圆锥曲线的三定义和垂径定理
高考定位 1.了解圆锥曲线第二、第三定义,并会应用圆锥曲线的三定义解题; 2.了解圆锥曲线的
垂径定理并能应用.
【母题突破】
类型一 圆锥曲线的第二、第三定义
母题1 (1)(人教A 版选修一P115T8)点M 与定点F(2,0)的距离和它到直线x＝8 的距离的比为
1∶2,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
(2)(人教A 版选修一P127T10)设动点M 与定点F(c,0)(c>0)的距离和M 到定直线l:x＝a
2
c 的距离的
比是c
a(a<c),
求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
解 (1)设点M(x,y)满足题意,
则√( x−2)
2＋y
2
|x −8|
＝1
2,
即2√( x −2)
2＋y
2＝|x－8|,
两边平方得,4(x－2)2＋4y2＝(x－8)2,
化简得点M 的轨迹方程为x
2
16 ＋y
2
12＝1,
所以点M 的轨迹方程为x
2
16 ＋y
2
12＝1,点M 的轨迹是椭圆.
(2)设点M(x,y)满足题意,
则
√( x−c)
2＋y
2
|x−a
2
c|
＝c
a,
整理得x
2
a
2 －
y
2
c
2−a
2＝1(a>0,c>0),
令b2＝c2－a2,
则上式变为x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0),
所以所求的点M 的轨迹方程为x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1,
其中b2＝c2－a2,轨迹的形状为双曲线.
拓展 圆锥曲线的第二定义
平面内任意一点P(x,y)到点F(c,0)(圆锥曲线的焦点)的距离与到直线x＝a
2
c (圆锥曲线的准线)的距
离之比为e＝c
a(圆锥曲线的离心率),那么
(1)当0<e<1 时,点P(x,y)的轨迹为椭圆;
(2)当e>1 时,点P(x,y)的轨迹为双曲线;
(3)当e＝1 时,点P(x,y)的轨迹为抛物线.
母题2 (1)(人教A 版选修一P108 例3)如图,设A,B 两点的坐标分别为(－5,0),(5,0).直线AM,BM
相交于点M,且它们的斜率之积是－4
9,求点M 的轨迹方程.
(2)(人教A 版选修一P121 探究)如图,点A,B 的坐标分别是(－5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M,
且它们的斜率之积是4
9,试求点M 的轨迹方程.
解 (1)设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(－5,0),
所以直线AM 的斜率kAM＝
y
x＋5(x≠－5),
同理,直线BM 的斜率kBM＝
y
x−5(x≠5).
由已知得
y
x＋5 ×
y
x−5＝－4
9(x≠±5),
化简得点M 的轨迹方程为
x
2
25 ＋y
2
100
9
＝1(x≠±5).
所以点M 的轨迹是除去(－5,0),(5,0)两点的椭圆.
(2)如(1)的解法可得点M 的轨迹方程为
x
2
25 －y
2
100
9
＝1(x≠±5),
即点M 的轨迹是除去(－5,0),(5,0)两点的双曲线.
拓展 椭圆与双曲线的第三定义
平面内的动点与两定点A(－a,0),B(a,0)(或A(0,－a),B(0,a))连线的斜率乘积等于常数e2－1 的点
的轨迹是椭圆或双曲线,其中两个定点分别是椭圆或双曲线的顶点.
当0<e<1 时,轨迹是除去两个定点A,B 的椭圆;
当e>1 时,轨迹是除去两个定点A,B 的双曲线.
真题1 (2022·全国甲卷)椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q 均在C 上,且关于y 轴对称.
若直线AP,AQ 的斜率之积为1
4,则C 的离心率为( )
A.√3
2
B.√2
2
C.1
2
D.1
3
答案 A
解析 法一 设P(m,n)(n≠0),
则Q(－m,n),易知A(－a,0),
所以kAP·kAQ＝
n
m＋a·
n
−m＋a
＝
n
2
a
2−m
2 ＝1
4(*).
因为点P 在椭圆C 上,
所以m
2
a
2 ＋n
2
b
2＝1,得n2＝b
2
a
2(a2－m2),
代入(*)式,得b
2
a
2 ＝1
4 ,
所以e＝c
a ＝√
1−b
2
a
2 ＝√3
2 .故选A.
法二 根据椭圆的对称性,设椭圆C 的右顶点为B,则直线BP 与AQ 关于y 轴对称,
所以kBP＝－kAQ,
所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－1
4 ,
又kAP·kBP＝e2－1,所以e＝√3
2 .
