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4.2 诱导公式与恒等变换
1
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2
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3
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4
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考点一 诱导公式化简
【例1-1】（2024 浙江·期中）已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用诱导公式化简：
已知角
的终边经过点
，可得
，且
.分子分母同时除以
：
.故选：B
【例1-2】（2024 辽宁沈阳·阶段练习）已知
(1)化简
(2)若
，且
，求
的值.
(3)若
是第三象限角，且
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
或
；
(3)
.
【解析】（1）依题意，
.
（2）由（1）知，
，而
，所以
或
.
5
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（3）由
，得
，
由
是第三象限角，得
，
所以
.
【一隅三反】
1．（2024 云南·阶段练习）已知角
的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
，且
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
，
，
，则
．
（2）原式
．
3（2024 四川成都·期中）已知
．
(1)求
的值．
(2)求
的值；
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）原式
；
6
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（2）原式
．
考点二 两角和差与二倍角公式辨析
【例2-1】（1）（2024 江西南昌·阶段练习）
（2）（2024 江苏泰州·阶段练习）
（3）（2024·宁夏银川·二模）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）
，
（2）
（3）因为
所以
，
所以
故答案为：
.
【例2-2】（2023 春·四川遂宁）（多选）下列三角式中，值为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A 选项，
，A 满足条件；
对于B 选项，
，B 满足条件；
对于C 选项，
，C 不满足条件；
7
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对于D 选项，
，D 满足条件.
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024 广东佛山·期中）（多选）下列选项中，值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】选项A：
，故选项A 不符合题意；
选项B：
，故选项B 符合题意；
选项C：
，故选项C 符合题意；
选项D：
，故选项C 符合题意.
故选：BCD.
2．（2023 云南）利用特殊角的三角函数值计算：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5) (6)
【解析】（1）
.
（2）
8
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.
（3）
.
（4）原式
.
.
（5）
.
（6）
.
3．（2024 新疆）求下列各式的值：
(1)
； (2)
； (3)
；
(4)
； (5)
； (6)
；
(7)
； (8)
．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
；(4)
；(5)1；(6)
；(7)
(8)
．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
9
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（6）
；
（7）
；
（8）
．
考点三 辅助角公式
【例3】（2024 上海·课后作业）把下列各式化成
的形式.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
（5）
（6）
（7）
【答案】见解析
【解析】(1) 因为
，所以
.
(2)
.
(3) 因为
，所以
，
10
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其中
满足
，
.
(4) 因为
，所以
，
其中
满足
，
.
（5）
，
即
（6）
（7）
【一隅三反】
11
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（2024 广东潮州）将下列函数化简成
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
【答案】见解析
【解析】（1）
12
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（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
13
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（10）
（11）
（12）
考点四 给值求值
【例4-1】（2024·浙江·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.故选：C
【例4-2】（2024·四川眉山·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，有
，
14
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所以
.故选；A.
【例4-3】（2024 上海宝山·期末）已知
，
，
，则
．
【答案】
【解析】由
，
，
，则
，
则
，
，
.
故答案为：
.
【例4-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
.
故选：D.
【例4-5】（2024·辽宁丹东·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
15
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【解析】解法1：由
，得
，
得
，
得
，所以
，
所以
．
解法2：将
展开得
，
整理得
，
即
，
所以
．
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·河南信阳·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
.
故选：B
2．（2024·安徽合肥·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16
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【答案】D
【解析】由
得
，即
，
所以
，
故选：D
3．（2024·湖南常德·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
.
故选：A.
4．（2024·山东·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
所以
，
17
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所以
.
故选：B
考点五 给值求角
【例5-1】（2024 江苏盐城·期中）已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
又
，
，
故
，故
，
故
.
故选：C
【例5-2】（2024 浙江·期末）已知
为钝角，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于
为钝角，且
，
所以
，
且
，
所以
，
所以
，
故选：D.
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【例5-3】（2024 河南南阳·阶段练习）已知
，
，且
，
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，所以
，
所以
，
.
因为
，所以
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，
则
，
故
（
）.
因为
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，
所以
，所以
.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19
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【答案】D
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
，所以
．
由
，得
，
即
，
所以
，所以
．
又
，所以
．
故选：D
2．（2024·江西九江·二模）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
所以
，
解得
，
所以
，
又
，所以
，所以
.
故选：A
3．（2024 陕西西安·期中）已知
，
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
20
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【解析】因为
，
，
，
则
，
可知
，
，则
，
又因为
，
可得
，
所以
.
故选：D.
考点六 恒等变化
【例6-1】（2024 湖北）化简并求值．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
.
【解析】（1）
.
21
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（2）
.
（3）
.
【例6-2】（2024·安徽阜阳·一模）已知
，则
，
.
