北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.7 圆锥曲线综合问题
五年高考
x2 y2
1.(2020北京,20,15分,中)已知椭圆C: + =1过点A(-2,-1),且a=2b.
a2 b2
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q.求
|PB|
的值.
|BQ|
{
a=2b,
{a=2√2,
解析 (1)由已知条件可列方程组 (-2) 2 (-1) 2 解得 故椭圆C的标准
+ =1, b=√2,
a2 b2
x2 y2
方程为 + =1.
8 2
(2)解法一:由题意知,直线l的斜率存在,设l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+4).
当k≠0时,直线l与椭圆C交于M、N两点,设M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
{y=k(x+4),
32k2 64k2-8
联立 x2 y2 化简得(4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0,则x +x =- ,x x =
+ =1, 1 2 4k2+1 1 2 4k2+1
8 2
1 1
,Δ=(32k2)2-4×(4k2+1)×(64k2-8)=32(1-4k2)>0,解得- <k< .
2 2
y +1 -2(y +1)
1 1
直线MA的方程为y= (x+2)-1,令x=-4,得到y = -1,即P -4,-
x +2 P x +2
1 1
(2k+1)(x +4)
1
,
x +2
1
y +1 -2(y +1)
2 2
同理直线NA的方程为y= ·(x+2)-1,令x=-4,得到y = -1,即Q -4,-
x +2 Q x +2
2 2
(2k+1)(x +4)
2
,
x +2
2
x +4 x +4 -2(2k+1)
1 + 2
y +y =-(2k+1) x +2 x +2 =(x +2)(x +2)[x x +3(x +x )+8],因为
P Q 1 2 1 2 1 2 1 2
64k2-8 3×32k2 8(4k2+1)
x x +3(x +x )+8= - + =0,故y +y =0,即y =-y ,所以
1 2 1 2 4k2+1 4k2+1 4k2+1 P Q P Q
|PB| |y |
= P
=1.
|BQ| |y |
Q
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当k=0时,易得直线l与椭圆C的两个交点分别为(-2√2,0)和(2√2,0),不妨设M(-2√2
√2+1 √2-1
,0),N(2√2,0),则直线MA的方程为y=- (x+2√2),直线NA的方程为y= (x-2
2 2
|PB|
√2),令x=-4,则y =√2,y =-√2,此时也满足 =1.
P Q |BQ|
|PB|
综上所述, =1.
|BQ|
解法二:由题意得直线l的斜率存在,设l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+4),设
M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
{y=k(x+4),
32k2 64k2-8
联立 x2 y2 化简得(4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0,则x +x =- ,x x =
+ =1, 1 2 4k2+1 1 2 4k2+1
8 2
1 1 y +1
,Δ=(32k2)2-4×(4k2+1)×(64k2-8)=32(1-4k2)>0,解得- <k< .直线MA的方程为y= 1
2 2 x +2
1
y +1 -x -2y -4
(x+2)-1,直线NA的方程为y= 2 (x+2)-1,令x=-4,则y = 1 1 ,y =
x +2 P x +2 Q
2 1
-x -2y -4 -x -2y -4 -x -2y -4
2 2 1 1 2 2
,所以P -4, ,Q -4, ,所以
x +2 x +2 x +2
2 1 2
-x -2y -4
| |
1 1
|PB| |y | x +2
= P = 1
|BQ| |y | -x -2y -4
Q 2 2
x +2
2
|[(2k+1)x +(8k+4)](x +2)|
1 2
=
[(2k+1)x +(8k+4)](x +2)
2 1
|(2k+1)x x +(4k+2)(x +x )+8(2k+1)+(4k+2)x |
1 2 1 2 2
= ,
(2k+1)x x +(4k+2)(x +x )+8(2k+1)+(4k+2)x
1 2 1 2 1
将x +x 和x x 代入上式,整理得
1 2 1 2
| ( 32k2 )|
(2k+1) +2x
|PB| 4k2+1 2
=
|BQ|
(
32k2
)
(2k+1) +2x
4k2+1 1
|-(x +x )+2x |
1 2 2
= =1.
