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第 11 讲 第五章 平面向量及解三角形（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2023春·安徽阜阳·高一校考期中）设点D为 中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等
分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图，D为BC中点，O为靠近A的三等分点，
，
.
故选：D.
2．（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）在 中,已知 , , ,则 角的度数为
（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【详解】由题知 , , ,
在 中,由正弦定理可得:
,
解得 ,因为 , ,
所以 或 .
故选:C
3．（2022春·北京·高一北京市第二十五中学校考期中）据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有 满足“勾3股4
弦5”，其中 ， ，点 是 延长线上的一点，则 =（ ）
A．3 B．4 C．9 D．不能确定
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C
4．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）在 中，三角形三条边上的高之比为 ，则 为
（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【详解】因为三角形三条边上的高之比为 ，
所以三角形三条边之比为 ，即 ，
不妨设 ，
则最大角的余弦值为 ，
因此角 为钝角，三角形为钝角三角形.
故选：A.
5．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）为测量 两地之间的距离，甲同学选定了与 不
共线的 处，构成 ，以下是测量数据的不同方案：①测量 ；②测量 ；③测
量 ；④测量 .共中要求能唯一确定 从地之间距离，则中甲同学应选择的方
案的序号为（ ）A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【详解】对于①，测量 ，不能求出 的值，
对于②，测量 ，利用三角形内角和定理求得 ，
再利用正弦定理求得 ，且解唯一，
对于③，测量 ，
利用余弦定理 ，
解一元二次方程可以求得 ，可能解不唯一，
对于：④，测量 ，利用余弦定理直接求得 ，且解唯一，
所以正确的为②④.
故选：D
6．（2023春·河南南阳·高一统考阶段练习）对于非零向量 ， ，定义 ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵ ，∴ ．
由 可得 ，
两式相减得 ，∴ ．
故选：B.
7．（2023·广西·统考一模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于 的四边形.已知在平面凸四
边形 中， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在 中，由余弦定理得： ，
显然 ，即 ， ，在 中， ， ，因为 为平面凸四边形，则有 ，
因此 ，而 ，
由正弦定理 得： ，
当 时， ，当 时， ，
因此 ， ，即 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A
8．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上
的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图可知, ， ，
因为 是 的中点，所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由条件可得， ， ，因为P为AC边上的一个动点，
故当P为AC中点时， 最小，此时 ，
当P为A或C时， 最大， ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 .
故选：C.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知平面向量 ，
，且 ， 的夹角是钝角，则 可以是（ ）
A．-1 B． C． D．2
【答案】BD
【详解】因为 与 的夹角为钝角，
所以 且 与 不共线，
即 且 ，
所以 且
故选：BD
10．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）已知向量 ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．存在 ，使得
C． D．当 时， 在 上的投影向量的坐标为
【答案】CD
【详解】对于A，若 ，则 ，解得 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，
即 ，方程无解，
所以不存在 ，使得 ，故B错误；对于C， ，所以 ，故C正确；
对于D，当 时， ， ，
则 在 上的投影向量的坐标为 ，故D正确.
故选：CD.
11．（2023春·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成
角的两条数轴， 、 分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 斜坐
标系，若 ，则把有序数对 叫做向量 的斜坐标，记为 ．在 的斜坐
标系中， ， ，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
【答案】BCD
【详解】由题意得： ， .
对于A项， ，
由题意得： ，故A正确；
对于B项， ，故
B项不正确；
对于C项， ，，故C不正确；
对于D项， 在 上的投影向量为： ，
由C知 ，
又 ，
，故D不正确.
故选：BCD
12．（2023春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）如图， 的内角 ， ， 所对的边分
别为 ， ， ．若 ，且 ， 是 外一点， ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A． 是等边三角形
B．若 ，则 ， ， ， 四点共圆
C．四边形 面积最大值为
D．四边形 面积最小值为
【答案】AC
【详解】由正弦定理 ，
得 ，
，
，B是等腰 的底角， ，是等边三角形，A正确；
B不正确：若 四点共圆，则四边形对角互补，
由A正确知 ，
但由于 时，
，
∴B不正确．
C正确，D不正确：
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，∴C正确，D不正确；
故选：AC.．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3
分.）
13．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）与 反向的单位向量为__________．
【答案】
【详解】与 反向的单位向量为 .
