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专题04 幂函数、指数函数和对数函数（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（2024·上海浦东新·三模）已知
，则
（用
表示）
【答案】
/
【分析】根据对数的运算性质计算即可.
【解析】由
，
得
.
故答案为：
2．（2024·上海·模拟预测）设集合
，则
.
【答案】
【分析】求
的值域得到集合
，解不等式
得到集合
，再求交集即可.
【解析】当
时，
有最大值4，所以
，
，所以
，
等价于
，则
，
，所以
，故
.
故答案为：
.
3．（2024·上海·模拟预测）已知正实数
满足
，
，则
.
【答案】
/
【分析】令
，则由
可得
，从而可求出的值，再结合
求出
，
1
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即可得解.
【解析】令
，则
，
由
，得
，
所以
，解得
或
，
所以
或
，
所以
或
，
当
时，则
，
由
，得
，所以
，
由
，又
，解得
，
所以
；
当
时，由
，得
，所以
，
由
，又
，解得
，
所以
，
综上所述，
.
故答案为：
.
4．（23-24 高三上·上海杨浦·开学考试）函数
的单调递减区间是 ．
【答案】
【分析】先求定义域，然后根据复合函数单调性可得.
2
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【解析】由
，即
解得
，
令
，
由二次函数性质可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
为增函数，
所以，由复合函数单调性可知，
的单调递减区间是
.
故答案为：
5．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）已知幂函数
的图象过点
，且
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由指数运算可得出
的值，可得出函数
的解析式，分析函数
的单调性，由
可得出关于
的不等式，解之即可.
【解析】因为
，且
，则
，则
，
因为函数
为
上的增函数，由
可得
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
6．（2024·上海普陀·二模）若实数
，
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知
，
，
，然后利用基本不等式求解即可.
【解析】因为
，
，
，
3
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所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
7．（2024·上海·模拟预测）函数
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据对数的运算性质将函数化简为
，再结合二次函数的性质计算可得.
【解析】因为
，
当
，即
时，
取到最小值，且
.
故答案为：
8．（23-24 高三上·上海黄浦·期中）函数
在区间
上的最小值为 .
【答案】
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【解析】
，
因为
，所以
，故
，
4
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故
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故答案为：
.
9．（2024·上海·三模）关于x 的不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】令
，求出
的单调性，又根据
，把不等式转化为
，由
的单调性即可求得不等式的解集.
【解析】令
，则
的定义域为
，
因为
和
在
上均单调递减，
所以
在
上单调递减，又
，
则不等式
等价于
，
所以
，原不等式的解集为
.
故答案为：
.
10．（22-23 高三下·上海杨浦·阶段练习）已知实数
，若幂函数
为偶函数，
且在
上严格递减，则实数
．
【答案】
【分析】由偶函数，幂函数单调性可得答案.
5
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【解析】因
在
上单调递减，则
；又
为偶函数，则
.
故答案为：
.
11．（22-23 高三下·上海·阶段练习）已知函数
，则关于的表达式
的解
集为 .
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【解析】由题意可知，
的定义域为
，
所以
，
所以函数
是奇函数，
由幂函数的性质知，函数
在函数
上单调递增，
由
，得
，即
，
所以
，即
，解得
，
所以关于的表达式
的解集为
.
故答案为：
.
12．（2023·上海长宁·二模）当
时，幂函数
的图象总在
的图像上方，则a 的取值范
围为
【答案】
【分析】问题转化为不等式恒成立问题，利用不等式的性质，结合幂函数的单调性进行求解即可.
【解析】因为当
时，幂函数
的图象总在
的图像上方，
6
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所以当
时，
恒成立，
，
因此要想
时，
恒成立，只需
，
因此a 的取值范围为
，
故答案为：
13．（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知偶函数
在区间
上是严格减函数.若
，
则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据偶函数的性质及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【解析】因为偶函数
在区间
上是严格减函数，
所以
在
上单调递增，
所以不等式
，即
，所以
，即
，
解得
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
14．（2024·上海·三模）设
，若在区间
上，关于x 的不等式
有意义且能恒成立，则t 的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据
在
上恒成立，故
，分
时，满足要求，当
7
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时，变形为
在
上恒成立，构造
，
，根据函数单调性得到
，从而得到
，得到答案.
