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专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处
理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M (x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
2、点差法
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0 ；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2 ；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024 上·江苏南通·高二统考期末）已知椭圆
，直线经过点
与
交于
两点.
若
是线段
的中点，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设点
、
，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
1
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【详解】设点
、
，则
，
因为
，两式作差得
，即
，
即
，所以
，
因此直线的方程为
，即
.
故选：D.
2．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，
且右顶点
到该条渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线与双曲线
交于
两点，线段
的中点为
，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据题意求出
即可；
（2）利用点差法求解即可.
【详解】（1）因为双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，
且直线
的斜率为
，
且双曲线
的渐近线为
，则
，可得
，
所以，双曲线
的渐近线方程为
，即
，
因为右顶点
到该条渐近线的距离为
，所以
，
解得
，所以
，所以双曲线
的方程为
；
（2）设
、
，
2
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则
，
则
，所以
，
化简得
，
因为线段
的中点为
，所以
，
，
所以
，所以
，
即直线的斜率为，
经检验符合题意，
所以直线的斜率为.
3．（2024 上·河北保定·高二统考期末）一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨迹
为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点坐标为
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）根据抛物线的定义和标准方程可以确定曲线C 的方程.
（2）利用点差法结合中点坐标公式和斜率公式求解.
【详解】（1）依题意得该动圆的圆心到点
的距离到直线
的距离相等．
又点
不在直线
上，
所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为
．
3
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（2）设
，
，则
，
两式相减得
，即
．
因为线段AB 的中点坐标为
，所以
，
则
，即直线l 的斜率为
，
所以直线l 的方程为
，即
，
经检验，直线
与曲线
相交，满足题意，
所以直线l 的方程为
.
4．（2024·全国·高二专题练习）过点
的直线l 与双曲线
相交于A，B 两点，且P 为线段
AB 的中点，求直线l 的方程．
【答案】
【分析】由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.
【详解】解：设
，
，则
，
，
两式相减得
．
∵P 为线段AB 的中点，∴
，
．
∴
，即所求直线l 的斜率为1，
∴直线l 的方程为
，即
．经检验符合题意．
题型二：求离心率
1．（2024 上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆
，
，
，
为椭圆
过点E 的一条弦，且
，直线
的斜率与
的斜率乘积为
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】取线段
的中点为
，可得
，进而借助点差法求解
的值，从而得解.
【详解】如图，取线段
的中点为
，连接
，
4
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因为
，所以
为
中点，又
为
中点，
所以
，
直线
的斜率与
的斜率乘积为
，所以
．
设
，则
，
两式相减可得
，
整理得
，即
，
所以
，所以
，则
．
故选：B．
2．（2024 上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为
的直线分别与
轴，
轴交于
两点，且与椭圆
，在第一象限交于
两点，且
，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，
，根据题意得到
，即
，设直线的方程
为
，得
，得
，进而得
，再根据
求解即得.
【详解】设
，
，线段AB 的中点为E，
由
，
，两式相减可得
，
5
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即
，又由
，
，则
，
设直线的方程为
，（
），可得
，
，
又
，所以线段AB 的中点为E 也就是线段MN 的中点，得
，
所以
，所以
，即
，
得
，
故选：A
3．（2024 上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）斜率为
的直线与椭圆
交于
A，B 两点，
为线段
的中点，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】令
，应用点差法及直线斜率、中点坐标得
，即可求离心率.
【详解】令
，则
，可得
，
所以
，又
为线段
的中点，且直线
斜率为
，
所以
，则
.
故答案为：
6
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4．（2024 上·河北石家庄·高二统考期末）已知过点
的直线与双曲线
：
交
于A、B 两点，若点P 是线段
的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是 .
【答案】
【分析】利用点差法得到
，根据题意和渐近线方程得到
，故
，从而求出离心率的取
值范围.
