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专题02 复数、不等式及其性质
复数的运算
一、单选题
1．（2024·山西晋城·二模）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求，再根据复数的模长公式运算求解.
【详解】因为
，则
，
所以
.
故选：A.
2．（2024·新疆喀什·二模）已知复数满足
，则复数的共轭复数的模
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数四则运算法则和共轭复数的定义求解即可.
【详解】
，
所以
，所以
.
1
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故选：B.
3．（2024·浙江台州·二模）在复平面内，复数
（为虚数单位），则（ ）
A．的实部为2
B．
C．
D．对应的点位于第一象限
【答案】B
【分析】根据除法化简复数，根据实部、模、共轭复数、复数对应点逐项判断即可.
【详解】
，
故实部为1，
，
，对应的点位于第四象限
故选：B
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】C
【分析】由复数乘法以及模的计算公式即可求解.
【详解】由题意
.
故选：C.
5．（2024·河北邯郸·二模）已知复数满足
，则
（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】设
，根据条件得到
，再利用模长的计算公式，即可求出结果.
【详解】令
，则
，所以
，解得
，
所以
，故
，
故选：D.
2
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6．（2024·山西吕梁·二模）已知
（是虚数单位），则复数的共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由复数的四则运算求出复数，再由共轭复数的定义求
.
【详解】已知
，由题意得
，
所以
.
故选：B.
7．（2024·山西·二模）已知为虚数单位，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算及复数相等计算得解.
【详解】依题意，
，而
，则
，
所以
.
故选：C
8．（2024·山东·二模）若
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．5
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算得到，再计算
即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
.
故选：D.
9．（2024·广西·二模）
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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【答案】B
【分析】利用复数的乘法化简复数
，再利用共轭复数的定义可得出结果.
【详解】因为
，故复数
的共轭复数为
.
故选：B.
10．（2024·浙江宁波·二模）复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据复数除法运算和模进行求解.
【详解】由
，可得
，
所以
.
故选：B
二、多选题
11．（2024·辽宁·二模）已知复数
均不为0，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】AD
【分析】设
，
，结合复数的运算、共轭复数的定义及复数的模的计算公式逐一
判断即可.
【详解】设
，
，其中
，且复数
均不为0，
则选项A：由
可得
，
所以
，即
，A 说法正确；
4
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选项B：
，所以
，
又因为
，
当
，即
时，可得
，
两边平方整理得
，所以
不一定成立，C 说法错误；
选项C：
，所以
，
又
，
当
时可得
，所以
不一定成立，C 说法错误；
选项D：若
，则
，
所以
，D 说法正确；
故选：AD
12．（2024·广东韶关·二模）已知复数
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
是非零复数，且
，则
D．若
是非零复数，则
【答案】BC
【分析】对于A 项，可以举反例说明；对于B 项，可以设
，则
，代入等式两边
验证即可判定；对于C 项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D 项，可通过举反例
对
结论进行否定.
【详解】对于A 项，若
，
，显然满足
，但
，故A 项错误；
5
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对于B 项，设
，则
，
，故
而
，故B 项正确；
对于C 项，由
可得：
，因
是非零复数，故
，即
，
故C 项正确；
对于D 项，当
时，
是非零复数，但
，故D 项错误.
故选：BC.
13．（2024·广东梅州·二模）设
，
是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的模长的运算性质即可求解ACD，举反例即可判断B.
【详解】对于A，
，则
，解得
，即
，故A 正确；
对于B，
，
，满足
，但
，故B 错误；
对于C，
，
，故C 正确；
对于D，
，则
，即
，即
，故D 正确．
故选：ACD．
14．（2024·辽宁沈阳·二模）设方程
在复数范围内的两根分别为
，则下列关于
的说法正确的有（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】求解可得
，再逐个选项判断即可.
【详解】对A，由实系数一元二次方程求根公式知
，
则
（与
顺序无关），故A 正确；
对B，因为
，所以
，故B 正确；
对C，由A，
，故C 错误；
对D，由韦达定理可得
，故D 正确．
故选：ABD
15．（2024·浙江杭州·二模）已知关于
的方程
的两根为
和
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】求出方程的两根，即可判断A，利用韦达定理判断B，计算出两根的模，即可判断C，利
用复数代数形式的除法运算及B 项的结论化简
，即可判断D.