【解析】由题意得
在
上有意义，故
在
上恒成立，
故
，
当
时，
，而
，满足
，符合题意，
当
时，
，
在
上恒成立，
令
，
，
其中
在
上单调递减，
故
，
故
，
综上，t 的取值范围是
，
故答案为：
15．（2024·上海松江·二模）已知
，函数
，若该函数存在最小值，则
实数
的取值范围是 .
【答案】
或
【分析】令
，
，
，
，分类讨论
的取值范围，判断
，
的单调性，结合
存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．
8
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【解析】由题意，令
，
，
，
，
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递减，则
在
上的值域为
，
因为
存在最小值，故需
，解得
，
结合
，此时
；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，则
在
上的值域为
，
因为
存在最小值，故需
，即
，解得
，
这与
矛盾；
当
时，
在
上单调递减，且在
上的值域为
，
，此时存在最小
值2；
则实数
的取值范围为
或
．
故答案为：
或
．
16．（23-24 高三上·上海闵行·期中）已知
，若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解即可.
【解析】由对数函数的定义和单调性可知
，且当
时，
，
当
时因为一元二次函数
的对称轴为
，
所以当
时，
，
若函数
的值域为
，则
解得
；
9
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当
时，
，
若函数
的值域为
，则
，
令
，所以
，
令
，
表示对称轴为
，开口向下的抛物线，
因为
，
，所以存在
使得
，
所以当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
又因为
，
，所以由
解得
，
综上
，
故答案为：
17．（23-24 高三上·上海杨浦·期中）已知函数
，
，若有且仅有一个
正整数
，使得不等式
成立，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数解析式，分情况作图，利用图象可得
的取值，建立不等式，可得答案.
【解析】
函数
，
，
当
时，可得作图如下：
10
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由题意，若
，则
，化简可得
，解得
，
当
时，
，
，此时不符合题意，
当
时，令
，
，
令
，且函数图象的对称轴为直线
，
由
，则
或
，所以函数
在
上单调递减，
可得
，则
，
在
上单调递减，
，则
在
上恒成立，所以此时不符合题意；
当
时，可作图如下：
显然不存在符合题意的
.
综上所述，
的取值范围为
.
故答案为：
.
18．（23-24 高三上·上海浦东新·阶段练习）已知
是定义在R 上的偶函数，当
且
时，总有
，则不等式
的解集为 ．
11
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【答案】
【分析】利用单调性与奇偶性解不等式．
【解析】因为当
且
时，总有
，
即当
时，
，所以
是
上的减函数，
又
，则
是偶函数，且
在
上递减，
不等式
即为
，也即
，
所以
，
，
，
故答案为：
．
19．（23-24 高三上·上海奉贤·阶段练习）已知
，若关于
的方程
有两解，则
的取值
范围是
【答案】
【分析】将问题转化为
与
的图象有两个交点，再利用数形结合即可得解.
【解析】由
，可得
，
所以方程
有两个解等价于函数
与
的图象有两个交点，
因为
的图象可由
保留
轴上方的图象，再把
轴下方的图象翻折到
轴上方得到，
所以作出函数
与
的图象，如图，
12
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由图可知，要使函数
与
的图象有两个公共点，
必须满足
，即
，则实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
20．（2024·上海青浦·二模）已知
，
，若
，则满足
条件的
的取值范围是 ．
【答案】
；
【分析】由绝对值等式可知
，代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值范围求出结果即
可.
【解析】因为
，
所以
，即
，
解得
或
，
所以
的取值范围是
，
故答案为：
.
21．（23-24 高三上·上海位育中学·期中）若函数
的图象上存在不同的两点
，坐标
满足关系：
，则称函数
与原点关联．给出下列函数：
①
； ②
； ③
； ④
．
其中与原点关联的所有函数为 （填上所有正确答案的序号）．
【答案】①②④
【分析】由“西数函数与原点关联”的定义可知函数f（x）在其图象上存在不同的两点
，
13
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使得
、
共线，即存在点A、B 与点O 共线，结合4 个函数的图象分别判断即可.
【解析】设
，则
，
由题意可知
，即
，即
，
所以
，又
，
所以
，即
共线，亦即
三点共线，
也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联.