-(x +x )+2x
1 2 1
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|PB|
解法三:易知当l的斜率为0时, =1.当l的斜率不为0时,设直线
|BQ|
{x=my-4,
l:x=my-4,M(x ,y ),N(x ,y ),由 x2 y2 得(m2+4)y2-8my+8=0,由Δ=64m2-
1 1 2 2 + =1,
8 2
8m 8 y +1
4×8×(m2+4)>0,解得m2>4,且y +y = ,y y = ,此时l :y+1= 1 (x+2),令
1 2 m2+4 1 2 m2+4 MA x +2
1
-2(y +1) -2(y +1)
x=-4,得y = 1 -1,同理可得y = 2 -1,
P x +2 Q x +2
1 2
-2(y +1) -2(y +1)
(
y +1 y +1
)
则y +y = 1 + 2 -2=-2× 1 + 2 +1
P Q x +2 x +2 x +2 x +2
1 2 1 2
(y +1)(x +2)+(y +1)(x +2)+(x +2)(x +2)
1 2 2 1 1 2
=-2× ,
(x +2)(x +2)
1 2
因为(y +1)(x +2)+(y +1)(x +2)+(x +2)(x +2)=(y +1)·(my -2)+(y +1)(my -2)+(my -2)
1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1
8 8m
(my -2)=m(m+2)·y y -(m+2)(y +y )=m(m+2) -(m+2) =0,所以y +y =0,所
2 1 2 1 2 m2+4 m2+4 P Q
|PB| |PB|
以|PB|=|BQ|,所以 =1.综上, =1.
|BQ| |BQ|
2.(2018北京理,19,14分,中)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与
抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
1 1
(2)设O为原点,⃗QM=λ⃗QO,⃗QN=μ⃗QO,求证: + 为定值.
λ μ
解析 (1)由已知可得4=2p,所以抛物线C的方程为y2=4x,设A(x ,y ),B(x ,y ),直线l
1 1 2 2
y2
显然不能与两坐标轴垂直,设其方程为y=kx+1(k≠0),由y2=4x得x= ,将其代入
4
y2 { k≠0,
y=kx+1,得y=k· +1,即ky2-4y+4=0.所以由已知可得 解得k<1且k≠0.又
4 Δ=16-16k>0,
PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.所以直线l的斜率的取值范围为(-
∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).
4 4 y2
(2)证明:由(1)知y +y = ,y y = .而点A(x ,y ),B(x ,y )均在抛物线上,所以x = 1,x =
1 2 k 1 2 k 1 1 2 2 1 4 2
y2
2.因为直线PA与直线PB均与y轴相交,则直线PA与直线PB的斜率均存在,即
4
y -2 y -2 4(y -2) 4
1 = 1 = 1 =
y ≠-2,y ≠-2.因为k =x -1 y2 y2-4 y +2,所以直线PA的方程为y-2=
1 2 PA 1 1-1 1 1
4
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4 4 2y ( 2y ) ( 2y )
(x-1),令x=0,可得y =2- = 1 ,即M 0, 1 ,同理可得N 0, 2 ,
y +2 M y +2 y +2 y +2 y +2
1 1 1 1 2
2y 1 2+ y 2y
而由⃗QM=λ⃗QO可得, 1 -1=-λ,所以 = 1 .同理由⃗QN=μ⃗QO可得, 2 -1=-μ,
y +2 λ 2- y y +2
1 1 2
1 2+ y
所以 = 2 .所以
μ 2- y
2
8 8
8- 8-
1 1 2+ y 2+ y (2+ y )(2- y )+(2+ y )(2- y ) 8-2y y k k
+ = 1+ 2= 1 2 2 1 = 1 2 = =
λ μ 2- y 2- y (2- y )(2- y ) 4+ y y -2(y + y ) 4 4 4
1 2 1 2 1 2 1 2 4+ -2· 4-
k k k
1 1
=2.故 + 为定值.
λ μ
三年模拟
能力拔高练
x2 y2
1.(2025届北师大二附中入学测试,20)已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过
a2 b2
√2
A(1,0),B(0,b)两点.O为坐标原点,且△AOB的面积为 .过点P(0,1)且斜率为k(k>0)
4
的直线l与椭圆C有两个不同的交点M,N,且直线AM,AN分别与y轴交于点S,T.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求直线l的斜率k的取值范围;
(3)设⃗PS=λ⃗PO,⃗PT=μ⃗PO,求λ+μ的取值范围.
解析 (1)因为椭圆C经过点A(1,0),
所以a2=1,得a=1.
√2 1 √2 √2
又由△AOB的面积为 ,所以 ab= ,解得b= ,
4 2 4 2
所以椭圆C的方程为x2+2y2=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+1,M(x ,y ),N(x ,y ).
