2027 年高考数学一轮复习检测卷
高三数学(全国一卷)01
(考试时间:120 分钟;满分:150 分)
注意事项:
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2.回答第I 卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题共58 分)
一、单项选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要
求的。
1.(5 分)(2026·河北秦皇岛·二模)数据91,89,90,92,95,87,93,98,91,86 的第80%分位数
为(
)
A.93
B.93. 5
C.94
D.94. 5
【答案】C
【解题思路】先对该组数据从小到大排列,直接由百分位数的定义即可求解.
【解答过程】该组数据从小到大排列为:86,87,89,90,91,91,92,93,95,98 共有10 个数据,
80% × 10 = 8,所以该组数据的第80%分位数是第8 个数据与第9 个数据的平均数,
即
93+95
2
= 94.
故选:C.
2.(5 分)(2026·广东肇庆·模拟预测)已知向量�Ԧሬ= 1,0 ,�Ԧሬ= 2,3 ,�Ԧሬ= 1, −1 ,若��Ԧሬ+ �Ԧሬ
⊥�Ԧሬ,则�=
(
)
A.−5
B.−1
C.1
D.5
【答案】C
【解题思路】首先求出��Ԧሬ+ �Ԧሬ的坐标,依题意可得��Ԧሬ+ �Ԧሬ
⋅�Ԧሬ= 0,根据向量数量积的坐标运算得到方程,
解得即可;
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【解答过程】因为�Ԧሬ= 1,0 ,�Ԧሬ= 2,3 ,�Ԧሬ= 1, −1 ,
所以��Ԧሬ+ �Ԧሬ= �1,0 + 2,3 = 2 + �, 3 ,
因为��Ԧሬ+ �Ԧሬ
⊥�Ԧሬ,
所以��Ԧሬ+ �Ԧሬ
⋅�Ԧሬ= 1 × 2 + �+ −1 × 3 = �−1 = 0,解得�= 1.
故选:C.
3.(5 分)(2026·四川德阳·一模)已知集合�= �
4
�+3 ≤1 ,集合�= �| �−1 < 5 ,则�∩�=(
)
A.1,6
B.−4, −3 ∪1,6
C.−∞, −3 ∪1,6
D.−∞, 6
【答案】B
【解题思路】先解分式不等式和绝对值不等式求出集合A、B,再由交集定义即可得解.
【解答过程】解不等式
4
�+3 ≤1 ⇔
1−�
�+3 ≤0 ⇔
1 −�
�+ 3 ≤0
�+ 3 ≠0
,解得�<−3 或�≥1,
所以集合�= �
4
�+3 ≤1
= {�|�<−3 或�≥1},
解�−1 < 5 得−5 < �−1 < 5,即−4 < �< 6,
所以集合�= �| �−1 < 5 = �| −4 < �< 6 ,
所以�∩�= −4, −3 ∪[1,6).
故选:B.
4.(5 分)(2026·安徽·模拟预测)函数��= �2�−1 2的图象在点1,1 处的切线方程为(
)
A.�= 5�−4
B.�= 4�−3
C.�= 3�−2
D.�= 2�−1
【答案】A
【解题思路】利用导数求出切线斜率,再结合直线的点斜式方程可得切线方程.
【解答过程】��= �2�−1 2 = �4�2 −4�+ 1 = 4�3 −4�2 + �,则�′ �= 12�2 −8�+ 1,
�′ 1 = 5,所以切线方程为�−1 = 5 �−1 ,化简可得�= 5�−4,
即函数��= �2�−1 2的图象在点1,1 处的切线方程为�= 5�−4.
故选:A.
5.(5 分)(2026·山东青岛·三模)已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的左、右焦点分别为�1、�2,过原点
�的直线�交�于�、�两点.若��1 ⊥��2,��1 = 2 ��1 ,则�的离心率为(
)
A.
3
2
B.
5
3
C.
5
4
D.
15
5
【答案】B
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【解题思路】分析可知四边形��1��2为平行四边形,可得��2 = ��1 ,结合椭圆的定义可得出��1 、��2 ,
再利用勾股定理可得出椭圆�的离心率的值.
【解答过程】如下图所示:
由题意可知,�为��、�1�2的中点,所以四边形��1��2为平行四边形,则��2 = ��1 ,
所以��1 + ��2 = 2 ��1 + ��2 = 3 ��2 = 2�,则��1 = 2 ��2 =
4�
3 ,
因为��1 ⊥��2,由勾股定理可得�1�2 = 2�=
��1
2 + ��2
2 =
4�
3
2
+
2�
3
2
=
2 5�
3 ,
故该椭圆的离心率为�=
�
�=
5
3 .
故选:B.
