，求
的面积．
12．（23-24 高二上·安徽滁州·阶段练习）已知圆
的圆心
是抛物线
的焦
点．
(1)求抛物线
的方程；
13
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若直线交抛物线
于
两点，且点
是弦
的中点，求直线的方程．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
 
 
 
 
答案
A
B
B
AD
AC
ACD
 
 
 
 
1．A
【分析】利用弦长公式求解即可.
【详解】设直线AB 方程为
，联立椭圆方程
整理可得：
，设
，
则
，
，根据弦长公式有：
=
．故B，C，D 错误.
故选：A.
2．B
【分析】利用椭圆定义求得
的值，判断
为等腰三角形，即可求得答案.
【详解】由椭圆
可知
，
故
，结合
，
可得
，而
，
故
为等腰三角形，其面积为
，
故选：B
3．B
【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得
，即可求离心率.
14
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】
如图，取
的中点为
，连接
，
则由题意可得，
，
所以
相似，所以
,
因为直线PQ，PF 的斜率之积为
，
所以
,
设
，
则有
，两式相减可得
，
即
，即
，
即
，所以椭圆的离心率为
，
故选:B.
4．AD
【分析】根据椭圆方程，求出对应的
，利用几何性质即可得出正确的选项
【详解】由题意，在椭圆
中，
，不妨设
在
轴上方，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
，
所以
，故B 错；
的周长为
，A 正确；
设
，
在
中，
得
，
所以
，D 正确；
，
所以
，
故C 不正确，
故选：AD．
5．AC
【分析】根据双曲线方程求出，再根据对称性只需考虑
或
.当
时，将
代入双曲线方程，求出
，即可求出三角形面积，当
时，
由双曲线的定义可知
，再由勾股定理求出
，即可得解；
16
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：由双曲线
可得
.根据双曲线的对称性只
需考虑
或
.
当
时，将
代入
可得
，所以
的面积为
.
当
时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得
.
因为
，
所以
，此时
的面积为
综上所述，
的面积为4 或
.
故选：
.
6．ACD
【分析】根据椭圆中点弦的性质
，可以判断ABC，对于D,直线方程与椭圆
方程联立，利用弦长公式即可求得
，从而判断正误．
【详解】对于A：设A(x1, y1),B(x2, y2),则
，相减可得
，
所以
，故 A 错误；
对于B：根据
，
，所以
，所以直线方程为
，即
17
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，故B 正确；
对于C：若直线方程为
，点
，则
，所以C 错误；
对于D：若直线方程为
，与椭圆方程
联立，得到
，
整理得：
，解得
，
所以
，故D 错误；
故选：ACD．
7．
【分析】直线过的定点
，当直线垂直于
时，圆
被直线截得的弦长最短，可求
直线的方程.
【详解】由题意，直线的方程化为
，
由
得
∴直线过定点
，显然点
在圆
内，
要使直线被圆
截得弦长最短，只需
与圆心
的连线垂直于直线，
，解得
，
代入到直线的方程并化简得
.
故答案为：
.
8．
【分析】由已知得到
，
，
，利用余弦定理求出
18
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，面积公式求
的面积.
【详解】椭圆
中，
，则
，有
，
是椭圆
上的点，
，
，
在
中，由余弦定理得：
，
即
，得
 ，
所以
.
故答案为：
9．
/2.25
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.
【详解】设
，
则
两式相减得
，
由线段
的中点坐标为
，
即
，
.
故答案为：
10．(1)
19
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m 的值，则直线
的
方程可求.
【详解】（1）由已知长轴为
，短轴长为4，
可得
，
，
则椭圆C 的标准方程为：
；
（2）依题意
，
解得
，
因为
，可得
，
且
，
因为
，
解得
，
所以直线
的方程为l：
．
11．(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆
的值，写出椭圆方程.
20
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到
和
，用交点弦长
公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积.
【详解】（1）由题意可知：
，则
，
∵
，∴
，
∴
，
∴椭圆
（2）
，∴直线：
，
联立方程组
得
,
设
，
则
，
点
到直线
的距离
∴
21
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
  
