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3.1 导数的运算及几何意义
1
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2
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3
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4
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考点一 导数的运算
【例1-1】（20224 北京）求下列函数的导数：
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
；
(5)
；(6)
；(7)
；(8)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【解析】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
（5）
．
（6）
．
（7）
．
（8）方法一：
；
方法二：
，
．
【例1-2】（2024 甘肃酒泉）求下列函数的导数：
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
5
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【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
【一隅三反】
1．（2024 天津）求下列函数的导数
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
；(5)
；(6)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
；
（4）
；
（5）令
，令
，则
；
（6）
.
2．（2024 山东菏泽·阶段练习）求下列函数的导数：
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
．
(5)
(6)
(7)
(8)
【答案】(1)
(2)
；(3)
；(4)
．
6
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(5)
；(6)
；(7)
；(8)
.
【解析】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
（5）
.
（6）
，则
.
（7）
，则
.
（8）
.
考点二 求导数值
【例2】（2024 广东中山）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于函数
，则其导函数为：
，
代入
，可得：
，解得：
，故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·江西·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
得
,
7
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将
代入可得
，
，
故
，因此
.
故选：C.
2．（2024·上海黄浦）已知函数
，则
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
则
，解得：
，
所以
，则
.
故答案为：
.
3．（2023 春·江苏）如图，函数
的图象在点
处的切线是，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】D
【解析】由题可得函数
的图象在点
处的切线与
轴交于点
，与
轴交于点
，
则切线
，
，
，
.故选：D．
考点三 导数的几何意义
【例3-1】（2024 广东江门）已知直线l：
，且与曲线
切于点
，则
的值为（ ）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【答案】C
8
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【解析】由直线
与曲线
切于点
，知
.由导数的定义知，
.
故选：C
【例3-2】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线
在
处的切线为，则的斜率为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】对
求导得，
，由题意曲线
在
处的切
线的斜率为
.
故选：A.
【例3-3】（2024·山东潍坊·三模）若
为函数
图象上的一个动点，以
为切点作曲线
的切线，则切线倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
点坐标为
，由
，
，得
，
则以
为切点的切线斜率为
，令切线倾斜角为
，
，则
，
则
.故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线
在原点处相切，则的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【解析】由
，则
，即直线的斜率为
，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为
.
故选：C
2．（2024·新疆阿克苏）若直线
与曲线
相切，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，由导数的几何意义可知，
.故选：A
3．（2024·福建福州）已知函数
，且其图象在点
处的切线的倾斜角为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
所以
，解得
，
所以
由题意可知，
，
所以
.
故选：B.
4．（2024 春·河南）点P 在曲线
上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α 的取值范围是
【答案】[0，
【解析】因为
，所以
，因为
，所以
，又
，所以
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，故选：D.
5．（2024 福建莆田）设P 为曲线C：
上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是
，则点P 横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
又曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为
，
所以其斜率
，
所以
，解得
，
所以点P 横坐标的取值范围为
，
故选：D.
6．（2024·河北）已知函数
的导函数为
，且满足关系式
.则
的图像上
任意一点处的切线的斜率的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
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所以
，当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值
为
，
所以
的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为
.
故答案为：
.
考点四 在型切线方程
【例4-1】（2023·全国·高考真题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设曲线
在点
处的切线方程为
，
因为
，所以
，所以
所以
所以曲线
在点
处的切线方程为
.故选：C
【例4-2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
，则曲线
在
处的
切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在
处的切线方程为
.故选：A
【一隅三反】
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1．（2024·河南开封·二模）已知函数
，则函数
的图象在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
，求导得
，则
，而
，
所以所求切线方程为
，即
.
故选：D
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知
，
，
∴曲线
在
处的切线的斜率为
，
∴曲线
在
处的切线方程为
，且
.