6.(5 分)(2026·山东青岛·一模)已知函数�(�) = �3 + 2��2 + �2�在�= 1 处取得极小值,则�=(
)
A.−3
B.−1
C.1
D.3
【答案】B
【解题思路】先对函数求导,利用极值点的导数等于0 求出�的可能值,再利用导数分析函数的单调性讨论
求出�.
【解答过程】函数求导得�′(�) = 3�2 + 4��+ �2,
由题意知�′(1) = 3 + 4�+ �2 = 0,
则�+ 1
�+ 3 = 0,解得�=−1 或�=−3,
当�=−1 时,�′(�) = 3�2 −4�+ 1 = 3�−1
�−1 ,
由�′(�) > 0 ⇒�<
1
3或�> 1;由�′(�) < 0 ⇒
1
3 < �< 1.
所以函数��在
1
3 , 1 上单调递减,在1, + ∞上单调递增,
所以函数��在�= 1 处取得极小值.
当�=−3 时,�′(�) = 3�2 −12�+ 9 = 3 �−1
�−3 ,
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由�′(�) > 0 ⇒�< 1 或�> 3;由�′(�) < 0 ⇒1 < �< 3.
所以函数��在−∞, 1 上单调递增,在1,3 上单调递减,
所以函数��在�= 1 处取得极大值.
∴满足条件的是�=−1.
故选:B.
7.(5 分)(2026·山西忻州·模拟预测)某装置按如下规则亮灯:第1 次亮2 盏灯,以后每次亮灯数比前一
次多3 盏.现将每连续两次的亮灯数合并为一组,记第�组亮灯总数为��= �2�−1 + �2��= 1,2, ⋅⋅⋅.若�1, �2, ⋅
⋅⋅为该装置每次亮灯数,则数列��的公差为(
)
A.3
B.6
C.9
D.12
【答案】D
【解题思路】根据等差数列的定义及通项公式求解即可.
【解答过程】由题意,��是首项为2、公差为3 的等差数列,
所以��= 2 + 3 �−1 = 3�−1.
于是��= �2�−1 + �2�= 3 2�−1 −1 + 3 × 2�−1 .
即��= 6�−4 + 6�−1 = 12�−5.
所以�= ��+1 −��= 12 �+ 1 −5 −12�−5 = 12.
故选:D.
8.(5 分)(2026·河北·二模)已知某口袋中装有编号分别为1,2,3,4 的红色小球各一个,编号分别为
1,2,3,4 的白色小球各一个(共8 个小球,除颜色与编号外,其他完全相同),每次从口袋中不放回地任取
一个小球,只要取到相同编号的红色小球和白色小球,就结束取球.记取球次数为X,则X 的数学期望为(
)
A.
128
35
B.
14
5
C.
40
9
D.
15
4
【答案】A
【解题思路】通过分析取球结束时的次数情况,结合不放回抽样的概率计算方法,分别求出各次数对应的概
率,再利用数学期望公式求解.
【解答过程】随机变量�的可能取值为2,3,4,5.
当�= 2 时,前两次取球就取到一对编号相同的红、白球,
第一次任取一球,第二次需取到与它编号相同的另一颜色球:�(�= 2) =
8
8 ×
1
7 =
1
7;
当�= 3 时,前两次未出现同号球,第三次才取到,
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第一次任取一球,第二次不取同号球,
第三次取到与前两次之一同号的另一颜色球:�(�= 3) =
8
8 ×
6
7 ×
2
6 =
2
7;
当�= 4 时,前三次未出现同号球,第四次才取到,
第一次任取一球,后两次均不取已取编号的同号球,
第四次取到与前三次之一同号的另一颜色球:�(�= 4) =
8
8 ×
6
7 ×
4
6 ×
3
5 =
12
35;
当�= 5 时,前四次未出现同号球,
第五次必然取到(前四次取了4 个不同编号的球,剩余球必与前四次某一球同号):
�(�= 5) =
8
8 ×
6
7 ×
4
6 ×
2
5 ×
4
4 =
8
35,
数学期望:�(�) = 2 ×
1
7 + 3 ×
2
7 + 4 ×
12
35 + 5 ×
8
35 =
128
35 .
故选:A.
二、多项选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分。
9.(6 分)(2026·安徽合肥·二模)已知复数�= 1 + i
�−2i (�∈�,i 为虚数单位),则(
)
A.当�= 0 时,�ത=−2 + 2i
B.当�为纯虚数时,�=−2
C.�在复平面内对应的点恒在直线�−�−4 = 0 上
D.当�= 3 时,(�−5)7 = i
【答案】BC
【解题思路】根据共轭复数和纯虚数的定义可判断A,B,求出复数�对应的点可判断C,利用复数的乘法运算
可判断D.
