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微信号：Xueba-2024
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重难点05 几何证明压轴题
北京中考几何证明题的特点在于强调几何直观、模型应用、综合性考查以及创新性情境设置，同时难度逐
年提升，注重学生逻辑推理能力和实际应用能力的培养。这些特点体现了北京中考数学试题对学生全面素
质的重视。解答几何证明题需要多种解题策略。例如，学生可以通过构造辅助线、利用相似性或全等性来
简化问题。北京中考几何证明题近年来更加注重创新性和情境设置。例如，2023 年的一道几何综合题涉及
等腰三角形、菱形和正方形的判定，考查了学生灵活运用多种几何知识的能力。2024 年的几何题则通过动
态几何画板演示，帮助学生更直观地理解几何元素之间的关系。从近年的题目来看，北京中考几何证明题
的难度呈现逐年上升的趋势。例如，2024 年的几何压轴题被认为是近年来最难的一道几何题，考查了学生
对旋转、相似、全等等复杂几何变换的综合运用能力。
【题型1 探究数量关系】
考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂
直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活
运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
1．(22-23 九下·北京首都师范大学附属中学二模·)如图1，在
ABC
V
中，
90
BAC
AB
AC BD
CD
Ð
=
°
=
^
,
,
于点
D，连接AD ，在CD 上截取CE ，使CE
BD
=
，连接AE ．
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(1)直接判断AE 与AD 的位置关系
(2)如图2，延长AD ，CB 交于点F，过点E 作EG
AF
∥
交BC 于点G，试判断FG 与AB 之间的数量关系，
并证明；
(3)在（2）的条件下，若
2
AE =
，
2
CE =
，求EG 的长．
2．（2024 年北京市中考真题）已知
0
45
MAN
a
a
Ð
=
° <
<
° ，点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC
绕点B 顺时针旋转180
2a
°-
得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E .
(1)如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；
(2)如图2，当点D 在
MAN
Ð
内部时，作DF
AN
∥
，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量
关系，并证明。
3．（2024 年北京市顺义区中考二模）如图，
ABC
V
中，AB
AC
=
，
BAC
a
Ð
=
，D 为AC 上一点（不与点
A、C 重合），将线段DA 绕点D 顺时针旋转a ，得到线段DE ，连接BD ．并延长到点F，使DF
BD
=
，作
射线FE ，交射线BA 于点G．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：
2
BG
DE
=
；
(3)在射线BA 上取点H（不与点G 重合），使AH
AG
=
．连接CH
CF
、
，用等式表示线段CH 与CF 的数量
关系，并证明．
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4．（2024 年北京市门头沟区九年级中考一模）如图，AB
BC
=
，
90
ABC
Ð
=
°，点P 在射线AB 上，且
90
CEP
Ð
=
°，点F 在EP 上且EF
EC
=
，连接AF ，取AF 的中点G ，连接EG 并延长至H ，使GH
GE
=
，
连接AH ．
(1)如图1，当点P 在线段AB 上时．
①用等式表示AH 与CE 的数量关系；
②连接BH ，BE ，直接写出BH ，BE 的数量关系和位置关系；
(2)如图2，当点P 在线段AB 的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明．
5．（2024 年 北京市东城区北京二中教育集团模拟预测）如图1，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
60 ,
ACB
ABC
D
Ð
=
° Ð
=
°
为AB 边上一点，DE
AB
^
于D ，连接
,
BE P 为BE 中点．
(1)连接PD
PC
、
，判断PD 与PC 的数量关系，并直接写出
DPC
Ð
的度数；
(2)如图2，将
ADE
V
绕点A 顺时针旋转a 度
0
180
a
° <
<
° ．
①请你依据题意补全图形；
②在旋转过程中，
DPC
Ð
的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由．
6．（2024 年北京交通大学附属中学第二分校中考模拟）在等边
ABC
V
中，点D 为BC 的中点，点E 为AD
上一点（不与A、D 重合）将线段EB 绕点E 顺时针旋转至EF ，使点F 落在BA 的延长线上，在图1 中补
全图形：
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(1)求
CEF
Ð
的度数；
(2)探究线段AC
AE
AF
，
，
之间的数量关系；
(3)将线段EC 绕点E 旋转，在旋转过程中与边AB 交于点H，连接CH ，当AE
BH
=
时，请写出CH
CE
+
的
最小值．
7．（2023 年北京市十一学校中考模拟）如图，AB
AC
=
，
90
BAC
Ð
=
°，过点C 作直线l
AC
^
，点D，E
是直线l 上的动点（D 在E 的右侧）且满足DE
AB
=
，连接BD ，
ABD
Ð
的平分线与射线AE 交于点F，与
射线AC 交于点G．
(1)如图1，当点C 在线段DE 上，且
30
CAE
Ð
=
°时，若
6
AB =
，求线段EF 的长；
(2)如图2，当点D 在点C 左侧时，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AG ，CD ，EF 的数量关系，并证明．
【题型2 最值问题】
考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知
识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，解决最值问题需构造二
次函数或者利用几何性质解答。
8．（2024 年北京市燕山区中考数学押题模拟）如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为
边CD 上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD、BC 于点M、N，过Q 作QE⊥AB
于点E，过M 作MF⊥BC 于点F．
（1）当t≠1 时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN 的面积为S，求出S 与自变量t 之间的函数关系式，并求S
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的最小值．
9．（2024 年北京市第二中九年级中考模拟）问题探究：
(1)如图1，在等边
ABC
V
中，
3
AB = ，点P 是它的外心，则PB ＝ ；
(2)如图2，在矩形ABCD 中，
3
AB = ，边BC 上存在点P，使
90
APD
Ð
=
° ，求矩形ABCD 面积的最小值；
问题解决：
(3)如图3，在四边形ABCD 中，
3
AB = ，
90
A
B
Ð
= Ð
=
° ，
45
C
Ð
=
°，边CD 上存在点P，使
60
APB
Ð
=
° ，