故选：C．
3．（2024·湖南·二模）（多选）下列函数的图象与直线
相切的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】选项A 中，若
与
相切，设切点为
，
易知
，则
，解得
，即切点为
，切线为
，A 正确；
选项B 中，若
与
相切，设切点为
，
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易知
，则
，解得
，切点为
，切线方程为
，即B 错误；
选项C 中，若
与
相切，设切点为
，
易知
，则
，解得
，
当
时，切点为
，切线方程为
，C 正确；
选项D 中，易知
与
有三个交点，
，
又
，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以
不是切线，D 错误.
故选：AC
考点五 过型切线方程
【例5】（2024·贵州·模拟预测）过点
作曲线
的切线，请写出切线的方程 .
【答案】
或
【解析】设切点为
，而
，
所以切线的斜率
，故切线方程为
，
因为切线过点
，
，
化简可得
或
，则切点为
或
，
则代入得切线方程为：
或
，
故答案为：
或
.
【一隅三反】
1．（2024·云南·模拟预测）曲线
过坐标原点的切线方程为 .
【答案】
【解析】设切点为
，则
，
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，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
又切线过原点，所以
，即
，
解得
，所以切线方程为
.
故答案为：
2．（2024·江苏南通·二模）过点
作曲线
的切线，则切线的方程为 .
【答案】
或
【解析】
，则
．
设切点坐标为
，则切线斜率为
，
切线方程为
，
代入点
，得
，即
，解得
或
．
当
时，切线方程为
；当
时，切线方程为
．
故答案为：
或
3．（2023 吉林）已知函数
，则曲线
过点
的切线方程为______．
【答案】
或
【解析】设切点为
，
，则切线斜率为
，
故曲线
在
处的切线方程为
，
将点
的坐标代入切线方程可得
，解
或
，
故所求切线方程为
或
，即
或
.
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故答案为：
或
.
考点六 公切线
【例6】（2024·全国·模拟预测）曲线
与
的公切线方程为 .
【答案】
【解析】设曲线
上的切点为
，曲线
上的切点为
.
因为
，
则公切线的斜率
，所以
.
因为公切线的方程为
，即
，
将
代入公切线方程得
，
由
，得
.
令
，则
，
当
时，
；当
时，
0，
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
所以
，
故公切线方程为
，即
.
故答案为：
.
【一隅三反】
1.（2023 安徽）已知直线l 与曲线
、
都相切，则直线l 的方程为______．
【答案】
或
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【解析】由
得
，设切点为
，所以切线的斜率为
，
则直线l 的方程为：
；
由
得
，设切点为
，所以切线的斜率为
，
则直线l 的方程为：
．
所以
，
，
消去
得
，
故
或
，所以直线l 的方程为：
或
．故答案为：
或
2．（2024·四川·模拟预测）写出与函数
在
处有公共切线的一个函数
．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为
，所以
，
则
，
，依题意只需满足
，
即可，
不妨令
，则
，则
，又
，符合题意．
故答案为：
（答案不唯一）
3．（2024·全国·模拟预测）试写出曲线
与曲线
的一条公切线方程 .
【答案】
或
（写出一个即可）
【解析】设公切线与曲线
切于点
，
与曲线
切于点
.
由
，得
.由
，得
.
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令
，即
，则
，
且
，
即
，
化为
，
所以
，解得
或
.
当
时，
，
，
此时切线的方程为
，即
.
当
时，
，
，
此时切线的方程为
，即
.
综上可知，切线的方程为
或
，写出任意一个即可.
故答案为：
或
，写出任意一个即可
考点七 已知切线求参
【例7-1】（2024 山东泰安）若函数
的图像在点
处的切线恰为直线
，
则
（ ）
A．3
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】函数
的导数为
，
由题意可得，图像在点
处的切线恰为直线
，
所以
，
，解得
，
，
即
．故选：D．
【例7-2】（2024·全国·模拟预测）若直线
与函数
的图象相切，则
的最小值为（ ）
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A．e
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得
，设切点为
，则切线方程为
，即
依题意，
，故
．
设
， 则
，当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单
调递增，
故
的极小值为
，也是最小值，即
的最小值为
．
故选：C.