1 1 2 2
{x2+2y2=1,
联立 消y整理得(1+2k2)x2+4kx+1=0.
y=kx+1,
因为直线与椭圆有两个不同的交点,
1
所以Δ=16k2-4(1+2k2)>0,解得k2> .
2
(√2 )
因为k>0,所以k的取值范围是 ,+∞ .
2
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(3)因为A(1,0),由(2)得M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
y
所以直线AM的方程是y= 1 (x-1),
x -1
1
- y
令x=0,解得y= 1 ,
x -1
1
- y
( )
所以点S的坐标为 0, 1 ,
x -1
1
- y
( )
同理可得,点T的坐标为 0, 2 .
x -1
2
又P(0,1),
- y - y
( ) ( )
所以⃗PS= 0, 1 -1 ,⃗PT= 0, 2 -1 ,⃗PO=(0,-1).
x -1 x -1
1 2
由⃗PS=λ⃗PO,⃗PT=μ⃗PO,
- y - y
1 2
可得 -1=-λ, -1=-μ,
x -1 x -1
1 2
y kx +1
所以λ= 1 +1= 1 +1,
x -1 x -1
1 1
kx +1
同理μ= 2 +1.
x -1
2
4k 1
由(2)得x +x =- ,x x = ,
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
kx +1 kx +1 2kx x +(1-k)(x +x )-2
所以λ+μ= 1 + 2 +2= 1 2 1 2 +2
x -1 x -1 x x -(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
1 ( 4k )
2k· +(1-k) - -2
1+2k2 1+2k2
= +2
1 4k
+ +1
1+2k2 1+2k2
2k-4k+4k2-2(1+2k2 ) -(k+1) 1
= +2= +2=- +2,
1+4k+1+2k2 (k+1) 2 k+1
√2 1
由(2)得k> ,所以λ+μ=- +2∈(√2,2),
2 k+1
所以λ+μ的取值范围是(√2,2).
x2 y2 1
2.(2025届人大附中开学检测,19)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,左、右顶
a2 b2 2
点分别为A、B,左、右焦点分别为F 、F .过右焦点F 的直线l交椭圆于点M、N,且
1 2 2
△F MN的周长为16.
1
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(1)求椭圆C的标准方程;
k
(2)记直线AM、BN的斜率分别为k 、k ,证明: 1为定值.
1 2 k
2
解析 (1)由△F MN的周长为16及椭圆的定义,可知4a=16,即a=4,
1
c 1
又离心率 = ,所以c=2,
a 2
所以b2=a2-c2=16-4=12.
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1.
16 12
(2)证明:依题意,直线l与x轴不重合,
设l的方程为x=my+2.
{x2 y2
+ =1,
联立 16 12 消x整理得(3m2+4)y2+12my-36=0,
x=my+2,
因为F 在椭圆内,所以Δ=(12m)2+4(3m2+4)×36>0,
2
设M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
-12m -36
由根与系数的关系得y +y = ,y y = .
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
又A(-4,0),B(4,0),
y
1
k x +4 y (x -4) y (m y -2) m y y -2y
所以 1= 1 = 1 2 = 1 2 = 1 2 1 ,
k y y (x +4) y (m y +6) m y y +6 y
2 2 2 1 2 1 1 2 2
x -4
2
y + y -12m m
又得 1 2= = ,即my y =3(y +y ),
y y -36 3 1 2 1 2
1 2
k m y y -2y 3(y + y )-2y y +3 y 1
所以 1= 1 2 1= 1 2 1= 1 2 = ,为定值.
k m y y +6 y 3(y + y )+6 y 3 y +9 y 3
2 1 2 2 1 2 2 1 2
x2 y2
3.(2025届北京二中开学测试,19)已知椭圆C: + =1(a>b>0)过点A(-4,0),P(2,-3).
a2 b2
(1)求椭圆C的方程以及离心率;
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(2)设直线l:y=kx-2与椭圆C交于M,N两点,过点N作直线y=-6的垂线,垂足为Q.判断
直线MQ是否过定点,并证明你的结论.
16 0 4 9
解析 (1)将A(-4,0),P(2,-3)代入椭圆方程可得 + =1, + =1,联立解得
a2 b2 a2 b2
a2=16,b2=12,故c2=a2-b2=4,
x2 y2 c 1
故椭圆方程为 + =1,离心率为e= = .