【解答过程】对于A,当�= 0 时,�= 1 + i
−2i = 2 −2i,�ത= 2 + 2i,A 不正确;
对于B,�= 1 + i
�−2i = �+ 2 + �−2 i,当�为纯虚数时,�+ 2 = 0
�−2 ≠0 ,即�=−2,B 正确;
对于C,�= �+ 2 + �−2 i,在复平面内对应的点的坐标为�+ 2, �−2 ,
因为�+ 2 −�−2 −4 = 0,所以C 正确;
对于D,当�= 3 时,�= 5 + i,(�−5)7 = i7 =−i,D 不正确.
故选:BC.
10.(6 分)(2026·河南周口·三模)如图,在该九面体中,六边形������是边长为2 的正六边形,△���,
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△���均为正三角形,且平面���,平面���均垂直于平面������,则下列结论正确的是(
)
A.��//平面������
B.该九面体的体积为8
C.该九面体外接球的表面积为
52π
3
D.二面角�−��−�的正弦值为
2 5
5
【答案】ACD
【解题思路】对于A:作辅助线,可证��⊥平面������,��⊥平面������,则��//��,即可判断;对
于B:建系并标点,求点�到平面����的距离,利用割补法求多面体体积;对于C:分析可知球心�∈��,
设�0,0, �,根据两点间距离公式可得�=
3
3 ,进而可得半径和表面积;对于D:求平面���、平面���的
法向量,利用空间向量求二面角.
【解答过程】对于选项A:取��,��的中点分别为�, �,连接��, ��, ��, ��, ��,
因为△���为等边三角形,则��⊥��,
且平面���⊥平面������,平面���∩平面������= ��,��⊂平面���,
所以��⊥平面������,
同理可得��⊥平面������,则��//��,
且��= ��=
3,可知四边形����为平行四边形,则��//��,
且��⊄平面������,��⊂平面������,所以��//平面������,故A 正确;
对于选项B:取��,��的中点分别为�, �,连接��, ��,
则��//��,可知��⊥平面������,��⊥��,
以�为坐标原点,��, ��, ��分别为�, �, �轴,建立空间直角坐标系,
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则�0, −2,0 ,�
3, −1,0 ,�
3, 1,0 ,�0,2,0 ,�−
3, 1,0 ,�−
3, −1,0 ,�−
3, 0,
3 ,
�
3, 0,
3 ,
可得��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2 3, 0,0 ,��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0, −1,
3 ,��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0,1,
3 ,��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ=
3, 1,0 ,
设平面����的法向量为�1Ԧ
ሬሬሬ= �1, �1, �1 ,则
�1Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2 3�1 = 0
�1Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�1 +
3�1 = 0
,
令�1 =
3,则�1 = 0, �1 = 1,可得�1Ԧ
ሬሬሬ= 0,
3, 1 ;
则点�到平面����的距离�=
�1Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
�1Ԧ
ሬሬሬ
=
3
2 ,
由对称性可知点�到平面����的距离�=
3
2 ,且���−���为正三棱柱,
所以该九面体的体积为2 3 ×
1
2 × 2 ×
3 + 2 ×
1
3 ×
3
2 × 2 × 2 3 = 10,故B 错误;
对于选项C:因为�为正六边形������的中心,��⊥平面������,
可知该九面体外接球的球心�∈��,设�0,0, �,外接球的半径为�,
因为��= ��,则4 + �2 =
3 +
3 −�
2,解得�=
3
3 ,
可得�2 = 4 + �2 =
13
3 ,所以该九面体外接球的表面积为4π�2 =
52π
3 ,故C 正确;
对于选项D:设平面���的法向量为�2Ԧ
ሬሬሬ= �2, �2, �2 ,则�2Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
3�2 + �2 = 0
�2Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= �2 +
3�2 = 0
,
令�2 =−
3,则�2 = �2 = 1,可得�2Ԧ
ሬሬሬ= 1,
3, 1 ;
由题意可知:平面���的法向量为�3Ԧ
ሬሬሬ= 1,0,0 ,
设二面角�−��−�为�∈0,π ,
则cos�= cos �2Ԧ
ሬሬሬ, �3Ԧ
ሬሬሬ
=
�2Ԧ
ሬሬሬ⋅�3Ԧ
ሬሬሬ
�2Ԧ
ሬሬሬ⋅�3Ԧ
ሬሬሬ=
1
5×1 =
5
5 ,
可得sin�=
1 −cos2�=
2 5
5 ,所以二面角�−��−�的正弦值为
2 5
5 ,故D 正确.
故选:ACD.
11.(6 分)(2026·山东东营·模拟预测)已知斜率为�的直线经过抛物线�2 = 4�的焦点�,且与抛物线交于
�, �两点.点�是圆�−�2 + �+ 2 2 = 1(�≥3)上的任意一点,使得△���的重心�在�轴上.线段��
与�轴的交点为�.则下列说法正确的是(
)
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A.�的取值范围为
4
3 , 4
B.三角形���的面积�是斜率�的函数
C.当��⊥��时,�的最大值为6
D.