【例7-3】（2023 春·河南周口 ）已知曲线
在
处的切线过点
，则实数
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
曲线
在
处的切线的斜率为
，
又因为
，曲线
在
处的切线过点
，
故
，则
．
故选：B．
【例7-4】（2024·福建·模拟预测）已知直线
既是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】设直线与曲线
的切点为
且
，
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与曲线
的切点为
且
，
又
，
，
则直线
与曲线
的切线方程为
，即
，
直线
与曲线
的切线方程为
，即
，
则
，解得
，故
，
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024·陕西西安·二模）已知直线
与曲线
相切于点
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【解析】∵点
在曲线
上，
，解得
，
由题意得，
，∴在点
处的切线斜率
，
把
代入
，得
，
故选：D．
2．（2024 河南郑州·期中）若曲线
在
处的切线与直线
垂直，则实数
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】因为
，所以
，则
，
所以曲线
在点
处的切线的斜率为
，
又直线
的斜率
，
由切线与直线垂直可知
，即
，解得
．
故选：B．
20
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3.（2023 广东湛江）过点
可以作曲线
的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则
的值
为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】D
【解析】
，设切点为坐标
，则
，
即
，则
，由题意知
有两解，分别为m，n，
故
，故选：D.
4．（2024·四川绵阳）若函数
与函数
的图象在公共点处有相同的切线，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设函数
与函数
的图象公共点坐标为
，
求导得
，依题意，
，于是
，
令函数
，显然函数
在
上单调递增，且
，
则当
时，
，因此在
中，
，此时
，经检验
符合题意，
所以
.
故选：B
5．（2024·陕西宝鸡）已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切，则
.
【答案】
/
【解析】因为
的导数为
，则
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
，
又切线
与曲线
相切，设切点为
，
21
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因为
，所以切线斜率为
，解得
，
所以
，则
，解得
.
故答案为；
.
考点八 切线的条数
【例8-1】（2024 安徽合肥）已知函数
，过点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】解法一 由
，得
．设切点坐标为
，
则切线方程为
，
把
代入可得
，即
，
因为
，所以该方程有2 个不同的实数解，故切线有2 条．
解法二 由
，得
，令
，得
．
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的极小值为
，且
，则点
在曲线
的下方，
数形结合可知，过点
可作曲线
的2 条切线．
故选：B
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【例8-2】（2024·云南）若曲线
有两条过点
的切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设切点为
，由已知得
，则切线斜率
，
切线方程为
．
∵直线过点
，∴
，
化简得
．∵切线有2 条，
∴
，则
的取值范围是
，
故选：D
【例8-3】（2023·全国·模拟预测）若过点
可作函数
图象的两条切线，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设切点为
，
，
又
，所以切线斜率
，
所以切线方程为
，
又切线过点
，
则
，
，
即
，
23
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由过点
可作两条切线，
所以
有两个正根，
即
，整理可得
，
故选：C.
【一隅三反】
1（2023 福建）已知函数
，则过点
可作曲线
的切线的条数最多为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为函数
，所以
，
设过点
作曲线
的切线，切点为
，
则有
，也即
，
又因为
，所以
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
或
时，
，函数
单调递增，
综上：函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
又因为
，
，
所以函数
有三个零点，分别在区间
上，
也即方程
有三个不同的根，
所以过点
作曲线
的切线，有三个不同的切点，
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也即过点
可作曲线
的切线的条数最多为，故选：
.
2．（2024 湖北·一模）已知过点
作曲线
的切线有且仅有两条，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设切点为
，
，
，
则切线方程为：
，
切线过点
代入得：
，即
，
即方程
有两个解，则有
，解得
或
．
故选：A
3．（2023·湖南·二模）若经过点
可以且仅可以作曲线
的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【解析】设切点
．因为
，所以
，
所以点
处的切线方程为
，
又因为切线经过点
，所以
，即
.
令
，则
与
有且仅有1 个交点，
，
当
时，
恒成立，所以
单调递增，显然
时，
，于是符合题意；
当
时，当
时，
，
递减，当
时，
，
递增，所以
，
则
，即
．
综上，
或
．
故选：D
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考点九 切线的应用
【例9-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线
上的点到直线
距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，
设该曲线在点
处的切线为，
需求曲线到直线
的距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以
，解得
，则切点为
，
故切线的方程为
，即
，
所以直线
到直线
的距离为
，
即该曲线上的点到直线
的最小距离为
.