16 12 a 2
{ y=kx-2,
(2)联立 消y得(3+4k2)x2-16kx-32=0,
3x2+4 y2=48,
Δ=(-16k)2+4×32×(3+4k2)>0,
设M(x ,y ),N(x ,y ),Q(x ,-6),
1 1 2 2 2
16k -32
得x +x = ,x x = ,
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
y +6
所以直线MQ的方程为y= 1 (x-x )-6,又y =kx -2,
x -x 2 1 1
1 2
所以令x=0,得y=
-32 32k ( 16k )
-k -4x -4x 2 -2x
-x (y +6) -x (kx +4) -kx x -4x 3+4k2 2 3+4k2 2 3+4k2 2
2 1 -6= 2 1 -6= 1 2 2 -6= -6= -6=
x -x x -x x -x 16k 16k 16k
1 2 1 2 1 2 -x -x -2x -2x
3+4k2 2 2 3+4k2 2 3+4k2 2
-6=-4,
故直线MQ经过定点(0,-4).
x2 y2 1
4.(2025届北师大实验中学统练一,19)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,长轴
a2 b2 2
的左端点为A(-2,0).
(1)求C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M,N两点,且AM,AN与直线
x=4分别相交于D,E两点,求证:以DE为直径的圆恒过x轴上定点,并求出定点.
c 1
解析 (1)由 = ,a=2,得c=1,所以b=√a2-c2=√3,
a 2
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x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1.
4 3
(2)椭圆右焦点坐标为(1,0),由题意直线l不与x轴重合,
设直线l的方程为x=my+1,M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
{x=my+1,
由 x2 y2 消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0,显然Δ>0,
+ =1
4 3
-6m -9
则y +y = ,y y = ,
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
y 6 y
( )
所以直线AM:y= 1 (x+2)(点斜式方程),得D 4, 1 ,
x +2 x +2
1 1
y 6 y
( )
直线AN:y= 2 (x+2),得E 4, 2 ,
x +2 x +2
2 2
设以DE为直径的圆与x轴的交点为P(t,0),则⃗PD·⃗PE=0,又
6 y 6 y
( ) ( )
⃗PD= 4-t, 1 ,⃗PE= 4-t, 2 ,
x +2 x +2
1 2
6 y 6 y
( ) ( )
所以⃗PD·⃗PE= 4-t, 1 · 4-t, 2
x +2 x +2
1 2
36 y y
1 2
=(4-t)2+
(x +2)(x +2)
1 2
36 y y
1 2
=(4-t)2+
(m y +3)(m y +3)
1 2
36 y y
1 2
=(4-t)2+
m2y y +3m(y + y )+9
1 2 1 2
-9
36×
3m2+4
=(4-t)2+
-9 -6m
m2· +3m· +9
3m2+4 3m2+4
36×(-9)
=(4-t)2+ =(4-t)2-9=0,
-9m2-18m2+27m2+36
得t=1或t=7,
故以DE为直径的圆恒过x轴上定点,定点分别为(1,0),(7,0).
x2 y2
5.(2025届北京交大附中测试,19)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
F ,F ,若F 到过椭圆左焦点、斜率为√3的直线的距离为3,连接椭圆的四个顶点得到的
1 2 2
四边形面积为4.
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(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A、B,过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于P、Q两
点,证明:直线AP、BQ的交点在垂直于x轴的定直线上.
解析 (1)斜率为√3的直线的倾斜角为60°,
3
由F 到过椭圆左焦点、斜率为√3的直线的距离为3,得|F F |= =2√3=2c,则c=
2 1 2 sin60°
√3,
1
因为连接椭圆的四个顶点得到的四边形为对角线互相垂直的四边形,所以面积S=
2
×2a×2b=4,则ab=2,
结合c=√a2-b2=√3,解得a=2,b=1,
x2
故椭圆C的方程为 +y2=1.
