文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题03 不等式
易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）
1．比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0 比较
做商法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b=0
a
b <1(a ，b>0)或
a
b >1(a，b<0)
2．．等式的性质
（1）基本性质
性质
性质内容
对称性
a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a
传递性
a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c
可加性
a>b⇔a+c>b>c
可乘性
a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bc
同向可加性
a>c ，c>d⇒a+c>b+d
同向同正可乘性
a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性
a>b>0 ，n∈N
¿⇒an>bn
类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数
的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0 的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1 的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0 或1 比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法．
易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前
提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，
后者一般是解不等式的理论基础．
例 ．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式1．已知
，则下列关系式正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
且
，则
D．若
，则
变式2．对于实数
，
，，下列结论中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，则
变式3．已知
均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若
，则
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
1．已知实数
，
，，若
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若
，则下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若
、
、
，且
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．若
，
，则
D．若
，
，则
7．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知
，
，
：
，
：
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．下列四个选项能推出
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知实数a，b 满足
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解
集问题）
解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出
错；③结果未按要求写成集合．
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
具体模型解题方案：
1、已知关于x 的不等式ax 2+bx +c>0 的解集为(m ，n)（其中mn >0 ），解关于x 的不等式
cx 2+bx +a>0．
由ax 2+bx +c>0的解集为(m ，n)，得:a( 1
x )2+b 1
x +c>0的解集为( 1
n ，1
m )，即关于x 的不等式
cx 2+bx +a>0的解集为( 1
n ，1
m )．
已知关于x 的不等式ax 2+bx +c>0的解集为(m ，n)，解关于x 的不等式cx 2+bx +a≤0．
由ax 2+bx +c>0的解集为(m ，n)，得:a( 1
x )2+b 1
x +c≤0的解集为(−∞，1
n ]∪[ 1
m ，+∞)即关于x 的不
等式cx 2+bx +a≤0的解集为(−∞，1
n ]∪[ 1
m ，+∞)．
2、已知关于x 的不等式ax 2+bx +c>0 的解集为(m ，n)（其中n>m>0 ），解关于x 的不等式
cx 2−bx +a>0．
由ax 2+bx +c>0的解集为(m ，n)，得:a( 1
x )2−b 1
x +c>0的解集为(−1
m ，−1
n )即关于x 的不等式
cx 2−bx +a>0的解集为(−1
m ，−1
n )．
3．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c>0 的解集为(m ，n)，解关于x 的不等式cx 2−bx +a≤0．
由ax 2+bx +c>0的解集为(m ，n)，得:a( 1
x )2−b 1
x +c≤0的解集为(−∞，−1
m ]∪[−1
n ，+∞)即关于x 的
不等式cx 2−bx +a≤0的解集为(−∞，−1
m ]∪[−1
n ，+∞)，以此类推．
4、已知关于x
的一元二次不等式ax 2+bx +c>0 的解集为R
，则一定满足{a>0¿¿¿¿；
5、已知关于x
的一元二次不等式ax 2+bx +c>0 的解集为φ ，则一定满足{a<0¿¿¿¿；
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
6、已知关于x
的一元二次不等式ax 2+bx +c<0 的解集为R
，则一定满足{a<0¿¿¿¿；
7、已知关于x
的一元二次不等式ax 2+bx +c<0 的解集为φ ，则一定满足{a>0¿¿¿¿．
易错提醒：一元二次不等式
一元二次不等式
，其中
，
是方程
的
两个根，且
（1）当
时，二次函数图象开口向上．
（2）①若
，解集为
．
②若
，解集为
．③若
，解集为
．
(2) 当
时，二次函数图象开口向下．
①若
，解集为
②若
，解集为
。
例 ．若对于任意实数x，不等式
恒成立，则实数a 可能是（ ）
A．
B．0
C．
D．1
变式1．已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
变式2．已知命题
：关于
的不等式
的解集为R，那么命题
的一个必要不充分条件是
（ ）
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
变式3．下列叙述不正确的是（ ）
A．
的解是
B．“
”是“
”的充要条件
C．已知
，则“
”是“
”的必要不充分条件
D．函数
的最小值是
1．已知
的解集是
，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式
的解集是
B．
的最小值是
C．若
有解，则m 的取值范围是
或
D．当
时，
，
的值域是
，则
的取值范围是
2．已知集合
，或
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
D．
4．已知函数
，若不等式
在
上恒成立，则满足要求的有序数对
有
（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无数个
5．设集合
，
，且
，则
（ ）
A．6
B．4
C．
D．
6．若两个正实数x，y 满足
，且不等式
有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
7．“不等式
恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知当
时，不等式：
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知集合
中恰有两个元素，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若不等式
的解集是
，函数
的对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题）
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
(当且仅当“
”时取“ ”).
特例：
（
同号）.
（3）其他变形：
①
(沟通两和
与两平方和
的不等关系式)
②
(沟通两积
与两平方和
的不等关系式)
③
(沟通两积
与两和
的不等关系式)
④重要不等式串：
即
调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知
.
（1）如果
(定值)，则
(当且仅当“
”时取“=”).即“和为定值，积有
最大值”.
（2）如果
(定值)，则
(当且仅当“
”时取“=”).即积为定值，和有最小
值”.
3.常见求最值模型
模型一：mx + n
x ≥2√mn (m>0,n>0)，当且仅当x=√
n
m 时等号成立；
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
模型二：mx +
n
x−a=m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn +ma (m>0,n>0)，当且仅当x−a=√
n
m 时等号成立；
模型三：
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当x=√
c
a
时等号成立；
模型四：
，当且仅当
时等号
成立.
易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲
突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初
始范围.
注意：形如
(
0)
a
y
x
a
x
的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的
单调性求解．
2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面
的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满
足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加
上一个数，“1”的代换法等.
例 ．函数
（
且
）的图象恒过定点
，若
且
，
，则
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．
D．
变式1．已知
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．
D．
变式2．已知命题p：在
中，若
，则
；q：若
，则
，则下列命
题为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．设
，
，
，则
有（ ）
A．最小值3
B．最大值3
C．最小值
D．最大值
1．已知
，点
在线段
上（不包括端点），向量
，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知正数
，
满足
，则（ ）
A．
的最小值为3
B．
的最小值为
C．
的最小值为3
D．
的最大值为
3．已知
，若
，则（ ）
A．
B．
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
的最小值为8
D．
的最大值为
4．任取多组正数
，通过大量计算得出结论：
，当且仅当
时，等号成立．若
，根据上述结论判断
的值可能是（ ）
A．
B．
C．5
D．3
5．已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小值为16
B．
的最小值为9
C．
的最大值为1
D．
的最小值为
6．已知正数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设正实数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为6
B．
的最大值为
C．
的最小值为2
D．
的最小值为
8．已知
，
，且
，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若实数
，
，满足
，以下选项中正确的有（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为5
D．
的最小值为
10．已知
，且
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
的最大值为
D．
13
