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5.1 三角函数的定义（精讲）
一．任意角
1.定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．分类：
3.终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋
k·360°，k∈Z}，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和．
4.象限角与轴线角
1
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易错点：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同
二．弧度制
1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度单位用符号rad 表示．
2．公式
角α 的弧度数公式
|α|＝(l 表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
易错点：利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
三．任意角的三角函数
三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
定义
设α 是一个任意角，α∈R，它的终边OP 与单位圆相交于点P(x，y)．把r＝|OP|
sin α＝
cos α＝
tan α＝
定义域
R
R
函数
值在
各象
限的
符号
一
＋
＋
＋
二
＋
－
－
三
－
－
＋
四
－
＋
－
一．判断象限角的方法
1.图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
2
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2.转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角
α，再由角α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
二．三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
三．三角函数的定义
1，已知角α 的终边上一点P 的坐标，求角α 的三角函数值．
方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2.已知角α 的一个三角函数值和终边上一点P 的横坐标或纵坐标，求角α 的三角函数值．
方法：先求出点P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，
从而求解问题；
3.已知角α 的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α 的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P 到原点的距离(注意应对a 的符号分类讨论)，再利用
三角函数的定义求解．
考法一 任意角
【例1-1】（2023 春·青海）下列命题中正确的是（ ）
A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系
B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角
C．终边相同的角的弧度制表示相差
D．终边相同的角的弧度都相同
【答案】A
【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的
关系，故A 正确，B 错误，终边相同的角的弧度制表示相差
的整数倍，故C 错误，D 错误；
故选：A
【例1-2】（2023·山东德州）亲爱的考生，本场考试需要2 小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧
度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为时针旋转一周为12 小时，转过的角度为
，按顺时针转所形成的角为负角，
所以经过2 小时，时针所转过的弧度数为
.故选：B.
【例1-3】（2023 春·辽宁）下列与
终边相同角的集合中正确的是（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为角度值和弧度制不能混用，故A、B 错误；因为
，故C 正确；
对于选项D：因为
，则
与
终边不相同，故D 错误；
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023 春·上海闵行）下列说法正确是（ ）
A．角60 和角600 是终边相同的角
B．第三象限角的集合为
C．终边在
轴上角的集合为
D．第二象限角大于第一象限角
【答案】C
【解析】
，与
终边不相，故A 错误；
第三象限角的集合为
，故B 错误；
终边在
轴上角的集合为
，
即
，即
，故C 正确；
是第二象限角，
第一象限角，
，故D 错误；故选：C.
2．（2023 春·广东清远）（多选）下列说法正确的是（ ）
4
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A．
B．第一象限的角是锐角
C．1 弧度的角比1°的角大
D．锐角是第一象限的角
【答案】ACD
【解析】对于A：
，A 正确；
对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如
，B 错误；
对于C：1°的角为
弧度，比1 弧度的角小，C 正确；
对于D：根据象限角的定义，可得D 正确.故选：ACD.
3．（2023·海南）设
，且
的终边与
角的终边相同，则
__________.
【答案】
【解析】由题意
，
，则
，
，所以
，
，故
.
故答案为：
考法二 扇形的弧长与面积
【例2-1】（2023·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为
cm，则扇形的面积为______cm2．
【答案】
．
【解析】扇形的圆心角为144°，半径为
，所以扇形的面积为
．
故答案为：
．
【例2-2】（2023·天津河东·一模）在面积为4 的扇形中，其周长最小时半径的值为（ ）
A．4
B．
C．2
D．1
【答案】C
【解析】设扇形的半径为
，圆心角为
，
5
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则
，所以
，
则扇形的周长为
，
当且仅当
，即
时，取等号，此时
，
所以周长最小时半径的值为
.故选：C.
【例2-3】（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B 两点之间的
直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A 接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB
直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B 接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C
与地面接触了10 次，当前轮与点B 接触时，标记点C 在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面
的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B 两点之间的距离约为（ ）（参考数值：
）
A．20.10m
B．19.94m
C．19.63m
D．19.47m
【答案】D
【解析】由题意，前轮转动了
圈，
所以A，B 两点之间的距离约为
，故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出
计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积
（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，
公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为
，半径为
的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）（精确到
）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，弦
(m)，矢
(m)，
则弧田面积=
(
)，所以弧田面积约是
.故选：A
2．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为
的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为
的
扇形，设该扇形面积为
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆锥母线长，底面圆半径，
，所以
，
圆锥表面积
，扇形面积
，所以
.故选：D
3．（2023·全国·模拟预测）通用技术课上，张老师要求同学们从一个半径为
的圆形纸片上剪出一个扇形，
制作成一个圆锥形无盖漏斗，当它的容积最大时，扇形圆心角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设扇形的圆心角为
，圆锥底面半径为，
则扇形的弧长为
，圆锥底面周长
，解得：
，
由勾股定理得圆锥的高：
，
容积
，
2π
R
r
2
2
2
2
2π
R
h
R
r
R
2
2
3
2
2
2
2
4
1
π
π
4π
3
3
2π
2π
24π
R
R
R
V
r h
R
7
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方法一：设
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
当
，即
时，容积最大；
方法二：由三元均值不等式
（当且仅当
时取等号）得：
（当且仅当
，即
时取等号），即当扇形圆心角的大小为
时，容积最大.故选：C．
考法三 三角函数的定义
【例3-1】（2023·上海·统考模拟预测）已知
为角α 终边上一点，则
=______．
【答案】
【解析】
为角α 终边上一点，
，则
，
，
.故答案为：
【例3-2】．（2023·四川·校联考模拟预测）已知角
的顶点为原点，始边为
轴的非负半轴，若其终边经
过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
2
x
2
0
4π
x
2
2
4π
g x
x x
2
2
2
2
4π
8π
3
g
x
x
x
x
x
x
2
8π
0, 3
x
0
g
x
g x
2
2
8π ,4π
3
x
0
g
x
g x
2
8π
3
x
2 6π
3
3
3
a
b
c
abc
a
b
c
3
2
2
2
2
2
2
6
2
2
4
2
2
4π
256π
2
2
4π
4 4π
4
2
2
3
27
2
2
2
4π
2
2 6π
3
2 6π
3
8
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【解析】由题意知
，则原式
.故选：B.