4
(2)证明:由题意知直线l不与x轴重合,
设过点M(1,0)的直线l的方程为x=my+1,P(x ,y )、Q(x ,y ),
1 1 2 2
{x=my+1,
由 x2 消x得(m2+4)y2+2my-3=0,
+ y2=1
4
2m -3
故Δ=4m2+12(m2+4)>0,y +y =- ,y y = ,
1 2 m2+4 1 2 m2+4
y
因为A(-2,0)、B(2,0),所以k = 1 ,
AP x +2
1
y
所以直线AP的方程为y= 1 (x+2),
x +2
1
y
同理得直线BQ的方程为y= 2 (x-2),
x -2
2
y
{ y= 1 (x+2),
x +2 y y
由 1 得 1 (x+2)= 2 (x-2),
y x +2 x -2
y= 2 (x-2), 1 2
x -2
2
y y m y y - y 4
即 1 (x+2)= 2 (x-2),化简得 1 2 1 =1- ,
m y +3 m y -1 m y y +3 y x+2
1 2 1 2 2
3m 3
因为my y =- = (y +y ),
1 2 m2+4 2 1 2
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3
(y + y )- y
2 1 2 1 4 1 4
所以 =1- ,即 =1- ,故x=4,
3 x+2 3 x+2
(y + y )+3 y
2 1 2 2
所以直线AP、BQ的交点在垂直于x轴的定直线x=4上.
x2 y2 √2
6.(2024北京市育英中学统练一,19)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,以椭
a2 b2 2
圆C的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是2√2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A是椭圆C的右顶点,点B在x轴上.若椭圆C上存在点P,使得∠APB=90°,求点B
横坐标的取值范围.
c √2
解析 (1)设椭圆C的半焦距为c,由题意得 = ,ab=2√2,且a2=b2+c2,解得a=2,b=√2
a 2
.
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1.
4 2
(2)“椭圆C上存在点P,使得∠APB=90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P,使
得⃗PA·⃗PB=0成立”.
已知A(2,0),设B(s,0),P(m,n),
则m2+2n2=4,⃗PA=(2-m,-n),⃗PB=(s-m,-n)
由⃗PA·⃗PB=0,得(2-m,-n)·(s-m,-n)=0,
即(2-m)(s-m)+n2=0.
4-m2 4-m2
将n2= 代入上式,得(2-m)(s-m)+ =0.
2 2
因为-2<m<2,
2+m
所以2-m≠0,则s-m+ =0,
2
即m=2s+2,所以-2<2s+2<2,解得-2<s<0,
所以点B横坐标的取值范围是(-2,0).
x2 y2
7.(2024北京市中关村中学开学考试,20)已知椭圆M: + =1(a>b>0)过
a2 b2
A(-2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆M的离心率;
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(2)设椭圆M的右顶点为C,点P在椭圆M上(P不与椭圆M的顶点重合),直线AB与直
线CP交于点Q,直线BP交x轴于点S,求证:直线SQ过定点.
解析 (1)由题意知a=2,b=1,
所以c=√a2-b2=√3.
c √3
所以椭圆M的离心率e= = .
a 2
x2
(2)证明:由(1)知椭圆M的方程为 +y2=1,C(2,0).
4
直线AB的方程为x=2y-2.
设P(x ,y )(y ≠0,y ≠±1),Q(2m-2,m),S(n,0).
0 0 0 0
因为C,P,Q三点共线,所以有⃗CP∥⃗CQ,⃗CP=(x -2,y ),⃗CQ=(2m-4,m),
0 0
所以(x -2)m=y (2m-4),
0 0
4 y 4 y +2x -4 4 y
0 0 0 , 0
所以m= ,所以Q .
2y -x +2 2y -x +2 2y -x +2
0 0 0 0 0 0
因为B,S,P三点共线,
1 y -1 x ( x )
所以 = 0 ,即n= 0 .所以S 0 ,0 .
-n x 1- y 1- y
0 0 0
4 y +2x -4 x
0 0 - 0
2y -x +2 1- y x
所以直线QS的方程为x= 0 0 0 y+ 0 ,
4 y 1- y
0 0
2y -x +2
0 0
x2-4 y2-4x y +8 y -4 x
即x= 0 0 0 0 0 y+ 0 .
4 y (1- y ) 1- y
0 0 0
又因为点P在椭圆M上,所以x2=4-4 y2
.
0 0
2-2y -x
所以直线QS的方程为x= 0 0(y-1)+2.
1- y
0
所以直线QS过定点(2,1).
x2 y2
8.(2024北京一六六中学阶段测试,19)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为F ,F ,|F F |=2,连接椭圆C的四个顶点所成的四边形的周长为4√7.
1 2 1 2
(1)求椭圆C的方程和离心率;
(2)已知过点F 的直线l 与椭圆交于P,Q两点,过点F 且与直线l 垂直的直线l 与椭圆
1 1 2 1 2
|PQ|+|MN|
交于M,N两点,求 的值.
|PQ|·|MN|
解析 (1)由|F F |=2c=2,得c=1,
1 2
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连接椭圆顶点所成的四边形周长为4√a2+b2=4√7,
即a2+b2=7,又因为a2=b2+c2,所以a2=4,b2=3,
x2 y2 c 1
故椭圆C的方程为 + =1,离心率为e= = .