对于①，易知函数
经过原点，且图象关于原点对称，存在点A、B 与点O 三点共线，故①是与原点
关联的函数；
对于②，设过原点的直线为
，作出函数
与
的图象，如图，
所以存在实数k 使得直线
与函数
图象在R 上有3 个交点，
即存在点A、B 与点O 三点共线，故②是与原点关联的函数；
对于③，设过原点的直线为
，作出函数
与
的图象，如图，
所以存在实数k 使得直线
与函数
图象在
上有1 个交点，
即不存在点A、B 与点O 三点共线，故③不是与原点关联的函数；
对于④，设过原点的直线为
，作出函数
与
的图象，如图，
14
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所以存在实数k 使得直线
与函数
图象在
上有2 个交点，
即存在点A、B 与点O 三点共线，故④是与原点关联的函数；
故答案为：①②④.
【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的性质，理解新定义的本质是求解的关键.
二、单选题
22．（2024·上海宝山·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，及函数单调性，即可求解.
【解析】
，
则
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 错误；
，故D 错误.
故选：A.
23．（2024·上海·三模）已知函数
恒过定点
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】令
，即可求解
恒过定点
，进而求解.
15
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【解析】令
，解得
，此时
，
所以
恒过定点
，则
，
所以
.
故选：C
24．（23-24 高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数
为偶函数，若
，则a 不可能
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据偶函数性质，列关系式确定
的关系，由此确定
的范围即可.
【解析】因为
为偶函数，
所以
恒成立，即
恒成立，
所以
，
所以
，
所以
，又
，
所以
，
因为
，所以
，
故选：D
25．（21-22 高三上·上海长宁·期中）已知函数
实数
，
，满足
，且满足
，若实数
是函数
的一个零点，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
16
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【分析】得到
的定义域及单调性，结合
，得到
或
，从而得到
或
，得到答案.
【解析】因为
在
上是增函数，又
，
，
所以
中一项为负的、两项为正的或者三项都是负的，
即
或
．
由于实数
是函数
的一个零点，
当
时，
，
当
时，
，
综上，
一定成立．
故选：C．
26．（21-22 高三上·上海静安·阶段练习）关于函数
，有下列命题：
①函数
的图象关于
轴对称；
②当
或
时，
为增函数；
③
无最大值，也无最小值．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义判断①；根据对勾函数及对数函数的单调性可判断②；根据基本不等式及偶函
数的性质可判断③.
【解析】①定义域为
，又满足
，所以函数
的图象关于
轴对称，正确；
②当
时
是增函数；当
时，函数
是增函数，
17
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根据复合函数知，当
或
时
是增函数，正确；
③
（当且仅当
时等号成立），又是偶函数，所以函数
的最小值是
，不正确．
故选:C.
27．（2022·上海闵行·一模）设函数
，对于实数a､b，给出以下命题：命题
；命题
；命题
.下列选项中正确的是（ ）
A．
中仅
是
的充分条件
B．
中仅
是
的充分条件
C．
都不是
的充分条件
D．
都是
的充分条件
【答案】D
【分析】令
，g(x)是奇函数，在R 上单调递增，h(x)是偶
函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.
【解析】令
，g(x)是奇函数，在R 上单调递增，h(x)是偶
函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.
，
即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，
即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，
①当a＋b≥0 时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时
，即
是q 的
充分条件；
②当
时，a≥0，
，
，
18
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(i)当a≥1 时，a≥
，则－b≤a，故g(a)≥g(－b)；
此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴
成立；
(ii)当a＝0 时，b＝0，f(0)＋f(0)＝6≥0 成立，即
成立；
(iii)∵g(x)在R 上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，
∴
在(－∞，0)单调递增，
∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0 在(－1，0)上恒成立；
又∵x≥0 时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0 在[0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)＞0 在(－1，＋∞)恒成立，
故当0＜a＜1 时，a＜
＜1，
，
∴f(a)＞0，f(b)＞0，
∴
成立.
综上所述，
时，均有
成立，∴
是q 的充分条件.
故选：D.
【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基
本性质的掌握与熟练运用.
三、解答题
28．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）已知函数
是奇函数.
(1)求实数
的值；
(2)当
，
，解关于
的不等式
.
【答案】(1)1
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义列方程，解方程得到
的值.