【答案】
【解析】由
可得
，即
，
由
可得
，即
，
两式相加可得
，
即
，解得
；
因为
，
，
22
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所以
，
所以
．
故答案为：
；
.
【一隅三反】
1．（2023·重庆·模拟预测）式子
化简的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】原式
.
故选：B.
2．（2024 河南南阳·阶段练习）
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B
23
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3．（2024 北京）
．
【答案】
【解析】原式
，
故答案为：
.
4．（2024 山西）求
.
【答案】
/0.5
【解析】
故答案为：
.
5．（2024 湖南株洲）
．
【答案】
【解析】
24
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.
故答案为：
6．（2024·全国·模拟预测）已知
为锐角，满足
，则
，
．
【答案】
/
/
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
，
因为
为锐角，所以
为锐角，
又
，所以
，
又
，所以
，
所以
．
25
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故答案为：
；
.
一．单选题
1．（2024·广东茂名·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，则
，
所以
.
故选：D
2．（2024·广东·二模）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.
故选：D
3．（2024·河北·三模）已知点
在角
的终边上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
26
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【解析】由题意，
，
所以
.
故选：B.
4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
故选：C
5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
，
所以
，
，
所以
.
故选：D
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
27
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【答案】C
【解析】
，所以
，
两边同除
，得到
，即
.
，
.
故选：C.
7．（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）求值：
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以
.
故选：A
8．（2024 山西）已知
，则（ ）
A．
B．
28
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C．
D．
【答案】D
【解析】由已知可将
，
，
则
，
，
，即
或
．
又
，所以
，
所以
，所以选项A，B 错误，
即
，则
，所以
．则C 错，D 对，
故选：D
二．多选题
9．（2024 安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A 选项，
；
对于B 选项，
；
对于C 选项，
；
29
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对于D 选项，
.
故选：BCD.
10．（2024 江苏南通·期中）下列等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A 选项，
，A 错；
对于B 选项，因为
，
所以，
，B 对；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，
，D 对.
故选：BD.
11．（2024 江苏镇江·期中）下列等式成立的有（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，D 错误.
故选：AC
三．填空题
12．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知
，
，则
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
.
31
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故答案为：
.
13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，则
．
【答案】
【解析】由
，得
，
即
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
14．（2024 安徽芜湖·期中）已知
为三角形的两个内角，
，则
＝ ．
【答案】
【解析】∵
为三角形的两个内角，且
，
∴
，
，
∵
，
，
，
，
，
，∴
．
故答案为：
．
32
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四．解答题
15．（2024 江西·阶段练习）已知
，且
．
(1)求
和
的值；
(2)若
，且
，求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）因为
，又
，
解得
或
，
又
，所以
，
所以
．
所以
；
（2）因为
，且
，所以
，
所以
，
由
，得
，所以
．
16．（2023 四川南充·期中）在条件：①
；②
；③
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中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知
，且满足条件______.
(1)求
的值；
(2)若
，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选①，则由
，得
，
所以
，
所以
，
若选②，则由
，得
，
因为
，所以
，
化简整理得，
，解得
或
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
若选③，则由
，得
，得
，
因为
，所以
，
34
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，解得
或
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，得
，
所以
，
所以
；
（2）若选①，则由（1）可知
，
因为
，得以
，即
，
所以
，所以
，所以
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
，
若选②，则由（1）可知
，
，
35
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因为
，且
，
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
，
若选③，则由（1）可知
，
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
.
17．（2024 黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）化简求值：
36
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(1)
；
(2)
；
(3)已知
，
，求
的值．
(4)
(5)
【答案】(1)4(2)1(3)
(4)
(5)
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）已知
，
，
，
，
所以
，
.
（4）
37
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（5）
.
18．（2024 四川成都·期中）已知斜三角形
.
(1)借助正切和角公式证明：
.
并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：
①
，
②
；
(2)若
，求
的最小值.
【答案】(1)证明见解析，①
，②
；
(2)
【解析】（1）
，
，
，
，
；
①
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；
②
；
（2）
，则
，
，且
，
所以
，
，
，
，
解得
或
（舍去），
所以
，当且仅当
时取等号
的最小值为
．
19．（2024 江苏泰州·期中）由倍角公式
，可知
可以表示为
的二次多项式．对于
，我们有
可见
也可以表示成
的三次多项式．
(1)利用上述结论，求
的值；
(2)化简
；并利用此结果求
的值；
(3)已知方程
在
上有三个根，记为
，求证：
.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【解析】（1）
，所以
，
因为
，
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因为
，
，
即
，
因为
，解得
（
舍）.
（2）
，
故
；
（3）证明：因为
，故可令
，
故由
可得：
．
由题意得：
，因
，故
，
故
，或
，或
，
即方程（*）的三个根分别为
，
，
，
又
，故
，
于是，
40
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41
