文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处
理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M (x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
2、点差法
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0 ；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2 ；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024 上·江苏南通·高二统考期末）已知椭圆
，直线经过点
与
交于
两点.
若
是线段
的中点，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，
且右顶点
到该条渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线与双曲线
交于
两点，线段
的中点为
，求直线的斜率.
3．（2024 上·河北保定·高二统考期末）一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨迹
为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点坐标为
，求直线l 的方程．
4．（2024·全国·高二专题练习）过点
的直线l 与双曲线
相交于A，B 两点，且P 为线段
AB 的中点，求直线l 的方程．
题型二：求离心率
1．（2024 上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆
，
，
，
为椭圆
过点E 的一条弦，且
，直线
的斜率与
的斜率乘积为
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2024 上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为
的直线分别与
轴，
轴交于
两点，且与椭圆
，在第一象限交于
两点，且
，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）斜率为
的直线与椭圆
交于
A，B 两点，
为线段
的中点，则椭圆的离心率为 ．
4．（2024 上·河北石家庄·高二统考期末）已知过点
的直线与双曲线
：
交
于A、B 两点，若点P 是线段
的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是 .
题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2023 上·河南南阳·高二统考阶段练习）已知椭圆
.
(1)求过点
且被
点平分的弦所在直线的方程；
(2)过点
引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.
2．（2023 上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线
，过其焦点
作两条
相互垂直且不平行于
轴的直线，分别交抛物线
于点
和点
的中点分别为
.
(1)若直线
的斜率为2，求直线
的方程；
(2)求线段
的中点
的轨迹方程.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型四：求曲线方程
1．（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆方程为
，其右焦点为F（4，0），过点F 的
直线交椭圆与A，B 两点．若AB 的中点坐标为
，则椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆G：
，斜率为
的直线l 交椭圆于A，B 两
点.若AB 的中点坐标为
，试写出椭圆G 的一个标准方程 .
3．（2022 上·陕西铜川·高二校考期末）已知抛物线
的焦点为
，直线
交
抛物线C 于
两点，线段
的中点为
为坐标原点，且直线
的斜率为
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求实数m 的值．
题型五：处理存在性问题
1．（2024 上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知双曲线
中，离心率为
，
且经过点
．
(1)求双曲线方程；
(2)若直线
与双曲线左支有两个交点，求
的取值范围；
(3)过点
是否能作直线
与双曲线交于
、
两点，且使得
是
的中点，若存在，求出直线
的方程，若不存在，请说明理由．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线
(
)经过点
，其渐
近线方程为
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点
的直线l 与双曲线C 相交于A，B 两点，P 能否是线段AB 的中点？请说明理由．
3．（2023 上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知
，
，动圆
与圆
和圆
都外切，圆心
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若过点
的直线交曲线C 于A，B 两点，点Q 能否为线段
的中点？为什么？
题型六：确定参数的取值范围
1．（2024 上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）设椭圆C：
（
）的两个焦点是
和
（
），且椭圆C 与圆
有公共点．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)若椭圆C 上的点到焦点的最长距离为
，求椭圆C 的方程；
(3)对（2）中的椭圆C，直线：
（
）与C 交于不同的两点M，N，若线段
的垂直平分线
恒过点
，求实数
的取值范围．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆
：
，A 为椭圆的下顶点，设椭圆
与直线
相交于不同的两点
、
，
为弦
的中点，当
时，求
的取值范围.
3．（2023 上·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）椭圆
，
，
，
，
四点中恰有三点在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)椭圆
上两点
、
，若直线
过点
，且
，线段
的中点为
，求直线
的
斜率的取值范围.
题型七：定值问题
1．（2024 上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知椭圆
的右焦点为
，
右顶点为
，上顶点为
，点
为坐标原点，线段
的中点恰好为
，点
到直线
的距离为
．
(1)求
的方程；
(2)设点
在直线
上，过
作
的垂线交椭圆
于
两点．记
与
面积分别为
，
求
的值．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023 上·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知
为坐标原点，
，
，直线
，
的斜率之积为4，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线经过点
，与
交于
，
两点，线段
中点
在第一象限，且纵坐标为4，求
.
3．（2022 上·陕西安康·高二校考期末）已知椭圆E 的中心在原点，焦点为
，且离心
率
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
的直线l 与椭圆E 相交于A，B 两点且P 为AB 的中点求弦长
.
三、专项训练
一、单选题
1．（2024 上·山西太原·高二统考期末）在椭圆
中，以点
为中点的弦所在的直线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆
，
，
，
为椭圆
过点E 的一条弦，且
，直线
的斜率与
的斜率乘积为
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 上·湖南·高二校联考期末）过抛物线
的焦点的直线与抛物线C 相交于A，B 两
点，若线段
中点的坐标为
，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2024 上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为
的直线分别与
轴，
轴交于
两点，且与椭圆
，在第一象限交于
两点，且
，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 上·重庆·高二重庆八中校考期末）直线
经过椭圆
的左焦点
，且与椭圆交于
两点，若
为线段
中点，
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 上·湖北武汉·高三统考期末）已知A，B 为双曲线
上不同两点，下列点中可为线段
的中点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：
，若双曲线C 的一条弦的中点
为
，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．1
D．
8．（2023 上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）直线
与抛物线
交于
两点，
中点的横坐标为2，则
为（ ）
A．
B．2
C．
或2
D．以上都不是
二、解答题
9．（2023 上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）直线
与椭圆
相交于不同
的两点
，若
的中点的横坐标为
，求：
(1)
的值；
(2)弦长
的值．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
10．（2023 上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线
，过其焦点
作两
条相互垂直且不平行于
轴的直线，分别交抛物线
于点
和点
的中点分别为
.
(1)若直线
的斜率为2，求直线
的方程；
(2)求线段
的中点
的轨迹方程.
11．（2023 上·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）以两条坐标轴为对称轴的椭圆
过点
和
，直线与椭圆
相交于
两点，
为线段
的中点．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若点
的坐标为
，求直线的方程；
12．（2023 上·江西·高二校联考阶段练习）已知椭圆
：
的离心率为
，
是
椭圆
上一点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
，
是椭圆
上两点，且线段
的中点坐标为
，求直线
的方程.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
13．（2022 上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线
的右焦点
为
，虚轴长为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线与双曲线
交于
两点，且线段
的中点为
，求直线
的方程．
14．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆
，
，
为C 的左右焦点.
点
为椭圆上一点，且
.过P 作两直线与椭圆C 相交于相异的两点A，B，直线PA、
PB 的倾斜角互补，直线AB 与x，y 轴正半轴相交.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点M 满足
，求M 的轨迹方程.
15．（2023 下·福建·高二福建师大附中校考开学考试）已知双曲线
.
(1)试问过点
能否作一条直线与双曲线交于，
两点，使
为线段
的中点，如果存在，求出其
方程；如果不存在，说明理由；
(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹
方程.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
11