（2）利用函数的单调性列不等式，分类讨论解不等式，得到
取值范围即可.
19
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【解析】（1）因为
是奇函数，
所以
，
即
，解得
，
又
时
，其定义域为
，此时
为非奇非偶函数，
所以
.
（2）由（1）得
，所以
，即
，
根据对数函数的定义域和单调性可得
，由于
，所以
，
所以
，即
，
因此，当
，即
时，不等式的解为
，
当
，即
时，不等式的解为
，
综上所述，当
时，不等式解集为
，当
时，不等式解集为
.
29．（2021·上海浦东新·三模）已知
.
（1）解不等式：
；
（2）若
在区间
上的最小值为
，求实数a 的值.
【答案】（1）
或
；（2）
或
.
【分析】（1）由对数函数的性质求解不等式即可；
（2）由题意可得
在区间
上的最小值
，在
上的最大值为4，
然后分
和
讨论即可得答案
20
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【解析】（1）
或
；
（2）令
，则
在区间
上的最小值
，在
上的最大值为4，
当
时，
，
；
当
，
，
.
综上，
或
30．（23-24 高三上·上海徐汇·开学考试）已知函数
，设
．
(1)当
时，解关于
的不等式
；
(2)对任意的
，函数
的图象总在函数
的图象的下方，求正数
的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数函数的单调性求解即可；
（2）由题意可转化为对数不等式恒成立，利用函数单调性求解即可.
【解析】（1）由
，得
，
则
，得
，即不等式的解集为
;
（2）因为
，
对任意的
，函数
的图象总在函数
图象的下方，
21
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则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
，
在
上恒成立，
整理得:
在
上恒成立，
设
则只需要
即可，可得
，
又因为
，
所以
，所以正数
的范围为
;
31．（20-21 高二下·上海宝山·期末）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作
如下假定：用1 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的
，用越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药
残留在蔬菜上.设用
单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函
数
，假定函数
，是自然对数的底，
、
、为实数，
的定义域为
，值域
为
.
（1）求
、
、的值；
（2）现有
单位量的水，可以清洗1 次，也可以把水平均分成2 份后清洗2 次，试问用哪种方案清洗
后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.
【答案】（1）
，
，
；（2）两种方案残留农药量一样多，理由见解析.
【分析】（1）由题设有
且
，即可求
、
、的值；
（2）根据题意，设未清洗前的农药量为1，分别写出两种清洗方式的最终残留农药量的表达式，即可比较
它们残留农药的多少关系.
22
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【解析】（1）由题意知：
且
，
∴
单调递减且
，
由上，
，故
符合题意，则
，
∴
，
.
（2）由（1）知：设未清洗前的农药量为1，
1、
单位量的水清洗1 次，残留农药量为
，
2、把水平均分成2 份后清洗2 次，则第1 次残留农药量为
，第2 次残留农药量为
，
∴由上知：两种方案残留农药量一样多.
32．（23-24 高三上·上海静安·阶段练习）已知函数
是奇函数
.
(1)求
的值;
(2)判断
在区间
上的单调性，并证明;
(3)当
时，若对于
上的每一个
的值，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)-1
(2)答案见解析，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性得到
，计算出
或1，检验后得到答案；
（2）利用复合函数同增异减判断函数的单调性；
（3）转化为
在
上恒成立，令
，结合（2）得到其单调性，进而求
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出
，从而求出实数
的取值范围.
【解析】（1）∵
是奇函数，
∴
在其定义域内恒成立，
即
，故
，
∴
恒成立，∴
或1，
当
时，
，不满足真数大于0，舍去，
当
时，令
，此时
或
，
所以
.
（2）当
时，
在
上是减函数；当
时，
在
上是增函数，理由如下：
由（1）得
令
，
则内函数
在
上为减函数，
而当
时，外函数
在
上是增函数，
当
时，外函数
在
上是减函数，
由复合函数内外函数“同增异减”的性质得：
∴当
时，
在
上是减函数；当
时，
在
上是增函数.
（3）对于
上的每一个
的值，不等式
恒成立，
则
在
上恒成立，
令
，
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由（2）知，
时，
在
上是增函数，
又
单调递减，故
在
上是单调递增函数，
故
，
所以
，即
的取值范围是
33．（23-24 高三上·上海杨浦·阶段练习）若函数
与
满足：对任意的
，总存在唯一的
，使
成立，则称
是
在区间
上的“
阶伴随函数”；当
时，
则称
为区间
上的“m 阶自伴函数”.