12．(1)
(2)
【分析】（1）由圆心
是抛物线
的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程；
（2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程.
【详解】（1）圆
的方程可化为
，
故圆心的坐标为
．
设抛物线
的方程为
(
)，所以
，所以
，
所以抛物线
的方程为
．
（2）设
，
，则
两式相减，
得
，即
，
所以直线的斜率
．
因为点
是
的中点，所以
，所以
．
所以直线的方程为
，即
．
22
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·山东临沂·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
的左、右两支分别交于点
，且
，则
的离心率为（    ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，准线为l，过F 且斜
率为
的直线与C 交于A，B 两点，D 为AB 的中点，且
于点M，AB 的垂直平分
线交x 轴于点N，四边形DMFN 的面积为
，则
（    ）
A．
B．4
C．
D．
3．（21-22 高二上·江苏盐城·期末）椭圆
中以点
为中点的弦所在直线斜
率为（    ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
23
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2023·山东临沂·一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，
沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射
后必过抛物线的焦点．已知抛物线
，
为坐标原点，一束平行于
轴的光线从
点
射入，经过
上的点
反射后，再经过
上另一点
反射后，沿直
线
射出，经过点
，则（）
A．
B．延长
交直线
于点
，则
，
，
三点共线
C．
D．若
平分
，则
5．（2022·湖南永州·二模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的
两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙
日圆.已知椭圆
的离心率为
，
、
分别为椭圆的左、右焦点，
点
在椭圆上，直线
，则（    ）
A．直线与蒙日圆相切
B．
的蒙日圆的方程为
C．记点
到直线的距离为
，则
的最小值为
D．若矩形
的四条边均与
相切，则矩形
的面积的最大值为
6．（23-24 高三上·湖北武汉·阶段练习）直线
过抛物线
的焦点
24
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
且与该抛物线交于M，N 两点，设O 为坐标原点，则下列说法中正确的是（    ）
A．
B．抛物线E 的准线方程是
C．以MN 为直径的圆与定直线相切
D．
的大小为定值
三、填空题
7．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线
的焦点分别为
，点
分别在(
上，且线段
平行于x 轴.若
是等腰三角形，则
          .
8．（2023·湖北·模拟预测）已知
为抛物线
的焦点，直线
与
交于
，
，
与
的另一个交点为
，
与
的另一个交点为
.若
与
的面积之比为
，则
          .
9．（21-22 高二上·上海杨浦·期末）过点
作斜率为
的直线与双曲线
相交于A，B 两点，若M 是线段
的中点，则双曲线
的离心率为           .
四、解答题
10．（23-24 高二上·吉林长春·阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，
椭圆上的点到焦点的最小距离是
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)倾斜角为
的直线交椭圆于
两点，已知
，求直线的一般式方程．
11．（22-23 高二下·陕西安康·期中）已知椭圆
的一个焦点为
，
且离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
25
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)不过原点
的直线
与椭圆C 交于
两点，求
面积的最大值及此时直
线的方程.
12．（23-24 高二上·河北·期中）已知P 是圆C：
上一动点，过P 作x 轴的垂线，
垂足为Q，点M 满足
，记点M 的轨迹为E．
(1)求E 的方程；
(2)若A，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为
，求
的值．
13．（2023·广东肇庆·二模）设抛物线方程为
，过点
的直线
分别与抛物线
相切于
两点，且点
在
轴下方，点
在
轴上方.
(1)当点
的坐标为
时，求
；
(2)点
在抛物线上，且在
轴下方，直线
交
轴于点
.直线
交
轴于点
，且
.若
的重心在
轴上，求
的取值范围.
14．（2024·全国·高考真题）已知双曲线
，点
在
上，
为常
数，
．按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左
支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
26
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
15．（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知椭圆
的右焦点为F，直线l 与椭圆
C 交于A，B 两点．
(1)若
，且直线l 的斜率为4，求直线
(点
为坐标原点)的斜率．
(2)若直线
，
的斜率互为相反数，且直线l 不与x 轴垂直，探究：直线l 是否过定点?
若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
 
 
 
 
答案
D
A
A
AB
AC
BC
 
 
 
 
1．D
【分析】由
，设
，利用双曲线的定义
得到
，然后设
，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解.
【详解】解：因为
，
所以
，
由双曲线的定义得
，
解得
，
则
，
设
，
，
，
联立
，消去x 得
，
由韦达定理得：
，
由
，得
，解得
，
27
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
，
解得
，
则
，
故选：D
2．A
【分析】设出直线AB 的方程，联立抛物线方程，表达出
点坐标，作出辅助线，求出
，得到四边形DMFN 为平行四边形，利用面积列出方程，求出
.
【详解】由题意知
，直线AB 的方程为
．
设
，由
，得
，
所以
，所以
，
由
，得
．
如图所示，作
轴于点E，则
．
28
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，
故
，
，
又
，故
，
又
，得四边形DMFN 为平行四边形．
所以其面积为
，解得
．
故选：A
3．A
【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在
的直线的斜率．
【详解】设弦的两端点为
，
，
代入椭圆得
两式相减得
，
即
，
即
，
即
，
29
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
，
弦所在的直线的斜率为
，
故选:A ．
4．AB
【分析】根据题设和抛物线的性质得到点
，
，将点
代入抛物线
的方程得到
，从而求出直线
的方程，联立直线
和抛物线
得到点
的坐标，即可
判断选项A 和C，又结合直线
和直线
得到点
，即可判断B 选项，若
平分
，得到
，转化为直线
斜率
和直线
的斜率的关系式即可求出
.
【详解】由题意知，点
，
，如图：
将
代入
，得
，所以
，则直线
的斜率
，
则直线
的方程为
，即
，
联立
，得
，解得
，
，
30
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
时，
，则
 