样题1 (2025·南京质检)已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为M,N,P 为C 上异
于M,N 的一点,若直线PM,PN 的斜率之积为1
3,且C 的焦距为4√6,则双曲线C 的实轴长为( )
A.6√2
B.4√3
C.2√6
D.3√2
答案 A
解析 由第三定义可知kPM·kPN＝b
2
a
2 ＝1
3,
即a2＝3b2,
又双曲线C 的焦距为4√6,即c＝2√6,
由{
a
2＝3b
2,
a
2＋b
2＝24 , 得{
a＝3√2,
b＝√6.
故双曲线的实轴长为2a＝6√2.
样题2 已知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的焦点为F1,F2,若点P 在椭圆上,则满足|PO|2＝|PF1|·|PF2|的
P 的个数为( )
A.0
B.2
C.4
D.8
答案 C
解析 设P(x0,y0),则x0
2
a
2 ＋y0
2
b
2 ＝1,
由椭圆的第二定义可知|PF1|＝a＋ex0,
|PF2|＝a－ex0,
所以|PF1|·|PF2|＝a2－e2x0
2,
而|PO|2＝|PF1|·|PF2|,
所以x0
2＋y0
2＝a2－e2x0
2,
即x0
2＋b2(1−x0
2
a
2)＝a2－e2x0
2,而e2＝1－b
2
a
2,
解得x0＝±√2a
2 ,
所以满足条件的P 点有4 个,故选C.
样题3 双曲线x2－y
2
3 ＝1 的右支上一点P,到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2∶1,则点P 的
坐标为 .
答案 (
3
2 ,± √15
2 )
解析 设点P(x0,y0)(x0>0),双曲线的左准线为l1:x＝－1
2,右准线为l2:x＝1
2,则点P 到l1,l2的距离分
别为d1＝x0＋1
2,d2＝x0－1
2,
所以
|P F1|
|P F2| ＝d1
d2
＝
x0＋1
2
x0−1
2
＝2
1,
解得x0＝3
2,
将其代入原方程,得y0＝±√15
2 .
因此,点P 的坐标为(
3
2 ,± √15
2 ).
类型二 圆锥曲线的垂径定理
母题3 (人教A 版P128T13)已知双曲线x2－y
2
2 ＝1,过点P(1,1)的直线l 与双曲线相交于A,B 两点,
P 能否是线段AB 的中点?为什么?
解 P 不能是线段AB 的中点.理由如下:
假设P 为A,B 的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
则{
x1
2−y1
2
2 ＝1①,
x2
2−y2
2
2 ＝1②,
①－②得
y1−y2
x1−x2
· y1＋y2
x1＋x2
＝2.
因为AB 的中点为P(1,1),
则x1＋x2＝2,y1＋y2＝2,
从而k＝
y1−y2
x1−x2
＝2,
故直线l 的方程为y－1＝2(x－1),
即y＝2x－1,由{
x
2−y
2
2 ＝1,
y ＝2 x−1,
得2x2－4x＋3＝0,
Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0,
故不存在满足条件的直线.
真题2 (2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l 与椭圆x
2
6 ＋y
2
3 ＝1 在第一象限交于A,B 两点,l 与x 轴、y 轴
分别交于M,N 两点,且|MA|＝|NB|,|MN|＝2√3,则l 的方程为 .
答案 x＋√2y－2√2＝0
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB 的中点为E.
由x1
2
6 ＋y1
2
3 ＝1, x2
2
6 ＋y2
2
3 ＝1,
相减可得
y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 ＝－1
2,
则kOE·kAB＝
y1＋y2
x1＋x2
·
y1−y2
x1−x2
＝y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 ＝－1
2.
设直线l 的方程为y＝kx＋m,k<0,m>0,
M(−m
k ,0),N(0,m),所以E(−m
2k , m
2),
所以kOE＝－k,所以－k·k＝－1
2,
解得k＝－√2
2 ,
因为|MN|＝2√3,
所以√
m
2
k
2 ＋m
2＝2√3,
化为m
2
k
2 ＋m2＝12.
所以3m2＝12,m>0,解得m＝2.
所以直线l 的方程为y＝－√2
2 x＋2,
即x＋√2y－2√2＝0.
规律方法 1.椭圆垂径定理:已知A,B 是椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)上任意两点,且弦AB 不平行于x 轴,
M 是线段AB 中点,椭圆的离心率为e,则有kAB·kOM＝－b
2
a
2＝e2－1.
2.双曲线垂径定理:已知A,B 是双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)上任意两点,且弦AB 不与坐标轴平行,
M 是线段AB 中点,双曲线的离心率为e,则有kAB·kOM＝b
2
a
2＝e2－1.