在此条件下，四边形ABCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
10．（2024 年北京市第十一中学中考三模）如图1，在等腰Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，点D、E 分别在边
AB 、AC 上，AD
AE
=
，连接DC ，点M、P、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．
(1)观察猜想：
图1 中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：
把
ADE
V
绕点A 逆时针方向旋转到图2 的位置，连接MN ，BD ，判断PMN
V
的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
把
ADE
V
绕点A 在平面内自由旋转，若
4
=
AD
，
10
AB =
，求PMN
V
面积的最大值．
11 ．(北京市东城区2023 年九年级中考一模)如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C
重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C¢，连接AC¢并延长交直线DE 于点P ，F 是AC¢中点，
连接DF ．
(1)求
FDP
Ð
的度数；
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(2)连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明；
(3)若正方形的边长为2 ，请直接写出
ACC¢
△
的面积最大值．
12．(21-22 九下·北京北京师范大学附属实验中学·一模)
ABC
V
为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC 于点D，E 为
线段AD 上一点，
2 3
AE =
．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N 为CE 的中点．
(1)如图1，EF 与AC 交于点G，连接NG，BE，直接写出NG 与BE 的数量关系；
(2)如图2，将
AEF
△
绕点A 逆时针旋转，旋转角为a ，M 为线段EF 的中点，连接DN，MN．当30
120
a
° <
<
°
时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM 的度数并证明，如果不是，请说明理由；
(3)连接BN，在
AEF
△
绕点A 逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN 的最大值．
【题型3 几何与三角函数综合】
主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、
翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．还需熟练掌握三角
函数定义及特殊三角函数值。
13．（北京市石景山区2022-2023 学年中考二模）【模型建立】
（1）如图1，
ABC
V
和BDE
V
都是等边三角形，点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上．
①求证：AE
CD
=
；
②用等式写出线段AD ，BD ，DF 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，
ABC
V
是直角三角形，AB
AC
=
，CD
BD
^
，垂足为D ，点C 关于AD 的对称点F 在BD 边
上．用等式写出线段AD ，BD ，DF 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若
4 2
AD =
，
3
BD
CD
=
，求cos
AFB
Ð
的值．
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14．（2023 年北京市燕山地区中考二模）如图，在每一个四边形ABCD 中，均有AD//BC，CD⊥BC，
∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
(1)如图①，点M 是四边形ABCD 边AD 上的一点，则△BMC 的面积为__________；
(2)如图②，点N 是四边形ABCD 边AD 上的任意一点，请你求出△BNC 周长的最小值；
(3)如图③，在四边形ABCD 的边AD 上，是否存在一点P，使得cos∠BPC 的值最小？若存在，求出此时
cos∠BPC 的值；若不存在，请说明理由．
15．（2024 年北京师范大学附属中学中考一模）已知：在矩形ABCD 中，
6
AB =
，
2 3
AD =
，P 是BC 边上
的一个动点，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点P 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF ．
(1)如图1，当点P 与点C 重合时，则线段EB = ，EF = ；
(2)如图2，当点P 与点B，C 均不重合时，取EF 的中点O，连接并延长PO 与GF 的延长线交于点M，连
接PF
ME
MA
，
，
．
①求证：四边形MEPF 是平行四边形；
②当
1
tan
3
MAD
Ð
=
时，求四边形MEPF 的面积．
16．（2023 年北京市东城区中考数学一模）如图，在正方形ABCD 中，AB＝3，M 是CD 边上一动点（不
与D 点重合），点D 与点E 关于AM 所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB 到点F，使得BF＝DM，
连接EF，AF．
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（1）依题意补全图1；
（2）若DM＝1，求线段EF 的长；
（3）当点M 在CD 边上运动时，能使△AEF 为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM 的值．
17．（2024 年北京市第十一中学中考三模）在
ABC
V
中，
90
ABC
Ð
=
°，AB
BC
=
，点D 为平面内一点．
(1)如图1，若点D 在线段BC 上，且
BAD
CAD
Ð
= Ð
，求tan
BAD
Ð
；
(2)如图2，若点D 为
ABC
V
内部一点，且
135
BDC
Ð
=
° ，连接AD ，点E 为AD 的中点，连接BE ，用等式
表示线段BD ，BE ，CD 的数量关系，并证明：
(3)若点D 满足
135
BDC
Ð
=
° ，当
2
AB =
时，请直接写出AD 的最值．
【题型4 含相似几何证明】
主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角
形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键．
18．（2024·北京海淀·二模）矩形ABCD 中，
2 3
AB =
，
6
AD =
．点E 在边BC 、CD 上运动，连接AE ，将
射线AE 绕点A 逆时针旋转30°，交直线CD 于点F ．
(1)如图1，当点F 恰好与点C 重合时，则
FAD
Ð
= __________度；
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(2)过点E 作EG
AF
^
于点G ，连接DG ．
①如图2，当F 落在线段CD 上时．求
GDC
Ð
的度数；
如图3，当F 落在线段CD 的延长线上且FD
DG
=
时，求FG
AG ．
19．（2023 年北京市海淀区中关村中学中考一模）如图，矩形AOBC 的顶点B，A 分别在x 轴，y 轴上，
点C 坐标是
5,4 ，D 为BC 边上一点，将矩形沿AD 折叠，点C 落在x 轴上的点E 处，AD 的延长线与x
轴相交于点
.
