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4.3 三角函数的性质
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2
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考点一 周期
【例1-1】（2024·上海·高考真题）下列函数
的最小正周期是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2023·湖南）给出下列函数：
①
；②
；③
；④
．
其中最小正周期为
的有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．①③
【例1-3】（2024·北京·高考真题）设函数
.已知
，
，且
的最小
值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【一隅三反】
1．（2023 北京）下列函数中，最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·广东茂名·统考一模）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 河南）下列函数中是奇函数且最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 对称性
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【例2-1】（23-24 高三上·重庆·期末）（多选）下列函数中，其图象关于点
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2024·安徽·三模）“
”是“函数
的图象关于
对称”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1．（2024·河北承德·二模）函数
的图象的对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·山东滨州·二模）已知函数
在
上有且仅有4 个零点，直线
为函数
图象的一条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·江西·模拟预测）已知函数
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．3 或
B．2 或
C．
或
D．
或
考点三 单调性
【例3-1】（2024·全国·模拟预测）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【例3-2】（2024 江西赣州·期中）函数
的图象经过点
和点
，则
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（2024·天津·一模）下列函数中，以
为周期，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-4】（2024·福建莆田·三模）（多选）已知函数
（
，
）的图象既关于点
中心对称，也关于直线
轴对称，且
在
上单调，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【一隅三反】
1．（2023 春·广西）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
2
2
( )
cos
sin
2
2
x
x
f x
f x
π
π
,
2
6
f x
π
π
,
4 12
f x
π
0, 3
f x
2
π 7
, π
4 1
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2．（2024·福建泉州·一模）已知函数
的周期为
，且在区间
内单调递增，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖南长沙·二模）已知函数
的最小正周期为
，直线
是
图象的一条对称轴，则
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数
图象的一个对称中心为
，且
在
上单调递增，则
的最小值为 .
考点四 奇偶性
【例4-1】（2024 河北衡水 ）下列函数中，最小正周期为
的奇函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【例4-2】（2024·贵州黔南·二模）若函数
为偶函数，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数
，则“
，
”是“
为偶函数”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024·河北·模拟预测）定义在
上的函数
周期为
，且
为奇函数，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
为奇函数
3．（2024·福建宁德·三模）（多选）函数
.若存在
，使得
为奇函数，则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 值域
【例5-1】（2023 云南）函数
在
的最大值是（ ）
A．2
B．0
C．1
D．
【例5-2】（23-24 高三下·浙江·开学考试）函数
的值域为 .
【例5-3】（2024·全国·三模）当
时，
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．0
D．
【例5-4】（2024 北京朝阳·期末）函数
是（ ）
A．奇函数，且最小值为
B．奇函数，且最大值为
cos
3sin
f x
x
x
π
0, 2
3
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C．偶函数，且最小值为
D．偶函数，且最大值为
【例5-5】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数
的图象关于点
对称，若当
时，
的最小值是
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数
的最大值为__________．
2．（2024·河北石家庄·二模）已知函数
在区间
上的值域均为
，则实数
的
取值范围是 ．
3．（2024·江苏苏州·三模）函数
的值域是 .
4．（23-24 高三下·河南·阶段练习）（多选）下列函数中，最小值为1 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六 伸缩平移
【例6-1】（2024·河北衡水·模拟预测）（多选）已知函数
的图象向左平移
个单位后得到
的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于
对称
C．
的图象关于
对称
sin2
2sin
y
x
x
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D．
在
上单调递增
【例6-2】（2024·江苏·模拟预测）将函数
图象上的每个点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标
不变），再将得到的图象向左平移
个单位长度，所得的图象关于
轴对称，写出一个符合条件的
的值
.