样题4 (2025·宁波调研)已知斜率为1 的直线与双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)相交于A,B 两点,O
为坐标原点,AB 的中点为P,若直线OP 的斜率为2,则双曲线C 的离心率为 .
答案 √3
解析 法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则{
x1
2
a
2 −y1
2
b
2 ＝1,
x2
2
a
2 −y2
2
b
2 ＝1,
两式相减得x1
2−x2
2
a
2
＝y1
2−y2
2
b
2
,
所以
y1−y2
x1−x2
＝b
2
a
2·
x1＋x2
y1＋y2.
因为x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0,
所以
y1−y2
x1−x2
＝b
2
a
2·
x0
y0,
因为kAB＝
y1−y2
x1−x2
＝1,kOP＝
y0
x0
＝2,
所以b
2
2a
2＝1,故b
2
a
2＝2,
故e＝c
a ＝√
c
2
a
2 ＝√
a
2＋b
2
a
2
＝√
1＋b
2
a
2 ＝√3.
法二 由垂径定理可知b
2
a
2＝kOP·kAB＝2×1＝2,
所以e＝c
a ＝√
1＋b
2
a
2 ＝√3,
即e＝√3.
样题5 已知椭圆E: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线y2＝12x 的焦点重合,过点F 的直线交E
于A,B 两点,若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的方程为 .
答案 x
2
18 ＋y
2
9 ＝1
解析 法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),若AB⊥x 轴,则A,B 关于x 轴对称,不符合题意;
将A,B 的坐标代入椭圆方程得{
x1
2
a
2 ＋y1
2
b
2 ＝1,
x2
2
a
2 ＋y2
2
b
2 ＝1,
两式相减得x1
2−x2
2
a
2
＋y1
2−y2
2
b
2
＝0,
可得
x1＋x2
a
2
＋y1−y2
x1−x2 ·
y1＋y2
b
2
＝0,
因为线段AB 的中点坐标为(1,－1),
所以x1＋x2＝2,y1＋y2＝－2,
因为抛物线y2＝12x 的焦点为(3,0),
所以F(3,0),
又直线AB 过点F(3,0),
因此kAB＝
y1−y2
x1−x2
＝−1−0
1−3 ＝1
2,
所以2
a
2 ＋1
2·−2
b
2 ＝0,
整理得a2＝2b2,又c＝3＝√a
2−b
2,
解得a2＝18,b2＝9,
因此椭圆E 的方程为x
2
18 ＋y
2
9 ＝1.
法二 如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),
若AB⊥x 轴,则A,B 关于x 轴对称,不符合题意;
因为抛物线y2＝12x 的焦点(3,0),所以F(3,0),所以c＝3,
设线段AB 的中点坐标为M(1,－1),
由kOMkAB＝－b
2
a
2,得kOMkFM＝－b
2
a
2,
得－1×0−(−1)
3−1
＝－b
2
a
2,得b
2
a
2 ＝1
2,
又因为a2＝b2＋9,
解得a2＝18,b2＝9,
因此椭圆E 的方程为x
2
18 ＋y
2
9 ＝1.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·葫芦岛模拟)已知椭圆G: x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,A,B 为G 的短轴端点,P 为G 上异于A,B 的一点,则直
线AP,BP 的斜率之积为( )
A.3
4
B.4
3
C.－3
4
D.－4
3
答案 C
解析 根据椭圆的第三定义可知,kAP·kBP＝－b
2
a
2＝－3
4.故选C.
2.(2025·成都诊断)黄金分割比ω＝√5−1
2
≈0.618 被誉为“人间最精巧的比例”.离心率e＝√5−1
2
的
椭圆被称为“优美椭圆”.已知一“优美椭圆” x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,椭圆
上有一动点P(异于椭圆的左、右顶点),设直线PA,PB 的斜率分别为k1,k2,则k1k2＝( )
A.−1−√5
2
B.1＋√5
2
C.√5−1
2
D.1−√5
2
答案 D
解析 根据椭圆的第三定义可得,k1k2＝－b
2
a
2＝e2－1＝(
√5−1
2 )
2
－1＝1−√5
2
.
3.设直线y＝kx 与双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)相交于A,B 两点,P 为C 上不同于A,B 的一点,直
线PA,PB 的斜率分别为k1,k2,若C 的离心率为√2,则k1·k2等于( )
A.3
B.1
C.2
D.√3
答案 B
解析 由题意可知点A,B 关于原点对称,根据双曲线的第三定义可知k1·k2＝e2－1,
又由e＝√2,则k1·k2＝1.