�△���
�△���的最小值为
4
9
【答案】ACD
【解题思路】利用重心坐标公式结合韦达定理得到�3 =−4�,再利用圆上点的性质得到参数范围判断A,举
反例并结合函数的定义判断B,结合题意得到直线和圆的位置关系,进而得到不等式,求解参数范围判断C,
将
�△���
�△���表示为一元函数,再利用换元法与二次函数的性质求解最值判断D 即可.
【解答过程】结合题意,可设�(�1, �1), �(�2, �2), �(�3, �3),
对于A,设直线��的方程为�= ��+ 1,则�=
1
�,
联立方程组�= ��+ 1
�2 = 4�
,可得�2 −4��−4 = 0,
由韦达定理得�1 + �2 = 4�,�1�2 =−4,
由重心坐标公式得�(
�1+�2+�3
3
,
�1+�2+�3
3
),
因为�在�轴上,所以
�1+�2+�3
3
= 0,解得�1 + �2 + �3 = 0,
则�3 =−(�1 + �2) =−4�,由题意得圆心坐标为�(�, −2),半径为1,
因为点�是圆上的任意一点,所以−4�∈−3, −1 ,解得�∈
1
4 ,
3
4 ,
则�∈
4
3 , 4 ,得到��斜率�的取值范围为
4
3 , 4 ,故A 正确,
对于B,当�= 2 时,此时�=
1
2,此时�3 =−2,直线方程为2�−�−2 = 0,
此时�(�3, −2),将�(�3, −2)代入�−�2 + �+ 2 2 = 1 中,
解得�3 = �+ 1 或�3 = �−1,则�1(�+ 1, −2)或�2(�−1, −2),
设�到��的距离为�,由点到直线的距离公式得�1 =
2�+2
5 ,�2 =
2�−2
5 ,
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而�≥3,则�1 ≠�2,而此时�1 + �2 = 2,�1�2 =−4,
由弦长公式得��= 5,为定值,即得到�1 ≠�2,
可得三角形���的面积�不可能是斜率�的函数,故B 错误,
对于C,由题意得��的斜率为���=
1
�,��的斜率为���=
−4�
�3−1,
因为��⊥��,所以
1
�×
−4�
�3−1 =−1,解得�3 = 5,
此时点�在直线�= 5 上,而点�是圆上的任意一点,
可得直线与圆相交或相切,得到�−5 ≤1,解得�∈4,6 ,
则�的最大值为6,故C 正确,
对于D,由三角形面积公式得
�△���
�△���=
1
2× ��× ��×sin∠���
1
2× ��× ��×sin∠���=
��× ��
��× ��,
由线段共线的性质得
��
��=
�1
�1−�3,
��
��=
�1
�1−�2,
则
�△���
�△���=
��× ��
��× ��=
�1
�1−�3 ×
�1
�1−�2 =
�1
2
�1
2−�1(�2+�3)+�2�3,
由题意得�1�2 =−4,则�2 =−
4
�1,而�3 =−(�1 −
4
�1 ) =−�1 +
4
�1,
可得�2 + �3 = ( −
4
�1 ) + ( −�1 +
4
�1 ) =−�1,�2�3 = ( −
4
�1 ) × ( −�1 +
4
�1 ) = 4 −
16
�1
2,
则
�△���
�△���=
�1
2
�1
2+�1
2+4−16
�1
2
=
�1
2
2�1
2+4−16
�1
2
=
�1
4
2�1
4+4�1
2−16,
令�=
4
�1
2,则�1
2 =
4
�,得到�1
4 =
16
�2,则
�△���
�△���=
1
2+�−�2,
令�(�) =
1
2+�−�2,�(�) = 2 + �−�2,当�=
1
2时,符合题意,
由二次函数性质得,当�=
1
2时,�(�)取得最大值,且�(
1
2 ) =
9
4,
则�(�)max =
9
4,可得�(�)min =
4
9,即
�△���
�△���的最小值为
4
9,故D 正确.
故选:ACD.
第II 卷(非选择题共92 分)
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分。
12.(5 分)(2026·上海黄浦·一模)若直线�1: �+ 2�−1 = 0 与�2: ��−4�+ 5 = 0 平行,则�=__________.
【答案】−2
【解题思路】根据直线平行列方程求解�的值,检验平行即可.
【解答过程】若直线�1: �+ 2�−1 = 0 与�2: ��−4�+ 5 = 0 平行,
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则1 × −4 = 2�,解得�=−2,经检验�=−2 能使得直线�1 ∥�2.
故答案为:−2.
13.(5 分)(2026·甘肃定西·一模)已知函数�=
2sin �−
π
4 在区间0, �上有且仅有3 个零点,则�的取
值范围为__________.
【答案】
9π
4 ,
13π
4
【解题思路】根据2sin �−
π
4 = 0 得�−
π
4 = �π �∈�,即可根据条件列不等式求解.