【详解】设
，
则
，两式相减得
，
若
，则
的中点在
轴上，不合要求，
若
，则
的中点在
轴上，不合要求，
所以
，
因为
为
的中点，所以
，
故
，
因为
的渐近线方程为
，
要想直线与双曲线
：
交于A、B 两点，则
，
即
，解得
，
所以离心率
.
故答案为：
【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相
交弦涉及
的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.
题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2023 上·河南南阳·高二统考阶段练习）已知椭圆
.
(1)求过点
且被
点平分的弦所在直线的方程；
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(2)过点
引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用“点差法”求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，从而可得结论；
（2）设过点
的直线与椭圆截得的弦的中点
，交点为
，利用点差法分析
求解.
【详解】（1）因为
，
所以
在椭圆
的内部，则所求弦必然存在，
设这条弦与椭圆
交于点
，
由中点坐标公式知
，
把
代入
，则
，
作差整理得
，可得
，
所以这条弦所在的直线方程为
，即
.
（2）由题意可知：过点
引椭圆的割线的斜率存在且不为0，
设割线方程为
，
联立方程
，消去
得
，
则
，解得
，
设过点
的直线与椭圆截得的弦的中点
，交点为
，
根据椭圆性质可知
，则
，
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令
，则
，
可得
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，可知
，
则
，所以
，
则
，可得
，
把
代入
，则
，
两式相减得
，整理得
，
即
，整理得
.
【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法
（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤；
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（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使
用条件
，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
2．（2023 上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线
，过其焦点
作两条
相互垂直且不平行于
轴的直线，分别交抛物线
于点
和点
的中点分别为
.
(1)若直线
的斜率为2，求直线
的方程；
(2)求线段
的中点
的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点
坐标，即可求解直线
的方程；
（2）首先设直线
的方程为
，与抛物线方程联立，求得点
的坐标，并利用直线
与直线
的关系，求得点
的坐标，即可求解点
，再通过消参求得点
的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点
，
，
直线
的方程为
，设
，
联立
，得
，
，
所以
中点的横坐标为
，中点的纵坐标为
，即
，
直线
的方程为
，设
，
联立
，得
，
，
所以
中点的横坐标为，中点的纵坐标为
，即
，
所以
，直线
的方程为
，
化简为直线
的方程为
；
（2）设直线
的方程为
，设
，
，
联立
，得
，
得
，
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所以
中点的横坐标为
，纵坐标为
，
即
，将
换成
得
，
得
的中点
的坐标为
，
即
，得
，
题型四：求曲线方程
1．（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆方程为
，其右焦点为F（4，0），过点F 的
直线交椭圆与A，B 两点．若AB 的中点坐标为
，则椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，利用点差法求解即可．
【详解】设
，代入椭圆的方程可得
，
．
两式相减可得：
．
由
，
，代入上式可得：
＝0，化为
．
又
，
，联立解得
．
∴椭圆的方程为：
．
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆G：
，斜率为
的直线l 交椭圆于A，B 两
点.若AB 的中点坐标为
，试写出椭圆G 的一个标准方程 .
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【答案】
（答案不唯一）
【分析】设点
，
，利用点差法可得答案.
【详解】设点
，
，
则
，
两个等式作差得
，
整理可得
，
因为线段AB 的中点为
，
可得
，
又
，
所以
，
所以
，故可设
，
此时椭圆G 的方程为
.
故答案为：
.（答案不唯一）
3．（2022 上·陕西铜川·高二校考期末）已知抛物线
的焦点为
，直线
交
抛物线C 于
两点，线段
的中点为
为坐标原点，且直线
的斜率为
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求实数m 的值．
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【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据焦点坐标即可求解
，进而可得抛物线方程，
（2）联立直线与抛物线方程，得韦达定理，由中点坐标公式和斜率公式即可求解.