(1)判断
是否为区间
上的“2 阶自伴函数”？并说明理由；
(2)若函数
为区间
上的“1 阶自伴函数”，求
的值；
(3)若
是
在区间
上的“2 阶伴随函数”，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
不是区间
上的“2 阶自伴函数”
(2)
(3)
【分析】（1）当
，得
，而
在
没有实数解，根据函数的新定义，即可得出
结论；
（2）由题意得任意
，总存在唯一的
使得
，进而得对任意
，总存
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在唯一的
使得
,
，即
,
,
，进而求得
的值；
（3）求得函数
在区间
,
的值域为
,
，故
在
,
区间上的值域必
定包含区间
,
，进而结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．
【解析】（1）
，
当
时，
，再由
，
得
，
，
故根据“2 阶自伴函数”定义得，
不是区间
上的“2 阶自伴函数”．
（2）由函数
为区间
上的“1 阶自伴函数”，
所以
，且对任意
，
总存在唯一的
使得
成立；
所以对任意
，总存在唯一的
使得
，
因为函数
为单调递增函数，
所以对任意
，总存在唯一的
使得
，，所以
,
，
所以
,
,
，所以
，则
，故
；
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（3）由函数
在区间
,
的值域为
,
，
因为
是
在区间
,
上的“2 阶伴随函数”，
则对任意的
,
，总存在唯一的
,
时，使得
成立，
所以
，
即
在
,
区间上的值域必定包含区间
,
，且
的值域在
,
对应的自变量是唯
一的，
又因为函数
开口向上，对称轴为
，
当
时，
在
,
区间上单调递增，则必有：
，解得：
；
当
时，
在
,
区间上单调递减，则必有：
，解得
；
当
时，
在
,
上单调递减，在
,
上单调递增，则必有：
，解得：
，
当
时，
在
,
上单调递减，在
,
上单调递增，则必有：
，解得：
．．
综上所述，可得
的范围：
．
【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m 阶自伴函数”或“m 阶伴随函数的意义”，然后根据每一小问函
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数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，数存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当
时，要考虑对称轴在(0,2)区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a 的范围.
一、填空题
1．（2024·上海宝山·二模）将
（其中
）化为有理数指数幂的形式为 .
【答案】
【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可
【解析】
故答案为：
2．（2024·上海·三模）不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集.
【解析】由不等式
，得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
3．（2024·上海奉贤·三模）若
，则
．（结果用
的代数式表示）
【答案】
/
【分析】根据对数的运算性质化简即可.
【解析】
.
故答案为：
.
4．（2024·上海静安·二模）函数
的定义域为 ．
【答案】
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【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【解析】由函数
有意义，则满足
，即
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
5．（2023·上海静安·二模）已知函数
为偶函数，则函数
的值域为 .
【答案】
【分析】利用偶函数的定义求出
，则
，设
，利用基本不等式，即可求
出结果．
【解析】
函数
（
）是偶函数，
，
，易得
，
设
，
则
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
，
所以函数
的值域为
．
故答案为：
．
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6．（2024·上海·三模）若
，
，则满足
的m 的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】先判断函数
的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到
的最大值.
【解析】当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
于是，在
上，
都成立，即
为偶函数.
由指数函数的单调性可知，
在
上单调递增，
因此，不等式
等价于
，
即
，解得
.
故m 的最大值为
.
故答案为：
.
7．（2024·上海杨浦·二模）若函数
为奇函数，则函数
，
的值域为
.
【答案】
【分析】由奇函数定义可得
解析式，即可求得值域.
【解析】当
时，
，因为
为奇函数，则
，所以
，
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所以
，
时
值域为
.
故答案为：
.
8．（2024·上海长宁·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，当
时，
，若
，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
或
【分析】由已知结合奇函数的定义可求出
及
时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解
不等式.
【解析】因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，
所以
，
若
，
当
时，可得
，解得
，
当
时，可得
，解得
，
当
时，可得
，显然不成立，
故
的取值范围为
或
.
故答案为：
或
.