【解答过程】由已知得2sin �−
π
4 = 0,得�−
π
4 = �π �∈�.
令�=−1 得�=−
3π
4 ;令�= 0 得�=
π
4;令�= 1 得�=
5π
4 ;令�= 2 得�=
9π
4 ;令�= 3 得�=
13π
4 ,
9π
4 ≤�<
13
4 π,即�的取值范围为
9π
4 ,
13π
4
.
故答案为:
9π
4 ,
13π
4
.
14.(5 分)(2026·湖北黄冈·二模)已知数列��的首项为�1,前�项和为��,且��+1 =
��+ 1, �为奇数
2��+ 1, �为偶数
,
若2000 < �16 < 2510,则�1的取值范围为__________.
【答案】(1,2)
【解题思路】利用已知写出奇数、偶数项的通项公式,再应用分组求和及等比数列的前n 项和公式求�16,结
合已知求�1的取值范围.
【解答过程】当�为奇数,则��+2 = 2(��+ 1) + 1 = 2��+ 3,即��+2 + 3 = 2(��+ 3),
所以��+ 3 的奇数项是首项为�1 + 3,公比为2 的等比数列,
则��+ 3 = (�1 + 3) ⋅2
�−1
2 ,即��= (�1 + 3) ⋅2
�−1
2 −3,
当�为偶数,则��+2 = (2��+ 1) + 1 = 2��+ 2,即��+2 + 2 = 2(��+ 2),
所以��+ 2 的偶数项是首项为�2 + 2 = �1 + 3,公比为2 的等比数列,
则��+ 2 = (�1 + 3) ⋅2
�
2,即��= (�1 + 3) ⋅2
�
2 −2,
所以�16 = (�1 + �3 + ⋯+ �15) + (�2 + �4 + ⋯+ �16) =
(�1+3)(1−28)
1−2
−24 +
(�1+3)(1−28)
1−2
−16 = (�1 + 3)(29 −
2) −40,
若2000 < �16 < 2510,则
2040
510 −3 < �1 <
2550
510 −3,即1 < �1 < 2.
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故答案为:(1,2).
四、解答题:本题共5 小题,共77 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.(13 分)(2026·北京·三模)如图,在五面体������中,平面����⊥平面����,底面����是边长
为2 的菱形.��= ��,��= 1,∠���= 60°.
(1)若点�,�分别为棱��和棱��的中点,求证:��//平面���;
(2)若∠���= 90°,求直线��与平面���所成的角.
【答案】(1)证明见解析;
(2)60°
【解题思路】(1)取��的中点�,连接��、��.根据中位线以及菱形的性质得到四边形����是平行四边形,
再根据线面平行的判定定理证明即可.
(2)建立空间直角坐标系,求出平面���的法向量,应用线面角正弦公式求解即可.
【解答过程】(1)证明:因为��= ��,��//��且��=
1
2 ��= 1,所以四边形����是等腰梯形.
取��的中点�,连接��、��.�是��中点,故��//��,��=
1
2 ��= 1;
又�是��中点,菱形����中��//��,��= ��= 2,故��//��,��=
1
2 ��= 1.
因此��//��且��= ��,四边形����是平行四边形,所以��//��.
又��⊂平面���,��⊄平面���,故��//平面���.
(2)由∠���= 90°,菱形����边长为2,故����为正方形,进而��⊥��.
又平面����⊥平面����,交线为��,��⊂平面����,故��⊥平面����.
故可以�为原点,分别以��, ��为�, �轴,以过点�的平面����的垂线为�轴,建立空间直角坐标系.
由(1)易得��=
1
2
cos60° = 1,�(0,0,0),�(0,2,0),�(0,
1
2 ,
3
2 ),�(0,
3
2 ,
3
2 ),�(2,0,0).
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故��Ԧ
ሬሬሬሬ= (0, −
3
2 ,
3
2 ),��Ԧ
ሬሬሬሬ= (2,0,0),��Ԧ
ሬሬሬሬ= (0,
3
2 ,
3
2 ).
设平面���的法向量�
→= (�, �, �),
则
�
→⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�= 0
�
→⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
3
2 �+
3
2 �= 0 ,故可取�
→= (0, −1,
3).
设直线��与平面���所成角为�,
则sin�=
∣��Ԧ
ሬሬሬሬ·�
→∣
∣��Ԧ
ሬሬሬሬ∣⋅∣�
→∣=
∣(−3
2)(−1)+ 3
2 × 3∣
(−3
2)2+( 3
2 )2⋅(−1)2+( 3)2 =
3
3×2 =
3
2 .
因为�∈[0°, 90°],故�= 60°.
16.(15 分)(2026·河北秦皇岛·二模)在△���中,内角�, �, �所对的边分别为�, �, �,且3�sin �+ �−
�cos�−�= 0.