故选：C
【例9-2】（2024·全国·模拟预测）若直线
与曲线
（
且
）无公共点，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，直线
与曲线
必有一个公共点，不合题意，
当
时，若直线与曲线相切，设直线
与曲线
相切于点
，则
，得
．
由切点在切线上，得
，
26
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由切点在曲线上，得
，
所以
，
．
如图所示：
故当直线
与曲线
（
且
）无公共点时，
．
故选：D
【一隅三反】
1．（2024 江西吉安·期末）若动点
在曲线
上，则动点
到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，由题意知
，
则在点
处的切线斜率为
，
当在点
处的切线与直线
平行时，点
到直线
的距离最小，
由
，得
，则
，
所以点
到直线的距离
.
所以动点
到直线
的距离的最小值为
.
故选：A
2．（2024·陕西汉中·二模）若点P 是曲线
上任意一点，则点P 到直线
的距离的最小值
为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设平行于直线
且与曲线
相切的切线对应切点为
，
由
，则
，
令
，
解得
或
（舍去），
故点P 的坐标为
，
故点P 到直线
的最小值为：
.
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）动直线分别与直线
，曲线
相交于
两点，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设点
是直线
上任意一点﹐点
是曲线
上任意一点，当点
处的切线和直线
平行时，这两条平行线间的距离
的值最小﹐
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因为直线
的斜率等于
，
曲线
的导数
，令
，
可得
或
(舍去)，故此时点
的坐标为
，
，
故选：A.
一．单选题
1.（2024·内蒙古）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
，∴
，
∴曲线
在点
处的切线的斜率
，
∵切线与直线
垂直，∴直线
的斜率为
，
∴
.故选：C.
2．（2024·河南·模拟预测）函数
与直线
相切于点
，则点
的横坐标为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【解析】设函数
与直线
相切于点
，直线
的斜率为
，
，所以
，所以
．故选：B．
3．（2024 陕西咸阳·阶段练习）已知函数
，过原点作曲线
的切线，则切点
的坐标为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知：
，设切点为
，则切线方程为
，
因为切线过原点，所以
，
解得
，则
.故选：B
4.（2023·湖北·统考模拟预测）已知
，
，直线
与曲线
相切，则
的最
小值是（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4
【答案】D
【解析】对
求导得
，
由
得
，则
，即
，
所以
，
当且仅当
时取等号．故选：D．
5.（2024·福建福州）已知函数
，且其图象在点
处的切线的倾斜角为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
所以
，解得
，所以
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由题意可知，
，
所以
.故选：B.
6．（2024·河南信阳·模拟预测）若直线
与曲线
相切，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于
，有
，令切点为
，则切线方程为
，
即
，即有
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，
又当
趋向于正无穷大时，
趋向于负无穷，
故
，即
.
故选：A.
7．（2024 北京）若过点
与曲线
相切的直线只有2 条，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设过点
的直线与曲线
相切于点
，
由
，可得
，所以切线
的斜率
，
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整理得
，
因为切线有2 条，所以切点有2 个，即方程
有2 个不等实根，
则
，解得
或
，
所以
的取值范围是
．
故选：D．
8．（2024 浙江湖州·期末）已知函数
，若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知：
，
设函数
上的切点坐标为
，函数
上的切点坐标为
，
且
，
，则公切线的斜率
，可得
，
则公切线方程为
，
代入
得
，
代入
可得
，整理得
，
令
，则
，
若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则方程
有两个不同的实根，
设
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
则
在
内单调递增，在
单调递减，可得
，
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且当x 趋近于
时，
趋近于
；当x 趋近于
时，
趋近于，
可得
，解得
，故实数
的取值范围为
.
故选：A.
二．多选题
9．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
有2 个零点
B．若
，则
有3 个零点
C．存在负数
，使得
只有1 个零点D．存在负数
，使得
有3 个零点
【答案】ABC
【解析】由题意知
的零点个数即为
和
的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画出
和
的图象.