【一隅三反】
1．（2024·山东青岛·三模）为了得到
的图象，只要把
的图象上所有的点
（ ）
A．向右平行移动
个单位长度
B．向左平行移动
个单位长度
C．向右平行移动
个单位长度
D．向左平行移动
个单位长度
2．（2024·山东·模拟预测）（多选）将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得
的图象关于
轴对称，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
的最小值为
C．
的最小正周期可以为
D．
的图象关于原点对称
3．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数
图象上的所有点向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
在
上的最小值为
D．直线
是
图象的一条对称轴
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
，将
图象上所有的点的
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横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）得到函数
的图象，若
在
上恰有一个极值点，则
的取
值不可能是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
考点七 解析式
【例7-1】（2024·浙江金华·三模）（多选）已知函数
的部
分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
在区间
的最小值为
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数
的部分图象，
将
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，再将所得曲线向左平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
的解析式为（ ）
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A．
B．
C．
D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）函数
的部分图象如图所示，下列说法
正确的是（ ）
A．
B．函数
的最小正周期为
C．函数
在
上单调递减
D．函数
的图象上的所有点向左平移
个单位长度后，所得的图象关于
轴对称
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数
的图象的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），然后再向左平
移
个单位长度，得到函数
的部分图象如图所示，则函数
的解
析式为（ ）
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A．
B．
C．
D．
考点八 W 的取值范围
【例8-1】（2024·广西桂林·三模）已知函数
在
上有最小值没有最大
值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数
，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．1
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·山西太原·三模）已知函数
在
上有且只有两个零点，则实数
的
取值范围为
A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知函数
在区间
上只有一个零点和
两个最大值点，则
的取值范围是 ．
3．（2024 天津武清·期中）已知函数
，若
的图象的一条对称轴是
，且在区间
上单调递增，则w 的取值范围是
一．单选题
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1．（2024·宁夏·二模）设函数
，若对于任意的
，都有
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
2．（2024·浙江杭州·三模）已知函数
，则“
”是“
为奇函数且
为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3 ．（2024·江西景德镇·三模）函数
在
内恰有两个对称中心，
，将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·宁夏银川·三模）下列函数中，是偶函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·四川绵阳·模拟预测）关于函数
，有下列命题：
①
的最小正周期为
；②函数
的图象关于
对称；
③
在区间
上单调递增；④将函数
的图象向右平移
个单位长度后所得到的图象与函数
的图象重合．
其中正确的为（ ）
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②④
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6．（2024·山东聊城·三模）设函数
的图象与函数
的图象关于
轴对称，将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，则函数
的图象与
的图象的所有交点的
横坐标之和为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
7．（2023·全国·高三专题练习）函数
在
内恰有两个最小值点，则ω 的范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·河北·模拟预测）当
时，
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
最小正周期为
B．
是
图象的一条对称轴
C．
是
图象的一个对称中心
D．
在
上单调
10．（2024·广东江门·一模）已知函数
（其中
）的部分图象如图所
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示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数
在区间
上单调递增
C．要想得到
的图象，只需将
的图象向左平移
个单位
D．函数
在区间
上的取值范围是
11．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数
则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
的图象关于
中心对称
B．当
时，将
图象向右平移
个单位长度后的函数图象关于y 轴对称
C．当
时，
在
上单调递减
D．设
的周期为T，若
时，
，
为方程
的两个不相等实根，则
三．填空题
12．（2024·四川·模拟预测）已知函数
（
），当
时，
单调递增，则
的取值范围是 ．
13．（2023 江西抚州·期末）若函数
在
的值域为
，则
的取值范围是
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14．（2024·河北衡水·三模）已知
是函数
的一条对称轴，
在区间
内恰好存在3 个对称中心，则的取值范围为 ．
四．解答题
15．（2024 广东深圳·阶段练习）函数
的部分图象如图所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象先向右平移
个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到函数
的图象，求
在
上的最大值和最小值；
(3)若关于
的方程
在
上有两个不等实根，求实数
的取值范围．
16．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
.
(1)若
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)将函数
的图象的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，再将其向右平移
个单位，得到函数
的图
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象.若
，函数
有且仅有4 个零点，求实数的取值范围.
17．（2024·河北·三模）已知函数
．
(1)求
在
上的单调增区间；
(2)若关于x 的方程
在区间
内有两个不同的解
，
，求实数a 的
取值范围，并证明
．
18．（2024·重庆·三模）如果存在实数对
使函数
，那么我们就称函数
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为实数对
的“
型正余弦生成函数”，实数对
为函数
的“
型正余弦生成数对”.
(1)已知函数
的“4 型正余弦生成数对”为
，求方程
在区间
上所有实根之和；
(2)若实数对
的“2 型正余弦生成函数”
在
处取最大值，其中
，求
的取值范
围.
19．（2024·河北·二模）已知
为实数，用
表示不超过
的最大整数，例如
，对于函
数
，若存在
，使得
，则称函数
是“
函数”.
(1)判断函数
是否是“
函数”；
(2)设函数
是定义在
上的周期函数，其最小正周期是
，若
不是“
函数”，求
的最小值；
(3)若函数
是“
函数”，求
的取值范围.
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