【详解】（1）
抛物线C 的焦点为
，
，即
．
∴抛物线C 的方程为
．
（2）由
消去
得
，此时
，
．
．
点M 坐标为
．
，解得
或
．
题型五：处理存在性问题
1．（2024 上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知双曲线
中，离心率为
，
且经过点
．
(1)求双曲线方程；
(2)若直线
与双曲线左支有两个交点，求
的取值范围；
(3)过点
是否能作直线
与双曲线交于
、
两点，且使得
是
的中点，若存在，求出直线
的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
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(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件可得出关于
、
、的值，即可得出双曲线的方程；
（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数
的不等
式组，即可解得实数
的取值范围；
（3）利用点差法求出直线
的方程，再将直线
的方程与双曲线
的方程联立，计算
，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为双曲线
中，离心率为
，且经过点
，
则
，解得
，所以，双曲线
的方程为
.
（2）解：设直线交双曲线于点
、
，
联立
可得
，
因为直线
与双曲线左支有两个交点，则
，
解得
，故实数
的取值范围是
.
（3）解：若直线
轴，则直线
与双曲线
相切，不合乎题意，
所以，直线
的斜率存在，
设点
、
，因为
为线段
的中点，则
，
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将点
、
的坐标代入双曲线的方程可得
，
作差可得
，即
，
即
，所以，直线
的斜率为
，
所以，直线
的方程为
，即
，
联立
可得
，则
，
因此，不存在满足题设条件的直线
.
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线
(
)经过点
，其渐
近线方程为
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点
的直线l 与双曲线C 相交于A，B 两点，P 能否是线段AB 的中点？请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)不能，证明见解析；
【分析】（1）由渐近线方程求得一个
关系，再代入点的坐标，可解得得双曲线方程；
（2）设出交点坐标，若
是线段
的中点，利用点差法求出直线l 方程，再联直线与双曲线查看是
否有解，即可判断.
【详解】（1）由题双曲线
(
)经过点
，其渐近线方程为
，
所以
，
，
解得
，
所以双曲线C 的方程为：
.
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（2）
当直线l 垂直x 轴时，直线l 的方程为
，此时直线l 与双曲线只有一个交点，不满足；
当直线l 不垂直x 轴时，斜率存在，
设
，
所以
，
两式作差得
，
即
，
若
是线段
的中点，则
，
则
，
所以直线l 的斜率
，
则直线l 的方程为
，
将直线l 与双曲线联立
，得
，
，方程无解，
所以这样的直线不存在，即点P 不能是线段
的中点.
3．（2023 上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知
，
，动圆
与圆
和圆
都外切，圆心
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若过点
的直线交曲线C 于A，B 两点，点Q 能否为线段
的中点？为什么？
【答案】(1)
16
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(2)能，理由见解析
【分析】（1）画出图形，由圆的外切、圆心坐标、圆的半径以及双曲线的定义即可得解.
（2）画出图形，中点弦问题用到中点坐标公式以及点差法来做稍微方便一些.
【详解】（1）如图所示：
由题意
，
的圆心分别为
，
，
且动圆
与两定圆分别外切与
两点，所以
，
，解得
，
所以圆心
的轨迹是以
为焦点，
为实轴顶点的双曲线但不包括实轴顶点，
所以曲线C 的方程为
，（
且
）.
（2）如图所示：
过点
的直线交曲线C 于A，B 两点，点Q 能为线段
的为中点，理由如下：
由题意设点
在双曲线
上，且点
为弦
的中点，
所以
，
又因为
，所以
，
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即
，
，
存在过点
且斜率为
的直线：
，即
，
且联立
，
消去
并整理得
，
,两根均小于
，满足题意，
综上所述：存在过点
且斜率为
的直线交曲线C 于A，B 两点，且点Q 为线段
的中点.