对A，由图可知，当
时，图象有两个不同的交点，故A 正确；
对B，设直线
与曲线
相切于点
，
则
，故切线斜率
，
所以当
，直线
与
有3 个不同的交点，
即
有3 个零点，故B 正确；
对C，设直线
与曲线
相切于点
，
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则
，故切线斜率
，
所以当
时，
恰有1 个零点，故C 正确；
对D，当
时，直线
与
的图象至多有2 个交点，故D 错误；
故选：ABC.
10．（2024 安徽合肥）已知函数
（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．曲线
的切线斜率可以是
B．曲线
的切线斜率可以是3
C．过点
且与曲线
相切的直线有且只有1 条
D．过点
且与曲线
相切的直线有且只有2 条
【答案】BCD
【解析】因为
，所以
，
对于A：令
，方程无解，所以曲线
的切线斜率不可以是
，故A 错误；
对于B：令
，解得
，所以曲线
的切线斜率可以是，故B 正确；
对于C：设切点
，则切线方程为
，因为点
在切线上，
所以
，即
，显然
，所以
，
故过点
且与曲线
相切的直线有且只有1 条，故C 正确；
对于D：设切点
，则切线方程为
，
因为点
在切线上，
，所以
，
令
，则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，所以存在
使得
，
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所以方程
有且仅有两个实数根，
所以过点
且与曲线
相切的直线有且只有
条，故D 正确；
故选：BCD
11．（2024·广东）已知函数
，则过点
恰能作曲线
的两条切线的充分条件
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由
，得
，
设切点为
，则切线的斜率为
，
所以有
，
整理可得：
，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令
，
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，因为
，
所以当
时，
；当
时，
，
①当
，即
时，
当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，则函数
单调递增，
35
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所以只要
或
，即
或
；
②当
，即
时，
当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
函数
单调递减，
当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
，
所以只要
或
，由
可得：
，
由
得
；
③当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当
时，
或
；
当
时，
或
，
所以选项A 正确，B 正确，C 错误，D 错误，
故选：AB
三．填空题
12．（2024·四川遂宁·二模）已知
，则曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】
，则
，又
，
故切线方程为
，即
.
故答案为：
.
13．（2023·河南·模拟预测）已知直线
是曲线
与
的公切线，则
.
【答案】
/
36
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【解析】对于函数
，则
，
设
是曲线
上的一点，切线斜率
，
所以
在点
处的切线方程为
，即
，
对于函数
，则
，
根据斜率关系可得：
，解得
，
可得
，可知切点坐标为
，
则切线方程为
，即
，
可得
，整理得
，解得
或
，
当
时，切线方程为
，此时
，不符合题意，舍去；
当
时，切线方程为
，故
，
；
综上所述：
.
故答案为：
.
14．（2024·四川宜宾·二模）已知
为抛物线
的焦点，过直线
上的动点
作抛物线的切线，
切点分别是
，则直线
过定点 .
【答案】
【解析】设
，
由
，得
，则
，
则抛物线
在点
处得切线方程为
，
即
，
又
，所以
，
又因为点
在切线
上，所以
，①
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同理可得
，②
由①②可得直线
的方程为
，
所以直线
过定点
.
故答案为：
.
四．解答题
15．（2024 江苏常州）已知函数
.
(1)求曲线
过点
处的切线；
(2)若曲线
在点
处的切线与曲线
在
处的切线平行，求的值.
【答案】(1)
或
(2)
【解析】（1）由导数公式得
，
设切点坐标为
，设切线方程为：
由题意可得：
，
所以
或
，
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从而切线方程为
或
.
（2）由(1)可得：曲线
在点
处的切线方程为
,
由
，可得曲线
在
处的切线斜率为
，
由题意可得
， 从而
，
此时切点坐标为
，曲线
在
处的切线方程为
，
即
，故符合题意，所以
.