4.椭圆C: x
2
6 ＋y
2
2 ＝1 的左、右焦点分别为F1,F2,P 为C 上一点,且P 在第一象限,PF1⊥PF2,则点P
的横坐标为( )
A.√3
B.1
C.√2
D.√5
答案 A
解析 设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),
根据椭圆的第二定义,|PF1|＝c
a|x0＋a
2
c |
＝a＋ex0＝√6＋√6
3 x0.
同理,|PF2|＝√6－√6
3 x0.
由PF1⊥PF2可得|PF1|2＋|PF2|2
＝12＋4
3 x0
2＝|F1F2|2＝16,
解得x0＝√3,故P 点横坐标为√3.
5.(2025·丽水模拟)已知椭圆x
2
4 ＋y
2
b
2 ＝1(0<b<2)的左顶点和右焦点分别为A,F,点B,C 为椭圆上关
于原点O 对称的两点,且kABkAC＝－1
2,kFBkFC＝－1,则△BFC 的面积为( )
A.√2
B.2
C.2√2
D.4
答案 B
解析 由题可知A(－2,0),
设B(x0,y0),则C(－x0,－y0),
由椭圆的第三定义知kABkAC＝－b
2
a
2＝－b
2
4 ＝－1
2,
即b2＝2,c2＝4－b2＝2,则F(√2,0),
所以kFBkFC＝
y0
x0−√2·
−y0
−x0−√2 ＝
y0
2
x0
2−2＝－1,
即x0
2＋y0
2＝2,与x0
2
4 ＋y0
2
2 ＝1 联立得|y0|＝√2.
法一 S△FBC＝S△FCO＋S△FBO
＝1
2|FO|×(|－y0|＋|y0|)＝√2×√2＝2.
法二 由|y0|＝√2,
得x0＝0,B,C 为椭圆短轴的两个端点,
故S△FBC＝1
2×2b×c＝2.
二、多选题
6.(2025·烟台质检)有这样一句诗歌:世界上最远的距离,不是树枝无法相依,而是相互瞭望的星星,却
没有交汇的轨迹;世界上最远的距离,不是星星之间的轨迹,而是纵然轨迹交汇,却在转瞬间无处寻
觅.已知点F(1,0),直线l:x＝4,动点P 与点F 之间的距离是点P 到直线l 的距离的一半.若某直线上
存在这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”,下列结论中正确的是( )
A.点P 的轨迹方程是x
2
3 ＋y
2
4 ＝1
B.直线x－2y＋4＝0 是“最远距离直线”
C.平面上有一点A(－1,√2),则|PA|＋2|PF|的最小值为5
D.点P 到直线x－2y＋6＝0 距离的最大值为2√5
答案 BCD
解析 由题意可知点P 的轨迹是椭圆,
其中c＝1,c
a ＝1
2,
则b＝√a
2−c
2＝√3.
所以点P 的轨迹方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,故A 错误;
由{
x−2 y ＋4＝0,
x
2
4 ＋y
2
3 ＝1, 得x＝－1,
则y＝3
2,所以直线x－2y＋4＝0 上存在P(−1, 3
2),其与点F 之间的距离是其到直线x＝4 的距离的
一半,则直线x－2y＋4＝0 是“最远距离直线”,故B 正确;
由2|PF|＝d 可知,|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d,
当点P 与点A 纵坐标相等且点P 在点A 右侧时,|PA|＋2|PF|取得最小值,为4－(－1)＝5,C 正确;
由B 可知,直线x－2y＋4＝0 与椭圆相切,直线x－2y＋6＝0 与直线x－2y＋4＝0 平行,由椭圆的对
称性易知与直线x－2y＋4＝0 平行的另一条椭圆的切线方程为x－2y－4＝0,故直线x－2y＋6＝0
与直线x－2y－4＝0 之间的距离即所求距离的最大值,为|6＋4|
√1＋4 ＝2√5,故D 正确.
7.已知椭圆x
2
4 ＋y
2
3 ＝1 上一点P 位于第一象限,左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为
A1,A2,∠F1PF2的角平分线与x 轴交于点G,与y 轴交于点H(0,−1
2),则( )
A.四边形HF1PF2的周长为4＋√5
B.直线A1P,A2P 的斜率之积为－3
4
C.|F1G|∶|F2G|＝3∶2
D.四边形HF1PF2的面积为2
答案 ABD
解析 由题意知,长半轴长a＝2,短半轴长b＝√3,半焦距c＝1,∴F1(－1,0),F2(1,0).