题型六：确定参数的取值范围
1．（2024 上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）设椭圆C：
（
）的两个焦点是
和
（
），且椭圆C 与圆
有公共点．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)若椭圆C 上的点到焦点的最长距离为
，求椭圆C 的方程；
(3)对（2）中的椭圆C，直线：
（
）与C 交于不同的两点M，N，若线段
的垂直平分线
恒过点
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由椭圆及圆的性质可得
，则
，结合
即可求得结果；
（2）由题可知
，又
，求解即可；
（3）设线段
的中点为
，由
结合点差法求得
的坐标，根据点P 在椭圆内部得
的
范围，又点P 在直线
上，代入得
的关系式，从而得实数
的取值范围.
【详解】（1）椭圆C 的短半轴
，圆
的圆心为原点，半径为，
∵椭圆C 与圆
有公共点，∴
，
，则
，
又
，从而解得
，
所以a 的取值范围为
.
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（2）由题可知
，又
，
联立解得
，
，
所以椭圆的方程为
.
（3）设线段
的中点为
,
∵
，∴
①，
设
，
，则
，
，
两式作差得
，即
，
即
，即
②，
联立①②解得
，即
，
因为点P 在椭圆内部，则
，
代入点P 坐标化简得
，
又点P 在直线
上，代入得
，
因此，实数
的取值范围是
．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆
：
，A 为椭圆的下顶点，设椭圆
与直线
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相交于不同的两点
、
，
为弦
的中点，当
时，求
的取值范围.
【答案】
【分析】联立直线和椭圆的方程，由判别式大于0 可得
，以及可得根与系数的关系，根据
，可得
，结合根与系数的关系化简可得
，解不等式即可求得答案.
【详解】由题设，联立
，得
，
由题设知
，即
①，
设
，则
，
因为
为弦
的中点，
∴
，从而
，
又由题意知
,
，
∴
，
∵
，则
，即
②，
把②代入①得
，解得
，又
，
故
的取值范围是
.
3．（2023 上·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）椭圆
，
，
，
，
四点中恰有三点在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)椭圆
上两点
、
，若直线
过点
，且
，线段
的中点为
，求直线
的
斜率的取值范围.
【答案】(1)
20
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(2)
【分析】（1）根据已知条件求得
，从而求得椭圆
的标准方程.
（2）设出直线
的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，结合
以及点差法求得
直线
的斜率的取值范围.
【详解】（1）由于
，
，关于
轴对称，所以
经过
，
两点，故
不过
，所以
在
上.
由题意可得
，解得
，所以椭圆
的标准方程为
.
（2）由题意知，直线
的斜率存在且不为零，设其方程为
，
由
，得
，
由
，得
，
设
，
，则
，
，
所以
，
因为
，所以
，
得
，所以
，
设直线
的斜率为
，因为
，所以
，
化简得
，所以
，
所以
，解得
或
，
所以直线
的斜率的取值范围为
题型七：定值问题
21
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1．（2024 上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知椭圆
的右焦点为
，
右顶点为
，上顶点为
，点
为坐标原点，线段
的中点恰好为
，点
到直线
的距离为
．
(1)求
的方程；
(2)设点
在直线
上，过
作
的垂线交椭圆
于
两点．记
与
面积分别为
，
求
的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据题意可得
，又点
到直线
的距离为
列式计算求得
；
（2）设线段
的中点
，利用点差法可得
，
三点共线，即直线
过线段
的
中点
，得解.
【详解】（1）设
，则
，由线段
的中点恰好为
，得
，
所以
，整理得
，
由
得直线
方程为
，
所以点
到直线
的距离为
，
所以
，
椭圆
的方程为
．
（2）设
，线段
的中点
，
则
．
由（1）知
，直线
的斜率
，
当
时，直线
的斜率
．
22
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因为点
在椭圆
上，所以
，两式相减，
整理得
，
又
，
所以
，直线
的斜率为
，
因为直线
的斜率为
，
所以
三点共线，即直线
过线段
的中点
，
当
时，直线
也过线段
的中点
，
所以
到直线
的距离相等，即
与
等底等高．
所以
．
【点睛】思路点睛：设
，线段
的中点
，利用点差法可得
，
三点共线，即线段
的中点
在直线
上，得解.