16．（2024 四川成都）已知函数
．若曲线
在点
处的切线为
(1)分别求
的导数，并求切线为的方程；
(2)若点
在曲线
上，在点
处的切线
与直线平行，求切线
的方程．
【答案】(1)
，
，
(2)
【解析】（1）由导数公式得
，
由复合函数求导法则得
；
由
可得曲线
在点
处的切线的斜率
，
从而切线方程为
，即
（2）由
，设
，
则
在点
处的切线斜率为
，
由题意可得
，从而
，
此时切点坐标为
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，
39
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即切线
的方程为，故
.
17．（2024 湖南长沙）已知函数
在区间
上的最小值为－2．
(1)求a；
(2)（ⅰ）若过点
存在2 条直线与曲线
相切，求m 的值；
（ⅱ）问过点
，
，
分别存在几条直线与曲线
相切?（只需写出结论）
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
或
（ⅱ）1；1；2
【解析】（1）由题意，
，令
，解得
，
在
和
上
，则
单调递增，
在
上
，则
单调递减.
当
时，在区间
上
单调递减，则
，
解得
，不满足题意；
当
时，在区间
和
上
单调递增，
在区间
上
单调递减，
则
，即
，或
，即
；
综上所述，
.
（2）设过点
的直线与曲线
相切于点
，则
，且切线斜率为
，所以切线方程为
，
因此
，整理得：
，
40
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设
，则“过点
存在2 条直线与曲线
相切”等价于“
有2 个不同零
点”，
，
与
的情况如下：
0
2
+
0
0
+
递增
递减
递增
所以，
是
的极大值，
是
的极小值，
当
或
即
或
时，过点
存在2 条直线与曲线
相切，故
或
.
（ⅱ）过点
存在1 条直线与曲线
相切；
过点
存在1 条直线与曲线
相切；
过点
存在2 条直线与曲线
相切.
18．（2024 云南·阶段练习）牛顿迭代法是牛顿在17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.
比如，我们可以先猜想某个方程
的其中一个根r 在
的附近，如图6 所示，然后在点
处
作
的切线，切线与x 轴交点的横坐标就是
，用
代替
重复上面的过程得到
；一直继续下去，得到
，
，
，…，
.从图形上我们可以看到
较
接近r，
较
接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于
是，求r 近似解的过程转化为求
，若设精度为
，则把首次满足
的
称为r 的近似解.
已知函数
，
.
41
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(1)试用牛顿迭代法求方程
满足精度
的近似解（取
，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若
对任意
都成立，求整数a 的最大值.（计算参考数值：
，
，
，
，
）
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解： 因为
，则
，
，曲线
在
处的切线为
，且
，
，曲线
在
处的切线为
，且
，
故用牛顿迭代法求方程
满足精度
的近似解为
.
（2）将
整理得到：
，
令
，
，
因为
，令
，即
，得
或
，
令
，即
，得
，
所以
在
上为增函数，在
上为减函数，
所以
的极小值为
，
因此
有且仅有一个零点
，所以
有且仅有一个极小值点
，即
，
42
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所以有
，
方法一：由（1）有
，则
.
方法二：
.
，
所以，
能取到的最大整数值为
.
19．（2024 山东）过曲线
：
上的点
作曲线
的切线与曲线
交于
，过点
作曲线
的切线
与曲线
交于点
，依此类推，可得到点列：
，
已知
．
(1)求点
，
的坐标；
(2)求数列
的通项公式；
(3)记点
到直线
（即直线
）的距离为
，求证：
．
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【解析】（1）依题意，
，由
求导得
，
，则过点
的切线为
，
由
消去
得
，即
，解得
或
，
于是
，
，则过
的切线为
，
由
消去
得，
，解得
或
，于是
，
43
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所以
，
．
（2）由（1）知，曲线
上点
处的切线
的斜率
，
则直线
的方程为
，
由
消去
得，
，
化简得
，解得
或
，点
的坐标
，
因此
，即数列
是首项为1 公比为
的等比数列，
所以
．
（3）由（2）知：点
，
，
于是直线
的方程为：
，化简得：
，
则
，即
，
所以
.
44