【详解】关于
的方程
，
则
，
，
7
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不妨设
，
，
，故A 正确；
由韦达定理可得
，故B 正确；
，故C 正确；
，
，
则
，当
时，
，此时
，故D 错误．
故选：ABC．
三、填空题
16．（2024·山东聊城·二模）已知
，且
，则
．
【答案】1
【分析】根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于a 的方程，解之即可.
【详解】
，
所以
，解得
.
故答案为：1
复数的几何意义
一、单选题
1．（2024·安徽黄山·二模）已知复数
，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
8
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A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数乘法运算求出复数z，再结合复数的意义求解作答.
【详解】
，复数在复平面内对应的点为
，
所以数在复平面内对应的点位于第三象限，
故选：C.
2．（2024·全国·二模）若复数满足
，为虚数单位，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】由已知条件，结合复数的运算法则可得
，从而可求出共轭复数，进而可选出正确
答案.
【详解】因为
，所以
，
所以的共轭复数
，对应的点坐标为
位于第四象限.
故选：D
3．（2024·湖北·二模）已知复平面内坐标原点为
，复数对应点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】由复数的除法运算易求出
，再根据复数的几何意义即可得
.
【详解】由
可得
；
所以可得
，即
；
9
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即
.
故选：C
4．（2024·湖南·二模）关于复数与其共轭复数
，下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内，表示复数和
的点关于虚轴对称
B．
C．
必为实数，
必为纯虚数
D．若复数为实系数一元二次方程
的一根，则
也必是该方程的根
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义可判断A 正确，
时可排除BC，易知当一元二次方程
有两实根时正确，若
可得方程两根互为共轭复数，即D 正确.
【详解】对于选项A，表示复数和
的点关于实轴对称，故A 错误：
对于选项B 和选项C，当
时均不成立，故BC 错误；
对于选项D，若方程
的
可得为实数，即
，符合题意；
若
，则方程
的两个复数根为
和
，
此时两根互为共轭复数，因此D 正确.
故选：D
5．（2024·新疆塔城·二模）若复数z 满足
，则在复平面内与复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出复数，再求出复数的共轭复数
，最后根据复数的几何意义
可得答案.
【详解】由
得
，
所以
，
10
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所以复数
对应点的坐标为
，其位于第一象限.
故选：A.
6．（2024·黑龙江·二模）已知
，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的运算求出再判断.
【详解】
，
所以在复平面内的对应点为
，在第四象限.
故选：D
二、多选题
7．（2024·山西临汾·二模）已知复数
（为虚数单位），在复平面内对应的点为
，
则下列说法正确的是（ ）．
A．若
，则在复平面内对应的点位于第二象限
B．若满足
，则
的虚部为1
C．若是方程
的根，则
D．若满足
，则
的最大值为
【答案】AC
【分析】根据复数的几何意义判断A、D，利用复数代数形式的除法化简复数，从而得到
，再判
断其虚部，即可判断B，求出方程的解，即可判断C.
【详解】对于A：
在复平面内对应的点为
，位于第二象限，故A 正确；
对于B：因为
，所以
，则
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所以
的虚部为
，故B 错误；
对于C：方程
的根为
，故C 正确；
对于D：设
，若满足
，即
，
所以
，即
，
则点
在以
为圆心，2 为半径的圆上，
又圆心到坐标原点的距离为
，所以
的最大值为
，故D 错误．
故选：AC．
8．（2024·河南郑州·二模）在复平面内，复数
对应的点为A，复数
对应的点
为
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．向量
对应的复数是1
D．
【答案】AD
【分析】根据复数的模、复数的几何意义逐一分析即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
，A 正确；
，B 错误；
由上可得
，对应复数为
，C 错误；
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，
，D 正确.
故选：AD
9．（2024·贵州毕节·二模）若复数满足
，
，则（ ）
A．在复平面内，对应的向量与对应的向量所成角的正切值为2
B．在复平面内，对应的点
在第四象限
C．的虚部为2
D．的实部为
【答案】CD
【分析】
设
，
、
，结合题意计算即可得，结合复数的概念与几何意义逐项判断即可得.
【详解】设
，
、
，
由
，即有
，即
，
由
，即有
，即
，即
，
对A：设对应的向量与对应的向量所成角为
，
则
，即
，故A 错误；
对B：在复平面内，对应的点
为
，在第二象限，故B 错误；
对C、D：的虚部为2，实部为
，故C、D 正确.
故选：CD.