【例3-3】（2023·全国·高三对口高考）如果点P 在角
的终边上，且
，则点P 的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由三角函数定义知：
，
，所以
，
，即P 的
坐标是
.故选：B
【例3-4】．（2023 春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）在直角坐标系
中，若点
从点
出发，沿圆心在原点，半径为3 的圆按逆时针方向运动
到达点
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，作出图示如下：
根据题意可得
，
，作
轴且垂足为
；
利用三角函数定义可得
，
；
9
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又
点在第四象限，所以点
的坐标为
.故选：C
【一隅三反】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy 中，角
的顶点为O，始边为x 轴的非负半
轴，若
的终边与圆
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知
，故
，
所以
，故选：A．
2．（2023·河南开封·统考三模）设α 是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且
，则tanα=
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由三角函数定义可知：
，又α 是第二象限角，
故
，所以
.故选：B
3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，
的值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设
，则
，
，
因
，则
，故
，
，故选：B
4．（2023 秋·山东菏泽）单位圆上一点
从
出发，顺时针方向运动
弧长到达
点，则
点的坐标
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】点
从
出发，顺时针方向运动
弧长到达
点，所以
，所以
点的横
坐标是
，纵坐标是
，即
.故选：D
考法四 三角函数值的正负判断
【例4-1】（2023 春·安徽）已知角的顶点与原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，
是第几象限角
（ ）
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A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【解析】因为
，所以
是第二象限角.故选：B.
【例4-2】（2023·浙江杭州）若
，且
，则角
是第（ ）象限角．
A．二
B．三
C．一或三
D．二或四
【答案】D
解析】由条件知
与
异号，则
为第二或第三象限角；又
与
异号，则
为第三或第四
象限角所以
为第三象限角，即
，
，
为第二或第四象限角.故选：D.
【例4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角
第二象限角，且
，则角
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】C
解析】因为角
第二象限角，所以
，
所以
，
当
是偶数时，设
，则
，
此时
为第一象限角；
当
是奇数时，设
，则
，
此时
为第三象限角.；
综上所述：
为第一象限角或第三象限角，
因为
，所以
，所以
为第三象限角．
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故选：C．
【一隅三反】
1．（2023 春·辽宁）点
位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】因为
，则
为第三象限角，可得
，
所以
位于第四象限.故选：D.
2．（2023·广东）若
满足
，则
的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】由
可知
的终边在第三象限或第四象限，又
，则
的终边在第三象限.
故选：C.
3．（2023 春·云南昆明·高三校考阶段练习）坐标平面内点
的坐标为
，则点
位于第（ ）象
限.
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】B
【解析】
，
，则点
位于第二象限，故选：B
4．（2023·四川成都）若
是第三象限角，则下列各式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
是第三象限角
，
，A 正确；
，B 错误；
，C 错误；
，D 错误.故选：A.
5．（2023·全国·高三对口高考）已知角
的终边落在直线
上，则
__________.
【答案】
sin
0,tan
0
sin
0
tan
0
P
sin5,cos5
P
3
2
π
2
π
5
sin5
0,cos5
0
P
tan
sin
0
sin
cos
0
cos
tan
0
tan
sin
0
sin
0,cos
0,tan
0
tan
sin
0
sin
cos
0
cos
tan
0
tan
sin
0
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【解析】由角
的终边落在直线
上，可得角
的终边位于第二象限，
可得
，所以
.
故答案为：
.
考法五 三角函数线的应用
【例5-1】（2023·天津）设
，使
且
同时成立的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，由正弦曲线得：
时，
由余弦曲线得：
时，
，
因为
，
所以
且
同时成立的x 的取值范围是
故选：D
【例5-2】．（2023·全国·高三专题练习）如果
，那么下列不等式成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，在单位圆中分别作出
的正弦线
、余弦线
、正切线
，
很容易地观察出
，即
.
故选C.
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【例5-3】．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
在
上单调递增，
,所以
，而
，
，故选C.
【一隅三反】
1．（2023·上海）
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】单位圆中，
，
，故选A.
2．（2023·湖北黄冈）关于
，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲:
是第三象限角，乙：
.丙:
，丁：
不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】D
【解析】由
，所以乙和丁的判断只有一个正确，且
，
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若丁的判断正确，即
，则
，
此时丙的判断错误，不符合题意；
若乙的判断正确，即
，此时满足
，且
，
此时甲、丙都正确，符合题意.
故选：D.
3．（2023·广西·校联考模拟预测）
的值所在的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，而
，则
，即有
，
所以
的值所在的范围是
.故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝lg(2sinx－1)＋
的定义域为__________________.
【答案】
【解析】要使原函数有意义，必须有
即
，
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，
解集为
,取交集可得
原函数的定义域为
故答案为：
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5（2023·全国·高三对口高考）若点
在第一象限，则在
内
的取值范围是
________．
【答案】
【解析】由题意可得
，
由
，可得
或
，
当
，即
为第一象限角，则
，
∵
，则
，
∴
；
当
，即
为第三象限角，则
，
∵
，则
，
∴
；
综上所述：
.
故答案为：
.
17
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