4 3 a 2
2b2
(2)①当直线PQ斜率不存在时,|PQ|= ,|MN|=2a,
a
|PQ|+|MN| 1 1 a 1 7
= + = + =
此时 .
|PQ|·|MN| |PQ| |MN| 2b2 2a 12
2b2
②当直线PQ斜率为0时,|PQ|=2a,|MN|= ,
a
|PQ|+|MN| 1 1 1 a 7
= + = + =
此时 .
|PQ|·|MN| |PQ| |MN| 2a 2b2 12
1
③当直线PQ斜率存在且不为0时,设直线PQ:y=k(x+1),直线MN:y=-
k
(x-1),P(x ,y ),Q(x ,y ),
1 1 2 2
{ y=k(x+1),
由 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
3x2+4 y2=12,
8k2 4k2-12
则x +x =- ,x x = ,
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
所以|PQ|=√1+k2·√(x +x ) 2-4x x
1 2 1 2
√
(
8k2
)
2 4k2-12
=√1+k2 - -4·
3+4k2 3+4k2
√144(k2+1)
=√1+k2
(3+4k2
)
2
12(k2+1)
= .
3+4k2
12(k2+1)
同理可得|MN|= .
3k2+4
|PQ|+|MN| 1 1 3+4k2 3k2+4 7(k2+1) 7
此时 = + = + = = .
|PQ|·|MN| |PQ| |MN| 12(k2+1) 12(k2+1) 12(k2+1) 12
|PQ|+|MN| 7
综上, 的值为 .
|PQ|·|MN| 12
x2 y2 √2
9.(2024北京一七一中学开学考试,20)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率是 ,且
a2 b2 2
√2
过点P(√2,1).直线y= x+m与椭圆C相交于A,B两点.
2
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(1)求椭圆C的方程;
(2)求△PAB的面积的最大值;
(3)设直线PA,PB分别与y轴交于点M,N.判断|PM|,|PN|的大小关系,并加以证明.
解析 (1)设椭圆C的半焦距为c.
c2 a2-b2 b2 1
由 = =1- = ,得a2=2b2.
a2 a2 a2 2
{
a2=2b2,
{a2=4,
由 2 1 解得
+ =1, b2=2.
a2 b2
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1.
4 2
{ y=
√2
x+m,
2
(2)由 消去y整理得x2+√2mx+m2-2=0.
x2 y2
+ =1,
4 2
令Δ=2m2-4(m2-2)>0,解得-2<m<2.
设A(x ,y ),B(x ,y ).则x +x =-√2m,x x =m2-2.
1 1 2 2 1 2 1 2
则|AB|=
√
1+
(√2) 2
·√(x +x ) 2-4x x =√3·√4-m2.
2 1 2 1 2
|√2-√2+√2m| √2|m|
点P(√2,1)到直线x-√2y+√2m=0的距离为d= = .
√1+2 √3
1 √2
所以△PAB的面积S= |AB|·d= |m|·√4-m2
2 2
√2
=
·√-(m2-2) 2+4≤√2,
2
当且仅当m=±√2时,S =√2.
max
所以△PAB的面积的最大值是√2.
(3)|PM|=|PN|.证明如下:
设直线PA,PB的斜率分别是k ,k ,
1 2
y -1 y -1
则k +k = 1 + 2
1 2 x -√2 x -√2
1 2
(y -1)(x -√2)+(y -1)(x -√2)
= 1 2 2 1 ,
(x -√2)(x -√2)
1 2
因为(y -1)(x -√2)+(y -1)(x -√2)
1 2 2 1
(√2 ) (√2 )
= x +m-1 (x -√2)+ x +m-1 (x -√2)
2 1 2 2 2 1
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=√2x x +(m-2)(x +x )-2√2(m-1)
1 2 1 2
=√2(m2-2)-√2m·(m-2)-2√2(m-1)=0,
所以直线PA,PB的倾斜角互补.
所以∠PMN=∠PNM.故|PM|=|PN|.
x2 y2
10.(2024北京市八一学校开学考试,20)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别
a2 b2
为A ,A ,上下顶点分别为B ,B ,四边形A B A B 的面积为4,且该四边形内切圆的方程
1 2 1 2 1 1 2 2
4
为x2+y2= .