F
(1)如图1，求点D 的坐标；
(2)如图2，若P 是AF 上一动点，PM
AC
^
交AC 于M，PN
CF
^
交CF 于N，设AP
t
= ，FN
s
=
，求s
与t 之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使PMN
V
为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
20．（2024 年北京市陈经纶中学中考一模）已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称(点A 的对称点是点C)，
点E、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF、AE，AE 交BD 于点
G．
（1）如图l，求证：∠EAF=∠ABD；
（2）如图2，当AB=AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM、ED、MF，MF 的延长线交ED 于点N，∠MBF=
1
2 ∠BAF，AF= 2
3 AD，试探究线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的结论．
21．（2024 年北京市平谷区中考二模）如图，在
ABC
V
中，
BAC
AB
AC
a
Ð
=
°
=
，
，点D 为平面上一点，
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连接AD ，将AD 绕着点A 逆时针旋转a°得到线段AE ，连接DE ，取DE 的中点F，取BC 的中点G，连接
DC ，取DC 的中点M，连接FM ．
(1)依题意补全图形；
(2)猜想
GFM
Ð
的度数（用含α 的式子表示），并证明．
22．（2024 年北京大学附属中学中考零模）已知，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，
90
BAC
Ð
=
°，点D 为AC 边上
一动点，连接BD ，过点C 作BD 的垂线交BD 的延长线于点H ．
(1)如图1，过点A 作AN
BC
∥
交CH 的延长线于点N ，连接DN ．
①依题意补全图形；
②用等式表示
NDH
Ð
与
HDC
Ð
之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，当点D 恰为AC 的中点时，E 为BD 上一动点，连接AE ，将射线AE 绕点A 逆时针旋转90°交射
线CH 于点F ．若
2
AB =
，且点E 在运动的过程中始终满足
2
HE
HF
CH
-
=
．请直接写出BE 的取值范围
______．
（建议用时：60 分钟）
23．(22-23 九下·北京第一六六中学·二模)如图，已知Rt ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，D 为斜边AB 的中点，连接
CD ．过C 点做CD 的垂线，并在这条线上（C 的下方）截取
2
CE
CD
=
，连接BE ．
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(1)根据题目条件补全图形；
(2)证明：
A
BCE
Ð = Ð
；
(3)用等式表示AC 、BC 和BE 的数量关系，并证明．
24．（2023 年北京市朝阳区中考二模）在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，点M 在AB 上，点N 在DC 上，
且MN
DE
^
，垂足为点F．
(1)如图1，当点N 与点C 重合时，求证：MN
DE
=
；
(2)将图1 中的MN 向上平移，使得F 为DE 的中点，此时MN 与AC 相交于点H．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段MH
HF
FN
，
，
之间的数量关系，并证明．
25．（2024 年北京市广渠门中学中考二模）如图，OPQ
a
Ð
=
，点A 在PQ上，过点A 作PO 的平行线，与
OPQ
Ð
的平分线交于点B ，M 为PB 的中点，点C 在PM 上，（不与点P
M
，
重合），连接AC ，将线段AC 绕点A
顺时针旋转180
a
°-
，得到线段AD ，连接BD ．
(1)①直接写出线段AP 与AB 之间的数量关系；
②用等式表示线段BD ，BM ，MC 之间的数量关系，并证明；
(2)连接DC 并延长，分别交AB ，PO 于点E
F
，
，过点M 作OP 的垂线，交DC 于点N ．依题意补全图形，
用等式表示线段CF ，CN ，NE 之间的数量关系．