9．（2023·上海普陀·二模）设
且
，若在平面直角坐标系xOy 中，函数
与
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的图像于直线l 对称，则l 与这两个函数图像的公共点的坐标为 ．
【答案】
/
【分析】根据两函数的图象关于直线l 对称，再结合底数互为倒数的两个对数函数的图象关于
轴对称，
可求得
，从而可得出答案.
【解析】
，
因为函数
与
的底数互为倒数，
而底数互为倒数的两个对数函数的图象关于
轴对称，
函数
与
的图像于直线l 对称，
所以函数
与
的图像于
轴对称，
即直线l 为
轴，
所以
，所以
，
则两个函数分别为
，
，
令
，得
，解得
，此时
，
所以l 与这两个函数图像的公共点的坐标为
.
10．（2023·上海宝山·二模）已知函数
（
且
），若关于
的不等式
的解集为
，其中
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意结合指数函数性质判断出
，
，且
的解集为
，根据
一元二次不等式和相应方程的关系可得
，结合b 的范围，即可求得答案.
【解析】由题意知若
，即
，
32
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∴
，
∴当
时，
；当
时，
，
∵
的解集为
，
∴
，
，且
的解集为
，
∴
与
是
的两根，
故
，∴
，
又
，∴
，
又
，∴
，
故答案为：
11．（2023·上海浦东新·三模）已知函数
是
上的奇函数，当
时，
，若关于
的方
程
有且仅有两个不相等的实数解，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出
函数图象，数形结合判断不同值
域范围的函数值对应自变量的个数，再由
有两个解，对应
的解的个数确定范围，进而求
m 的范围.
【解析】由题设
，若
，则
，
所以
，值域为R，函数图象如下：
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当
时，只有一个
与之对应；
当
时，有两个对应自变量，
记为
，则
；
当
时，有三个对应自变量且
；
当
时，有两个对应自变量，
记为
，则
；
当
时，有一个
与之对应；
令
，则
，要使
有且仅有两个不相等的实数解，
若
有三个解，则
，此时
有7 个解，不满足；
若
有两个解
且
，此时
和
各有一个解，
结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；
若
有一个解
，则
有两个解，此时
，
所以对应的
，
综上，
.
故答案为：
.
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12．（2022·上海静安·二模）已知函数
，若对任意
，当
时，总有
成立，则实数
的最大值为 .
【答案】1
【分析】分
、
、
、
依次讨论
的范围，进而判断
是否恒成
立，即可求解.
【解析】当
时，
，则
不成立；
当
，
，取
，
，此时
不成立；
当
时，
，则
，对于任意
，有
，当
时取
等号，所以总有
成立；
当
时，
，当
取最大值1，当
时取最小值0，则
，
对于任意
，有
，当
时取等号，所以总有
成立；
综上可得
，故实数
的最大值为1.
故答案为：1.
二、单选题
13．（2023·上海长宁·一模）设
)，则“函数
的图象经过点（-1，-
1）”是“函数
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由图象过点解得a 的值的集合，再由奇函数解得a 的值的集合，由两个集合相等确定充要条件关
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系.
【解析】∵
的图象经过点
，
，
∴
又∵
∴
∵
为奇函数，
∴
∴ “
的图象经过点
”是“
为奇函数”的充要条件.
故选：C.
14．（2021·上海浦东新·三模）设D 是
的一个子集，称函数
为“机智”的，若存在
奇函数
，使得
，有两个命题：①若对任意
，都成立
，
，则
是“机智”的；②若对任意
，都成立
，则
是“机智”的；则下列判
断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是假命题
､
D．①②都是真命题
､
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性定义，直接判断求解即可
【解析】
为奇函数，
，
故选：D
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三、解答题
15．（2022·上海·模拟预测）
(1)若将函数
图像向下移
后，图像经过
，求实数a，m 的值.
(2)若
且
，求解不等式
.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题知
，再根据题意得
，解方程即可得答案；
（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为
的解集，再分类讨论求解即可.
【解析】（1）解：函数
的定义域满足
，即
，
所以，要使函数的定义域非空，则
，即
.
若将函数
图像向下移
后得到的解析式为：
，
.
