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备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
第12讲 圆锥曲线中的最值、范围问题
考情分析
与圆锥曲线有关的最值和范围问题,实质是探求运动变化中的特殊值或临界值,因其考查
的知识容量大、能力要求高、区分度大而成为高考命题者青睐的热点,高考常与函数、向量、
不等式等知识相结合出题.
1.圆锥曲线中最值问题的常用求解方法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来
解决，这就是几何法．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，
再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数
的单调性法等．
二、圆锥曲线中求解范围问题的常见求法
(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的
位置关系求解．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立
等量关系．
(3)利用几何条件构造不等关系．
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围．
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
1．（2023秋·高二课时练习）椭圆 上的点 的横、纵坐标的范围分别
为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·高二课时练习）在椭圆 中， ， 分别为椭圆的左右顶点， 为左
焦点， 是椭圆上的点，求 的面积最大值（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ， ， 为坐标原点， 为双
曲线上任意一点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知P是双曲线 上的动点，
Q是圆 上的动点，则P，Q两点间的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，点 ，若点A为抛物线任意一点，当 取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型一 范围问题
角度1 根据判别式构造不等关系求范围
例1 (2023·淄博模拟)已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M 在椭
圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且k ＋k ＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的
OA OB
取值范围．
【对点演练1】(2021北京,20)已知椭圆E:x2 y2 =1(a>b>0)过点A(0,-2),以四个顶点
+
a2 b2
围成的四边形面积为4❑√5.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交直线y=-3于点
M,N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.
【对点演练2】已知椭圆C:x2 y2 =1(a>b>0),P(2 ,0),Q( ❑√7)是椭圆C上的两点.
+ ❑√2 1,
a2 b2 2
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线与椭圆C交于A,B两点,交y轴于点M(0,m),使|⃗OA+2⃗OB|
=|⃗OA-2⃗OB|成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
角度2 利用圆锥曲线上点的有界性求范围
例2（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）已知椭圆
的离心率为 ，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆 上运动且半径为 的圆是椭圆 的“环绕圆”.过原点 作椭
圆 的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆 于 两点，若直线 的斜率存在，并记为 ，求 的取值范围.
角度3利用条件的不等关系建立不等式
例3（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．直线 与抛
物线 相切于点 且与 轴交于点 ，点 是点 关于点 的对称点，直线 与抛物线
交于另一点 ，与准线 交于点 ．
(1)证明：直线 直线 ;
(2)设 的面积分别为 ，若 ，求点 的横坐标的取值范围．
【对点演练】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，抛物线上一
点 到F的距离为3，
(1)求抛物线C的方程和点A的坐标；
(2)设过点 且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若 ，
求斜率k的取值范围．
角度4 构造函数求范围
例4（2024·四川省成都开学考）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，点 在椭圆 上.(1)求椭圆 的方程；
(2)如图， 四边形 是矩形， 与椭圆 相切于点 与椭圆 相切于点
与椭圆 相切 于点 与椭圆 相切于点 ， 求矩形 面积的取值范围.
【对点演练】（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知椭圆 的左、
右焦点分别为 ，点 为椭圆 上两点．
(1)若直线 过左焦点 ，求 的周长；
(2)若直线 过点 ，求 的取值范围；．
题型二 最值问题
角度1 利用判别式求最值
例5、平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、
右焦点分别是 、
．以 为圆心以3为半径的圆与以 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 上．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 ： ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线
交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 ．( i )求 的值；（ii）求△ 面
积的最大值．
角度2 利用几何性质求最值例6（2023·全国·高三专题练习）设双曲线 的右顶点为 ，虚轴长
为 ，两准线间的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设动直线 与双曲线 交于 两点，已知 ，设点 到动直线 的距离为 ，
求 的最大值.
角度3构造函数求最值
例7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知椭圆 ： 的
离心率 ，点 ， 为椭圆 的左、右焦点且经过点 的最短弦长为3．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于不同两点 ， ， 与直线
交于点 ，若 ，且点 满足 ，求 的最小值．
【对点演练】（2023·北京通州·统考三模）已知椭圆 的离心率为
，椭圆 截直线 所得线段的长度为2.
(1)求椭圆 的方程
(2)动直线 交椭圆 于 ， 两点，交 轴于点 ， 为线段 的
中点，点 是 关于 的对称点，以 点为圆心的圆过原点 ，直线 与 相切
于点 ，求 的最大值
角度4 利用基本不等式求最值
例8（2022·全国甲卷）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直
线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，｜MF｜＝3.
（1）求C的方程；
（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为
α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程.【对点演练1】（2023春·广西·高二校联考期中）已知椭圆 的长轴
长是短轴长的 倍，且椭圆C经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使 面积最大时
直线l的方程．
【对点演练 2】（2023·全国·高三对口高考）已知直线 经过椭圆
的左顶点 和上顶点 ，点 是椭圆 上位于 轴上方的动点，
为椭圆 的右顶点，直线 、 与直线 分别交于 、 两点．求线段 的长
度的最小值．
【对点演练3】（2023·高二课时练习）已知双曲线 （ ， ）的左、右
焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上， ， 的最小值 ， ，且满足
．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若 ，过点 的直线交双曲线于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点
（异于坐标原点 ），求 的最小值．
1.已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q（－3，3），则｜PQ
｜＋d的最小值为 （ ）
A.5 B.❑√30＋1
C.❑√30－1 D.4
2.已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l ，l ，直线l 与C交
1 2 1
于A，B两点，直线l 与C交于D，E两点，则｜AB｜＋9｜DE｜的最小值为 （ ）
2A.32 B.48
C.64 D.72
x2 y2
3.已知点P是椭圆 ＋ ＝1（x≠0，y≠0）上的动点，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，
25 16 1 2
O是坐标原点，若M是∠F PF 平分线上一点，且⃗F M·⃗MP＝0，则｜OM｜的取值范围是
1 2 1
.
x2 y2
4.已知F ，F 分别为椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，满足⃗M F ·⃗M F ＝0的点
1 2 a2 b2 1 2
M总在椭圆的内部，则此椭圆离心率的取值范围为 .
5.斜率为－1的直线过抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A，B，M为抛
物线上曲线段AB上的动点，若｜AB｜＝12.
（1）求抛物线的方程；
（2）求S 的最大值.
△ABM
x2 y2 ❑√3 x2 y2
6.已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，其短轴长与双曲线 － ＝1的
a2 b2 2 4 2
实半轴长相等.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AB与曲线D：x2＋y2＝b2相切，与椭圆C交于A，B两点，求｜AB｜的取值范
围.
x2 1
7.如图所示，已知椭圆 ＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋ 对称.
2 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.
❑√3
8.已知椭圆的一个顶点A（0，－1），焦点在x轴上，离心率为 .
2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M，N.当｜AM｜＝｜AN｜时，求
m的取值范围.
2❑√3
9.已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，离心率为 ，且过点（❑√6，1）.
3
（1）求双曲线的标准方程；
（2）双曲线的左、右顶点分别为A，B，且动点C（m，n），D（m，－n）在双曲线上，
直线BC与直线AD交于点P，M（－❑√2，0），N（❑√2，0），求⃗PM·⃗PN的取值范围.10.(2022·泉州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭
圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范
围．
1
11.已知点A （－❑√6，0），A （❑√6，0），直线PA ，PA 的斜率之积为－ ，设点P的
1 2 1 2 6
轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
