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专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：构造法...................................................2
题型二：倒数法...................................................3
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练............................5
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如an+1=ka n+ p （k , p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
an+1+m=k(an+m)（其中：m=
p
k−1 ），由此构造出新的等比数列{an+m}，先求出{an+m}的通项，从而
求出数列{an}的通项公式.
标准模型：an+1=ka n+ p （k , p为常数，kp≠0）或
（k , p为常数，kp≠0）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如an+1=qa n+ p⋅qn+1(n∈N
¿)，可通过两边同除qn+1，将它转化为
an+1
qn+1= an
qn + p，从而构造数列
{
an
qn}为等差数列，先求出{
an
qn}的通项，便可求得{an}的通项公式.
（2）形如
，可通过两边同除qn+1，将它转化为
，换元令：
，则原式化为：
，先利用构造法类型1 求出
，再求出{an}的通项公式.
（3）形如an−an+1=ka n+1an(k≠0)的数列，可通过两边同除以an+1an，变形为
1
an+1
−1
an
=−k 的形式，从而
1
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构造出新的等差数列{
1
an}，先求出{
1
an}的通项，便可求得{an}的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如an+1=
qa n
pa n+q （p,q为常数，pq≠0）的数列，通过两边取“倒”，变形为
1
an+1
= 1
an
+ p
q ，即：1
an+1
−1
an
= p
q ，从而构造出新的等差数列{
1
an}，先求出{
1
an}的通项，即可求得an
.
类型2：形如
（
p,q
为常数，
，
，
）的数列，通过两边取“倒”，
变形为
，可通过换元：
，化简为：
（此类型符构造法类型1： 用
“待定系数法”构造等比数列：形如an+1=ka n+ p （k , p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数
法”将原等式变形为an+1+m=k(an+m)（其中：m=
p
k−1 ），由此构造出新的等比数列{an+m}，先求出
{an+m}的通项，从而求出数列{an}的通项公式.）
二、典型题型
题型一：构造法
例题1．（2023 秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知正项数列
中，
，则数列
的通项
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（多选）（2023 秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．数列
为等差数列
D．
为等比数列
例题3．（2023 春·山东淄博·高二校考期中）已知
数列满足
，
，则数列
的通
项公式为
2
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例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列
满足
，则数列
的前
项和
为 ．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）在数列
中，
，且
，求
.
例题6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列
的前n 项和为
，
．
(1)求证数列
为等比数列，并求数列
的通项公式
．
例题7．（2023 秋·重庆·高三统考阶段练习）记数列
的前
项和为
，且
.
(1)求证：数列
是等比数列；
例题8．（2023 春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列
满足
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
题型二：倒数法
例题1．（多选）（2023 春·云南玉溪·高二统考期末）已知数列
满足
，则
（ ）
3
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A．
为等比数列
B．
的通项公式为
C．
为单调递减数列
D．
的前n 项和
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
，则
．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式
，且首项
，求数列
的通
项公式．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，求
的通项公式．
例题5．（2023 春·辽宁锦州·高二校考期中）已知数列
的首项
，
，
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
例题6．（2023·全国·高三专题练习）若
，
，
.
(1)求证：
；
4
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例题7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：数列
为等比数列：
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练
一、单选题
1．（2023 春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列
满足
，则
的通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
2．（2023 秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列
满足
，
，则满足
的最小正整数
．
3．（2023·全国·高三对口高考）数列
中，
，
，则
．
4．（2023 春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列
中，
，
，则此数列
的通项公式
.
5．（2023·全国·高二专题练习）数列{an}满足
，
，则数列{an}的通项公式为
.
6．（2023·全国·高二专题练习）设
为数列
的前
项和，已知
，
，则
三、解答题
7．（2023 秋·江苏·高二专题练习）已知数列
满足：
求通项
.
8．（2023 秋·江苏·高二专题练习）已知：
，
时，
，求
的通项公式．
5
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9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
，
.若
，求数列
的
通项公式.
10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列
中，
，求数列
的通项公
式；
．
11．（2023 秋·江苏·高二专题练习）设
是数列
的前n 项和，且
，
．
(1)求
；
12．（2023·浙江·模拟预测）已知数列
的前
项和为
(1)试求数列
的通项公式；
13．（2023 春·海南儋州·高二校考阶段练习）已知数列
的首项，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
，
，
．
6
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(1)求证：数列
是等差数列．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
.求数列
的通项公式；
16．（2023 春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列
中，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
四、双空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，若
，
，则
；若
，
，则
.
7