(1)求�;
(2)若�= 2,�=
7,�为��的中点,求��的长.
【答案】(1)
�
3
(2)
19
2
【解题思路】(1)利用正弦定理边化角,经过三角恒等变换得到sin �−
�
6 =
1
2,再利用三角形中角的范围得
到∠�的值.
(2)根据余弦定理得到�的值,然后利用爪形定理得到三角形边长与中线的关系即可求解.
【解答过程】(1)由正弦定理得3sin�sin �+ �−sin�cos�−sin�= 0
由sin �+ �= sin�,得3sin�sin�−sin�cos�= sin�.
因为�∈(0, �),所以sin�≠0,故3sin�−cos�= 1.
即sin �−
π
6 =
1
2.又因为�∈0, �,所以�−
�
6 ∈−
�
6 ,
5�
6 ,
所以�−
�
6 =
�
6,故�=
�
3.
(2)在△���中,由余弦定理得7 = �2 + 4 −4�×
1
2,
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所以�2 −2�−3 = 0,又�> 0,所以�= 3.
因为�为��的中点,��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ,
则|��Ԧ
ሬሬሬሬ|2 =
1
4 �2 + �2 + 2��cos∠���=
19
4 ,所以��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
19
2 .
17.(15 分)(2026·山东·模拟预测)数学多选题的得分规则如下:每小题给出A,B,C,D 四个选项,
其中有多项符合题目要求.全部选对得6 分,部分选对的得部分分(例如:若正确选项为两项,选对其中
一项得3 分;若正确选项为三项,选对其中一项得2 分、选对其中两项得4 分),有选错的得0 分.已知
任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0,设正确选项为两项的概率为�.
(1)现有某道多选题,小李同学完全不会,他的策略是在A,B,C,D 四个选项中任选两个选项.
(i)若�=
1
3,求该题他得到6 分的概率;
(ii)已知小李在该题得分不是0 分的条件下,恰好得4 分的概率为
3
4,求�的值;
(2)有一道多选题,小李判断得出A 选项正确(答案中A 为正确选项),B,C,D 选项他不会判断,现在他
有两个方案,
方案一:选A 和B,C,D 中任意一个,
方案二:选A 和B,C,D 中任意两个,
从该题得分期望的角度分析,小李应该选择哪个方案.
【答案】(1)(i)
1
18;
(ii)�=
1
2
(2)选方案一
【解题思路】(1)(i)得到了6 分,因此标准答案必须为两项,求其概率;(ii)记事件�为小李任选两个
选项在该题的得分不是0 分,记�为小李该题的分数,则�(�) = �(�= 4) + �(�= 6),根据条件概率列方
程进行求解;
(2)根据条件,分别求出两种情况的分布列,进而求出期望,再根据期望的值进行讨论,从而得到结论.
【解答过程】(1)(i)由于本题得到了6 分,因此标准答案必须为两项,
记事件�为该题他得到6 分,则�(�) =
1
3 ×
C2
2
C4
2 =
1
18,
那么该题他得到6 分的概率为
1
18;
(ii)记事件�为小李任选两个选项在该题的得分不是0 分,记�为小李该题的分数,
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因为正确选项为两项的概率为�,正确选项为四项的概率为0,所以正确选项为三项的概率为1 −�,
则�(�= 4) = (1 −�)
C3
2
C4
2 =
1−�
2 ,�(�= 6) = �
C2
2
C4
2 =
�
6,
�(�) = �(�= 4) + �(�= 6) =
1
2 −
�
3,��= 4 �
=
�(�=4)
�(�) =
3−3�
3−2�,
令
3−3�
3−2�=
3
4,解得�=
1
2;
(2)记�为小李该多选题的得分,执行方案一得分�1的可能取值为0、4、6,
�(�1 = 0) = �×
2
3 + (1 −�) ×
1
3 =
1
3 +
�
3,
�(�1 = 4) = (1 −�) ×
2
3 =
2
3 −
2�
3 ,�(�1 = 6) = �×
1
3 =
�
3,
方案一的得分�1的分布列为
�1
0
4
6
�
1
3 + �
3
2
3 −2�
3
�
3
所以�(�1) = 0 × (
1
3 +
�
3 ) + 4 × (
2
3 −
2�
3 ) + 6 ×
�
3 =
8
3 −
2�
3 .
执行方案二得分�2的可能取值为0、6,
�(�2 = 0) = �× 1 + (1 −�) ×
2
C3
2 =
2
3 +
�
3,
�(�2 = 6) = (1 −�) ×
C2
2
C3
2 =
1
3 −
�
3,
方案二的得分�2的分布列为
�2
0
6
�
2
3 + �
3
1
3 −�
3
所以�(�2) = 0 × (
2
3 +
�
3 ) + 6 × (
1
3 −
�
3 ) = 2 −2�.