2．（2023 上·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知
为坐标原点，
，
，直线
，
的斜率之积为4，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线经过点
，与
交于
，
两点，线段
中点
在第一象限，且纵坐标为4，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出动点坐标为
，根据斜率之积为4 列出等式，化简即可.
（2）首先直线斜率存在且经过点
，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知
条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可.
23
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【详解】（1）设点
的坐标为
，因为
，
，所以
，
化简得：
.所以
的方程为
.
（2）当直线
的斜率不存在时，显然不符合题意；
设
，
，直线
方程为
，
与
联立得：
，
由
且
，解得
且
，
由韦达定理得
，
因为线段
中点
在第一象限，且纵坐标为
，
所以
，解得
或
（舍去），
所以直线
为
，所以
，
所以
.
3．（2022 上·陕西安康·高二校考期末）已知椭圆E 的中心在原点，焦点为
，且离心
率
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
的直线l 与椭圆E 相交于A，B 两点且P 为AB 的中点求弦长
.
24
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由焦点坐标求出c，再根据离心率求出a，可得
，可得椭圆方程；
（2）设出A，B 坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用平方差公式分解因式，转化为斜率与中点坐标的关
系式，可求出弦所在直线斜率和直线的方程，将直线方程代入椭圆方程，求出
,
坐标，求出弦长.
【详解】（1）由题意椭圆的焦点在
轴上，
，又
，
，
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）由题知直线的斜率不为0，设
，
，
代入椭圆方程得
，作差得
，
即
，可得
，
所以直线的斜率
，
故直线的方程为
即
.
联立
，消去
得
，解得
或
，
所以
，
,
所以弦长
.
三、专项训练
一、单选题
1．（2024 上·山西太原·高二统考期末）在椭圆
中，以点
为中点的弦所在的直线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先确定点
在椭圆内部，设交点为
，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线
25
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斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】因为
，故点
在椭圆内部，过点
的直线恒与椭圆有两个交点，设交
点为
，则
，
又
，两式相减得
，
整理得
，
所以以点
为中点的弦所在的直线方程为
，
即
.
故选：C.
2．（2024 上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆
，
，
，
为椭圆
过点E 的一条弦，且
，直线
的斜率与
的斜率乘积为
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】取线段
的中点为
，可得
，进而借助点差法求解
的值，从而得解.
【详解】如图，取线段
的中点为
，连接
，
因为
，所以
为
中点，又
为
中点，
所以
，
直线
的斜率与
的斜率乘积为
，所以
．
26
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设
，则
，
两式相减可得
，
整理得
，即
，
所以
，所以
，则
．
故选：B．
3．（2024 上·湖南·高二校联考期末）过抛物线
的焦点的直线与抛物线C 相交于A，B 两
点，若线段
中点的坐标为
，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线
的斜率，可建立关于
的方程，求解可得.
【详解】设
，
，则
，
两式作差得，
，
当
时，则
中点坐标为焦点
，不满足题意；
当
时，得
．
设线段
中点
，因为
坐标
，且过焦点
，
所以
，
则
的斜率
，
解得
．
故选：A.
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4．（2024 上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为
的直线分别与
轴，
轴交于
两点，且与椭圆
，在第一象限交于
两点，且
，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，
，根据题意得到
，即
，设直线的方程
为
，得
，得
，进而得
，再根据
求解即得.
【详解】设
，
，线段AB 的中点为E，
由
，
，两式相减可得
，
即
，又由
，
，则
，
设直线的方程为
，（
），可得
，
，
又
，所以线段AB 的中点为E 也就是线段MN 的中点，得
，
所以
，所以
，即
，
得
，
故选：A
5．（2024 上·重庆·高二重庆八中校考期末）直线
经过椭圆
的左焦点
，且与椭圆交于
两点，若
为线段
中点，
，则椭圆的离心率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
得到
，结合点差法相关知识计算求得
，进而求得离心率.