所以
在函数
的图像上，即
，
解得：
，
所以，
（2）解：由题知
，
,
,
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因为函数
在
上单调递增，
所以
等价于
，展开整理得：
，
所以，不等式的解集为
的解，
所以，当
时，不等式的解为
；
当
时，不等式的解为
.
综上，当
时，不等式的解为
；当
时，不等式的解为
.
16．（2021·上海金山·一模）已知定义域为
的函数
.
（1）试判断函数
在
上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）函数
在
上单调递减，证明见解析；（2）
.
【分析】（1）由单调性的定义证明（可根据复合函数的单调性判断）；
（2）再确定函数的奇函数，然后由奇函数性质变形不等式，由单调性化简转化为一元二次不等式恒成立，
从而易得参数范围．
【解析】（1）函数
在
上单调递减.
证明如下：任取
，且
，
，
因为
，所以
，
，
，
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即
，故函数
在
上单调递减.
（2）因为
，
故
为奇函数，
所以
，
由（1）知，函数
在
上单调递减，
故
，即
对于任意
恒成立，
所以
，令
，则
，
因为
，所以
，
所以
，
即实数
的取值范围是
.
17．（2022·上海虹口·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数.
(1)求实数
的值，并证明
在
上单调递增；
(2)已知
且
，若对于任意的
、
，都有
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，证明见解析
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得出
，求出
，利用函数奇偶性的定义可验证函数
为
奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立；
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（2）由题意可得
，可得出
，求得
，分
、
，根据已知
条件可得出关于
的不等式，综合可得出实数
的取值范围.
【解析】（1）解：因为函数
是定义域为
的奇函数，
则
，解得
，此时
，
对任意的
，
，即函数
的定义域为
，
，即函数
为奇函数，合乎题意，
任取
、
且
，则
，
所以，
，则
，
所以，函数
在
上单调递增.
（2）解：由（1）可知，函数
在
上为增函数，
对于任意的
、
，都有
，则
，
，
因为
，则
.
当
时，则有
，解得
；
当
时，则有
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
18．（2022·上海长宁·一模）已知函数
.
(1)求证：函数
是
上的减函数；
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(2)已知函数
的图像存在对称中心
的充要条件是
的图像关于原点中心对称，判
断函数
的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；
(3)若对任意
，都存在
及实数
，使得
，求实数
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)2
【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）假设函数
的图像存在对称中心
，进而根据题意将问题转化为
恒成立，进而得
，解方程即可得答案；
（3）根据题意得
，进而结合已知条件得以
所以
，
故
.
【解析】（1）解：设对于任意的实数
，
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，即
所以函数
是
上的减函数
（2）解：假设函数
的图像存在对称中心
，
则
的图像关于原点中心对称，
由于函数的定义域为
，
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所以
恒成立，
即
恒成立，
所以
，解得
，
所以函数
的图像存在对称中心
（3）解：因为对任意
，都存在
及实数
，使得
，
所以
，即
，
所以
，即
因为
，所以
因为
，所以
所以
，即
所以
，所以
，即实数
的最大值为
.
19．（2016·上海·二模）定义在
上的函数
，若满足:对任意
，存在常数
，都有
成立，则称
是
上的有界函数，其中
称为函数
的上界
（1）设
，判断
在
上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出
所有上界的
值的集合；若不是，也请说明理由.
（2）若函数
在
上是以为上界的有界函数，求实数
的取值范围.
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【答案】（1）是有界函数;
（2）
【分析】（1）分离常数后,可得函数
的单调性,在区间
内求得最大值与最小值,即可根据有界函
数的定义求得
的取值范围.
（2）根据有界函数定义,可得
的值域.代入解析式可分离得
的不等式组.利用换元法转化为二次不等式
形式,结合恒成立条件,即可求得
的取值范围.
【解析】（1）
则
在
上单调递增
所以
对任意
满足
而
所以
若
恒成立,则
即
所有上界的值的集合为
（2）函数
在
上是以为上界的有界函数
根据有界函数定义,可知
在
上恒成立
所以
即
化简变形可得
令
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则
在
上恒成立
即满足
由二次函数性质可知,
,当
时,
,所以当
时,
即
,
故
的取值范围为
【点睛】本题考查了函数新定义的内容,对函数单调性与值域的综合应用,换元法的应用,恒成立问题的解法,
属于中档题.
44