所以�(�1) −�(�2) =
8
3 −
2�
3 + 2�−2 =
4
3 �+
2
3,�(�1) −�(�2) > 0 成立,
故选方案一.
18.
(17 分)
(2026·海南三亚·一模)已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的离心率为5,左焦点为�1 −�, 0 ,
右焦点为�2 �, 0 ,点�
5, 2 在双曲线上.
(1)求双曲线�的方程;
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(2)过点�1作斜率为�(0 < �< 1)的直线�与双曲线�交于�, �两点,记△��1�2与△��1�2的面积分别为�1
与�2,求
�1
�2的取值范围;
(3)设�为线段��的中点,在�轴上是否存在定点�,使得�⋅���恒为定值?若存在,求出�的坐标;若不存
在,说明理由.
【答案】(1)
�2
4 −
�2
16 = 1;
(2)(
7−2 10
3
,
3−5
2
) ∪(
3+ 5
2
,
7+2 10
3
);
(3)存在,�(0,0).
【解题思路】(1)根据离心率公式、已知条件及�, �, �的关系求解即可;
(2)将直线方程与双曲线方程联立,由韦达定理及三角形的形公式可得
�1
�2 =
�1
�2,�=
�1
�2,从而可得4 −�2 =
20�
(�+1)2,由0 < �< 1,可得3 < 4 −�2 < 4,即3 <
20�
(�+1)2 < 4,解此不等式组,即可得答案;
(3)设存在满足条件的点�,其坐标为(�, 0),由中点坐标公式得�(
2 5�2
4−�2 ,
8 5�
4−�2 ),从而得�⋅���=
8 5�2
(2 5+�)�2−4�,
由
−4�= 0
8 5 = �(2 5 + �) ,求解即可.
【解答过程】(1)因为双曲线的离心率为5,
所以
�
�=
5,�=
5�, �2 = 5�2,
所以�2 = �2 −�2 = 4�2,
又因为点�
5, 2 在双曲线上,
所以
5
�2 −
4
4�2 = 1,解得�2 = 4,所以�2 = 16,
所以求双曲线�的方程为
�2
4 −
�2
16 = 1;
(2)由题意可得�1 −2 5, 0 , �2 2 5, 0 ,
所以直线�的方程为�= �(�+ 2 5),
由
�= �(�+ 2 5)
�2
4 −
�2
16 = 1
,得(4 −�2)�2 −16 5��+ 64�2 = 0,
Δ = ( −16 5�)2 −4 × 64�2 × (4 −�2) = 256�2(�2 + 1) > 0,
设�(�1, �1), �(�2, �2),
则�1 + �2 =
16 5�
4−�2 , �1�2 =
64�2
4−�2,
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由此可得�1 > 0, �2 > 0,
因为�1 =
1
2 |�1�2| ⋅�1, �2 =
1
2 |�1�2| ⋅�2,
所以
�1
�2 =
�1
�2,
令�=
�1
�2,则�1 = ��2,
所以�2(�+ 1) =
16 5�
4−�2 , ��2
2 =
64�2
4−�2,
消去�2,得4 −�2 =
20�
(�+1)2,
因为0 < �< 1,所以0 < �2 < 1,3 < 4 −�2 < 4,
所以3 <
20�
(�+1)2 < 4,
即3(�+ 1)2 < 20�
4(�+ 1)2 > 20�,解得�∈(
7−2 10
3
,
3−5
2
) ∪(
3+ 5
2
,
7+2 10
3
),
即
�1
�2的取值范围为(
7−2 10
3
,
3−5
2
) ∪(
3+ 5
2
,
7+2 10
3
);
(3)因为�1 + �2 =
16 5�
4−�2 ,
即�(�1 + 2 5) + �(�2 + 2 5) =
16 5�
4−�2 ,
所以�1 + �2 =
4 5�2
4−�2 ,
又因为�为线段��的中点,所以�(
2 5�2
4−�2 ,
8 5�
4−�2 ),
设存在满足条件的点�,其坐标为(�, 0),
则���=
8 5�
4−�2
2 5�2
4−�2 −�
=
8 5�
(2 5+�)�2−4�,
所以�⋅���=
8 5�2
(2 5+�)�2−4�,
要使此值为定值,则
−4�= 0
8 5 = �(2 5 + �) ,解得�= 0
�= 4 ,
所以存在�(0,0),使得�⋅���恒为定值4.
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19.(17 分)(2026·上海长宁·二模)设连续函数�= ��定义域为�,区间�⊆�,记函数�= ��在区间�
上的最大值为���,最小值为��(�).
(1)设��= e�−��,�= −1,1 ,若���= �0 ,求实数�的值;
(2)设��= �3 −3�2,�= �, �+ 2 ,若���−���= 4,且−1 ≤�≤1,求�的值;
(3)已知�0 = 0,�1 = 1,且对任意闭区间�⊆0,1 ,���与��(�)均存在.