三、填空题
10．（2024·浙江·二模）已知复数
与
在复平面内用向量
和
表示（其中是虚数单位，
为坐标原点），则
与
夹角为 .
【答案】45°（或
）
【分析】根据复数的几何意义、向量夹角公式运算得解.
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【详解】根据题意，
，
，
，又
，
所以向量
与
的夹角为
.
故答案为：
（或
）.
不等式的性质
一、单选题
1．（2024·浙江台州·二模）已知x，y 为正实数，则可成为“
”的充要条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作差法可判断A；构造函数
、
，利用导数研究其单调性，并结
合充分、必要性的定义可判断BD；特值法可判断C.
【详解】对于A，已知x，y 为正实数，若
，
，
则
，故A 错误；
对于B，由
可得：
，
令
，
，令
，解得：
，
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则
在
上单调递减，
若
，则
，故B 错误；
对于C，已知x，y 为正实数，若
，取
，
则
，故C 错误；
对于D，由
，则
，
令
，则
，
即
在定义域上递增，故
，
反之
也有
成立，满足要求，故D 正确.
故选：D.
二、多选题
2．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c 满足
，且
，则下列结论中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.
【详解】
且
，则
，
，
则
，A 正确；
因为
，
，所以
，B 错误；
因为
，
，
，
当
时，
，则
；当
时，
，则
，当
时，
，则
，故C 错误；
因为
，
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当且仅当
时，等号成立，此时由
可得
，不符合
，
所以
不成立，故
，即
，D 正确.
故选：AD
三、填空题
3．（2024·河北承德·二模）已知等差数列
（公差不为0）和等差数列
的前
项和分别为
，如果关于
的实系数方程
有实数解，则以下1003 个方程
中，有实数解的方程至少有 个.
【答案】
【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到
，想要有实根，则
，结合根的判别式与基本不等式得
，
中至少一个成立，
同理得到
，
中至少一个成立，
，
，
中至少一个成立，且
，
即可解决问题.
【详解】由题意得，
，
又因为
，
，
代入得
，要使方程
有实数解，则
，
显然第
个方程有解，设方程
与方程
的判别式分别为
，
则
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即
，等号成立的条件
，
所以
，
中至少一个成立，
同理可得
，
中至少一个成立，
，
，
中至少一个成立，且
，
综上，在所给的1003 个方程中，有实根的方程最少
个，
故答案为：
.
4．（2024·河北石家庄·二模）若实数
，且
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先得到
，并根据
得到
，从而求出
.
【详解】因为
，故
，
由
得
，解得
，
故
.
故答案为：
5．（2024·湖南邵阳·二模）已知
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】
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根据题意，将原不等式分离参数，然后换元，由函数的单调性可得最值，即可得到结果.
【详解】
原不等式等价于
，
令
.
令
，且
，
则
在
上单调递减，
.
故
的范围是
.
故答案为：
基本不等式
一、单选题
1．（2024·山西吕梁·二模）若函数
，且
的图象所过定点恰好在椭圆
上，则
的最小值为（ ）
A．6
B．12
C．16
D．18
【答案】C
【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到m 与n 的
等量关系，再利用基本不等式即可求解.
18
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【详解】由题意得，函数
，且
的图象所过定点为
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故选：C.
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何
中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术
中项，几何中项的定义与今天大致相同．若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，
，结合基本不等式可得
，化简
可得
，转化为求关于
的二次函数在区间
上的最小值即可.
【详解】不妨设
，
，则
，
，
所以
，当且仅当
时取等号，
即
，当且仅当
时取等号，
所以
，（
）
所以当
时，
取得最小值
，
故选：D．
3．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算
公式是
，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000
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平方米，每平方米收费1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000
B．10480
C．10816
D．10818
【答案】C
【分析】设矩形场地的长为
米，则
，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】设矩形场地的长为
米，则宽为
米，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以平整这块场地所需的最少费用为
元.
故选：C
4．（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量
和
，定义：
，
．若平面向量
满足
，且
和
都在集合
中，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．1 或
【答案】D
【分析】根据
，得到
，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到
，
，再结合条件，即可求出结果.
【详解】因为
，
设向量
和
的夹角为
，因为
，所以
，
20
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得到
，
又
，所以
，
又
在集合
中，所以
，即
，得到
，
又因为
，所以
或，
所以
或
，
故选：D.
