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第 10 讲 拓展五：四边形问题 (精讲）
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高频考点一：求四边形中边（或角）....................................1
高频考点二：四边形中面积问题(含最值问题）..........................10
高频考点三：实际问题中的四边形问题.................................19
高频考点一：求四边形中边（或角）
典型例题
例题1．（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）如图，在平面四边形 中，
， ， ， ， ，则 ___________.
例题2．（2023春·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）在 中， 为 的角
平分线上一点，且与 分别位于边 的两侧，若
(1)求 的面积;
(2)若 ，求 的长.例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， ， ，
， ．
(1)求 ；
(2)求 的长．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， 的面积是 的面积的
倍． ， ， ．
(1)求 的大小；
(2)若点 在直线 同侧， ，求 的取值范围．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， ， ，， 的面积为 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的长．
练透核心考点
1．（2023·山东青岛·统考一模）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四
边形 区域建一处湿地公园．已知 ， ， ， ，
千米，则 ______千米．
2．（2023·山东菏泽·统考一模）如图,在平面四边形 中, ,
.(1)试用 表示 的长;
(2)求 的最大值.
3．（2023·全国·高一专题练习）在平面四边形 中， ， ， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道， ， ， ．
(1)求BE的长；
(2)若 ，求五边形ABCDE的周长．
5．（2023春·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）如图所示，在梯形 中， ， ，
， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的长.高频考点二：四边形中面积问题(含最值问题）
典型例题
例题1．（2023·四川成都·成都七中校考二模）如图所示，在圆内接四边形 中， ，
， ， ，则四边形 的面积为_____________．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在已知圆周上有四点 、 、 、 ， ，
， .
(1)求 的长以及四边形 的面积；
(2)设 ， ，求 的值.
例题3．（2023·全国·模拟预测）如图所示， 是半径为 的半圆的圆心， 为右端点，点 是半圆上一个动点，以 向外做一个等边三角形 ，点 与点 在 的异侧，设 .
(1)若 ，求 的长；
(2)求四边形 面积的最大值.
例题4．（2023春·广东广州·高一广州市天河中学校考阶段练习）如图，在△ 中，角 的
对边分别为 ．
（1）求 的大小；
（2）若 为△ 外一点， ，求四边形 面积的最大值．
例题5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面凸四边形 中（凸四边形指没有角度数大于
的四边形）， ， ， ．(1)若 ， ，求 ；
(2)已知 ，记四边形 的面积为 ．
①求 的最大值；
②若对于常数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．（直接写结果，不需要过程）
练透核心考点
1．（2023春·全国·高一专题练习）如图，平面四边形 中， ， ， ，
，则四边形 的面积的最大值为______．
2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）如图，在四边形 中，已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，四边形 的面积为4，求 的值.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四边形 中， ．(1)证明： 为直角三角形；
(2)若 ，求四边形 面积S的最大值．
4．（2023·高一课时练习）在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1， ．
(1)求四边形ABCD面积的最大值；
(2)求对角线AC长的取值范围．
5．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）如图，在 中， ，， 为 外一点， ．
(1)求角 的大小，并判断 的形状；
(2)求四边形 的面积的最大值．
6．（2023·全国·高一专题练习）如图，设 的内角 ､ ､ 的对边分别为 ､ ､ ，
，且 .若点 是 外一点， ， ，则当角D等于多
少度时，四边形 的面积有最大值，并求出最大值.高频考点三：实际问题中的四边形问题
典型例题
例题1．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公
园，准备在道路 的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路 长为4km，四边形的另外两
个顶点 ， 设计在以 为直径的半圆 上. 记 .
(1)为了观赏效果， 需要保证 ，若薰衣草的种植面积不能少于 km2，则 应设计在什
么范围内?
(2)若 ， 求当 为何值时，四边形 的周长最大，并求出此最大值.练透核心考点
1．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中学校考阶段练习）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对
一公园进行改造，已知原公园是直径为 百米的半圆，出入口在圆心 处， 点为一居民小区， 距离
为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段 为一边向圆外作等边三角形 ，使改造之后
的公园成四边形 ，并将 区域建成免费开放的植物园，如图所示．设 ．
(1)当 ，求四边形 的面积；
(2)当 为何值时，线段 最长并求最长值
2．（2023·高一课时练习）抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现，早隔离．某地发现疫情，卫生部门欲
将一块如图所示的四边形区域 沿边界用固定高度的板材围城一个封闭隔离区，经测量，边界 与
的长都是200米， ．
(1)若 ，求BC的长；（结果精确到米）
(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）