求证:“�= ��在区间0,1 上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间�1、�2 ⊆0,1 ,当���1 = ���2 ,
且���1 = ���2 时,均有�1 = �2.”
【答案】(1)1
(2)�=−1 或�= 0 或�= 1
(3)证明见解析
【解题思路】(1)讨论�= ��在区间−1,1 上的单调性,则可找到其最小值,即可求出答案;
(2)讨论−1 ≤�< 0,�= 0 ,0 < �≤1 ,分别求出��(�)、��(�),即可求出答案;
(3)必要性直接证明即可,利用反证法再证明充分性.
【解答过程】(1)由题意知函数�(�) = ��−��,在区间−1,1 上的最小值为�(0),
由题意得�′(�) = e�−�,�∈( −1,1)
①当�≤
1
e时,�′(�) = e�−�> 0 恒成立,
�= ��在区间−1,1 上单调递增,无最小值,不满足题意;
②当
1
e < �< e 时,当�∈( −1, ln�)时,�′(�) = e�−�< 0,
�= ��在区间( −1, ln�)上单调递减,
当�∈(ln�, 1)时,�′(�) = e�−�> 0,
此时�= ��在区间(ln�, 1)上单调递增,
此时ln�= 0 ⇒�= 1,满足题意;
③当�≥e 时,�′(�) = e�−�< 0 恒成立,
�= ��在区间−1,1 上单调递减,无最小值,不满足题意;
综上所述,�= 1.
(2)由题意得�′(�) = 3�2 −6�= 3�(�−2),
当�< 0 或�> 2 时,�′(�) > 0 ,函数�= �(�)单调递增,
当0 < �< 2 时,�′(�) < 0,函数�= �(�)单调递减,
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又�( −1) =−4, �(0) = 0, �(2) =−4, �(3) = 0,
①当−1 ≤�< 0 时,�= �(�)在区间[�, 0)上单调递增,在区间[0, �+ 2]上单调递减,
此时��(�) = �(0) = 0, ��(�) = min{�(�), �(�+ 2)} =−4,
因为−1 ≤�< 0,所以1 ≤�+ 2 < 2,
又�= �(�)在区间[1,2]上单调递减,即�(�+ 2) > �(2) =−4,
所以�(�) =−4,故�=−1;
②当�= 0 时,�= �(�)在区间[0,2] 上单调递减,
此时��(�) = �(0) = 0, ��(�) = �(2) =−4,满足��(�) −��(�) = 4;
③当0 < �≤1 时,�= �(�)在区间[�, 2)上单调递减,在区间[2, �+ 2]上单调递增,
此时��(�) = �(2) =−4, ��(�) = max{�(�), �(�+ 2)} = 0,
因为0 < �≤1 ,�= �(�)在区间[0,1]上单调递减,
所以�(�) < �(0) = 0,则�(�+ 2) = 0,得到�+ 2 = 3,解得�= 1,
综上所述:�=−1 或�= 0 或�= 1.
(3)证明:必要性:若�= ��在区间0,1 上严格增,
设�1 = [�, �] ⊆[0,1], �< �, �2 = [�, �] ⊆[0,1], �< �,
因为�= ��在区间0,1 上严格增,
所以��(�1) = �(�), ��(�1) = �(�), ��(�2) = �(�), ��(�2) = �(�),
又��(�1) = ��(�2),��(�1) = ��(�2),
所以�= �, �= �,又�= ��在区间0,1 上严格增,
所以�1 = �2,必要性成立;
充分性:假设�= ��在0,1 上不严格增,
则存在0 ≤�1 < �2 ≤1,使得�(�1) ≥�(�2),
令�1 = [�1, �2],设�= ��(�1),�= ��(�1),
由函数�= ��在区间0,1 连续,
所以必存在�, �∈[�1, �2],使得�(�) = �, �(�) = �,
令�2 = [min(�, �),max(�, �)],则��(�2) = �,��(�2) = �,
由于�(�1) ≥�(�2),函数�= ��在区间[�1, �2]上不可能是严格增函数,
若函数�= ��在区间[�1, �2]上为常数,可取�2 = [�1, �1 +
�2−�1
2
],
则�1 ≠�2,与题设矛盾;若函数�= ��在区间[�1, �2]上不为常数,
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则其最大值与最小值不可能同时在两个端点�1, �2取到,
故�2是�1的真子集,即�1 ≠�2与题设矛盾.
因此假设不成立,�= ��在0,1 上严格增,充分性成立.
综上所述:“�= ��在区间0,1 上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间�1、�2 ⊆[0,1],
当��(�1) = ��(�2),且��(�1) = ��(�2)时,均有�1 = �2.”
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