故答案为： .14．（2023春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，在 中，已知
边上的两条中线 相交于点 ，则 的余弦值为
__________.
【答案】
【详解】由题可得， ，
，
所以
，
，
，
所以 ，
故答案为: .
15．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）已知 为等腰直角三角形， 为线段 的
中点， ，点 分别在线段 上，且 ，当点 在对应线段上运动时（含端
点位置）， 的最大值为___________.
【答案】
【详解】因为 为等腰直角三角形， 为线段 的中点， ，所以 ，设 ，则 ，
过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，则 ，
在 与 中，易得 ， ，
则
，
当 ，即 时， 取得最大值 .
故答案为： .
16．（2023·天津红桥·统考一模）如图所示，在 中，点 为 边上一点，且 ，过点 的
直线 与直线 相交于 点，与直线 相交于 点（ 交两点不重合）．若 ，则
________，若 ，则 的最小值为__________．
【答案】 ##
【详解】在 中， ，且 ，则 ，
可得
所以 ；又由 ，已知 ，
所以 ，可得 ，
因为 三点共线，且点 在线外，
所以 ，
则 ，
当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： ； .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023春·河北保定·高一校考阶段练习）如图所示，在 中，D为BC边上一点，且 ．
过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用 ， 表示 ；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)3.
根据 三点共线找出等量关系；
【详解】（1）在 中，由 ,
又 ，所以 ，
所以
（2）因为 ，
又 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 三点共线，且 在线外，
所以有： ，
即 .
18．（2023·内蒙古包头·统考一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求A；
(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得 唯一确定，当唯一确
定时，求边 上的高h．
条件①： ；条件②： ．
【答案】(1)
(2)见解析.
【详解】（1）在 中， ，
由 及正弦定理得 ，由余弦定理得 ，
化简得 ，所以 ，
结合 ，得 ．
（2）若增加条件①： ， ．
因为 ，
由 ，得 ，或 ，
所以 不能唯一确定，不合题意．
若增加条件②： ．
将 代入 ，
得 ，解得 ，或 （舍去）．此时 唯一确定．
由 ，得 ．
所以 ．
19．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）等边三角形 ，边长为2， 为 的中点，动点 在边
上， 关于 的对称点为 ．
(1)若 为 的中点，求 ．
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）因为 为 中点，
所以 .
因为 为 中点，
所以 ，
所以
.
（2）因为等边三角形 ，边长为2， 为 中点
所以 为 ，
因为 关于 的对称点为 ，
所以 ，
所以
，
因为动点 在 上，
所以当 时， 取最小值，即 ，
当 与 重合时， 取最大值，即 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
20．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
．
(1)若 ，判断 的形状；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)直角三角形
(2)【详解】（1）因为 ，所以 ，
由余弦定理得： ，
即 ，所以 ，
由正弦定理得： ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又 ，故 ，得 ，所以 为直角三角形.
（2）因为 ，所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
当 即 时， 取最大值 ，
此时 ， ，故 的最大值为 ．
21．（2023·陕西渭南·统考二模）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步
道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图， 为某区的一条
健康步道， 为线段， 是以 为直径的半圆， km， km.(1)求 的长度；
(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道 （ 在
两侧），其中 为线段.若 ，求新建的健康步道 的路程最多可比原有健康步道
的路程增加多少长度？
【答案】(1) km
(2) km
【详解】（1）联结 ，在 中，由余弦定理可得，
，
所以 ，即 的长度为 ；
（2）记 ，则在 中，由余弦定理可得：
，即 ，
从而
所以 ，则 ，当且仅当 时，等号成立；
新建健康步道 的最长路程为 ，
故新建的健康步道 的路程最多可比原有健康步道 的路程增加
22．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求证： ；
(2)若 ，求三角形 面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得 ，又 ，所以 ，
整理得 ，即有 ，
所以 ，即 ，
， ，则 ，
所以 ，所以 .
（2）由（1）得 ，因为 ，由 ，得 ,
设三角形 的面积为 ，
则
，在锐角三角形 中， ,且 ，
所以 ，所以 ，设 ，则 ，
记 ，则 ，所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即三角形 面积的取值范围 .