【详解】如图所示，
因为
，所以
，
所以
，
设
，
则
，两式相减得
，
则
，
因为直线
，
为线段
中点，
，
所以
，
，
代入上式得
，则
，
所以椭圆的离心率
.
故选：C.
6．（2024 上·湖北武汉·高三统考期末）已知A，B 为双曲线
上不同两点，下列点中可为线段
的中点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用点差法结合选项得出
方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可.
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【详解】设
的中点
，
所以
，
易知
，
由点差法可得
，
若
，此时
，
与双曲线联立
，
即
与双曲线只有一个交点，故A 错误；
若
，则此时
，
与双曲线联立
，
即
与双曲线有两个交点，故B 正确；
若
，则此时
，
与双曲线联立
，
即
与双曲线有一个交点，故C 错误；
若
，则此时
，
与双曲线联立
，显然无解，
即
与双曲线没有交点，故D 错误；
故选：B
7．（2024 上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：
，若双曲线C 的一条弦的中点
为
，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
30
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A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.
【详解】设该弦为
， 设
，
则有
，两式相减，得
，
因为双曲线C 的一条弦的中点为
，
所以
，
因此由
，
即这条弦所在直线的斜率为
，方程为
，
代入双曲线方程中，得
，
因为
，
所以该弦存在，
故选：D
8．（2023 上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）直线
与抛物线
交于
两点，
中点的横坐标为2，则
为（ ）
A．
B．2
C．
或2
D．以上都不是
【答案】B
【分析】设
，得到
，求得
，再由
，两式相减，得到
，得出方程
，即可求解.
【详解】设
，因为
中点的横坐标为
，则
，
可得
，
又由
，两式相减得到
，可得
，
可得
，解得
或
，
联立方程组
，整理得
，
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由
，解得
，所以
.
故选：B.
二、解答题
9．（2023 上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）直线
与椭圆
相交于不同
的两点
，若
的中点的横坐标为
，求：
(1)
的值；
(2)弦长
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法构造关于
的方程，即可求得
的值；
（2）联立直线方程与椭圆方程，得出
和
的值，利用弦长公式代入计算即可．
【详解】（1）设
，
中点为
，
因为
在直线
上，
所以
，
由
，得：
，
所以
，即
，
解得
．
（2）由（1）得，直线方程为
，
由
，得
，则
，
，
所以
．
10．（2023 上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线
，过其焦点
作两
条相互垂直且不平行于
轴的直线，分别交抛物线
于点
和点
的中点分别为
.
(1)若直线
的斜率为2，求直线
的方程；
(2)求线段
的中点
的轨迹方程.
【答案】(1)
32
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(2)
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点
坐标，即可求解直线
的方程；
（2）首先设直线
的方程为
，与抛物线方程联立，求得点
的坐标，并利用直线
与直线
的关系，求得点
的坐标，即可求解点
，再通过消参求得点
的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点
，
，
直线
的方程为
，设
，
联立
，得
，
，
所以
中点的横坐标为
，中点的纵坐标为
，即
，
直线
的方程为
，设
，
联立
，得
，
，
所以
中点的横坐标为，中点的纵坐标为
，即
，
所以
，直线
的方程为
，
化简为直线
的方程为
；
（2）设直线
的方程为
，设
，
，
联立
，得
，
得
，
所以
中点的横坐标为
，纵坐标为
，
即
，将
换成
得
，
得
的中点
的坐标为
，
即
，得
，
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11．（2023 上·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）以两条坐标轴为对称轴的椭圆
过点
和
，直线与椭圆
相交于
两点，
为线段
的中点．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若点
的坐标为
，求直线的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆
的方程为
，代入
点的坐标，得到方程组，求解即
可得出答案；
（2）设
，根据点差法结合已知得出直线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
【详解】（1）设椭圆
的方程为
，
由已知可得，
，解得
，
所以，椭圆的方程为
.