5
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:y=kx+m(k,m均为常数)与椭圆C相交于M,N两个不同的点(M,N异于
A ,A ),若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A ,试判断直线l能否过定点.若能,求出
1 2 2
该定点坐标;若不能,请说明理由.
解析 (1)易知四边形A B A B 为菱形,
1 1 2 2
1
∴ ×2a×2b=4,即ab=2①,
2
x y
直线A B 的方程为 + =1,即bx+ay-ab=0,
2 1 a b
4
∵四边形A B A B 的内切圆方程为x2+y2= ,
1 1 2 2 5
ab 2
=
∴圆心(0,0)到直线A B 的距离为 ②.
2 1 √a2+b2 √5
由①②解得a=2,b=1,
x2
∴椭圆C的方程为 +y2=1.
4
(2)能.设M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
{y=kx+m,
由 x2 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
+ y2=1
4
由Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,得1+4k2-m2>0③,
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8km
{x +x =- ,
1 2 1+4k2
由根与系数的关系得
4m2-4
x x = .
1 2 1+4k2
∵以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A (2,0),
2
∴A M⊥A N,即⃗A M·⃗A N=0,
2 2 2 2
∴(x -2,y )·(x -2,y )=(x -2)(x -2)+y y =0,
1 1 2 2 1 2 1 2
∴(x -2)(x -2)+(kx +m)(kx +m)=0,
1 2 1 2
即(k2+1)x x +(mk-2)(x +x )+m2+4=0,
1 2 1 2
4m2-4 8km(mk-2)
从而(k2+1)· - +m2+4=0,
1+4k2 1+4k2
即5m2+16km+12k2=0,
6
∴m=- k或m=-2k,均符合③.
5
当m=-2k时,直线l:y=kx-2k,过定点(2,0),舍去;
6 6 ( 6) (6 )
当m=- k时,直线l:y=kx- k=k x- ,所以恒过定点 ,0 .
5 5 5 5
(6 )
综上,直线l过定点,该定点坐标为 ,0 .
5
x2 y2 √6
11.(2025届朝阳期末,20)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,右顶点为(2,0).
a2 b2 3
(1)求椭圆E的方程;
(2)过原点O且与y轴不重合的直线l与椭圆E交于M,N两点.已知点P(0,2),直线
PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为A,B.证明:直线AB过定点.
{ c √6
= ,
a 3
解析 (1)由题意得
a=2,
a2=b2+c2,
{
a=2,
解得 2√3
b= ,
3
x2 3 y2
所以椭圆E的方程为 + =1.
4 4
(2)证明:设点M(x ,y ),则N(-x ,-y ),且x2+3 y2 =4,x ≠0,
0 0 0 0 0 0 0
y -2 y -2
直线PM:y-2= 0 (x-0),即y= 0 x+2.
x -0 x
0 0
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{ y -2
y= 0 x+2,
由 x 得[x2 +3(y -2)2]x2+12x (y -2)x+8x2 =0.
0 0 0 0 0 0
x2+3 y2=4,
8x2 2x2 2x
所以x ·x = 0 = 0 ,则x = 0 .
0 A x2+3(y -2) 2 4-3 y A 4-3 y
0 0 0 0
y -2 y -2 2x 4-4 y
所以y = 0 x A+2= 0 · 0 +2= 0 .
A x x 4-3 y 4-3 y
0 0 0 0
2x 4-4 y
( )
所以A 0 , 0 .
4-3 y 4-3 y
0 0
-2x 4+4 y
( )
同理得B 0 , 0 .
4+3 y 4+3 y
0 0
4+4 y 4-4 y
0- 0
y - y 4+3 y 4-3 y y
依题意x ≠x ,所以k = B A = 0 0 =- 0 .
A B AB x -x -2x 2x 2x
B A 0 - 0 0
4+3 y 4-3 y
0 0
4-4 y y 2x
( )
所以直线AB的方程为y- 0=- 0 x- 0 ,
4-3 y 2x 4-3 y
0 0 0
y
整理得y=- 0 x+1.
2x
0
所以直线AB过定点(0,1).
x2 y2
12.(2025届东城期末,20)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个顶点为(2,0),且焦距为
a2 b2
1 1
2.A为第一象限内E上的动点,过点A作斜率为 ,- 的直线分别与E交于点M,N(均异
2 2
于点A),直线MN与x轴交于点H,点Q为线段MN的中点,直线AQ与x轴交于点P.