所以
，所以A 选项正确；
又
 ，所以C 选项错误；
又知直线
轴，且
，则直线
的方程为
，
又
，所以直线
的方程为
，
令
，解得
，即
，
在直线
上，
所以
，
，
三点共线，所以B 选项正确；
设直线
的倾斜角为
（
），斜率为
，直线
的倾斜角为
，
若
平分
，即
，即
，
所以
，则
，且
，解得
，
又
，解得：
，所以D 选项错误；
故选：AB.
5．AC
【分析】分析可得出
，求出蒙日圆的方程，可判断B 选项的正误；利用直线与圆的
位置关系可判断A 选项；利用椭圆的定义和点到直线的距离公式可判断C 选项的正误；分
析可知矩形
的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断D 选项的正误.
【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为
、
，
所以，点
在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为
，
31
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，可得
.
对于A 选项，蒙日圆圆心到直线的距离为
，
所以，直线与蒙日圆相切，A 对；
对于B 选项，
的蒙日圆的方程为
，B 错；
对于C 选项，由椭圆的定义可得
，则
，
所以，
，
因为
，直线的方程为
，
点
到直线的距离为
，
所以，
，
当且仅当
时，等号成立，C 对；
对于D 选项，若矩形
的四条边均与
相切，则矩形
的四个顶点都在蒙日圆
上，
所以，
，
所以，矩形
的面积为
，D 错.
故选：AC.
6．BC
【分析】由直线
过定点
，得到
，可判定A 正确；根据抛物线的几何性质，可
得判定B 正确；过
点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到
32
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，可判定C 正确；联立方程组，结合韦达定理，得到
，
求得
，可判定D 错误.
【详解】对于A 中，由直线
，可化为
，可得直线
过定点
，
因为抛物线
的焦点
在直线
上，可得
，则
，所以A 错误；
对于B 中，由抛物线
的准线方程为
，所以B 正确；
对于C 中，过
点作准线的垂线，垂足分别为
，
的中点为
点，
过
点作准线的垂线，垂足为
，可得
，故以MN 为直径的
圆与准线相切，所以C 正确；
对于D 中，设
，联立方程组
，
整理得
，
，
，
可得
，则
，
则
，但
的大小不是定值，
设
，而
，
则
，则
，
而
，并不是定值，所以D 错误.
故选：BC.
33
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
  