5．（2024·黑龙江·二模）已知实数
，
且
，则
取得最大值时，
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】
，
又
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，或
取等号，
所以
或
.
故选：D
6．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数
满足
，则
的最小值是（ ）
21
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A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据题意可得
，利用基本不等式求解.
【详解】由
可得
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为
.
故选：A.
7．（2024·新疆喀什·二模）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分
布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生
活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲
线可用函数
（其中
为非零常数，
）来表示，当
取到最小值为
2 时，下列说法正确的是（ ）
A．此时
B．此时
的最小值为2
C．此时
的最小值为2
D．此时
的最小值为0
【答案】B
【分析】根据给定条件，判断
，再利用基本不等式逐项判断即得.
【详解】函数
，
为非零常数，
，由
取到最小值为2，得
，
对于A，
，则
，当且仅当
，
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即
时取等号，此时
，
，A 错误；
对于B，
，当且仅当
取等号，B 正确；
对于C，
，当且仅当
取等号，C 错误；
对于D，
，当且仅当
取等号，D 错误.
故选：B
8．（2024·浙江台州·二模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.若
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据题意，由余弦定理代入化简，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由余弦定理可知，
，
由
可得
，
化简可得
，
所以
，即
，
即
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
故选：C
9．（2024·安徽·二模）已知
的内角A，
，
对边分别为
，
，，满足
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，若
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理得
，然后根据余弦定理求出
，再利用重要不等式求
出
即可
【详解】由
，
由正弦定理得
，
又
，且
，
所以
，故
，
又
，所以
，
由
，即
，得
，
面积的最大值为
，
故选：C．
10．（2024·江苏南通·二模）设
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为
，所以
，
因为
，
，所以
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.
当且仅当
，即
时取等.
故选：C.
11．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】易知
，则
，
当且仅当
，即
时取得等号.
故选：B
12．（2024·湖南岳阳·二模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数性质得出
，
，
，然后利用作差法比较
与的大小关系即可.
【详解】因为
，所以
，即
，所以
，即
；
因为
，所以
，即
，所以
，即
；
因为
，所以
，即
，所以
，即
；
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又因为
，
且
，
所以
，所以
，所以
；
综上所述，
.
故选：A.
二、多选题
13．（2024·浙江·二模）已知正实数
，
，，且
，
，
，为自然数，则满足
恒成立的
，
，可以是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】BC
【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到
，进而得到只需
即可，再依次判断四个选项即可.
【详解】要满足
，只需满足
，
其中正实数
，
，，且
，
，
，为正数，
，
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当且仅当
，即
时，等号成立，
观察各选项，故只需
，故只需
即可，
A 选项，
，
，
时，
，A 错误；
B 选项，
，
，
时，
，B 正确；
C 选项，
，
，
时，
，C 正确；
D 选项，
，
，
时，
，D 错误.
故选：BC.
三、填空题
14．（2024·江西九江·二模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知A，B，C 成等
差数列，
，则
面积的最大值是 ，
.
【答案】
12
【分析】由等差数列性质可得B，结合重要不等式及三角形面积公式即可求得三角形面积的最大值；
运用正弦定理可得
，
，由余弦定理可得
，代入求解即可.
【详解】由题意知，
，
又
，所以
，
又
，
，当且仅当
时取等号，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，当且仅当
时取等号.
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故
面积的最大值为
.
因为
，
，
所以
，
，
所以
，
由余弦定理得
，
所以
.
故答案为：
；
.
15．（2024·宁夏银川·二模）已知
，P 是椭圆
上的任意一点，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】先根据条件得
，再利用基本不等式求最值.
【详解】由已知可得
为椭圆
的焦点，
根据椭圆定义
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
故
的最大值为
.
故答案为：
.
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16．（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱
中，
，则该三棱柱
的体积的最大值为 ．
【答案】6
【分析】根据几何关系，结合基本不等式求底面面积的最大值，即可求解体积的最大值.
【详解】如图，
，
，则
，
由
，则
，当
时，等号成立，
即
的最大值为6，
此时三棱柱的体积最大，最大体积为
.
故答案为：6
17．（2024·浙江·二模）已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为
.
【答案】
【分析】将圆柱的母线长和底面圆半径分别设为
，根据已知和基本不等式求出侧面展开图面积
的最小值.
【详解】设圆柱的母线长和底面圆半径分别设为
，根据已知得
，
由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为
，
当且仅当
时，即
，
时等号成立.
故答案为：
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