(1)求E的方程;
(2)当|HP|=3时,求点A的横坐标.
{
a=2,
解析 (1)由题意得 2c=2, 解得a=2,b=√3.
a2=b2+c2,
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x2 y2
所以E的方程为 + =1.
4 3
1
(2)设A(x ,y ),x ∈(0,2),y ∈(0,√3),M(x ,y ),N(x ,y ),则直线AM:y= (x-
0 0 0 0 M M N N 2
1
x )+y ,AN:y=- (x-x )+y .
0 0 2 0 0
{
x2 y2
+ =1,
4 3 ( 1 ) ( 1 ) 2
由 得x2+ y - x x+ y - x -3=0.
1 0 2 0 0 2 0
y= (x-x )+ y ,
2 0 0
1
所以x +x = x -y ,
0 M 2 0 0
( 1 3 1 )
故M - x - y ,- x + y .
2 0 0 4 0 2 0
{
x2 y2
+ =1,
4 3 ( 1 ) ( 1 ) 2
由 得x2- y + x x+ y + x -3=0.
1 0 2 0 0 2 0
y=- (x-x )+ y ,
2 0 0
1
所以x +x = x +y ,
0 N 2 0 0
( 1 3 1 )
故N - x + y , x + y .
2 0 0 4 0 2 0
( 1 1 )
因为Q为线段MN的中点,所以Q - x , y ,
2 0 2 0
y
故直线AQ:y= 0 (x-x )+y .
3x 0 0
0
令y=0,得x=-2x ,所以P(-2x ,0).
0 0
设H(t,0),
3 1
x - y
2 0 2 0
因为M,N,H,Q共线,所以k =k ,即 = .
MN HQ 2y 1
0 t+ x
2 0
3
x2-6
解得t= -2y2
0 -
1
x0=
2 0
-
1
x0=
-2.
3x 2 3x 2 x
0 0 0
|-2 | |-2 |
所以|HP|= -(-2x ) = +2x =3.
x 0 x 0
0 0
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1
因为x ∈(0,2),所以x = .
0 0 2
1
综上,点A的横坐标为 .
2
x2 y2
13.(2025届西城期末,19)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 、A ,离
a2 b2 1 2
√2
心率为 ,点T(0,1), TA A 的面积为2.
2 1 2
(1)求椭圆E的方程; △
(2)过点T且斜率为k的直线交椭圆E于点C,D,线段CD的垂直平分线交y轴于点Q,
点Q关于直线CD的对称点为P.若四边形PCQD为正方形,求k的值.
解析 (1)依题意,
1
{S = ·1·2a=2,
△TA 1 A 2 2
得 c √2
= ,
a 2
a2=b2+c2,
x2 y2
解得a=2,b=√2,所以椭圆E的方程为 + =1.
4 2
(2)直线CD的方程为y=kx+1.当k=0时,线段CD的垂直平分线为y轴,与题意不符.
{
y=kx+1,
当k≠0时,设C(x ,y ),D(x ,y ).由 x2 y2 得(1+2k2)·x2+4kx-2=0.则
1 1 2 2 + =1,
4 2
4k -2 2
Δ=16k2+8(1+2k2)>0,x +x =- ,x x = .所以y +y =k(x +x )+2= ,故线段
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2 1 2 1 2 1+2k2
( 2k 1 )
CD的中点坐标为 - , .所以线段CD的垂直平分线的方程为y-
1+2k2 1+2k2
1 1( 2k ) ( 1 )
=- x+ ,则点Q 0,- .
1+2k2 k 1+2k2 1+2k2
由题意知CD⊥PQ且线段CD与PQ相互平分,故四边形PCQD为菱形.所以要使四边形
PCQD为正方形,只需QC⊥QD.
所以
⃗QC·⃗QD= ( x ,y + 1 ) · ( x ,y + 1 ) =x1x2+ ( kx +1+ 1 ) · ( kx +1+ 1 )
1 1 1+2k2 2 2 1+2k2 1 1+2k2 2 1+2k2
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k(2+2k2 ) (2+2k2 ) 2
=(1+k2)x x + (x +x )+ =(1+k2)
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
-2 k(2+2k2 ) -4k (2+2k2 ) 2
+ · + =0.
1+2k2 1+2k2 1+2k2 1+2k2
所以-8k4-6k2+2=0,即4k4+3k2-1=0,(4k2-1)(k2+1)=0,
1
即4k2-1=0,所以k=± .
2
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