7．
【分析】由题意设出点的坐标，不妨设
，然后分三种情况讨论即可求解.
【详解】设F2(1,0)，
，
.
不妨设
，然后分三种情况讨论：
若
，则有
，解得
，此时
；
若
，则
，解得
，这不可能；
若
，则
，这同样不可能.
综上，
.
故答案为：
.
8．
34
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】由题意可判断得
，写出点
，
的坐标，从而得
，表示出直线
的方程，与抛物线联立方程组，从而求解出点
的横坐标，代入抛物线方程计算，即可得
，从而根据三角形面积公式表示
与
的面积，再根据面积比列式计算
可得的值.
【详解】如图，抛物线
的焦点为
，可知
，
由题意，得
，即
所以直线
的方程为
，
联立
，化简得
，
，因为
，可得点
的横坐标为
，
代入抛物线方程可得，
，所以
，
，
，又
，所以
.
故答案为：
35
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
9．
/
【分析】利用点差法，结合
是线段
的中点，斜率为
，即可求出双曲线
的离心率．
【详解】解：设
，
，
，
，则
①，
②，
是线段
的中点，
，
，
直线
的方程是
，
，
过点
作斜率为
的直线与双曲线
相交于
，
两点，
是
线段
的中点，
①②两式相减可得√2
，即
，
．
故答案为：
．
10．(1)
36
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
或
【分析】（1）根据题意，得到
且
，求得
的值，即可求解；
（2）设的方程
，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，
求得
，即可求解.
【详解】（1）由椭圆
的离心率为
，即
，可得
，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是
，可得
，
解得
，
，
，
所以椭圆的方程
．
（2）解：因为直线的倾斜角为
，可设的方程
，
由方程组
，整理得
，
可得
，解得
，
设
，
，则
，
，
又由
，
解得
，满足
，
所以直线的一般式方程为
或
．
11．(1)
(2)
，
【分析】（1）由焦点和离心率即可求出
，从而可得椭圆方程；
37
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把
面积表示为
的函数，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）由已知得
，又离心率
，得到
，
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设
，
联立
，消
得
，
，得到
，
由韦达定理得，
，
又因为
，
又原点到直线的距离为
，
所以
，
当且仅当
，即
，满足
，
所以，
面积的最大值为
，此时直线的方程为
.
12．(1)
(2)
38
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）设
，利用
，得出
的坐标，在利用P 在圆C：
上，即可求出M 的轨迹方程.
（2）利用点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解.
【详解】（1）设
，则
，
因为
，则
，
因为P 在圆C 上，所以
，
故E 的方程为
．
（2）设
，
，
若A，B 是E 上两点，则
，
两式相减得
，即
．
因为线段AB 的中点坐标为
，所以
，
所以
，则直线AB 的方程为
．
联立方程组
，整理得
，其中
，
则
，
，
．
39
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
13．(1)
；
(2)
.
【分析】（1）设
，根据导数的几何意义可得切线方程，利用切线方程
与抛物线方程可得
，
，进而即得；或利用条件可得切点所在直线，
利用韦达定理法即得；
（2）设
，根据三角形面积公式结合条件可表示
，然后根据二次函数的性质
结合条件即得.
【详解】（1）解法一：设
，
，
，
由
，可得
，
所以
，直线PA 的斜率
，
直线PA：
，又
在
上，
，
所以
，又
，
所以
，
同理可得
，
，
40
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
；
解法二：设
，
，
，
由
，可得
，
所以
，直线PA 的斜率
，
直线PA：
，又
在
上，
故
，即
，
因为
，所以
，同理可得
，
故直线
的方程为
，
联立
消去
，得
，
故
，
故
；
（2）设
，由条件知
，
41
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
∴
，
，当
时，
，AC 重合，不合题意，
或
，
的取值范围为
.
14．(1)
，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出
的坐标即可；
（2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证
明；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明
的取值为与
无关的定值即可.
思路二：使用等差数列工具，证明
的取值为与
无关的定值即可.思路三：利用点差法得
到
，
，再结合（2）中的结论得
，最后证明出
即可.
【详解】（1）
42
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由已知有
，故
的方程为
.
当
时，过
且斜率为
的直线为
，与
联立得到
.
解得
或
，所以该直线与
的不同于
的交点为
，该点显然在
的左支
上.
故
，从而
，
.
（2）方法一：由于过
且斜率为
的直线为
，与
联立，
得到方程
.
展开即得
，由于
已经是直线
和
的公共点，故方程必有一根
.
从而根据韦达定理，另一根
，相应的
.
43
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以该直线与
的不同于
的交点为
，而注意到
的
横坐标亦可通过韦达定理表示为
，故
一定在
的左支上.
所以
.
这就得到
，
.
所以
.
再由
，就知道
，所以数列
是公比为
的等比数列.
方法二：因为
，
，
，则
，
由于
，作差得
，
，利用合比性质知
，
因此
是公比为
的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点
，若
，
，
则
.（若
在同一条直线上，约定
）
证明：
44
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到
，
，
故
.
再由
，就知道
，所以数列
是公比为
的等比数列.
所以对任意的正整数
，都有
.
而又有
，
，
故利用前面已经证明的结论即得
45
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.
这就表明
的取值是与
无关的定值，所以
.
方法二：由于上一小问已经得到
，
，
故
.
再由
，就知道
，所以数列
是公比为
的等比数列.
所以对任意的正整数
，都有
.
这就得到
，
46
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
以及
.
两式相减，即得
.
移项得到
.
故
.
而
，
.
所以
和
平行，这就得到
，即
.
方法三：由于
，作差得
，
变形得
①，
同理可得
，
由（2）知
是公比为
的等比数列，令
则
②，
同时
是公比为
的等比数列，则
③，
将②③代入①，
即
，从而
，即
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方
面知识方可得解.
15．(1)
；
47
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)过定点，
﹒
【分析】(1)由
值M 为AB 中点，由点差法即可得OM 的斜率；
(2)根据椭圆对称性，结合已知条件可知l 过定点时，定点应该在x 轴上，设定点为(t，0)，
写出直线方程，联立直线与椭圆方程根据韦达定理得到根与系数的关系，再由直线
，
的斜率互为相反数列出方程，即可求得定点坐标﹒
【详解】（1）设
，
，依题意，M 为线段
的中点，
∵A，B 在椭圆C 上，故
两式相减可得
，
则
，
故
，解得
．
（2）假设定点存在，根据椭圆对称性，可知该直线所过定点在x 轴上，设定点坐标为
，
则直线l 的方程为
，
联立
，消去y 整理得
，
则
，
．
设直线
，
的斜率分别为
，
，由题可知
，
则
48
关注公众号：陆陆高分冲刺  ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
．
即
，
∴
，
，
即直线l 过定点
．
【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二
次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
49