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4,
易得|HF1|＝|HF2|＝√
1
2＋(
1
2)
2
＝√5
2 ,
∴四边形HF1PF2的周长为4＋√5,故A 正确;
由椭圆的第三定义知k A1P×k A2 P＝－b
2
a
2＝－3
4 ,故B 正确;
设P(x0,y0),则x0
2
4 ＋y0
2
3 ＝1,0<x0<2,0<y0<√3,
则直线PF1:y＝
y0
x0＋1(x＋1),
即y0x－(x0＋1)y＋y0＝0,
同理可得直线PF2:y0x－(x0－1)y－y0＝0.
∵PH 是∠F1PF2的角平分线,
∴点H 到直线PF1的距离与点H 到直线PF2的距离相等,
∴|
1
2 ( x0＋1)＋y0|
√y0
2＋( x0＋1)
2 ＝|
1
2 ( x0−1)−y0|
√y0
2＋( x0−1)
2
,
易知1
2(x0＋1)＋y0与1
2(x0－1)－y0必一正一负.
√y0
2＋( x0＋1)
2＝√3−3
4 x0
2＋( x0＋1)
2＝1
2(x0＋4),
同理得√y0
2＋( x0−1)
2＝1
2(4－x0),
∴
x0＋1＋2 y0
x0＋4
＝－
x0−1−2 y0
4−x0
,
整理得y0＝3
2,∴x0＝1,
∴四边形HF1PF2的面积为1
2×|F1F2|×(
1
2 ＋y0)＝2,故D 正确;
kPH＝
3
2 −(−1
2)
1−0
＝2,直线PH:y＋1
2＝2x,
即y＝2x－1
2,令y＝0,得x＝1
4 ,故G(
1
4 ,0),∴|F1G|＝1
4－(－1)＝5
4 ,|F2G|＝1－1
4 ＝3
4,∴|F1G|∶|
F2G|＝5∶3,故C 错误.
三、填空题
8.双曲线x2－y
2
3 ＝1 的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线上的一点P 满足|PF1|＝5,则△PF1F2的面积
为 .
答案 6 或4√6
解析 由题意,a＝1,b＝√3,c＝2,e＝2,
设P(x0,y0),则|PF1|＝|2x0＋1|＝5,
解得x0＝2 或－3,
当x0＝2 时,代入双曲线方程可求得y0＝±3,所以S△P F1 F2＝1
2·|F1F2|·|y0|＝6;
当x0＝－3 时,代入双曲线方程可求得y0＝±2√6,所以S△P F1 F2＝1
2·|F1F2|·|y0|＝4√6.
9.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1
(a>b>0),C 的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为1
2.过F1且垂直于AF2的直线与C 交于D,E 两
点,|DE|＝6,则△ADE 的周长是 .
答案 13
解析 因为椭圆的离心率为e＝c
a ＝1
2,
所以a＝2c,所以b2＝a2－c2＝3c2,
则椭圆的方程为x
2
4 c
2 ＋y
2
3c
2＝1,
在Rt△AOF2中,|AF2|＝a,|OF2|＝c,a＝2c,
所以∠AF2O＝π
3 ,所以△AF1F2为正三角形,
过F1且垂直于AF2的直线与C 交于D,E 两点,DE 为线段AF2的垂直平分线,所以直线DE 的斜率为
√3
3 .
设直线DE 的方程为y＝√3
3 (x＋c),D(x1,y1),E(x2,y2),直线DE 的方程与椭圆C 的方程联立得13x2＋
8cx－32c2＝0,
则x1＋x2＝－8c
13 ,
所以|DE|＝|DF1|＋|EF1|＝2a＋e(x1＋x2)＝4c＋1
2 ×(−8c
13)＝6,所以c＝13
8 ,周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|
DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝8c＝13.
10.(2025·武汉质检)已知椭圆x
2
4 ＋y
2
3 ＝1 内有一点P(1,－1),F 是椭圆的右焦点,点M 在椭圆上,则|
MP|＋2|MF|的最小值是 ,此时点M 的坐标为 .
答案 3 (
2√6
3
,−1)
解析 由椭圆的方程,可知a＝2,b＝√3,c＝1,所以e＝1
2,右准线l:x＝a
2
c ＝4.
如图,设M 在右准线l:x＝4 上的射影为M1,
根据椭圆的第二定义,有e＝| MF |
|M M 1| ＝1
2,即2|MF|＝|MM1|,
所以|MP|＋2|MF|＝|MP|＋|MM1|.
显然,当P,M,M1三点共线时,|MP|＋|MM1|有最小值,即(|MP|＋2|MF|)min＝a
2
c －xP＝4－1＝3.
此时yM＝yP＝－1,将yM＝－1 代入椭圆的方程得xM＝2√6
3 或xM＝－2√6
3 (舍去),
所以M(
2√6
3
,−1)