（2）设
，
则有
，
，
两式作差可得
，
所以有
.
又
，
所以有
，
所以直线的斜率
，
所以，直线的方程为
，整理可得，
.
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12．（2023 上·江西·高二校联考阶段练习）已知椭圆
：
的离心率为
，
是
椭圆
上一点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
，
是椭圆
上两点，且线段
的中点坐标为
，求直线
的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点
代入椭圆方程, 结合离心率为
，列方程求出
，可得椭圆
的方程
（2）利用点差法求中点弦的斜率，再点斜式求直线方程.
【详解】（1）由题可知
解得
故椭圆
的方程为
.
（2）设
，
，则
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两式相减得
，即
.
因为线段
的中点坐标为
，所以
，
，所以
，
所以直线
的方程为
，即
.
13．（2022 上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线
的右焦点
为
，虚轴长为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线与双曲线
交于
两点，且线段
的中点为
，求直线
的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出
，即可得双曲线的方程；
（2）将点
坐标代入双曲线方程后做差，再将中点坐标代入可得斜率，进而可得直线方程.
【详解】（1）
双曲线
的右焦点为
，虚轴长为
，
，解得
，
双曲线
的方程为
；
（2）
线段
的中点为
，
,
点
都在双曲线
上，
，即
，
．
直线
的方程为
，即
．
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联立
，消去
得
，该方程有解，
故直线
的方程为
.
14．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆
，
，
为C 的左右焦点.
点
为椭圆上一点，且
.过P 作两直线与椭圆C 相交于相异的两点A，B，直线PA、
PB 的倾斜角互补，直线AB 与x，y 轴正半轴相交.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点M 满足
，求M 的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的定义，将点P 代入椭圆方程计算即可；
（2）设直线AB，联立椭圆方程结合直线
、
的倾斜角互补(即斜率之和为零)，利用韦达定理计算出
直线AB 的斜率，再利用消参法求出动点M 的轨迹方程.
【详解】（1）因为
，所以
，即
，
把
代入
，得
，所以
，
故椭圆C 的方程为
；
（2）由题意，直线AB 斜率存在，不妨设其方程为
，
设点
，
联立椭圆方程
，得
，
其中
，则
，
所以
，
因为直线
、
的倾斜角互补，所以
，
所以
，化简得
，
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即
，
所以
，若
，此时直线AB 过点P，不合题意舍去；
故
，所以
，所以直线AB 方程为
，
设
，因为
，所以M 为AB 的中点，
所以
，则
，
消去m 得
，又
，且
，所以
，
所以
，所以点M 的轨迹方程为
.
15．（2023 下·福建·高二福建师大附中校考开学考试）已知双曲线
.
(1)试问过点
能否作一条直线与双曲线交于，
两点，使
为线段
的中点，如果存在，求出其
方程；如果不存在，说明理由；
(2)直线：
与双曲线有唯一的公共点
，过点
且与垂直的直线分别交
轴、
轴于
，
两点.当点
运动时，求点
的轨迹方程.
【答案】(1)不能，理由见解析；
(2)
，
.
【分析】（1）设出直线
的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答.
（2）联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到
，求出
的坐标及过点
与直线垂直
的直线方程，即可求解作答.
【详解】（1）点
不能是线段
的中点，
假定过点
能作一条直线与双曲线交于，
两点，使
为线段
的中点，
显然，直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，即
，
而双曲线
渐近线的斜率为
，即
，
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由
得
，则有
，解得
，
此时
，即方程组无解，
所以过点
不能作一条直线与双曲线交于，
两点，使
为线段
的中点.
（2）依题意，由
消去y 整理得
，
因为
，且
是双曲线与直线唯一的公共点，
则有
，即
，点M 的横坐标为
，
点
，
，过点
与直线垂直的直线为
，
因此
，
，
，
，
所以点
的轨迹方程为
，
.
39
