文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3.3 指数运算及指数函数（精讲）
一.根式
1.如果xn＝a，那么叫做a 的n 次方根；
2.式子叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数；
3.()n＝．当n 为奇数时，＝；当n 为偶数时，＝|a|＝
二.分数指数幂的意义
1.分数指数幂
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
0
③的分数指数幂：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义．
2.实数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
三．指数函数的概念、图象与性质
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R，a 是底数．
易错点：形如y＝kax，y＝ax＋kk R
∈
且k≠0，a>0 且a≠1的函数叫做指数型函数，不是指数函数.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域为，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
当x>0 时，恒有y>1；当x<0 时，恒有0<y<1
当x>0 时，恒有0<y<1；当x<0 时，恒有y>1
在定义域R 上为增函数
在定义域R 上为减函数
注意
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a 的取值有关，应分a>1 与0<a<1 来研究
一．指数幂运算原则
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
二．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
三．指数函数的图象与底数大小的比较
1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d 与1 之间的大小关系为
c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1 与图象的交点进行判断．
3.比较指数式的大小的方法是
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
考法一 指数幂运算
【例1】（2023·贵州）化简求值
（1）
（2）
．
(3)
；
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(4)
（5）已知：
，求
的值．
【一隅三反】
1.（2023·安徽）计算或化简下列各式：
(1)
； (2)
．
(3)
；
(4)已知
，求下列各式的值：
①
；
②
．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023·云南）解下列方程：
(1)
； (2)
； (3)
；(4)
．
考法二 指数函数的三要素及定点
【例2-1】（2023·广东）函数①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
；⑧
中，是指数函数的是_________．
【例2-2】（2023 广东湛江）函数
的定义域为________．
【例2-3】（2023·上海奉贤）点
、
都在同一个指数函数的图像上，则t=________．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【例2-4】（1）（2023 春·湖北咸宁）当
时，函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2023·辽宁丹东）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-5】（1）（2023 云南）函数
恒过定点
（2）（2023·全国·高三专题练习）函数
且
的图象恒过定点A，若点A 在直线
上，其中
，
，则
的最小值为__________.
【一隅三反】
1．（2023 春·山东滨州）函数
的定义域为
2．（2023·上海）已知函数
是指数函数，求实数a 的值 ．
3．（2023·江西）下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号）
①
﹔②
；③
；④
（a 为常数，
，
）；⑤
；⑥
﹔⑦
．
4．（2023 春·北京顺义）函数
的定义域为___．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
是定义域为
的奇函数，且当
时，
．
求函数
的解析式 .
6．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数
，
，则其值域为_______．
7．（2023 春·上海嘉定）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是______.
8.（2023 北京）函数
且
的图象恒过某定点，则此定点为
考法三 指数函数的单调性及综合运用
【例3-1】（2023 春·河南周口）函数
的单调递增区间为______.
【例3-2】（2023 湖北）函数
在区间
上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（1）（2023 春·上海嘉定）不等式
的解集为______．
（2）（2022·海南·校联考模拟预测）不等式
的解集为
【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）设
，
，
，则（ ）．
A．
B．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
D．
【一隅三反】
1.（2023 新疆）已知函数
|在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是_____.
2.（2022 天津）求函数
的单调区间 .
3．（2023·河北）已知函数
，则不等式
的解集是
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在
上单调，则a 的取值范围是
5．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，则
、
、的大小关系为
_____________
6.．（2023·江苏宿迁）若
，
，且满足
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
考法四 指数函数的奇偶性
【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）若函数
为奇函数，则
_________
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【例4-2】2023·全国·高三专题练习）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．-1
B．-2
C．2
D．1
【例4-3】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数
在定义域
上满足
，若
在
上是减函数，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）若
为奇函数，则实数
______.
2．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数
，则
（ ）
A．是奇函数，且在R 上是增函数
B．是偶函数，且在R 上是增函数
C．是奇函数，且在R 上是减函数
D．是偶函数，且在R 上是减函数
3（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数
是定义在R 上的偶函数，且
，若
，
，则
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的定义域为
，
是偶函数，
是奇
函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考法五 指数函数的图像
【例5-1】（2023 春·内蒙古赤峰）若
的图像如图，（
，
是常数），则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例5-2】（2023·北京·人大附中校考三模）已知函数
，
，则大致图象如图的函数可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·云南）函数
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·江苏南京）已知函数
的图象如图所示，则
可以为（ ）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
考法六 指数函数的综合运用
【例6-1】（2023·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
与时间（单位：
）间的关系为
，其中
，
是正的常数．如果在前
消除了
的污
染物，则10 小时后还剩下百分之几的污染物？（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-2】（2023 春·湖北襄阳）已知函数
，则
的图象（ ）
A．关于直线
对称B．关于点
对称
C．关于直线
对称D．关于原点对称
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
为偶函数，则函数
的值域为
___________.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若不等式
在R 上恒成立，则
实数m 的取值范围是________.
3．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若关于
的不等式
在
上
恒成立，则实数
的取值范围是____________.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
13
